AN ´ ALISIS DE LA DIN ´ AMICA NO SUAVE EN LA INTERACCI ´ ON ENTRE LOS RECURSOS NATURALES
RENOVABLES Y LA POBLACI ´ ON HUMANA
Alvaro Ra´ul C´ordoba Belalcazar † , Gerard Olivar Tost ‡ y Jorge A. Amador Moncada †‡
†
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales-Caldas, arcordobab@unal.edu.co, www.manizales.unal.edu.co
‡ †‡
Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica, Electr´onica y Computaci´on, Universidad Nacional de Colombia,Sede Manizales, Campus la Nubia, Manizales, Colombia, golivart@unal.edu.co, jaamadorm@unal.edu.co,
www.manizales.unal.edu.co
Resumen: En este art´ıculo se presenta un an´alisis del sistema de Filippov de un modelo matem´atico para la in- teracci´on din´amica entre el crecimiento de la poblaci´on y los recursos naturales renovables, propuesto por Alexia Prskawetz, Alessandra Gragnani y Gustav Feichtinger [1]. Se inicia presentando el modelo, describiendo las variables y par´ametros que intervienen en su plantemiento; luego se propone el modelo no suave, calculando anal´ıticamente las zonas de cruce y deslizamiento, y finalmente se presentan algunos resultados num´ericos mediante el sofware ma- tem´atico Matlab. Se analizan los puntos especiales en la frontera de discontinuidad del modelo con valores hipot´eticos de los par´ametros tomados de la literatura.
Palabras clave: Sistema de Filippov, frontera de conmutaci´on.
1. I NTRODUCCI ON ´
La relaci´on entre la poblaci´on y los recursos naturales ha sido una cuesti´on estudiada a lo largo de la historia. La preocupaci´on por la escasez de los recursos naturales fue planteada por primera vez de forma sistem´atica en 1978 por Malthus. Su proposici´on b´asica se refiere a la relaci´on entre poblaci´on y recursos alimenticios y se˜nala que mientras la poblaci´on crece en progresi´on geom´etrica, los recursos lo hacen en progresi´on aritm´etica. Cabe resaltar que Malthus no tuvo en cuenta el factor tecnol´ogico.
La din´amica de la globalizaci´on est´a disminuyendo el capital natural finito a ritmos sin precedentes, si las tendencias actuales continuan sin control, muchos pa´ıses y sociedades peque˜nas entrar´an en crisis y quedar´an amenazadas sus posibilidades de sobrevivencia sobre la tierra. Un ejemplo citado en la literatura [2] es lo que sucedi´o con la sociedad de la Isla de Pascua, que colaps´o debido a la explotaci´on excesiva de los recursos naturales.
De la combinaci´on de las variables poblaci´on y recursos surge el planteamiento de un modelo matem´atico de donde se derivan los estudios de la proyecci´on de sostenibilidad a largo plazo. Brander y Taylor [2]
plantean un modelo matem´atico que explica el colapso de la sociedad de la Isla de Pascua. Este modelo es extendido por Maxwell y Reuveny [3], quienes postulan que si hay escasez de recursos se presenta una situaci´on de conflicto y plantean: en primer lugar, la fuerza de trabajo se dedicar´a a la situaci´on de conflicto y por lo tanto no estar´a disponible para la producci´on. En segundo lugar, como el conflicto es iniciado por la escasez de recursos, se asume que las tasas de mortalidad se incrementar´an; y en tercer lugar, el conflicto da˜na los recursos naturales.
En la siguiente secci´on se presenta el planteamiento del modelo matem´atico sin conflicto de la interacci´on din´amica entre el crecimiento de la poblaci´on y recursos naturales.
2. E L M ODELO
La din´amica de interacci´on entre los recursos renovables y el crecimiento de la poblaci´on, en un enfoque
a largo plazo, est´a representado por el sistema
R = rR (t) ˙
1 − R (t) K
− eγβR (t) L (t) f γβL (t) + R (t) , L = ˙
b − d + φ eγβR (t) f γβL (t) + R (t)
L (t)
(1)
Siendo:
R(t) = la cantidad de recursos en un tiempo t, L(t) = la cantidad de poblaci´on en un tiempo t, r = la tasa de crecimiento intr´ınseca de los recursos, K = la capacidad de carga del stock de recursos, e = el factor tecnol´ogico, f = el factor tecnol´ogico, γ = la tasa de fuerza laboral dedicada a la producci´on, β = la tasa de crecimiento de producci´on, b = la tasa de natalidad de la poblaci´on, d =la tasa de mortalidad de la poblaci´on, φ = la tasa de sensibilidad de crecimiento de la poblaci´on.
Al sustituir la tasa de crecimiento natural N = d − b, el factor tecnol´ogico E = eβ que interact´ua directamente con la poblaci´on y los recursos, el factor tecnol´ogico F = f β que interact´ua de manera directa con la poblaci´on y de manera indirecta con los recursos, y asumiendo el sistema sin conflicto γ = 1, es decir, toda la fuerza laboral esta dedicada a la producci´on. El sistema (1) se reescribe como:
R = rR ˙
1 − R
K
− ERL
F L + R , L = ˙
−N + φ
ER
F L + R
L
(2)
3. S ISTEMA DE F ILIPPOV
Para el sistema no suave se plantea la frontera de conmutaci´on R = α, y se considera el supuesto de que si hay exceso de recursos, act´ua el factor tecnol´ogico y si los recursos son escasos no. En ambos casos con el objetivo de sostenibilidad entre los recursos naturales y la poblaci´on.
3.1. R EGIONES Y F RONTERA DE C ONMUTACI ON ´
Se define la aplicaci´on T (w) = R − α, w = (L, R) ∈ R 2 como una funci´on escalar con gradiente
∇T (w) = (0, 1) 6= (0, 0). As´ı, la frontera de conmutaci´on que separa las regiones, S 1 = w ∈ R 2 /T (w) > O
y S 2 = w ∈ R 2 /T (w) < O viene dada por
Σ = w ∈ R 2 /T (w) = 0 Y en cada regi´on se encuentran los subsistemas,
θ 1 (w) :
L = ˙
−N + φ
ER
F L + R
L R = rR ˙
1 − R
K
− ERL
F L + R
y θ 2 (w) :
L = −N L ˙ R = rR ˙
1 − R
K
respectivamente.
El conjunto de inter´es de desarrollo sostenible, donde se define el sistema de Filippov es:
Ω = (L, R) ∈ R 2 /L > 0, 0 < R 6 K 3.2. Z ONAS DE C RUCE Y D ESLIZAMIENTO
Estas zonas se determinan por el signo que tome la funci´on escalar, σ(w) = h∇T (w), θ 1 (w)i h∇T (w), θ 2 (w)i =
rα 1 − K α − F L+α EαL
rα 1 − K α
donde, w ∈ Σ, las cuales se separan por los puntos:
Puntos tangentes: si h∇T (w), θ i (w)i = 0, θ i (w) 6= 0, i = 1, 2, donde w ∈ Σ y
Puntos de equilibrio en la frontera: si θ i (w) = 0, i = 1, 2, donde w ∈ Σ.
En este caso para α ∈ (0, K) se cumple que h∇T (w), θ i (w)i = 0, cuando L 1 = rα ( 1−
Kα)
E−rF ( 1−
Kα) . Si L < L 1 , σ > 0 y si L ≥ L 1 , σ ≤ 0. Se tiene,
Σ c = {w ∈ Σ/σ > 0} = {w ∈ Σ/L < L 1 } y Σ s = {w ∈ Σ/σ 6 0} = {w ∈ Σ/L ≥ L 1 } que coreresponden a las zonas de cruce y deslizamiento en la frontera de conmutaci´on Σ, respectivamente.
3.3. P UNTOS ESPECIALES EN Σ s
Al analizar los puntos especiales en Σ s [4] se considera los casos en los cuales la frontera puede pasar:
por el punto de equilibrio (L ∗ , R ∗ ) del sistema suave θ 1 (w), o por encima, o por debajo de ´el.
Teorema 1 Si α = R ∗ , entonces w es un punto de equilibrio en la frontera.
Prueba. Verificando las condiciones de puntos especiales de deslizamiento, para w = (L 1 , α) no se sa- tisfacen para puntos singulares de deslizamiento, pseudo-equilibrios y puntos tangentes. Dado que w = (L 1 , α) ∈ Σ s es un punto de equilibrio del sistema suave θ 1 (w).
Luego, w es un punto de equilibrio en la frontera de Σ s . (Obs´ervese Figura 1) Teorema 2 Sea w ∈ Σ s . Si α > R ∗ y L 6= L 1 , entonces w es un pseudo-equilibrio.
Prueba. Para que w sea un pseudo-equilibrio debe cumplir: i) w ∈ Σ s , ii) g(w) = 0 y iii) θ 1,2 (w) 6= 0.
La condici´on i) y iii) son evidentes. Se debe probar entonces que el campo de Filippov se anula, es decir, g(w) = 0.
g(w) esta dado por g(w) = λθ 1 (w) + (1 − λ)θ 2 (w) donde, λ = hT (w),θ hT (w),θ
2(w)i
2
