F U N C I O N E S R E A L E S D E V A R I A B L E R E A L

F U N C I O N E S R E A L E S D E V A R I A B L E R E A L

1 . C O N C E P T O D E F U N C I Ó N

Una función f del conjunto A en el conjunto B es una relación de dependencia entre dos magnitudes A y B, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Cuando cada una de estas magnitudes se representa con números reales, la función se dice real de variable real. Se simboliza mediante:

) ( : x f y x B A f   

Para la determinación completa de una función real de variable real es necesario conocer: 1- El conjunto inicial en el que se define la correspondencia (A).

2- El conjunto final (B).

3- La regla que permite asociar a cada número real del conjunto inicial un único valor del conjunto final.

Esta regla puede darse por medio de una fórmula matemática (expresión analítica), una gráfica, una tabla de valores, o por cualquier otro método que determine la función.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio, campo de definición de la función o campo de existencia. Se designa por Df o D(f). Está formado, por tanto, por los valores de x que tienen imagen. Para calcularlo tenemos que tener en cuenta que:

 Las fracciones con denominador nulo no tienen sentido.

 Las raíces de índice par no se pueden calcular cuando el radicando es negativo.

 Los logaritmos de números negativos o cero no existen.

En la expresión y=f(x), x recibe el nombre de variable independiente. El número y asociado por f se llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y = f(x).

Se llama recorrido de una función al conjunto de valores reales que toma la variable y; es decir, es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominio. Se representa por R(f). Ejemplo 1:

Calcula el dominio de definición de la función

f

(

x)=

1

x

2

−

5

x

.

El denominador no puede ser cero, por lo que si igualamos y resolvemos la ecuación x²-5x=0, tendremos los puntos donde no existe la función, es decir, x=0 y x=5. Entonces el dominio será

D

(

f

)=ℝ−{0,5

}

Ejemplo 2:

Indica el dominio y recorrido de estas funciones: a) f(x)= 2x-1; b) g(x)= 3x²; c) h(x)=1/x

a) Podemos multiplicar cualquier número por 2 y restarle 1, por lo que su dominio son todos los números reales. El recorrido también es todo

ℝ

.

c)

D

(

f

)=ℝ−{

0

}

, pues no se puede dividir entre cero, y recorrido

R

(

f

)=ℝ−{

0

}

, pues el resultado de esa operación puede ser cualquier número menos el cero.

2 . T A B L A D E V A L O R E S D E U N A F U N C I Ó N

En ocasiones, una función se puede describir mediante su expresión analítica. Sin embargo, hay situaciones en las que esto no es así. Entre otras, cabe destacar las siguientes:

-

La expresión analítica no existe.

-

La expresión analítica existe, pero es muy complicada, por lo que no proporciona ninguna información útil sobre el fenómeno que describe la función.

-

De entre todos los valores del dominio y el recorrido de la función, en la práctica llega con conocer sólo unos cuantos significativos.

En estas circunstancias, una función se suele expresar mediante una tabla de valores. Veamos algún ejemplo:

1.- La siguiente tabla refleja la evolución del número anual de trasplantes de hígado en España (y), en función del año (x), entre 2009 y 2013 :

x (años)

2009 2010 2011 2012 2013

y (trasplantes)

1099

971 1137 1084 1093

a) Demuestra que la tabla define una función.

b) Razona por qué se expresa en este caso la función en forma de tabla y no en forma analítica. a) A cada año le corresponde un determinado número de trasplantes y sólo uno. Luego, la

relación de dependencia que define la tabla es una función. b) Se dan dos motivos para expresar esta función en forma de tabla:

i) No existe una expresión analítica conocida que defina la función.

ii) Aunque la expresión analítica existiera, y pudiéramos conocer más valores relacionados por la función, los que recoge la tabla permiten tener una idea suficiente de la evolución del fenómeno estudiado.

3 . G R Á F I C A D E U N A F U N C I Ó N

Si f es una función real, a cada par (x,y) = (x, f(x)) determinado por la función, le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x,y) = P(x,f(x)). El valor de x debe pertenecer obviamente al dominio de la función.

La gráfica o curva de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican la ecuación y=f(x).

Al representar gráficamente una función no siempre se obtiene un trazo continuo. En estos casos debemos indicar si los puntos donde el trazo se interrumpe pertenecen o no a la gráfica.

Determinación gráfica del dominio y el recorrido:

Nos fijamos en todos los pares de números reales de la forma (x,y) representados.

- Un número real x=a es del dominio de una función sí y sólo sí la recta vertical x=a corta a la gráfica en un punto.

- Un número real y=b es del recorrido de una función sí y sólo sí la recta horizontal y=b corta a la gráfica por lo menos en un punto.

4 . C A R A C T E R Í S T I C A S D E L A S F U N C I O N E S

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Una función f es creciente en el intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x,y del intervalo, con x<y, se verifica que f(x) ≤ f(y).

Una función f se dice decreciente en el intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x,y del intervalo, con x<y, se verifica que f(x) ≥ f(y).

Observación: Si las desigualdades anteriores son estrictas, la función se dirá estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

b) Máximos y mínimos relativos:

Decimos que una función f presenta un máximo relativo en el punto a, si existe un entorno del punto tal que, para todo x <a, se verifica que f(x) < f(a). Se cumple además, que en este punto, la función pasa de creciente a decreciente. Una función f presenta un máximo absoluto en a si para todo x del dominio se verifica que f(x)<f(a).

Decimos que una función f presenta un mínimo relativo en el punto a, si existe un entorno del punto tal que, para todo x <a, se verifica que f(x) >f(a). Se cumple además, que en este punto, la función pasa de decreciente a creciente. Una función f presenta un mínimo absoluto en a si para todo x del dominio se verifica que f(x)>f(a).

máximos relativos

c) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión:

Se dice que una función f es convexa en un intervalo I, cuando la tangente a la gráfica en cualquiera de los puntos está por debajo de ella; y se dice que es cóncava, cuando la tangente a la gráfica en cualquier punto de I está por encima de ella. Una función f tiene en a un punto de inflexión, si en ese punto la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

Convexa

Cóncava

d) Simetrías:

Decimos que una función f es simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f(-x)=f(x) . Estas funciones también se denominan funciones pares. Ejemplo: _f(_x)_{ x}4_1 ; _g(x)_x2 .

Decimos que una función es simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que f(-x)= - f(x) . Estas funciones también se

denominan funciones impares. Ejemplo: ( ) _{2 1}

  x x x f _. e) Periodicidad:

Una función f es periódica de período T (T>0), si existe un número real positivo T tal que, para cualquier valor x del dominio de la función se cumple que f(x+T) = f(x) . La función de la que la gráfica es la siguiente es periódica de período T=4:

5. F U N C I O N E S P O L I N Ó M I C A S

Funciones polinómicas de primer grado o funciones afines:

En sentido estricto, una función afín es una función polinómica de primer grado, es decir, de la forma y=mx+n, y si n=0, se transforma en y=mx, en cuyo caso la función se llama lineal. Sin embargo, en el sentido amplio, se acostumbra a llamar funciones lineales a todas ellas, pues su representación gráfica es una línea recta.

La pendiente de la recta viene representada por la letra m, y n es la ordenada en el origen, que corresponde al valor que adquiere la función para x=0.

Funciones polinómicas de segundo grado o cuadráticas :

Las funciones cuadráticas vienen descritas por funciones polinómicas de segundo grado del tipo y=ax²+bx+c. Su representación gráfica es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas.

Si a >0, la parábola está abierta por arriba (convexa), y si a<0, se abre por abajo (cóncava).

Para representar gráficamente la parábola es necesario conocer:



El vértice, cuya abscisa es

x=−

_2a

b

. Para calcular la ordenada del vértice (y), se sustituye la abscisa en la ecuación de la parábola.

 Puntos de corte con los ejes: Se calculan dando los valores x=0 e y=0.



Eje de simetría: es la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice. La ecuación de la recta es

x=−

b

2a

.

6 . F U N C I Ó N D E P R O P O R C I O N A L I D A D I N V E R S A

Una función racional es aquella con una expresión analítica que viene dada por un cociente de polinomios:

f

(

x)=

P

(

x

)

Q

(

x)

En las funciones racionales es posible calcular la imagen de cualquier número real, excepto cuando este anule el denominador, ya que una fracción de denominador cero no es un número real.

Por lo tanto, su dominio es:

La función de proporcionalidad inversa es una función racional donde P(x)=k ≠ 0 y Q(x)=x. A k se le llama constante de proporcionalidad. Su dominio es el conjunto de los números reales que no anulan el denominador. Por lo tanto:

D

(

f

)=ℝ−{

0

}

.

Su recorrido es el conjunto de los números reales, excepto el cero, ya que f(x) no se anula para ningún valor de x. Por lo tanto,

R(

f

)=ℝ−{0}

7 . F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L E S

La expresión general de una función exponencial es y = kax_{, donde k y} a son números reales fijos con a>0. Todas estas funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades:

1- El dominio está formado por todos los números reales. 2- El recorrido está formado por los números reales positivos.

3- f(0) = k. Por tanto, todas estas funciones pasan por el punto P(0,k).

4- La función es continua en su dominio. 5- Si a>1, la función es creciente. 6- Si a<1, la función es decreciente.

8 . F U N C I O N E S L O G A R Í T M I C A S

Se llama función logarítmica de base a, a la función inversa de la exponencial de base a. Se representa por y = loga x, donde a>0 y a≠1.

La función logarítmica y = loga x, cumple las siguientes propiedades: 1- El dominio es el conjunto de los números reales positivos. 2- El recorrido son todos los números reales.

) 0 ( , ) (  x x k x f 0 1 2 3 4 5 -4 -2 0 2 4 6 a<1 a >1

3- Es continua en todo el dominio. 4- Si a>1 es creciente.

5- Si a<1 es decreciente.

6- Todas pasan por los puntos (1,0) y (a,1).

9 . F U N C I O N E S D E F I N I D A S A T R O Z O S

Una función definida a trozos es aquella con una expresión analítica que no es única, sino que depende del valor de la variable independiente.

Ejemplo:

1 0 . F U N C I O N E S V A L O R A B S O L U T O Y P A R T E E N T E R A

Valor absoluto de un número real a (|a|) es el mismo número a cuando es positivo o cero, y es el opuesto de a, si es negativo. Es decir:

La parte entera de un número real a (E(a)) es el mayor de los números enteros menores o iguales que a.          0 0 | | x si x x si x x y

1

3

( )

3

1

1

2

1

x

si x

f x

si

x

x

si x

 

 







_

  

 





E J E R C I C I O S

1. Escribe la expresión analítica de la función f que le asigna a cada número real cinco veces su cuadrado, disminuido en una unidad. Calcula la imagen de 2 por f (es decir, f(2)).

2. Escribe la expresión analítica correspondiente a las siguientes funciones: a) Asigna a cada número real el opuesto de su opuesto.

b) Asigna a cada número real el cubo de ese número. c) Asigna a cada número real el doble de su cubo.

3. Dada la función f(x)= , calcula: Las imágenes de -4, -1, 2 y 3.

4. Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta.

5. En la figura de la derecha se representa la función f. a) Indica su dominio y su recorrido.

b) Calcula la imagen de -1 y 3.

6. Calcula el período fundamental de las funciones:

2

2

1

1

x

x





7. Indica el dominio y el recorrido de estas funciones:

a) f(x)= 5x+2 b) f(x)=4x²-3 c) f(x)1_x

8. Determina el dominio y el recorrido de cada una de las funciones siguientes a partir de su gráfica:

9. Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) b) _{i(x) 2x}2 c) x x x l( ) 1 x x m( ) 1

10. Representa gráficamente las siguientes parábolas, calculando previamente el vértice y los puntos de corte con los ejes:

a) f(x) = x²- 4x + 6 b) g(x) = -x²- 16 c) h(x) = -x²+3x d) i(x) = ¼ x² + x -2

11. Los afectados por una inundación reciben ayudas del gobierno para arreglar sus viviendas. El baremo es de 60 €/m² para viviendas de hasta 100 m², y de 40 €/m² las de superficie mayor de 100 m². La vivienda afectada más pequeña es un apartamento de 50 m² y la más grande una casa de 200 m². Describe la función correspondiente a esta situación y represéntala gráficamente. (Sol: f(x)=        200 100 , 40 100 50 , 60 x x x x )

12. ¿Tienen puntos de corte las gráficas de f(x) = x²+2x y g(x)=2x? Contesta a la pregunta y representa las funciones para confirmar el resultado.

13. La dosis de un fármaco comienza con 10 mg y cada día debe aumentar 2 mg hasta llegar a 20 mg. Debe seguir 15 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representa la función que describe este enunciado y determina su expresión analítica. b) Di cuál es su dominio y su recorrido.

2

2

1

( )

1

x

f x

x







2 2 1 ( ) 5 6 x g x x x    

( )

²

h x



x



x

14. a) Representa la función           4 9 4 5 4 ² ) ( t se t t se t t t P _{. b) Si P(t), 0≤ t ≤7, representa el precio}

(en miles de euros) de un producto después de estar t años en el mercado, ¿cuál fue el precio máximo conseguido por el producto?, ¿en qué períodos de tiempo el precio superó los 2000 €? ( Soluc: 5000 €; En [0,1) y (3,7) )

15. Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa: a) y_x1 _b) 31 x y _c) 1 3 2    x y

16. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica su dominio y su recorrido: a) f(x) x1 b) g(x) x22x3 c) h(x)5x _{d) i}(_x)_{ x}2_4 17. Representa gráficamente la siguiente función e indica su dominio y su recorrido:

           1 x si 1 1 x 2 si 2 -x -2 x si 6 2 ) ( 2 x x f

18. El precio del metro cuadrado de baldosas depende de la cantidad que compremos, x, y viene dado por la función:

               _{   }  5 0, 04x si 0 x 30 f(x) 4,5 0, 02 x 30 si 30 x 100 3,5 0, 001 x 100 si 100 x 1000

a) Representa gráficamente la función. b) ¿Cuál será el precio si compramos 250 m2_{? c) Para} conseguir un precio inferior a 3 € /m2_{, ¿cuántos m}2_{, como mínimo, hay que comprar?}

(Sol: b) 3,35 €/m², c) 600 m² como mínimo)

19.En una reserva natural el número de gatos monteses, en miles, viene dado por la fórmula

f(x)=5−4

x , donde x representa los años transcurridos desde el momento inicial. Calcula

cuántos habrá después de 4, 50 y 100 años.

(Sol: 4000, 4920, 4960 gatos monteses respectivamente)

20.El precio de venta de un juego de ordenador viene dado por la función f(x)= -x² + 20x – 80, siendo x el número de miles de juegos que se venden. Calcula el número de juegos que hay que vender para que el precio sea de 20 €.

(Sol: 10 000 juegos)

21. Una ONG estimó que el número de personas ingresadas en los hospitales tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula:

110 ( ) 1 , (0,30) ² 10 P t t t   Î 

donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de días transcurridos desde el tsunami. a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día? b) ¿Y cuantas habrá después de tres semanas? c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2.000 camas, ¿hasta que día estuvo desbordada la capacidad?

22. Un capital de 3500 € invertido en fondos de inversión, se supone que varía según la siguiente función: C(t)= 3,5 + 0,04t -0,001t², donde t es el tiempo que dura la inversión, en meses, y C(t) es su valor en ese instante, en miles de euros. a) ¿En qué momento conviene sacar el capital para que su valor sea máximo? b) Si no se hace a su debido tiempo, ¿en qué momento lo que queda es igual al capital inicial? c) Si nos descuidamos y dejamos la inversión indefinidamente, ¿en qué momento nos quedaremos sin nada?

23. El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x²+35x+25 euros, y el precio de venta de una unidad es 50 - x/4 euros . Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden x unidades producidas. Calcula el número de unidades que se deben vender para que el beneficio sea máximo.

(Sol: 15 unidades)

24. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G(x)=2000+25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I(x)= 60x – 0,01x², también en miles de euros. ¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio sea máximo?

(Sol: 1750 televisores)

25. La compañía de servicio de aguas tiene establecida una cuota fija por suministro de 26 €/recibo, más una cantidad variable que depende del consumo a razón de 0,25 €/m³.

a) Escribe la función que nos permite obtener el importe de un recibo en función de los m³ de agua consumidos.

b) ¿Cuánto habrá que pagar por un consumo de 42 m³ de agua?

c) ¿Cuál fue el consumo si pagamos un total de 40 € en el último recibo?

d) Escribe una nueva función en la que todos los conceptos (cuota fija y consumo) se incrementan en un 21% de IVA.

26. Un concesionario de coches observa que sus ventas disminuyeron en los últimos años. Para solucionar el problema, una empresa diseñó una campaña especial de publicidad y le asegura un aumento en la venta de vehículos. Según la empresa publicitaria, el número de coches vendidos (en miles) en cada año x, viene dado por la función y = 0,5 x²-x + 1. a) Suponiendo que el año de puesta en marcha de la campaña es el año cero, calcula los

vehículos que venderá en los próximos tres años.

b) ¿A partir de qué año comienzan a recuperarse las ventas?

c) ¿Cuál fue el año de menos ventas? ¿Qué número de vehículos vendieron en ese año?

(Sol: a) 500, 1000, 2500 vehículos respec., b) a partir 1º año, c) 1 año, 500 veh.)

27. Una empresa realizó un estudio para determinar las funciones de oferta y demanda de un producto en función del precio de venta, x. La función de oferta es O(x)= x-2, y la de demanda es D(x)= -4x+18. Representa dichas funciones y calcula el punto de equilibrio.

28. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x euros una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B(x)= -x²+8x-12. a) Representa la función B(x). b) Determina el precio al que hay que vender el producto para obtener el máximo beneficio.

29. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica las propiedades de cada una de ellas: f(x)=2x+1_{, g(x)=} 2x 2 1       _{, h(x)=} 2 2 1        x

30. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica las propiedades de cada una de ellas: f(x) =log(3x-1); g(x)=ln(x²-9); h(x)=log2(x-1).

31. Representa gráficamente y calcula el dominio y el recorrido de las funciones: a) y = 3x _{b) y = 2}-x _{c) y = 2}x _{- 3}

32. Una población de insectos crece según la función (x=tiempo en

días, f(x)=número de insectos en miles). a) ¿Cuál es la población inicial? b) Calcula cuánto tarda en duplicarse.

33. La gráfica de una función exponencial del tipo y = k∙ax _{pasa por los puntos (0, 4) y (1, 8).} a) Calcula k y a.

b) Representa la función.

0,4 ( ) 1 0,5 2 x