x si x 2 Q 1 x si x 2 R Q

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(1)

Relacion 4.CONTINUIDAD Y

LÍMITE FUNCIONAL

1 Demuestrese

i) que si una función tiene límite, éste es único. ii)aplicando la de…nición de límite, que

a) limx!0xsenx1 = 0 b) limx!1(x¡11)4 =1

iii) que no existe limx!0cosx1

2 Estúdiese la continuidad de la funcion f :R¡!R; de…nida por: f(x) =

(

x si x2Q

1¡x si x 2R¡Q

3 Sean f y g funciones de R en R, continuas en todoR. Supongamos que f(x) = g(x); 8x 2 Q. Pruébese que f = g: En particular, si f :R ¡!R es continua en R y f restringida a Q es constante, entonces f es constante.

4 Sea A un conjunto no vacío de números reales : Sea f :R ¡!R la

función de…nida por

f(x) := inffjx¡a j; a2Ag: Pruébese que

jf(x)¡f(y)j·jx¡yj; 8x; y2 R: Dedúzcase que f es continua en todoR:

5 Estúdiese la continuidad de las funciones f; g :R¡!R de…nidas por:

(2)

f(x) =E(x2) 8x2R g(x) = 8 < : xE µ1 x ¶ si x 2=R¡ f0g 1 si x = 0

6 Pruébese que toda función de N en R es continua, esto es, que las sucesiones de números reales son funciones continuas.

7 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales, toda función real de…nida en A es continua en A.

8 Consideremos el conjunto de números reales: A=

½1

n :n2N

¾

[ f0g.

Pruébese que toda función real de…nida en Aes continua en½1

n :n2N

¾

: Dése un ejemplo de una función real f de…nida en A que no sea continua en 0.

9 Utilícese la caracterización "¡± de la continuidad para probar que la función f :R¡!R dada por f(x) =x2; 8x2R; es continua en R.

10 Compruébese la continuidad de las funciones

i) f(x) =x2¡2x ii)f(x) =Ln x+ 1 (x >0)

en un punto cualquiera x0, determinando para cada " > 0 un número

± > 0 tal que

jf(x)¡f(x0)j ·" siempre que sea jx¡x0j ·±.

11 Sean f1 y f2 funciones de R en R continuas enR. Estúdiese la

continuidad de la función f : R ¡!R, de…nida por:

f(x) =

(

f1(x); si x2R¡

f2(x); si x2R+0

12 Dado un número real positivo a, pruébese que existe x2R+tal que

x2 = a: El tal x es único. (Existencia y unicidad de la raíz cuadrada para reales positivos).

13 Dése un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.

(3)

14 Dése un ejemplo de una función de…nida en un intervalo cuya imagen sea otro intervalo y que no sea continua.

15 Dése un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea un intervalo acotado.

16 Dése un ejemplo de una función continua de…nida en un intervalo abierto y acotado y cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.

17 Dése un ejemplo de una función continua en [0;1[ tal que f([0;1[)

sea no acotado.

18 Pruébese que si I es un intervalo y f : I ¡!R es una función que veri…que f(I)½ Q, entonces f es constante.

19 Sea Aun conjunto no vacío de números reales. Supongamos que toda función continua de A en f0;1g (es decir cuya imagen esté incluída en el conjunto f0;1g) es constante. Pruébese que A es un intervalo.

20 Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raiz real.

21 Sea f : [0;1]¡! [0;1] una función continua en [0;1]. Pruébese que

f tiene un único punto …jo: 9x2 [0;1] tal que f(x) =x:

22. -Determínese un r 2R + tal que la función polinómica p; dada por p(x) := x9¡100x4+3x3¡2;

se anule en, al menos, un punto del intervalo [¡r; r].

23 Determínense los valores del número real k para los cuales la función p(x) =x3¡3x+k se anula en algún punto del intervalo [¡1;1]:

24 Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del Ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas sobre el Ecuador que se hallan a la misma temperatura.

25 Sean f: ]0;1[¡! R y g:R¡! R , de…nidas por:

a) f(x) = x; 8x2]0;1[ b) g(x) = 8 > > > > < > > > > : x 1 +x si x2R + 0 x 1¡x si x2R¡

Compruébese que f y g son continuas y acotadas pero no tienen extremos absolutos.

(4)

26 Dése un ejemplo de función continua en un punto x0; que no

ten-ga signo constante en ningún entorno ]x0¡±; x0+±[; con ± > 0; de dicho

punto.

27 Pruébese que si f :R¡!R es una función continua en cero, entonces

exsite un número real positivo ±;tal que la restricción de f al intervalo[¡±; ±]

está acotada.

28Sea I un intervalo cerrado y acotado y f :I !Runa función continua en I. Supongamos que existe una sucesión (xn) de puntos de I, tal que

f(xn) = 1

n, 8n2N .

Pruébese que 0 2 f(I): Muéstrese con ejemplos que la hipótesis de que el intervalo sea cerrado y acotado no puede suprimirse.

29 Sea f: [¡1;1]! R , la función de…nida por: f(x) = x

2

1 +x2 8x 2[¡1;1]

Determínese la imagen de f.

30 Sea f : [¡1;1]¡!R, la función de…nida por

f (x) = 2x

1 +jxj; 8x2[¡1;1]: Determínese la imagen de f:

31 Sea f :R¡!R una función continua enR. Pruébese que si la

restric-ción de f a Q es monótona, entonces f es monótona.

32 Sea I un intervalo y f : I ¡!R una función inyectiva. Analícese la relación entre las siguientes a…rmaciones:

a) f es continua

b) f(I) es un intervalo.

c) f es estrictamente monótona. d) f¡1 es continua.

33 Pruébese que si A es un conjunto …nito no vacío de números reales, toda función de A en R es uniformemente continua.

34 Pruébese que la suma de dos funciones uniformemente continuas es uniformemente continua.

35 Pruébese que si f y g son funciones uniformemente continuas y aco-tadas, entonces fg es uniformemente continua. Póngase de mani…esto, con

(5)

un ejemplo, la necesidad de la condición de acotación de f y g. Basta que lo esté sólo una de ellas?

36 Sea f : A ¡!R una función real de variable real. Supongamos que existe un número real positivo k, tal que:

jf(x)¡f(y)j ·k jx¡yj; 8x; y2A: Pruébese que f es uniformemente continua.

37 Compruébese que la función f : R+ ¡!R dada por f(x) = 1

x

8x 2R+ no es uniformemente continua.

38 Sea f :Q ¡!R, una función uniformemente continua. Pruébese que

existe una función g :R¡!R, uniformemente continua, cuya restricción a Q

coincide con f:

39 Seana y bnúmeros reales con a < by sea f : ]a; b[¡!R una función.

Pruébese que f es uniformemente continua sí, y sólo si, f es la restricción al intervalo ]a; b[ de una función continua en el intervalo [a; b]:

40 Pruébese la siguiente versión del teorema de Bolzano:

i) Sea f : A¡! R una función continua tal que limx!a+f(x) < 0 y limx!b¡f(x)>0. Entonces, existec2(a; b) tal que f(c) = 0:

ii)Pruébese que la ecuación tgx=x tiene in…nitas soluciones. 41 Pruébese que la función f(x) = x

1 +x2; con x2R, es uniformemente

continua.

42 Sea A un conjunto no vacío de números reales y sea ® un número real. Pruébese que ® es un punto de acumulación de A si, y sólo si, existe una sucesión estrictamente monótona de puntos de A que converge a ®.

43 Sea A un conjunto de números reales no vacío, mayorado y que no tiene máximo. Pruébese que Sup(A) es un punto de acumulación de A.

44 Determínese el conjunto de puntos de acumulación de cada uno de los conjuntos siguientes:

a) ; b)R c) N d) Q e)R¡Q f) ]0;1] g) ½1 n :n2N ¾

45 Sea f : A ¡!R y ® 2 A0: Pruébese que f tiene límite en el punto ® sí, y sólo si, para toda sucesión (an)de puntos de A, distintos de ®;

(6)

convergente a ®, la sucesión la sucesión (f(an)) es convergente. ¿Es cierto

el mismo enunciado, pero considerando sólo sucesiones monótonas?.

46 Sea f :A¡!R y ® 2A0: Pruébese que las siguientes a…rmaciones son equivalente:

a) f tiene límite en el punto ®:

b) 8"2R +, existe ±2R + :x; y 2A,

0< jx¡®j< ±

0< jy¡®j< ±

=) jf(x)¡f(y)j< "

47 Sea f : A ¡!R, ® 2 A0 y supongamos que limx!®f(x) = l 6= 0: Pruébese que existe un número real positivo ± tal que: x 2A, 0<jx¡®j < ±=) lf(x)>0:(Otra versión del lema de conservación del signo).

48 Sea f : R ¡!R, ® 2R y consideramos la función g : R ¡!R,

de…nida por g(x) = f(®+x) ¡f(®¡x) para todo x en R . Pruébese que si f tiene límite en el punto ®, entonces limx!0g(x) = 0: ¿Es cierto el

recíproco?.

49 Consideremos el conjunto de números reales: A=

½1

n :n2N

¾

[ f0g.

y sea f :A ¡!R una función. Pruébese que f tiene límite en cero, si y sólo si, la sucesión µ f µ1 n ¶¶

es convergente: Dedúzcase que f es continua en A, sí y sólo si, f

µ1

n

¡!f(0):

50 Sea f : ]¡1;1[¡!R , de…nida por:

f (x) = 8 > > > < > > > : 1 1 +x si ¡1< x <0 a si x= 0 1 +x2 si 0< x <1

¿Tiene f límite en cero? ¿Existe algún valor de a para el cual f sea continua en cero? ¿Puede extenderse f de manera continua al intervalo ]¡1;1]? ¿Y

al intervalo [¡1;1]?

51 Sean a y b números reales con a < b y sea f : ]a; b[¡!R una función continua. Pruébense que las siguientes a…rmaciones son equivalentes:

(7)

i) f es uniformemente continua ii) f tiene límite en los puntos a y b.

iii) f admite una extensión continua en el intervalo [a; b]:

52 Sea f : Q ¡!R una función continua y supongamos que f tiene límite en todo punto de R. Pruébese que f admite una extensión continua a todoR .

53 Sea f una función continua en R tal que limx!1f(x) = 0 =

limx!¡1f(x). Pruébese que f está acotada y que f posee máximo ó mínimo. 54 Sea A = ]Ã;¡1][ f0g [[1;2[[[3;5] y sea f : A !R la función de…nida por: f(x) = 8 > > > > > > > < > > > > > > > : 1 1 +x si x < ¡1 0 si x=¡1 1 si x= 0 1 +x2 si 1·x <2 E(x) si 3·x ·5

Estúdiese la existencia de límites y la continuidad de f clasi…cando sus discontinuidades.

55 Sea A un conjunto no vacío de números reales y f : A !R una función monótona. Pruébese que f tiene límites laterales en todo punto de A donde tenga sentido hablar de tales límites laterales. Por tanto todas las discontinuidades de una función monótona son evitables o de salto. dedúzcase que el conjunto de puntos de discontinuidad de una función monótona es numerable.

56 Sea f : ]0;1] ¡!R la función de…nida por f(x) = 1=x. Estúdiese si f es uniformemente continua en ]0;1]:

57 Demuéstrese que una función uniformemente continua en un subcto Ade R; tb es continua en A.

58 Estudiese la continuidad uniforme de la función f : (0;1) ! R

de…-nida por f(x) =senx=x:

59 Sea f :R¡!R una función. Supongamos que existe un número real

positivo ® tal que f(x) = f(®+x) para todo x en R . Pruébese que si f tiene límite en +1 ó en ¡1, entonces f es constante.

60 Pruébese que las sucesiones convergentes de números reales son las funciones de N en R que tienen límite en +1.

(8)

61 Sea A un conjunto de números reales no mayorado y f :A !R una función. Probar que f(x) ! ¡1 (x ! +1) , si y solo si, 8k 2R;9 m2R tal que si x2A y x > m)f(x)< k.

62 Enúnciense y demuéstrense caracterizaciones análogas a las del ejer-cicio anterior para los casos siguientes:

i) f(x)!+1 (x!®; x > ®)

ii) f(x)! ¡1 (x !®)

63 Sea f : [0;1[¡!R , una función continua y supongamos que

f(x)¡! 1 (x ¡! 1). Pruébese que la imagen de f contiene la semirrecta cerrada de origen f(0):

64 Sea f : ]0;1[!R , de…nida por: f(x) = 2x¡1

x(x¡1) 8x 2]0;1[

Pruébese que

f(x)¡! 1 (x !0)y f(x)¡! ¡1 (x!1)

y dedúzcase que la imagen de f es todo R.

65 Sea f :R¡!R una función polinómica no constante. Pruébese que f diverge en +1y en ¡1:

66 Sea f : R ¡!R una función polinómica de grado impar. Pruébese que la imagen de f es todoR.

67 Sean f; g : R ¡!R funciones polinómicas no constantes. Sea

B := fx2R : g(x)6= 0g(Obsérvese que B no está mayorado ni minora-do). Estúdiese el comportamiento en +1 y ¡1 de la función racional

f

g : B ¡!R .

68 Sea f :A¡!R una función real de variable real, tal que f(x) 6= 0; para todo x en A. Sea ® un punto de acumulación de A. Pruébese que:

limx!®f(x) = 0 ,

1

jfj(x)¡! 1 (x¡!®)

69 Estúdiese la existencia y la continuidad de la función inversa f¡1de

(9)

f(x) = (1 +px)3;con x¸0.

70 Idem para la función f(x) = 1¡x 3

x3 ; x >0.

71 Calcúlense los siguientes límites: a) limx!1 3 p x¡1 x¡1 e) limx!0 x2(1¡cosx) sen4x b) limx!1(p4x4+ 1¡x) f) limx!2 x2¡2x x2¡4x+ 4 c) limx!¼ 4 1¡tg x cos 2x g) limx!1 µ 1 1¡x¡ 3 1¡x3 ¶ d) limx!0 2px¡senx 1¡cosx h) limx!a p x¡pa x¡a 72 Calcúlense los siguientes límites:

(a)limx!1 x 2¡1 2x2¡x¡1 (e)limx!0+ x p 1¡cosx (b)limx!1 2x¡1 (x2¡1)(x¡4) (f)limx!0 cosx¡cos3x x2 (c)limx!1 senx x (g)limx!0 p 1 +senx¡p1¡senx x (d)limx!0 tanx¡senx sen3x

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