Unidad:
MODELAMIENTO MATEMÁTICO Capitulo y Tema:
Tema 1. Programación Lineal Tema 2.Método Gráfico Tema 3. Método Simplex
Tema 4. Método Simplex Dos Fases
Actividad (Número y nombre): 1.1 Conceptos y Definición
Módulo: IX “B”
Nombre (s):
KARINA JHANOVA VÁSQUEZ VILLALTA Profesor:
LUIS ANTONIO CHAMBA ERAS Fecha en la cual el profesor encarga la actividad:
Mie 13/Oct/2010
Fecha en la cual el profesor recibe la actividad: Mie 20/Oct/2010
Bibliografía:
- M. J. García-Ligero y P., Román, P1. Departamento de Estadística e Investigación Operativa.
Consultado
Octubre 15, 2010
- Universidad de Granada (España), Revista Investigación Operacional VOL., 31, No 2, 171-179, 2010, pdflavibliotecavirtual.pdf.
Consultado
Octubre 15, 2010
- Arbonas, M.E. Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A, 1989.
[Seriada en línea].Pág.2-5
Disponible en URL: http://www.investigacion-operaciones.com/Resumen%20PL.htm.Consultado
Octubre 15, 2010
- Arbonas, M.E. Optimización Industrial (II): Programación de recursos. Colección Productica No. 29. Marcombo S.A, 1989.
[Seriada en línea].Pág.4-7
Disponible en URL: http://html.rincondelvago.com/programacion-lineal_3.html.Consultado
Octubre 15, 2010
- Anderson, D.R., Sweeney.J. , Williams,T.A. , Introducción a los Modelos Cuantitativos para Administración. Grupo Editorial Iberoamérica. 1993.
[Seriada en línea].Pág1-2
Disponible_enURL:http://www.investigacionoperaciones.com/Solucion_Grafica.htm.Consultado
Octubre 15, 2010
INTRODUCCIÓN:
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.
Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción.
Un enfoque eficiente para la reducción del esfuerzo computacional asociado a la solución del problema de planeamiento de la expansión de redes de transmisión de energía eléctrica.
RESULTADOS:
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales.
La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.
TIPOS DE SOLUCIONES
Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:
FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).
NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.
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EJEMPLO:
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
inversión rendimiento
Tipo A x 0,1x
Tipo B y 0,08y
210000 0,1x+0,08y Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
R1 R2 R3 R4
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4
x y x y x y x y
0 210000 130000 0 0 60000 0 0
210000 0 130000 65000
La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E
A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) La función objetivo es;
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado
1 Figura 1. Método gráfico de PL
Aplicaciones
La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Otros son:
- Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua.
- Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
- Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
- Solución de problemas de transporte.
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.
El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.
Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:
1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.
2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.
3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta. 4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.
5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.
6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo. 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.
Maximizar Z = 3X1 + 2X2 restricciones : X1 + 2X2 <=6 (1) 2X1 + X2 <=8 (2) -X1 + X2 <=1 (3) X2 <= 2 (4) X1 >= 0 (5) X2 >= 0 (6)
Convirtiendo las restricciones a igualdad y representándolas gráficamente se tiene: X1 + 2X2 = 6 (1) 2X1 + X2 = 8 (2) -X1 + X2 = 1 (3) X2 = 2 (4) X1 = 0 (5) X2 = 0 (6)
1Figura 2. Espacio de solución presentada con WinQsb
Figura 1. Determinación de solución Maximizar Z = 3X1 + 2X2 Punto (X1, X2) Z A (0, 0) 0 B (4, 0) 12 C (3.3, 1.3) 12.6 ( óptima ) D (2, 3) 12 E (1, 3) 9 F (0, 2) 4
Tabla1. Solución Método Gráfico
MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última.
El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo.
Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.
Para solucionar un problema de maximización estándar por el método simplex, seguimos los siguientes pasos:
Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24 2. Igualar la función objetivo a cero
- 3x - 2y + Z = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:
Tabla I . Iteración nº 1
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x y h s d
h 2 1 1 0 0 18
s 2 3 0 1 0 42
d 3 1 0 0 1 24
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
También se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote:
Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas:
Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)
Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):
Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42
- - - -
Coeficiente 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8
= = = = = =
Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26
Tabla II . Iteración nº 2
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x y h s d
h 0 1/3 1 0 -2/3 2
s 0 7/3 0 1 -2/3 26
x 1 1/3 0 0 1/3 8
Z 0 -1 0 0 1 24
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla:
Tabla III . Iteración nº 3
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x y h s d
y 0 1 3 0 -2 6
s 0 0 -7 0 4 12
x 1 0 -1 0 1 6
Z 0 0 3 0 -1 30
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1
B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.
C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla:
Tabla IV . Final del proceso
Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución
x y h s d y 0 1 -1/2 0 0 12 d 0 0 -7/4 0 1 3 x 1 0 -3/4 0 0 3 Z 0 0 5/4 0 0 33
MÉTODO SIMPLEX DE DOS FASES
Esta estrategia se utiliza cuando no es inmediata una solución básica factible inicial en las variables originales del modelo.
FASE 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema, de modo de obtener una solución básica factible. Resolver por Simplex un problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. Si el valor óptimo es cero, seguir a la Fase II, en caso contrario, no existe solución factible. FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.
P) Max 2X1 + X2 sa 10X1 + 10X2 <= 9
10X1 + 5X2 >= 1 X1, X2 >= 0
Se debe agregar X3 como variable de holgura de la restricción 1, X4 como variable de exceso de la restricción 2 y X5 variable auxiliar para poder comenzar la Fase 1. (Nótese que solo agregando X3 como variable de holgura a la restricción 1 y X4 como variable de exceso a las segunda restricción no se obtiene una solución básica factible inicial, en particular X4<0).
F1) Min X5 sa X1 + 10X2 + X3 = 9 10X1 + 5X2 - X4 + X5 = 1
X1, X2, X3, X4, X5 >= 0
La tabla inicial asociada a la Fase I queda en consecuencia definida de la siguiente forma:
X1 X2 X3 X4 X5
10 10 1 0 0 9
10 5 0 -1 1 1
0 0 0 0 1 0
Se obtiene la solución óptima de la Fase I, con valor óptimo cero. Luego iniciamos la Fase II del método tomando X1 y X3 como variables básicas iniciales.
FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1/2 0 -1/10 1/10
-2 -1 0 0 0
Hacemos cero los costos reducidos de las variables básicas:
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1/2 0 -1/10 1/10
0 0 0 -1/5 1/5
X4 entra a la base. Por el criterio del mínimo cociente, el pivote se encuentra en la fila 1, por tanto X3 sale de la base:
X1 X2 X3 X4
0 5 1 1 8
1 1 1/10 0 9/10
Donde la solución óptima es: X1=9/10 X2=0 Con valor óptimo V(P) = 9/5.
DESARROLLANDO EL MÉTODO SIMPLEX
Una vez que hemos estandarizado nuestro modelo, puede ocurrir que necesitemos aplicar el método Simplex o el método de las Dos Fases.
1 Figura 3. Algoritmo M. Simplex
