OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2019-2020 – FACULTADE DE MATEMÁTICAS

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OFERTA DE TRABALLOS FIN DE GRAO

CURSO 2019-2020 – FACULTADE DE MATEMÁTICAS

Código AL01_20

Titor/a Ana Jeremías López Área Titor/a Álxebra

Título Clasificación de módulos sobre un dominio de Dedekind.

Breve descrición do contido

Los dominios de Dedekind son anillos con buenas propiedades que surgen como anillos de números y también como anillos de coordenadas de las curvas algebraicas regulares. Su teoría de módulos finitamente generados es similar a los dominios de ideales principales de los que son una generalización. Veremos el teorema de clasificación de estos módulos en términos de ideales fraccionarios.

Bibliografía Eisenbud,D.: Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Springer, 2004 Broue, M.: Some Topics in Algebra, Springer, 2014

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado los contenidos de la asignatura “Estructuras algebraicas”.

Código AL02_20

Titor/a Javier Barja Pérez Área Titor/a Álxebra

Título O método de decisión de Tarski para a Álxebra e a Xeometría elementais.

A xeometría desenvolta por Euclides, nos Elementos, é un modelo de como se contaron as matemáticas durante máis de dous milenios. A súa forma expositiva resultou ser en grande parte responsable do seu éxito.

Sorprende que a partires de apenas unha ducia de principios se puidesen obter tal cantidade de resultados da xeometría do plano. A discusión, o longo dos anos, de certos aspectos do corpus dos Elementos fixo aumentar o interese polo seu estudo.

É no século XIX cando se fixa o que podemos chamar versión definitiva, o que razoablemente se dá por certo do "orixinal", e tamén o momento no que xorden as "novas" xeometrías, a resultas da discusión sobre o 5º postulado. Neste marco, coincidindo coa "matematización" da lóxica aristotélica, volveuse aos Elementos cunha visión "lóxica".

En 1899, Hilbert presenta a primeira "axiomatización", diríamos semi-formal, da xeometría de Euclides e nas seguintes 3 décadas algúns dos mellores matemáticos volcaron os seus esforzos na mesma dirección que Hilbert. Pódense citar entre outros a Heyting, Birkhoff e Tarski.

Foi precisamente o lóxico Alfred Tarski, na década dos años 30 do século XX, e restrinxíndose o que el chama a xeometría elemental, quen probou a existencia dun procedemento, é dicir un algoritmo, que, aplicado a calquera fórmula da teoría formal, pode dicir, nun número finito de pasos, se é ou non é un teorema.

O que desenvolve Tarski é un sistema para a xeometría euclidiana baseada nun obxecto primitivo e dúas relacións primitivas, reducibles a só unha. O sistema é único, no sentido de que pode presentarse en lóxica de primeira orde, é dicir os axiomas non requiren cuantificación sobre “conxuntos de obxectos”. Isto permite beneficios adicionais, por exemplo : a xeometría pode programarse e xerarse cun ordenador. A orixinalidade do resultado radica en que o seu algoritmo "funciona" tamén na teoría formal da "álxebra elemental". Foi precisamente aquí onde fixo a súa especificación e, posteriormente, “trasladouno" á teoría da xeometría elemental. Probou, en 1930, que o sistema axiomático da álxebra elemental admite eliminación de

cuantificadores, resultando entón un sistema completo, decidible e que admite unha proba construtiva da súa consistencia. Ao ser decidible, toda sentencia escrita no sistema pode probarse se é ou non un teorema. O sistema de Tarski é moi simple en termos lóxicos da teoría de modelos, pero non é categórico. Os modelos da teoría de Tarski son “planos cartesianos” sobre corpos reais pechados (no sentido alxébrico). O sistema da xeometría ten 20 axiomas e un esquema de axiomas (así que hai infinitos axiomas) e non é posible suprimir o esquema de axiomas usando lóxica de predicados superior, sen perder as propiedades de completude e decidibilidade, anque nese caso tamén sería categórico coma o de Hilbert. O prezo a pagar pola simplicidade é a perda de toda posible intuición xeométrica.

O traballo involucra o estudio da lóxica formal cuantificada de primeira orde, así como o estudo das teorías matemáticas e os seus modelos e o concepto de teoría decidible.

Bibliografía Borsuk K. and Szmielew W. Foundations of geometry : euclidean and Bolyai-Lobachevskian geometry,

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projective geometry. North-Holland, Amsterdam,1960.

Feferman, A.B.; Feferman, S. Alfred Tarski: Life and Logic. Cambridge Univ. Press. Cambridge, 2004.

Greenberg, Marvin Jay. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. W. H. Freeman and Company, New York, 2008.

Hartshorne, R. Euclid and Beyond. Springer-Verlag, New York. 2000.,–Tarski, Alfred, A decision method for elementary algebra and geometry, 2th ed Berkeley-Los Angeles 1951.

Tarski, Alfred, What is elementary geometry, in Symposium on the Axiomatic Method, Studies in Logic and the Foundatioms of Mathematics. Brouwer -Beth- Heyting ed .North Holland, Amsterdam, 1959

Venema Gerard A. The foundations of geometry. 2nd ed. Pearson, New York, 2012.

Recomendacións (non

vinculantes) É convinte usar a bibliografía suxerida

Código AL03_20

Titor/a Celso Rodríguez Fernández Área Titor/a Álxebra

Título A Xeometría dos sólidos dos Elementos de Euclides (Libro XII)

O Libro XII dos Elementos de Euclides, xunto cos libros XI e XIII, adícase ó estudo da xeometría do espazo.

Neste TFG centrarémonos no Libro XII. Estudaremos o método que seguen os Elementos de Euclides no Libro I e analizaremos os resultados dos libros III, IV, V, VI e XI que se utilizarán nas demostracións do libro XII. A versión final do TFG recollerá o contido do libro XII con demostracións análogas ás da versión orixinal, pero nun linguaxe actual.

Bibliografía

[1] Euclides, Elementos (traducción de Ana Gloria Rodríguez Alonso y Celso Rodríguez Fernández), Clásicos do Pensamento Universal, Fundación BBVA, Universidade de Santiago de Compostela, 2013.

[2] Heath, Thomas L., The thirteen books of Euclid’s Elements. Second edition, Revised with adittions (3 Vols.) Dover Publications, Inc., New York, 1956.

[3] Heiberg, J.L., Euclid’s elements of geometry (edited, and provided with a modern English translation by Richard Fitzpatrick) 2007.

[4] Clark University, Los elementos de Euclides [en línea]. <http://euclides.org>.

Código AL04_20

Titor/a Leoncio Franco Fernández Área Titor/a Alxebra

Título Teorema de Krull-Akizuki

Extensiones enteras

Dominios de Dedekind. Grupo de clases

Extensiones de Dominios de Dedekind Anillos de enteros algebraicos Teorema de Krull-Akizuki

Bibliografía [[1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980

[3] Cohn PM Algebra Wiley 1989

Código AL05_20

Título Localización de anillos conmutativos

Breve descrición do contido Lema de Nakayama. Teorema de Jordan-Holder Localización

Soporte y primos asociados

Bibliografía [1] Atiyah-Macdonald Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley 1969 [2] Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge 1980

Código AL06_20

Título El teorema 90 de Hilbert general Breve descrición do contido Los grupos de Tate

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El teorema 90 de Hilbert Extensiones cíclicas finitas Extensiones abelianas

Bibliografía

[1] Lang algebra Springer 2002

[2] Neukirch Algebraic number theory Springer 1999 [3] Serre Local fields Spñringer 1979

Código AL07_20

Título Estructura de las unidades modulo m

Breve descrición do contido Estructura de las unidades modulo m. Raíces primitivas

Descripción de los retículos de subgrupos y de subcuerpos para los cuerpos ciclotomicos de órdenes 8 y 16

Bibliografía

[1] Leveque, W. J. Fundamentals of number theory, AW 1977 [2] Aparicio, E. Teoría de los números, Univ. Pais Vasco 1993

[3] Lang, Serge Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.

Código AL08_20

Titor Felipe Gago Couso Área Titor/a Álxebra

Título Desigualdades olímpicas

Calquera libro con problemas ou material de preparación para as olimpíadas matemáticas inclúe desigualdades. A idea deste traballo é facer unha presentación das desigualdades numéricas (entre elas:

medias aritmética e xeométrica, Cauchy-Schwarz, Hölder, reordenación, Chebyshev, Schur, Minkowski, e, por suposto, Jensen). Facer unha recollida de enunciados das distintas fases da Olimpíada Matemática Española e da IMO e presentar unha escolma de problemas resoltos.

Bibliografía

R. Bulajich Manfrino, J. A. Gómez Ortega, R. Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Birkhäuser Verlag, 2009.

I. Matic. Inequalities (en Olympiad Training Materials, dispoñible en https://www.imomath.com/index.php?options=257&lmm=0)

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya. Inequalities, Cambridge University Press, 2nd ed., Cambridge 1952.

Código AL09_20

Titor/a Leovigildo Alonso Tarrío Área Titor/a Álxebra

Título Teorema de los ceros de Hilbert. Tema y variaciones.

Breve descrición do contido El teorema de los ceros (Nullstellensatz) es la generalización del teorema fundamental del álgebra a sistemas de ecuaciones polinómicas en varias variables. Se trata de dar una exposición de este resultado y explorar variantes en cuerpos con propiedades interesantes como los cuerpos reales o finitos.

Bibliografía

• Eisenbud, Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Springer, 2004

• K. Goel, D. P. Patil, J. Verma, Nullstellensätze and Applications, arXiv:1809.02818

• S. R. Ghorpade, A Note on Nullstellensatz over Finite Fields, arXiv:1806.09489

Recomendacións (non vinculantes)

Haber cursado los contenidos de las asignaturas “Estructuras algebraicas” y “Ecuaciones Algebraicas”. Es de ayuda pero no imprescindible haber cursado la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL10_20

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Titor/a Javier Majadas Soto Área Titor/a Álgebra

Título Análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos

El contenido coincide esencialmente con “Bourbaki: Théories Spectrales, chapitre II” o con los primeros capítulos de “Deitmar, Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis”. El análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos es necesario, junto con un curso básico de teoría algebraica de números, para comenzar a estudiar algunos de los principales temas en teoría de números: formas automorfas, la famosa tesis de Tate, el programa Langlands (véase por ejemplo el libro Bump, Automorphic Forms and

Representations, cuyo contenido queda evidentemente fuera de este TFG).

Bibliografía Bourbaki: Théories Spectrales, chapitre II

Deitmar, Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis

Se usarán frecuentemente parte de los contenidos de las asignaturas “Topología General”, “Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas”, “Series de Fourier e Introdución a las Ecuaciones en Derivadas Parciales” y “Variable Compleja”, por lo que es importante manejar con soltura los conceptos básicos de dichas asignaturas (dado que algunos alumnos no cursan la asignatura “Variable Compleja” hasta último curso, se intentará adaptar el calendario de realización del TFG para que esto no cause demasiados inconvenientes). Asimismo, es conveniente (pero no necesario) cursar simultáneamente o haber cursado la asignatura optativa “Análisis Funcional en Espacios de Hilbert” y, en menor medida, “Álgebra, Números y Geometría”.

Código AL11_20

Titor/a Manuel Ladra González Área Titor/a Álxebra

Título Introdución de coordenadas nun plano afín

O propósito deste traballo é unir dous enfoques diferentes da xeometría afín: o enfoque alxébrico (ou analítico) da xeometría de coordenadas e o enfoque axiomático da xeometría sintética.

Para calquera anel de división R, o plano de coordenadas R^2 é un plano afín desarguesiano.

O obxectivo principal deste traballo é mostrar o contrario: que todo afín desarguesiano pode ser considerado como un R^2 ao renomear os seus puntos como pares ordenados de elementos dun anel de división R e asociar unha ecuación lineal con cada recta.

Manexaranse os seguintes temas: Axiomas do plano afín. Dilatacións e translacións. Construción do corpo.

Teorema de Desargues. Teorema de Pappus.

Bibliografía

Bibliografía:

• E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957.

• M. K. Bennett, Affine and Projective Geometry, A Wiley-Interscience publication, Inc., New York, 1995.

• R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc., New York 1967.

Código AL12_20

Titor/a Manuel Ladra González Área Titor/a Álxebra

Cotitor/a María Pilar Páez Guillán Área Cotitor/a Álxebra

Título Retículos de subgrupos

Existen moitas relacións entre a estrutura dun grupo G e a do seu retículo de subgrupos L(G). A máis básica é que os isomorfismos entre grupos inducen isomorfismos entre os seus retículos de subgrupos, pero non á inversa, en xeral. Preguntas máis complexas son se podemos determinar os retículos asociados a unha clase de grupos, ou os grupos asociados a unha clase de retículos, ou que grupos están determinados polo seu retículo de subgrupos. O obxectivo deste traballo é facer unha incursión na teoría de retículos para a

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continuación dar resposta a algunhas destas preguntas.

Bibliografía Bibliografía:

R. Schmidt, Subgroup Lattices of Groups, de Gruyter Expositions in Mathematics, 14, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1994.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursadas as materias “Estruturas alxébricas” e “Ecuacións alxébricas”.

Código AL13_20.

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves Área Titor/a Álgebra

Título Dimensión y número de ecuaciones de las variedades algebraicas afines y proyectivas.

El concepto de dimensión es el primer invariante que se asocia a una variedad algebraica. Las variedades de dimensión 0 son los puntos, las de dimensión 1 son las curvas, las de dimensión 2 las superficies, etc. En este trabajo se dará una definición topológica de la dimensión de una variedad algebraica muy natural, pero no siempre fácil de manejar, y tambien otras definiciones más manejables que exigen resultados de álgebra conmutativa y de teoría de cuerpos. En el caso de variedades algebraicas afines se probará que su dimensión topológica coincide con la dimensión de Krull de su anillo de coordenadas y con el grado de trascendencia de su cuerpo de funciones racionales.

Siguiendo el modelo de las variedades lineales, se estudiará la relación entre la dimensión de una variedad algebraica afín o proyectiva y el número de ecuaciones que la definen.

Bibliografía

Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkchäuser, Boston,1985.

Milne, J. S., A primer of Commutative Algebra, Expository Notes, 2017.

Milne J. S., Algebraic Geometry. Course Notes, 2017.

Perrin, D., Géométrie algébrique, CNRS Editions, Paris, 1995.

Se recomienda haber cursado las materias Estructuras Algebraicas y Ecuaciones Algébraicas, y estar cursando Álgebra, Números y Geometría.

Código AL14_20

Titor/a Manuel Pedreira Área Titor/a Álxebra

Título Curvas racionales normales. Geometría y ecuaciones.

Uno de los ejemplos clásicos de conjunto algebraico; es decir, de un subconjunto del espacio proyectivo P^d definido por por ecuaciones algebraicas es la llamada Curva Racional Normal de grado d en P^d . Ejemplos de tales curvas son, por supuesto la recta en el plano y la cónica no degenerada. El siguiente ejemplo en donde uno aprende mucha geometría es la cúbica racional normal o cúbica alabeada de P³.

En este trabajo se toma como motivación este último ejemplo para obtener las ecuaciones de la curva racional normal Cd en el espacio proyectivo P^d .

Comenzando con la cúbica alabeada C3 de P³, se estudia que conjuntistamente, C3 consiste en la intersecci\’on de tres cuádricas, dos de ellas conos y la tercera la cuádrica no singular del espacio ordinario.

Se estudia en detalle la propiedad de que cualesquiera dos cuádricas de estas tres se cortan en la cúbica más una recta bisecante a la curva que desaparece una vez se intersecan dichas dos cuádricas consideradas con la tercera cuádrica.

A deferencia de otro TFG propuesto en donde se estudia de manera directa la geometría de la curva racional

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normal, aquí estudiamos las ecuaciones ilustrando así los conceptos de anillo, ideal y módulo que el alumno ha estudiado en el curso de Estructuras Algebraicas. Pero no olvidamos la geometría que existe detrás de tales objetos algebraicos.

Así, por ejemplo, estudiamos que toda recta bisecante a la cúbica alabeada aparece como una recta residual en dos cuádricas que contienen a la cúbica, lo cual es un argumento geométrico de que en el ideal de las ecuaciones de la cúbica, el subespacio correspondiente a las ecuaciones cuadráticas, nunca puede ser generado por menos de tres cuádricas. En relación con esto y como ilustración de que la cúbica alabeada no es la intersección completa de dos superficies estudiamos un ejemplo de cómo dicha cúbica es la intersección contada dos veces de una superficie cuádrica y una superficie cubica. Este ejemplo introduce de manera natural los conceptos de intersección completa teórico-conjuntista e intersección completa en el sentido algebraico. Tales conceptos son de vigencia actual por cuanto que todavía es desconocido si una curva en P³ es incluso una intersección completa conjuntista. Dicho problema fue estudiado durante muchos años por Robin Hartshorne y sus discípulos sin llegar a obtener una respuesta afirmativa.

Una parte interesante del trabajo detalla la generalización de las ecuaciones de la cúbica alabeada al caso de una curva racional normal. Se proporciona un sistema de ecuaciones cuadráticas que resultan ser los determinantes de menores de orden dos de una cierta matriz de coordenadas en P^d . Esto nos proporciona que la curva racional normal está definida por ecuaciones homogéneas que se corresponden con ecuaciones definidas por determinantes. Tales conjuntos algebraicos así definidos y llamados conjuntos o variedades determinantales, fueron estudiados por Corrado Segre, por Castelnuovo y ya contemporáneamente y usando métodos de álgebra conmutativa por David Mumford.

Un resultado ya importante dentro del estudio de las ecuaciones de un conjunto algebraico es encontrar un sistema de generadores del ideal de sus ecuaciones. En este sentido, la herramienta fundamental es el método llamado de las bases de Gröbner. Estudiar en detalle este método sería objeto de otro TFG, pero aquí se da una motivación del método probando directamente que , efectivamente el ideal de ecuaciones de la cúbica alabeada está generado por las tres cuádricas cuya intersección conjuntista proporciona la cúbica.

Con el material que se tiene es posible encontrar una presentación libre del anillo de coordenadas de la cúbica alabeada. Esto ilustra los conceptos de módulo libre, sizigias (relaciones entre los generadores de un módulo no libre) y presentación libre de un módulo que el alumno conoce de la asignatura de estructuras algebraicas.

Tiene su interés porque mediante el cálculo de estas presentaciones libres, en el año 1996 Michelle Deschamps, bajo la dirección de Christiann Peskine, proporcionó una clasificación de curvas del espacio proyectivo que re-obtenía mediante métodos algebraicos los resultados obtenidos independientemente por Halphen y Noether sobre la clasificación de curvas espaciales y que les valió a ambos el premio Steiner del año 1882. Ambos trabajos tenían ciertas lagunas descubiertas por Robin Hartshorne que en su momento Christian Peskine y su colega Christian Ellingsrud resolvieron.

Este TFG motiva tanto el estudio de la Geometría Algebraica como del Álgebra Conmutativa, y está orientado para comprender al máximo los conceptos de Estructuras Algebraicas estudiados en el Grado relacionándolos con la Geometría de Variedades Algebraicas que los motivaron en su momento.

Bibliografía

Facilitaré material de mi libro:

Pedreira, M. Rational Varieties, Veronese Varieties and other Classical Varieties. Unpublished book. 2000.

Otro tipo de bibliografía tan concreta y contextualizada, a mi conocimiento no existe, y me llevó varios años y varias redacciones delimitar todo este material. La mayoría de dicho material es conocido con un cierto detalle a mis antigüos alumnos de las materias del anterior plan de estudios, Curvas Algebraicas e Introducción a la Geometría Algebraica.

Código AL15_20

Título Curvas Racionales normales. Geometría y proyecciones

Uno de los ejemplos clásicos de conjunto algebraico; es decir, de un subconjunto del espacio proyectivo P^d definido por por ecuaciones algebraicas es la llamada Curva Racional Normal de grado d en P^d . Ejemplos de tales curvas son, por supuesto la recta en el plano y la cónica no degenerada. El siguiente ejemplo en donde uno aprende mucha geometría es la cúbica racional normal o cúbica alabeada de P³.

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En este trabajo se toma como motivación este último ejemplo para obtener resultados generales de la curva racional normal Cd en el espacio proyectivo P^d . Entre tales resultados se estudia preferentemente su geometría, dejando el estudio de sus ecuaciones para un segundo TFG complementario a éste, así como la relación ntrínseca existente entre ambas.

En este estudio geométrico destaca el estudio de propiedades como la determinación de la curva racional normal por cualesquiera de sus d+3 puntos, o por d+3 puntos cualesquiera en P^d que están en posición general; es decir, tales que cualesquiera d+1 entre ellos son puntos linealmente independientes. Como un caso particular de esta situación se obtiene la generación proyectiva de la cónica lisa debida a Poncelet.

En la parte más descriptiva geométrica del trabajo se estudian las posibles proyecciones de la cúbica alabeada al plano proyectivo que, salvo proyectividad, son dos: o bien la cúbica nodal, o bien la cúbica cuspidal. También se estudian proyecciones de la cuártica racional normal C4 en P⁴, de entre ellas se detalla su proyección doble a una cónica lisa plana y se generaliza este proceso a una curva racional normal Cd en P^d,

Finalmente se estudia cómo producir singularidades de curvas racionales planas y en concreto un tacnodo. Se entiende por un tacnodo un punto singular de una curva plana para el que localmente la ecuación de la curva es de la forma f(x,y)= y²-x⁴+...

Bibliografía

Bertini, E. Geometria Proiettiva degli Iperspazi. Enrico Spoerri, Pisa, 1907;

Capítulo 12 dedicado a la Curva Racional Normal. En realidad el capítulo ha sido revisado por mí en mi libro no publicado:

Pedreira, M. Rational Varieties, Veronese Varieties and other Classical Varieties. Unpublished book. 2000

Código AL16_20

Cotitor/a Daniel Baldomir Área Cotitor/a Electromagnetismo

Título Grassmannia de rectas del espacio proyectivo P3. La correspondencia de Klein. Interpretaciones fisico- matemáticas

Este TFG está orientado a un alumno cursando el doble grado de Físicas y Matemáticas. De hecho, si bien la normativa exige que el trabajo salga a oferta pública, me fue demandado por un estudiante de ese grado.

El trabajo consiste en introducir los primeros conceptos de Geometría Algebraica que fueron utilizados por Roger Penrose para extender la Teoría de la Relatividad de Einstein, que como es sabido fue reformulada matemáticamente por el profesor Minkowski introduciendo una métrica en el espacio de 4 dimensiones donde el tiempo juega un papel igual que el espacio; es decir, el espacio-tiempo que actualmente siempre se usa en la Relatividad (Especial o General). En los comienzos de la Física Matemática ya quedó claro que trabajar sobre los números reales es un error, no hay garantía de solución de ecuaciones, sean o no algebraicas por cuanto que incluso el teorema de Picard-Simart garantizando la existencia de las soluciones de un sistema de ecuaciónes en derivadas parciales hace uso explícito de que tal solución es una función polinómica a trozos.

La similitud con que cualquier función es conocida localmente usando su desarrollo de Taylor es un hecho evidente que se puede trasladar a una situación global. Esa es la grandeza del Teorema de Picard-Simart.

Por tanto, trabajar sobre los números complejos es una necesidad y en particular el espacio de Minkowski R³⁺¹ (+1,+1,+1,-1) debe ser modificado en dos sentidos: por una parte uno debe complexificar pasando a C⁴ ; y por otra parte, desde el punto de vista físico necesitamos una teoría de medida que solo es posible si el espacio es compacto, por lo cual debemos compactificar.

La complexificación y compactificación del espacio original de Minkowski R³⁺¹ (+1,+1,+1,-1), resulta ser una hipercuádrica no degenerada o lisa del espacio proyectivo P⁵ y ésta no es otra que la imagen de la Grassmanniana de rectas del espacio proyectivo P³ mediante la inmersión de Grassmann.

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Existe una referencia para estudiar este lenguaje matemático junto con la teoría de Fibrados y sus clases características desde un contexto físico-matemático. Y es la Parte I, Geometría, del excelente libro de Ward &

Wells titulado Twistor Geometry and Field Theory. PERO, por experiencia propia, ya solo la parte dedicada a la correspondencia de Klein resulta pesada y demasiado telegráfica.

Dado que la normativa actual requiere a un estudiante del doble grado de Físicas y Matemáticas realizar independientemente sendos TFG’s en ambas especialidades, creemos que es una buena oportunidad el re- escribir detalladamente, y priorizando el aspecto puramente geométrico de la correspondencia de Klein, el contenido de este capítulo; visualizando geométricamente las dos familias de planos que contiene la hipercuádrica lisa, en un análogo a las dos familias de rectas que contiene la cuádrica lisa del espacio proyectivo ordinario. Estos planos son los que Roger Penrose llamó alfa-planos y beta-planos y la restricción de un fibrado definido sobre la hipercuádrica a estas familias de planos da lugar a la primera idea que tuvo Roger Penrose sobre lo que debería representar matemáticamente un Twistor o un Spinor.

El trabajo se centra pues en introducir comprensivamente los objetos geométricos protagonistas de la Geometría Twistor: La cuádrica lisa Q⁴de P⁵ y estudiar cómo pasa el espacio de Minkowski real R³⁺¹ (+1,+1,+1,-1) dentro de esta cuádrica y las ventajas de este proceso. Una de ellas, y seguramente la más importante, la construcción formal pero muy geométrica del Espacio de Twistors y el estudio de la llamada correspondencia de Klein.

Todo este lenguaje geométrico soporta y sirve de referencia para comprender, a posteriori, cuestiones tan difíciles y necesarias como:

1.- El desarrolo de la Teoría Cuántica de Campos y la Gravitación Cuántica con amplitudes de scattering no usuales.

2.- La teoría clásica de Campos. En particular las ecuaciones de Maxwell de la Electrodinámica que aparecen como la representación abeliana de las más generales de Yang-Mills. Aunque fundamentalmente son importantes para campos bosónicos no masivos de interación como QED y Gravitación .

3.- La teoría de la relatividad de Einstein queda perfectamente explicada y generalizada en este contexto más extenso. La correspondencia de Klein no es sino un análogo geométrico de la Transformada de Fourier y aquí se visualiza la teoría geométrica de ecuaciones diferenciales que para los físicos es tan necesaria.

4.- Como no cabría esperar, al mencionar a Felix Klein en todo esto, y similarmente a la frase de Arthur Cayley de que la Geometría Proyectiva es toda la Geometría, también la geometría de la cuádrica de Klein es el soporte geométrico de buena parte de las teorías de la física usando el concepto de geometría debido a Klein.

Esto se sale ya propiamente de lo que es un trabajo de Fín de grado, pero todo depende de la motivación y el ansia de conocimiento del estudiante. En todo caso sugiere al estudiante el camino para una formación matemática que le permita abordar temas de actualidad en la Física-Matemática y que requieren ideas nuevas desde hace ya varios años

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA DE REFERENCIA:

1.- R. S. WARD &. RAYMOND O. WELLS: Twistor Geometry and Field Theory Cambridge University Press, 1990

2.- Lectures on Twistor Theory.

https://arxiv.org/pdf/1712.02196.pdf

Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente:

• Posible conexión con liñas de coñecemento ou conceptos.

• Posibles titores/as, se o considera pertinente.

A proposta é axeitada para ser complementada con algunha proposta do TFG do Grao en Física.

Como dedúcese da redacción previa, iste traballo ten diferentes conexións con liñas de coñecemento do eido da Física, e xa mencionadas na proposta; tanto en Electromagnetísmo como en Física de partículas.

En conversa previa á redacción dista proposta con Daniel Baldomir, hai disposición por parte de Daniel Baldomir ou ben do profesor Victor Pardo Castro, do seu equipo de investigación, para presentar unha proposta complementaria ó traballo eiquí presentado. De feito a segunda referencia bibliográfica vái máis vencellada a dita proposta complementaria.

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Código AL17_20

Titor/a M. Purificación López López Área Titor/a Álxebra

Título Sobre álgebras de tipo finito sobre un cuerpo

Los anillos con condiciones de finitud tienen propiedades relevantes. Entre elllos se encuentran los anillos noetherianos que son una generalización natural de los dominios de ideales principales.

Este trabajo pretende hacer una introducción a algunas propiedades de los anillos noetherianos conmutativos y en particular a uno de sus ejemplos mas relevantes, por su importancia en geometría algebráica, que es el de las álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo.

Código AL18_20

Titor/a Antonio García Rodicio Área Titor/a Álxebra

Título Números primos en progresiones aritméticas

Breve descrición do contido Estudio de la función zeta de Riemann y de las funciones L de Dirichlet, y aplicación a la demostración de que en toda progresión aritmética an+b con a y b primos entre sí, hay infinitos números primos.

Bibliografía A. Karatsuba, “Basic analytic number theory”, K. Chandrasekharan, “Introduction to Analytic Number Theory”, H. Davenport, “Multiplicative Number Theory”.

Recomendacións

(non vinculantes) Haber cursado la asignatura de análisis complejo y la de estructuras algebraicas.

Código AL19_20

Titor/a Rosa Mª Fernández Rodríguez Área Titor/a Álxebra

Título A categoría de módulos sobre un anel

Breve descrición do contido Introdución das nocións fundamentais da teoría de categorías centrándose na categoría de módulos sobre un anel. Con especial énfase nas categorías abelianas das que a de módulos vai ser un exemplo.

Bibliografía

Anderson, F. W. e Kent R. Fuller. Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag, New York 1974.

Herrlich, H. e G. E. Strecker. Category Theory. Second Edition. Heldermann, Berlin,1979.

Hilton, P. J. e Stammbach, U. A. A course in homological algebra. Second Edition. Springer-Verlag, New York, 1997.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursada a materia de Estruturas Alxébricas.

Código AL20_20

Titor/a José Manuel Fernández Vilaboa Área Titor/a ÁLXEBRA

Título Aneis primitivos e o teorema de densidade de Jacobson.

Trátase de introducir a teoría de aneis primitivos e de estudar a estrutura de estes aneis que serán caracterizados mediante o teorema de densidade de Jacobson. Ademais este teorema utilizarase para dar unha proba do teorema de estrutura para aneis artinianos simples.

Bibliografía Farb, B.; Dennis, R.K. Noncommutative Algebra, Springer- Verlag (1993).

T.Y. Lam. A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag (1991)

Código AL21_20 Nova oferta 10/10/2019 Area de Coñecemento Álgebra

Titor/a María Jesús Vale Gonsalves

Título Una introducción a la cohomología de grupos.

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Breve descrición do contido

El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de cohomología de un grupo G con coeficientes en un G-módulo. Se dará una interpretación de estos grupos para n=0,1,2, se estudiarán los módulos coinducidos y se probarán los teoremas de reducción. Se aplicarán estos resultados para obtener algunos teoremas clásicos de la teoría de grupos.

Se deberán introducir previamente los conceptos de categoría, funtor, transformación natural y el funtor Hom en la categoría de módulos, así como los módulos proyectivos y los módulos inyectivos.

También se deben estudiar algunas propiedades de los funtores derivados Recomendacións (non

vinculantes) Se recomienda haber cursado las asignaturas Ecuaciones Algebraicas y Estructuras Algebraicas.

Código AN01_20

Titor/a Lucía López Somoza Área Titor/a Análise Matemática

Título Unha introdución ás ecuacións en diferenzas

As ecuacións en diferenzas resultan de gran interese, non só como ferramenta para a aproximación das solucións de ecuacións diferenciais, senón tamén porque aparecen de forma natural en diversos fenómenos económicos ou biolóxicos, entre outros.

Neste traballo introducirase o concepto de ecuación en diferenzas, para estudar posteriormente os resultados que garanten a existencia de solución, así como os métodos explícitos de resolución en certos casos.

Comprobarase deste xeito a clara analoxía existente entre este tipo de ecuacións e as ecuacións diferenciais ordinarias.

Bibliografía W. G. Kelley, A. C. Peterson, Difference Equations, Academic Press, 2001.

Ter cursadas as materias de Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias e Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Código AN02_20

Titor/a Lucía López Somoza Área Titor/a Análise Matemática

Título Teoría do grao: introdución e aplicacións

Son numerosos os problemas da Análise Matemática que se poden reducir ao estudo da existencia de solución dunha ecuación do tipo f(x)=p nun determinado espazo. Neste aspecto, a teoría do grao resulta ser unha ferramenta de gran utilidade. En esencia, o grao asigna a unha determinada función, f, un número enteiro, deg(f), que dá información acerca do número de ceros que dita aplicación ten.

Neste traballo comezaremos desenvolvendo esta teoría en Rⁿ, introducindo o que se coñece como Grao de Brouwer, para pasar posteriormente a espazos máis abstractos de dimensión infinita, chegando finalmente ao Grao de Leray-Schauder.

Bibliografía S. Kesavan, Nonlinear Functional Analysis. A First Course, Hindustan Book Agency, 2004 N. G. Lloyd, Degree Theory, Cambridge University Press, 1978

Código AN03_20

Titor/a Alberto Cabada Fernández Área Titor/a Análise Matemática

Título Minimización de funcionais por medio do cálculo de variacións.

Neste traballo farase unha introdución á teoría do cálculo de variacións. Partindo de exemplos clásicos, chegaremos ó problema da minimización de funcionais e, como consecuencia, ás ecuacións de Euler- Lagrange.

Presentaranse exemplos físicos e xeométricos nos que se aplique esta teoría.

Bibliografía K. C. Chang. Lecture Notes on Calculus of Variations. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2017.

M. Kot. A First Course in the Calculus of Variations. American Mathematical Society, 2014.

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M. Krasnov, G. Makarenko, A. Kiseliov. Cálculo Variacional - Ejemplos y Problemas. Editorial MIR, 1992.

Recomendacións

(non vinculantes) É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso.

Código AN04_20

Titor/a Alberto Cabada Fernández Área Titor/a Análise Matemática

Título Disconxugación na Teoría de Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Neste traballo farase unha introdución á teoría da disconxugación, relacionada coa oscilación máxima das solucións dunha determinada EDO linear e homoxénea no seu intervalo de definición.

Veremos como caracterizar esta propiedade de forma directa sen máis que estudar o espectro da EDO estudada, probándose ademais, a partir dela, o signo constante de solucións de problemas non homoxéneos.

Presentaranse exemplos concretos, nos que se estudien os intervalos de disconxugación de determinadas EDOs.

Bibliografía W. A. Coppel, Disconjugacy. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1971.

Recomendacións

(non vinculantes) É recomendable ter un bo dominio das materias de Ecuacións Diferenciais de segundo e terceiro curso.

Ten relación coas liñas de modelización matemática e ecuacións diferenciais. As dúas teñen unha gran influencia no estudo dos procesos físicos.

Código AN05_20

Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo Area Titor/a Análisis Matemático

Título Fundamentos matemáticos de la computación cuántica

Breve descrición do contido La computación cuántica es una ciencia que aúna áreas tan diversas como las matemáticas, la ingeniería, la física, la criptografía o la filosofía. En este trabajo se pretende aportar las nociones matemáticas básicas que están tras el funcionamiento de la computación cuántica y sus algoritmos.

Código AN06_20 Modificado con data de 10/10/2019 Titor/a Fernando Adrián Fernández Tojo

Area Titor/a Análisis Matemático

Título Fractales: la interacción entre distancia y medida

Los fractales son figuras geométricas que desafían la intuición por sus propiedades especiales, en particular el hecho de que su dimensión puede no ser un número natural. En este trabajo estudiaremos las propiedades básicas de los fractales, su construcción y su relación con otros elementos de las matemáticas, en especial su relación con la teoría de la medida.

Bibliografía

Falconer, K. J. The geometry of fractal sets, 1985.

Falconer, K. J. Fractal geometry, 1990.

Munroe, M. E. Measure and Integration, 1968.

Pesin, Y. B. Dimension Theory in dynamical systems,1997.

Los fractales tienen aplicaciones a diversas áreas de la física, incluyendo la astronomía, la cristalografía, la química, la mecánica de fluidos o los medios porosos.

Feder, J. Fractals, 1988.

Heck, A., Perdang, J. M. Applying Fractals in Astronomy, 1991.

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Lam, L. Nonlinear physics for beginners: fractals, chaos, solitons, pattern formation, cellular automata, complex systems, 1998.

Código AN07_20

Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández Área Titor/a Análise Matemática

Título A Integral de Bochner

Trátase de xeneralizar os conceptos de función medible, integrable, teoremas de paso ó límite baixo o signo integral, etc., vistos na materia de Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue ó caso no que a función tome valores nun espazo de Banach. Esta clase de integral é fundamental para o análise matemático de certas ecuacións en derivadas parciais como a ecuación do calor, as ecuacións de Navier-Stokes, etc.

Bibliografía Sección 5 do capítulo 5 do libro Functional Analysis de Yosida e o capítulo 3 do libro Functional Analysis and Semigroups de Hille. Pode ser tamén intersante a lectura do apéndice do libro Operateurs Maximaux Monotones de Brézis.

Código AN08_20

Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández Área Titor/a Análise Matemática

Título Exemplos notables en Teoría da Medida e integración de Lebesgue

Breve descrición do contido Trátase de ampliar a colección de exemplos notables relacionados coa Teoría da Medida e Integración de Lebesgue que se viron na materia de Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue.

Bibliografía Recoméndase a lectura do capítulo 8 do libro Counterexamples in Analysis de Gelbaum e, en xeral, o libro The Elements of Integration and Lebesgue Measure de Bartle. Entre outros.

Código AN09_20

Titor/a Rosa María Trinchet Soria Área Titor/a Análise Matemática

Título Algunhas rarezas en forma de función

Segundo a idea de certos obxectos matemáticos vai evolucionando, isto supón, polo xeral, mudanzas na colección constituída polos obxectos en cuestión. O concepto de función non é unha excepción a isto e a súa evolución provocou, en distintos momentos, a irrupción de funcións consideradas patolóxicas, por posuír propiedades que atentaban contra a intuición.

O obxecto deste traballo é proporcionar, no campo da Análise e no ámbito das funcións reais de variable real, unha pequena mostra destas funcións (entre as que poderían ter cabida: funcións continuas diferenciables en ningures, funcións singulares, funcións indefinidamente diferenciables e non analíticas, etc.)

Código AN10_20

Titor/a Rosana Rodríguez López Área Titor/a Análise Matemática

Título O Teorema de Cauchy-Peano en espazos de Banach

O Teorema de Cauchy-Peano é un resultado esencial na teoría das ecuacións diferenciais ordinarias, garantindo a existencia de solucións para o problema de valor inicial. Sen embargo, a súa demostración en dimensión finita descansa sobre a compacidade local dos espazos euclidianos.

Neste traballo, estudaranse as condicións que permiten estender este teorema de existencia de solución ao problema de valor inicial para ecuacións diferenciais en espazos de Banach de dimensión infinita, proporcionando a demostración do correspondente resultado.

Bibliografía

A. Ambrosetti (1967). Un teorema di esistenza per le equazione differenziali negli spazi di Banach, Rend. Sem Mat. Padova 39, 349-361.

C. Corduneanu (1957). Equazione differenziali negli spazi de Banach. Teoremi di esistenza e prolongabilita, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. XXIII, 226-230.

A.N. Godunov (1974). Peano’s Theorem in Banach spaces, Funkcional. Anal. i Priložen. 9, 59–60.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursadas as materias:

Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais

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Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Código AN11_20

Titor/a Rosa María Trinchet Soria Área Titor/a Análise Matemática

Título O Teorema da aplicación de Riemann

Dende o punto de vista xeométrico, unha función complexa de variable complexa é unha transformación do plano en si mesmo, que se pode considerar definida por dúas aplicacións reais de dúas variables reais. Neste contexto, interesa saber, en particular, de que xeito se transforman certas liñas e as rexións delimitadas por elas.

Tanto dende o punto de vista teórico, como nas numerosas aplicacións a distintos campos (Enxeñería, Hidrodinámica, Teoría do potencial…) son de especial interese os isomorfismos analíticos dun aberto no seu aberto imaxe, tamén coñecidos como equivalencias conformes.

O principal problema da representación conforme consiste en decidir se dous abertos dados son conformemente equivalentes e, de ser o caso, coñecer as equivalencias conformes entre eles. O feito máis salientable na historia das aplicacións conformes foi o anuncio de Riemann (1851) dun importante resultado que, na actualidade, coñecemos como o Teorema da aplicación de Riemann e formulamos do seguinte xeito (entre outros):

“Todo dominio simplemente conexo, distinto de C, é conformemente equivalente ó disco unidade”.

O presente traballo adícase a dar una proba deste importante resultado.

Código AN12_20

Área Titor/a Análise Matemática

Título As Funcións de Bessel e a Función Gamma Titor/a Juan José Nieto Roig

Estudar a orixe das funcións de Bessel e da función Gamma. Concepto de función de Bessel e da función gamma. Propiedades elementais. Ecuación diferencial de Bessel. Por último se verán algunhas aplicacións de ditas funcións á algúns problemas físicos

Código AN13_20

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Teorema de Stone–Weierstrass Titor/a Juan José Nieto Roig

Es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Se detallará la

demostración de este resultado conocido como Teorema de Weierstrass. Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone–Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico.

Código AN14_20

Titor/a Rosana Rodríguez López Área Titor/a Análise Matemática

Cotitor/a Daniel Cao Labora Área de Coñecemento do/a

Cotitor/a Análise Matemática

Título O Teorema de Poincaré-Miranda

O teorema dos valores intermedios, un resultado de capital importancia na Análise Matemática, establece que unha función continua nun intervalo compacto acada todos os valores comprendidos entre aqueles que toma nos seus extremos. Como consecuencia deste resultado, dedúcese o Teorema de Bolzano, así como outras relevantes propiedades das funcións continuas definidas en intervalos.

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O Teorema de Poincaré-Miranda constitúe unha xeneralización de grande interese ao caso

multidimensional, establecendo unha condición suficiente para que unha función continua do cubo [-1,1]^n con valores en R^n se anule nalgún punto, condición que se establece en termos dos signos das compoñentes da función en certas caras contrapostas do cubo.

O presente traballo está centrado no estudo dunha demostración do mencionado resultado, podendo tamén analizar certas extensións e estudar algunhas das súas posibles aplicacións.

Bibliografía

Kulpa, Wladyslaw (1997) "The Poincare-Miranda Theorem", The American Mathematical Monthly, 104 (6):

545–550.

Miranda, Carlo (1940), "Un'osservazione su un teorema di Brouwer", Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie 2, 3: 5-7.

Ter cursadas as materias:

Continuidade e Derivabilidade de Funcións dunha Variable Real Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais

Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

O resultado pode ser empregado para estudar as propiedades das solucións de ecuacións diferenciais que modelen fenómenos físicos.

Código AN15_20

Titor/a Rodrigo López Pouso Área Titor/a Análise Matemática

Cotitor/a Ignacio Márquez Albés Área de Coñecemento do/a

Título Introducción a las integrales de Stieltjes

Motivación de la integración con respecto a una función.

Integral de Riemann-Stieltjes y sus limitaciones.

Medida e integral de Lebesgue-Stieltjes.

Aplicaciones.

Bibliografía T. Apostol, Análisis Matemático. Editorial Reverté, 1996.

M. Carter y B. Van Brunt, The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction, Springer-Verlag, 2000.

Código AN16_20 – Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Jorge Rodríguez López

Área Titor/a Análise Matemática

Título Introdución á análise multivaluada e ás inclusións diferenciais

Fundamentación dos conceptos básicos da análise de funcións que toman valores conxuntistas: continuidade superior e inferior, existencia de seleccións medibles, integrabilidade.

Modelos matemáticos en termos de inclusións diferenciais. Existencia de solucións mediante teoremas de punto fixo de operadores abstractos multivaluados. Aplicacións as ecuacións diferenciais discontinuas.

Bibliografía J. P. Aubin e A. Cellina, Differential inclusions, Springer, 1984.

Código AN17_20 Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Jorge Losada Rodríguez

Área Titor/a Área de Análise Matemática

Cotitor/a Pedro Tradacete Pérez (ICMAT, Madrid) Área de Cotitor/a Análise Matemática

Título O Teorema de Lomonosov

Breve descrición do contido O obxectivo fundamental deste traballo é que o estudante se familiarice con certas ferramentas e resultados

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da Teoría de Operadores. Para elo, marcaremos como meta final o Teorema de Lomonosov (probado no ano 1973), que afirma a existencia dun subespazo invariante non trivial para todo operador non escalar que conmuta cun operador compacto non nulo.

En espazos de Hilbert, a existencia de subespazos invariantes non trivias para un operador T arbitrario é unha cuestión aínda aberta na actualidade (xuño 2019), feito este que xustifica a importancia do Teorema de Lomonosov.

Esencialmente, o traballo consistirá en entender, coñecer e presentar:

1. os resultados elementais de análise funcional que serán empregados;

2. algunhas propiedades específicas dos operadores compactos en espazos de Hilbert;

3. a proba do Teorema de Lomonosov empregando un teorema de punto fixo.

Este traballo podería ser de proveito para estudantes con especial interese ou gusto polas materias da área de análise matemática.

Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursadas as materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue e Topoloxía Xeral. Empregaranse contidos propios da materia Análise funcional en espazos de Hilbert.

Código AN18_20

Titor/a Jorge Losada Rodríguez Área Titor/a Área de Análise Matemática

Cotitor/a Venktesh

Área Cotitor/a Área de Análise Matemática Título Clases de Schatten-von Neumann

O obxectivo fundamental deste traballo é que o estudante coñeza a teoría básica das clases de Schatten-von Neumann. Así pois, se H é un espazo de Hilbert dado, para cada p entre 1 e infinito, estudaremos o espazo S_p(H) formado por todos os operadores compactos T cuxa sucesión de números singulares (é dicir, autovalores de |T|) pertence ao espazo de sucesións l^p.

Esencialmente, o traballo consistirá en entender, coñecer e presentar:

4. os resultados elementais de análise funcional que serán empregados;

5. a teoría básica sobre as clases S_p(H), con especial inetrese nos casos p=2 (operadores de Hilbert- Schmidt) e p=1 (operadores traza);

6. algunha aplicación dos resultados anteriores.

Este traballo podería ser de proveito para estudantes con especial interese ou gusto polas materias da área de análise matemática.

Bibliografía K. Zhu, Operator theory in function spaces, American Mathematical Society 2007. (Cap.1) Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursadas as materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue e Topoloxía Xeral. Empregaranse contidos propios da materia Análise funcional en espazos de Hilbert.

Código AN19_20

Titor/a M. Victoria Otero Espinar Área Titor/a Área de Análise Matemática

Cotitor/a Érika Diz Pita

Área Cotitor/a Área de Análise Matemática

Título Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son una herramienta fundamental en la modelización de multitud de problemas, pero muchas veces son difíciles o imposibles de resolver, por lo que es importante disponer de otras herramientas que nos permitan obtener información sobre el comportamiento de los sistemas.

En este trabajo se abordará el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano, especialmente de sistemas polinomiales, mediante el uso de técnicas cualitativas que permitan comprender el sistema.

El objetivo principal será el estudio del comportamiento de las órbitas en entornos de las singularidades.

Se ampliarán los conceptos conocidos de la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, se estudiarán y presentarán los resultados relativos a las singularidades elementales y se introducirán las técnicas adecuadas para las no elementales.

Los resultados teóricos trabajados serán aplicadas posteriormente sobre modelos de la física.

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Bibliografía

F. Dumortier, J.Llibre, J.C. Artés, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, UniversiText, Springer- Verlag, New York, 2006.

- M. J. Álvarez, A. Ferragut, X. Jarque, A survey on the blow up technique, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 21, No. 11 (2011) 3103–3118.

Este TFG proponse para poder ser realizado tamén polo alumnado do Dobre Grao en Matemáticas e Física. En tal caso, esta proposta realizaríase en coordinación co Prof. Alberto Pérez Muñuzuri e complementa o TFG do Grao de Física “Estudio de la nolinearidad mínima para la aparición de la inestabilidad de Turing” (ver adxunto)

Código AN20_20 Nova oferta do 10/10/2019 Titor/a Francisco Javier Fernández Fernández Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Título Os espazos W^{k,1}(I)

Breve descrición do contido Trátase de describir os espazos W^{k,1}(I), as súas propiedades máis importantes e caracterizacións equivalentes dos mesmos. Ditos espazos son relevantes no estudio das ecuacións diferenciais ordinarias e en derivadas parciais.

Bibliografía Recoméndase a lectura do libro “Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations” de Haim Brezis.

Código AN21_20 Nova oferta 10/10/2019 Titor/a Rodrigo López Pouso

Área de Coñecemento do/a

Titor/a Análise Matemática Área de Coñecemento do/a

Título Aproximación de solucións de ecuacións diferenciais con iterantes de Picard

O teorema de Picard asegura a posibilidade de aproximar a solución dun sistema de EDOs mediante os chamados iterantes de Picard cando a parte non linear é continua e satisface unha condición de Lipschitz con respecto á variable dependente. Que ocorre coa sucesión de iterantes de Picard noutros casos? Constitúen unha ferramenta válida para aproximar as solucións?

O traballo consiste en describir a demostración do teorema de Picard baseada no teorema da aplicación contractiva e analizar o comportamento dos iterantes de Picard en casos nos que as hipóteses do teorema non se cumplan. A parte teórica complementarase coa implementación do método de Picard no ordenador empregando algún software matemático.

Bibliografía E.E. Codington e N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill, reimp. 2018

Código AST01_20

Titor/a José Ángel Docobo Durántez Área Titor/a Astronomía e Astrofísica

Título O problema de tres corpos

O problema de tres corpos é un caso particular do xeral de N corpos, pero que ten importantes aplicacións en Astronomía, por exemplo no movemento da Lúa en torno á Terra e perturbado polo Sol, o denominado Problema estelar de tres corpos, mesmo o movemento dun exoplaneta en torno a unha compoñente dunha estrela dobre. Neste último caso, pódese utilizar tamén a aproximación do Problema restrinxido de tres corpos.

Teránse en conta así mesmo as solucións exactas en escenarios concretos.

No traballo trátase de expoñer o problema, establecer as ecuacións newtonianas do movemento, deducir as integrais clásicas e logo abordar diferentes casos que se correspondan con situacións reais.

Bibliografía Bilblioteca do Observatorio Astronómico Ramón María Aller e das Facultades de Matemáticas e Física.

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Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía (alumnado de Matemáticas) Coa finalidade de coordinar, polo menos de xeito parcial, a oferta dos TFG coa da Facultade de Física e permitir aos estudantes de Dobre Grao en Matemáticas e Física a escolla de TFGs relacionados entre si de acordo cos regulamentos dos respectivos centros (12 ECTS no Grao en Matemáticas e 6 ECTS no Grao en Física), solicitamos que nos fagan saber se esta proposta de TFG é axeitada para ser complementada con algunha proposta de TFG do Grao en Física. Nese caso, indique brevemente:

O presente TFG pode ser elixido por alumnado de dobre Grao en Matemáticas e Física

Titor/a Josefina F. Ling Área Titor/a Astronomía e Astrofísica

Título Calendarios astronómicos

A humanidade necesita referir cronoloxicamente os seus acontecementos. O calendario constitúe unha referencia indispensable para ordenalos. Estudarase a xéneses e a evolución destas estruturas a partir dos fenómenos astronómicos que rexen a nosa vida civil.

- Tipos de calendarios: lunares, solares, lunisolares - Análise histórico do calendario gregoriano.

- Calendarios noutras culturas.

- Escalas continuas de tempo. Transformacións.

Bibliografía − J-P. Parisot et F. Suagher. Calendriers et chronologie. Mason (2002)

− W. Segura. Hemerología. La ciencia de los calendarios. Editorial Acento 2000 S. L. (2006) Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía.

Titor/a Josefina F. Ling Área Titor/a Astronomía e Astrofísica

Título Ocultacións e tránsitos en astronomía

Os astros no seu movemento aparente pola esfera celeste producen interposicións entre o observador e os mesmos. As máis frecuentes son as que se producen entre a Lúa e unha estrela, planeta ou asteroide, as denominadas ocultacións, ou ben entre unha estrela e un planeta, chamadas tránsitos.

Estudaranse os fundamentos físicos e o tratamento matemáticos destes fenómenos. Xeometricamente pódense considerar como casos particulares dos coñecidos eclipses solares e luares. Analizarase igualmente a importancia das súas aplicacións en distintos campos da astronomía.

Completarase o estudo co rexistro de ocultacións pola Lúa, utilizando o fotómetro e os telescopios do observatorio astronómico.

Bibliografía - F. J. Gil Chica. Teoría de eclipses, ocultaciones y tránsitos. Universidad de Alicante (1996) - J. C. Casado y otros. Unidad didática: Ocultaciones. IAC 2004

- http://www.lunar-occultations.com/iota/occult4.htm Recomendacións

(non vinculantes) Ter cursado ou estar cursando a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_20

Titor/a María de los Ángeles Casares de Cal Área Titor/a Estadística e investigación operativa

Título Métodos matemáticos en el estudio del parentesco.

Breve descrición do contido El objetivo de este trabajo es estudiar los conceptos y métodos matemáticos que se usan para determinar el parentesco a partir de muestras de ADN.

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Bibliografía

Evett, I.W.; Weir, B.S.: Interpreting DNA Evidence. Statistical Genetics for Forensic Scientists, Sinauer Associates, 1998.

Egeland, T.; Kling, D.; Mostad, P.: Relationship Inference with Familias and R.

Statistical Methods in Forensic Genetics, Academic Press, 2016.

Wing Kam Fung; Yue-Qing Hu: Statistical DNA Forensics. Theory, Methods and Computation, Wiley, 2008.

Titor/a Alberto Rodríguez Casal Área Titor/a Estatística e IO

Título Estimación da densidade no plano.

Neste traballo abordase o problema de estimar non paramétricamente unha densidade bidimensional. No grao estudase brevemente este problema en dimensión un. O obxectivo deste TFG é afondar no problema de estimación nonparamétrica da densidade. A estimación da densidade bidimiensional permite detectar rexións no plano con alta concentración de datos. Este aspecto e moi importante en diversas aplicacións, como acontece en epidemioloxía, xa que permite detectar as rexións onde se concentran os enfermos, e comparalas coas correspondentes da poboación non enferma.

Bibliografía J.E. Chacón, T. Duong, Multivariate Kernel Smoothing and Its Applications. Chapman and Hall.

Titor/a María de los Ángeles Casares de Cal Área Titor/a Estadística e investigación operativa

Título Técnicas matemáticas de planificación y programación de proyectos.

Un proyecto, en el contexto de la investigación operativa, se define como una colección de actividades en donde cada actividad requiere tiempo y recursos para llevarse a cabo.

El objetivo de este trabajo es introducir al alumno en el estudio de las técnicas diseñadas para ayudar en la planificación, programación y control de proyectos.

Bibliografía

Escudero, L. F.: Asignación óptima de recursos, Deusto, 1977.

Moder, J.J; Phillips, C.R; Davis, E.W.: Project Management with CPM, PERT and Precedence Diagramming, Van Nostrand Reinhold, 1983.

Ravindran, A.; Phillips, D.T.; Solberg, J.J.: Operations research. Principles and Practice, Wiley, 1987.

Romero López, C.: Técnicas de programación y control de proyectos, Pirámide, 2002.

Titor/a Alberto Rodríguez Casal Área Titor/a Estatística e IO

Título O teorema central do límite.

Breve descrición do contido O teorema central do límite é un resultado fundamental da teoría de probabilidade, que ten aplicacións moi importantes na inferencia estatística. Abordaremos o seu desenrolo histórico, e tamén os aspectos teóricos máis importantes. Finalmente, faremos fincapé nas súas aplicacións á inferencia estatística.

Bibliografía P. Billinsgley (1995) , Probability and Measure. Wiley

Código EST05_20 Modificado con data 10/10/2019 Titor/a Mercedes Conde Amboage

Área Titor/a Estatística e Investigación Operativa Título Regresión lineal con datos censurados

Los datos censurados son muy habituales en Análisis de Supervivencia, que es la parte de la Estadística que estudia tiempos de vida. Y es que los tiempos de vida, que pueden ser duraciones de una enfermedad, de un artículo de consumo (coches, teléfonos, ordenadores, etc.) o cualquier otro tiempo entre dos eventos, suelen requerir de cierto seguimiento. Si ese seguimiento se interrumpe, sólo conoceremos que el tiempo ha durado al menos hasta el momento de la pérdida del seguimiento. En estas condiciones puede seguir interesando considerar el efecto de alguna variable sobre el tiempo de vida. Por ejemplo, puede interesar saber si la edad del paciente influye en el tiempo de curación de una lesión.

Este trabajo consiste en revisar las técnicas de estimación de la regresión lineal cuando la variable respuesta está censurada. Se expondrán los métodos ya existentes, se estudiarán sus propiedades mediante simulaciones, y se ilustrarán con datos reales.