programacion lineal

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(1)Investigación Operativa 1 - 430098 Ingeniería Civil Industrial. Dr. Rodrigo Linfati Departamento de Ingeniería Industrial Universidad del Bío-Bío. Versión: 18 de marzo de 2016. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 1 / 169. 18 de marzo de 2016. 2 / 169. Índice. 1. Programación Lineal / Linear Programming Formulación Casos Especiales Método Gráco Forma Canónica y Estándar Método Simplex Método Simplex Big-M Dual y su Interpretación Método Simplex-Dual Análisis de Sensibilidad. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(2) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Ejemplo Pinturas 1/2 Ejemplo 2.1-1 (Taha, 2012). Reddy Mikks produce punturas para interiores y exteriores usando dos tipos de materias primas: Pigmentos y Aglutinantes. La siguiente tabla proporciona la información básica del problema. Pintura para Pintura para Disponibilidad Exteriores. Interiores. (ton.). Pigmentos. 6. 4. 24. Aglutinantes. 1. 2. 6. Utilidad ($). 5.000. 4.000. Reddy Mikks buscan determinar la mejor combinación de pinturas a producir para maximizar su utilidad. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 3 / 169. Ejemplo Pinturas 2/2. Condiciones adicionales: Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder la pintura para exteriores en más de una tonelada. Asimismo, la demanda diaria máxima de pintura para interiores es de dos toneladas.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 4 / 169.

(3) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Partes de un LP. 1. Parámetros o Datos: Lo conocido, la información que nos entregan.. 1. Variables de Decisión: Lo que nos preguntan, lo que debemos decidir.. 1. Restricciones: Las condiciones que debe cumplir cada solución factible.. 1. Función Objetivo: Medida de calidad de la solución. Puede ser de Máximo o Mínimo.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 5 / 169. Supuestos de un LP. Proporcionalidad: Ej. Si fabrico el doble de pintura, necesito el doble de materia prima Aditividad: Ej. Puedo sumar los ingresos de pintura exterior con la interior, ya que ambos están en unidades monetarias ($$) Divisibilidad: Ej. Si fabrico media tonelada de pintura, necesito la mitad de materia prima La no divisibilidad signica que no se podría fabricar media tonelada de pintura Determinismo: Ej. Se conocen la cantidad de materia prima disponible. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 6 / 169.

(4) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Conceptos de un LP. Solución Factible: Solución que cumple todas las restricciones Solución Óptima: Solución factible que tiene el mejor valor de la Función Objetivo, ya sea un problema de Máximo o de Mínimo Región Factible: Conjunto de Soluciones Factibles Modelo: Representación de un sistema real, sobre el cual se realizan análisis, ej. maquetas, modelos a escala, tubos de viento, cámaras de calor, modelos físico-químicos, modelos matemáticos, etc.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 7 / 169. 18 de marzo de 2016. 8 / 169. Modelo Pinturas 1/2 Ejemplo 2.1-1 (Taha, 2012). Variables. x1 : x2 :. Toneladas de Pintura exterior a producir Toneladas de Pintura interior a producir. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(5) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Pinturas 2/2 Función Objetivo. Máxima Ganancia: Max z=5000 ∗ x1 + 4000 ∗ x2 Restricciones. Materia Prima Pigmentos: 6 ∗ x1 + 4 ∗ x2 ≤ 24 Materia Prima Aglutinantes: 1 ∗ x1 + 2 ∗ x2 ≤ 6 Encuesta 1: x2 ≤ +x1 + 1 Encuesta 2: x2 ≤ 2 No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 9 / 169. Región Factible Pinturas x2. 1,2 z=13.000. Encuesta 1. 2,2 z=18.000. Encuesta 2. 3,1.5 z=21.000 0,1 z=4.000 0,0 z=0. x1 4,0 z=20.000 Materia Prima Aglutinantes Materia Prima Pigmentos. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 10 / 169.

(6) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Ejemplo Yogur. En una empresa de lácteos, se puede embazar yogur con fruta (yofrut) y yogur bajo en calorías (yodiet). Cada vaso de yofrut se vende en 200 y cada yodiet en 150 La máquina que envasa los yogures puede trabajar 4 horas por día Cada vaso de yofrut se demora 30 segundos, y cada yodiet 45 segundos ¾Cuántas unidades de cada tipo envasaría usted en un día, para obtener la mayor utilidad posible?. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 11 / 169. Ejemplo Yogur 2. Condiciones adicionales: El máximo a embazar por día son 400 unidades de yofrut. Se rmo un contrato con un supermercado el cual comprara como mínimo 100 yodiet Cada vaso de yofrut requiere 200 gramos de yogur, cada yodiet 150 gramos de yogur y se dispone de un total de 60 kilogramos de yogur.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 12 / 169.

(7) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Yogur 1/2. Variables. x1 : x2 :. Unidades de yofrut diarias Unidades de yodiet diarias. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 13 / 169. Modelo Yogur 2/2 Función Objetivo. Máxima Ganancia: Max z=200 ∗ x1 + 150 ∗ x2 Restricciones. Horas Disponibles: 30 ∗ x1 + 45 ∗ x2 ≤ 4 ∗ 3600 Capacidad Máxima: x1 ≤ 400 Contrato Supermercado: x2 ≥ 100 Materia Prima: 200 ∗ x1 + 150 ∗ x2 ≤ 60 ∗ 1000 No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 14 / 169.

(8) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Región Factible Yogur Capacidad Maxima. x2. 0,320 z=48.000. 120,240 z=60.000. 0,100 z=15.000. 225,100 z=60.000. Contrato Supermercado. x1 Horas Disponibles. Materia Prima. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 15 / 169. Ejemplo Automotriz Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de carrocería. Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día. Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día. Cada camión aporta 2.000.000 pesos de utilidad, y cada automóvil 3.000.000. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la compañía.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 16 / 169.

(9) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Automotriz 1/2. Variables. x1 : x2 :. Unidades de Automóviles producidos diariamente Unidades de Camiones producidos diariamente. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 17 / 169. Modelo Automotriz 2/2. Función Objetivo. Máxima Ganancia: Max z=3,000,000 ∗ x1 + 2,000,000 ∗ x2 Restricciones. Pintura: x1 /60 + x2 /40 ≤ 1 Carroceria: x1 /50 + x2 /50 ≤ 1 No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 18 / 169.

(10) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Región Factible Automotriz x2. 0,40 z=80. 30,20 z=130. x1 0,0 z=0. 50,0 z=150. Pintura Carroceria. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 19 / 169. Ejemplo Alimentos. La granja de los tres chanchitos alimenta a sus vacas con un alimento especial compuesto de maíz y de semilla de soja solamente. Proteínas Fibra Costo ($/kg.) Maíz. 0,09. 0,02. 30. Soja. 0,60. 0,06. 90. Los requerimientos alimenticios de las vacas son al menos 30 % de proteína y un máximo de 5 % de bra. Se necesita preparar al menos 800 kg. de alimento. Se dispone de 1.500 kg. de Maíz y de 1.500 kg. de Soja.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 20 / 169.

(11) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Alimentos 1/2. Variables. x1 : x2 :. Kilogramos de maíz Kilogramos de soja. Función Objetivo. Minimizar Costos: Min z=30 ∗ x1 + 90 ∗ x2. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 21 / 169. Modelo Alimentos 2/2 Restricciones. Maiz Disponible: x1 ≤ 1,500 Soja Disponible: x2 ≤ 1,500 Alimento necesario: x1 + x2 ≥ 800 Proteina: 0, 09 ∗ x1 + 0, 60 ∗ x2 ≥ 0, 30(x1 + x:2 ) Fibra: 0, 02 ∗ x1 + 0, 06 ∗ x2 ≤ 0, 05(x1 + x:2 ) No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 22 / 169.

(12) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Región Factible Alimentos Fibra 500,1500 z=150.000. x2. Maiz Soja 1500,1500 z=180.000. Proteina 1500,1050 z=139.500. 200,600 z=60.000. 470.6,329.4 z=43.764. x1 Alimento. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 23 / 169. Ejemplo Joyería Una joyería utiliza rubíes y zaros para producir dos tipos de anillos. Un anillo tangananica requiere 2 rubíes, 3 zaros y una hora de trabajo de joyería. Un anillo tanganana requiere 3 rubíes, 2 zaros y dos hora de trabajo de joyería. Cada anillo tangananica se vende en $400.000 y cada anillo tanganana se vende en $500.000. Actualmente la joyería dispone de 100 rubíes, 120 zaros y 70 horas de trabajo de joyería. En caso de ser necesarios, se pueden comprar rubíes a un costo de 100.000 cada uno. La demanda mínima es de 20 anillos tangananica y 25 anillos tanganana.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 24 / 169.

(13) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Joyería 1/2. Variables. x1 : x2 : x2 :. Anillos tangananica Anillos tanganana Rubíes a Comprar. Función Objetivo. Ganancia: Max z=400,000 ∗ x1 + 500,000 ∗ x2 − 100,000 ∗ x3. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 25 / 169. 18 de marzo de 2016. 26 / 169. Modelo Joyería 2/2 Restricciones. Rubíes: 2 ∗ x1 + 3 ∗ x3 ≤ 100 + x3 Zafiros: 3 ∗ x1 + 2 ∗ x2 ≤ 120 HH: x1 + 2x2 ≤ 70 Demanda: x1 ≥ 20 Demanda: x2 ≥ 25 No Negatividad: x1 , x2 , x3 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(14) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Ejemplo Restaurante Consideremos la situación de un restaurante que abre los 7 días de la semana. En base a la experiencia del administrador, para atender el público se requieren un número de trabajadores por día que se resume en la tabla siguiente: Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 14. 13. 15. 16. 19. 18. 11. Cada trabajador tiene un régimen de trabajo de 5 días consecutivos, y luego toma 2 días de descanso, durante todo el año. ¾De qué manera se puede cumplir con los requerimientos de servicio del restaurante minimizando el número de trabajadores a contratar?. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 27 / 169. Modelo Restaurante 1/2 Variables. x1 : x2 : x3 : x4 : x5 : x6 : x7 :. número de trabajadores que inician un día lunes. número de trabajadores que inician un día martes. número de trabajadores que inician un día miércoles. número de trabajadores que inician un día jueves. número de trabajadores que inician un día viernes. número de trabajadores que inician un día sábado. número de trabajadores que inician un día domingo.. Función Objetivo. Trabajadores: Min z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 28 / 169.

(15) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Restaurante 2/2 Restricciones. Lunes: x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 14 Martes: x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13 Miercoles: x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15 Jueves: x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 16 Viernes: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 19 Sabado: x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 18 Domingo: x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11 No Negatividad: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 29 / 169. Ejemplo Tractores. Sea un granja, la que necesita para su cosecha de trigo la siguiente cantidad de tractores. Mes Demanda Tractores. Enero Febrero Marzo Abril 10. 8. 12. 7. Actualmente, se pueden arrendar en el mercado tractores, con los siguientes costos Duración Costo. 1 mes. 2 meses 3 meses. 400.000 700.000 900.000. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 30 / 169.

(16) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Tractores 1/2. Variables. xe ,1 : Número de tractores a contratar en enero durante 1 mes xe ,2 : Número de tractores a contratar en enero durante 2 meses xe ,3 : Número de tractores a contratar en enero durante 3 meses xf ,1 : Número de tractores a contratar en febrero durante 1 mes xf ,2 : Número de tractores a contratar en febrero durante 2 meses xf ,3 : Número de tractores a contratar en febrero durante 3 meses xm,1 : Número de tractores a contratar en marzo durante 1 mes xm,2 : Número de tractores a contratar en marzo durante 2 meses xa,1 : Número de tractores a contratar en abril durante 1 mes. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 31 / 169. Modelo Tractores 2/2 Función Objetivo. Costo: Min z=. 400 ∗ xe ,1 + 700 ∗ xe ,2 + 900 ∗ xe ,3 +400 ∗ xf ,1 + 700 ∗ xf ,2 + 900 ∗ xf ,3 +400 ∗ xm,1 + 700 ∗ xm,2 +400 ∗ xa,1. Restricciones. Enero: xe ,1 + xe ,2 + xe ,3 ≥ 10 Febrero: xe ,2 +xe ,3 +xf ,1 + xf ,2 + xf ,3 ≥ 8 Marzo: xe ,3 + xf ,2 + xf ,3 + xm,1 + xm,2 ≥ 12 Abril: xf ,3 + xm,2 + xa,1 ≥ 7 No Negatividad: xe ,1 , xe ,2 , xe ,3 , xf ,1 , xf ,2 , xf ,3 , xm,1 , xm,2 , xa,1 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 32 / 169.

(17) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Ejemplo Jugos de Fruta Una empresa productora de jugos de fruta, cada semana, utiliza una sola máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de limón en concentrados que se almacenan en dos tanques separados de 1500 litros cada uno antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 litros de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 litros de jugo de limón por hora. Cada litro de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30 % de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6 por litro. Cada litro de jugo de limón cuesta $2.00 y pierde 25 % de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de limón se vende después en $8 por litro. Dena las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 33 / 169. 18 de marzo de 2016. 34 / 169. Modelo Jugos de Fruta 1/2. Variables. x1 : x2 :. litros de jugo de naranja por utilizar en la semana litros de jugo de limón por utilizar en la semana. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(18) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Jugos de Fruta 2/2 Función Objetivo. Ingreso-Costo: Max z=(1 − 0,30) ∗ 6 ∗ x1 + (1 − 0,25) ∗ 8 ∗ x2 − 1,5 ∗ x1 − 2 ∗ x2 Restricciones. r1: 1/25 ∗ x1 + 1/20∗x2 ≤ 150 r2: 0.70*x1 ≤1500 r3: 0.75*x2 ≤1500 No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 35 / 169. Ejemplo Producción Considere el problema de programación de la producción de un producto para cada una de las próximas 4 semanas. El costo de la producción de una unidad es $100 para las 2 primeras semanas y $150 para las últimas 2. Las demandas semanales son 7, 8, 9 y 10 unidades y tienen que ser satisfechas. La planta puede producir un máximo de 9 unidades semanales. Además, se pueden emplear horas extras durante la tercera y cuarta semana; esto incrementa la producción semanal en 2 unidades más, pero el costo de producción también sube en $58 por unidad de hora extra. El exceso de producción puede ser almacenado a un costo unitario de $3 por semana, y si se satisface un pedido atrasado se incurre en un costo por unidad de $4 por semana. ¾Cómo programar la producción de tal manera que minimice los costos totales? Formule este problema como un modelo de programación lineal.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 36 / 169.

(19) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Producción 1/3. Variables. xi : Unidades producidas en tiempo normal en la semana i, para i = 1, 2, 3, 4. yi : Unidades producidas en tiempo extra en la semana j, para j = 3, 4. Ii : Unidades mantenidas en inventario en la semana i, para i = 1, 2, 3, 4. wij : Unidades producidas en la semana i para satisfacer el pedido atrasado de la semana j. Estas son: w21 , w31 , w41 , w32 , w42 , w43 .. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Formulación. 18 de marzo de 2016. 37 / 169. Modelo Producción 2/3. Función Objetivo. x1 + x2 ) + 150 ∗ (x3 + x4 ) +(150 + 58) ∗ (y3 + y4 ) +3 ∗ (I1 + I2 + I3 + I4 ) +4 ∗ (w21 + w32 + w43 ) +8 ∗ (w31 + w42 ) + 12 ∗ w41. 100 ∗ (. Costo: Min z=. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 38 / 169.

(20) Programación Lineal / Linear Programming. Formulación. Modelo Producción 3/3 Restricciones. s1: x1 + w21 + w31 + w41 = 7 + I1 s2: x2 + I1 + w32 + w42 = 8 + I2 + w21 s3: x3 + y3 + I2 + w43 = 9 + I3 + w31 + w32 s4: x4 + y4 + I3 = 10 + I4 + w41 + w42 + w43 s4: x1 , x2 , x3 , x4 ≤ 9. y1 , y2 ≤ 2. No Negatividad: xi , yi , Ii , wij ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Casos Especiales. 18 de marzo de 2016. 39 / 169. Casos especiales 1/4 Múltiples soluciones óptimas. Existen innitas soluciones, esto puede ocurrir cuando la función objetivo es paralelo a alguna restricción. Max. z = 6 ∗ x1 + 4 ∗ x2 x1 ≤ 4 x2 ≤ 6. 3∗. x1 + 2 ∗ x2 ≤ 18 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 40 / 169.

(21) Programación Lineal / Linear Programming. Casos Especiales. Región Factible Múltiples soluciones óptimas. x2. 0,6 z=24. R1. 2,6 z=36. R2. 4,3 z=36. x1 0,0 z=0. 4,0 z=24 R3. Z0 Z6 Z12Z18Z24Z30Z36Z42 Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Casos Especiales. 18 de marzo de 2016. 41 / 169. 18 de marzo de 2016. 42 / 169. Casos especiales 2/4 Sin solución. Región factible vacía. Max. z = x1 + x2 x1 ≤ 1 x2 ≤ 1. x1 + x2 ≥ 5 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(22) Programación Lineal / Linear Programming. Casos Especiales. Región Factible Sin solución. x2. R1. R2. x1. R3. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Casos Especiales. 18 de marzo de 2016. 43 / 169. Casos especiales 3/4 Región factible no acotada. No existe solución óptima cuando la región factible no es acotada respecto a la función objetivo. Min z = x1 − x2 x1 ≤ 2 x2 ≥ 5 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 44 / 169.

(23) Programación Lineal / Linear Programming. Casos Especiales. Región Factible Región factible no acotada. 0,12 z=-12. x2. 0,5 z=-5. 2,12 z=-10 R1. 2,5 z=-3. R2. x1. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Casos Especiales. 18 de marzo de 2016. 45 / 169. Casos especiales 4/4 Región factible no acotada. Existe solución óptima cuando la función objetivo es acotada respecto a la región factible. Min z = x1 + x2 x1 ≤ 2 x2 ≥ 5 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 46 / 169.

(24) Programación Lineal / Linear Programming. Casos Especiales. Región Factible Región factible no acotada. 0,12 z=12. x2. 0,5 z=5. 2,12 z=14 R1. R2. 2,5 z=7. x1. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Gráco. 18 de marzo de 2016. 47 / 169. Método Gráco 1/2. Probar con diferentes valores de Z. 1. Dibujar la Región Factible. 2. HACER. 1 2. 3. Darse un valor para Z y trazar la función objetivo Desplazar la función objetivo, en la dirección de mejora, cambiando el valor de Z. HASTA llegar al limite de la región factible NOTA: No olvide las restricciones de no negatividad. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 48 / 169.

(25) Programación Lineal / Linear Programming. Método Gráco. Método Gráco 2/2. Probar cada uno de los puntos extremos. 1. Dibujar la Región Factible. 2. Encontrar los Puntos Extremos. 3. Evaluar cada uno de los Puntos Extremos. 4. Selección el que tenga el mejor valor de. Z. NOTA: No olvide las restricciones de no negatividad. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Gráco. 18 de marzo de 2016. 49 / 169. 18 de marzo de 2016. 50 / 169. Ejercicio Método Gráco 1/4. Max. z = x1 + x2. Sujeto a:. x1 ≤ −5 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(26) Programación Lineal / Linear Programming. Método Gráco. Ejercicio Método Gráco 2/4. Max. z = x1 + x2. Sujeto a:. x1 + x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Gráco. 18 de marzo de 2016. 51 / 169. 18 de marzo de 2016. 52 / 169. Ejercicio Método Gráco 3/4. Max. z = x1 + x2. Sujeto a:. x1 − x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(27) Programación Lineal / Linear Programming. Método Gráco. Ejercicio Método Gráco 4/4. Max. z = x1 + x2. Sujeto a:. x1 − x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Gráco. 18 de marzo de 2016. 53 / 169. Número de Soluciones. ¾Cuantas Soluciones Óptimas pueden existir en un LP?. UNA INFINITAS NINGUNA. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 54 / 169.

(28) Programación Lineal / Linear Programming. Forma Canónica y Estándar. Forma Canónica 1/2. Max. z = c| ∗ x. Sujeto a:. A∗x ≤ b x ≥0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Forma Canónica y Estándar. 55 / 169. Forma Canónica 2/2 Siendo: Siempre un problema de máximo. x ∈ Rn : Vector de Variables de decisión (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) c ∈ Rn : Vector de los coecientes de la función objetivo (c1 , c2 , c3 , . . . , cn ) b ∈ Rm : Vector de los coecientes del lado derecho (b1 , b2 , b3 , . . . , bm ) A ∈ Rm×n : Matriz de los coecientes tecnológicos a1,1 a1,2 a1,3 · · · a1,n a2,1 a2,2 a2,3 · · · a2,n . . .. ... .. . . .. am,1 am,2 am,3 · · · am,n. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 56 / 169.

(29) Programación Lineal / Linear Programming. Forma Canónica y Estándar. Transformaciones a forma Canónica 1/3. Problema de Mínimo Se dene la siguiente transformación. Min c | x ⇒ −Max. − c |x. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Forma Canónica y Estándar. 57 / 169. Transformaciones a forma Canónica 2/3. Restricciones. ≥. Se dene la siguiente transformación. ai| x ≥ bi ⇒ −ai| x ≤ −bi Restricciones. =. Se dene la siguiente transformación. (. ai| x = bi ⇒. Rodrigo Linfati (UBB). ai| x ≤ bi ai| x ≥ bi. =⇒ −ai| x ≤ −bi. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 58 / 169.

(30) Programación Lineal / Linear Programming. Forma Canónica y Estándar. Transformaciones a forma Canónica 3/3. Variables Negativas Se dene la siguiente transformación. xj = −xj. xj ≥ 0. Variables Sin Restricción Se dene la siguiente transformación. xj = x˙j − x¨j. x˙j , x¨j ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Forma Canónica y Estándar. 59 / 169. Ejercicio: Transformar a forma Canónica Min z = x1 + x2 + x3 Sujeto a:. x1 + 2 ∗ x2 − x3 ≤ 3 x1 + 4 ∗ x2 + 5 ∗ x3 = 5 x1 − 2 ∗ x2 + x3 ≥ 3 x1 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB). x2 ≤ 0. x3 Sin Restricci oń. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 60 / 169.

(31) Programación Lineal / Linear Programming. Forma Canónica y Estándar. Forma Estándar. Max. z = c| ∗ x. Sujeto a:. A∗x = b x ≥0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Forma Canónica y Estándar. 61 / 169. Transformaciones a forma Estándar Variables de Holgura Sea. hi ,. una variable de decisión no negativa (cticia). Podemos realizar la siguiente transformación. ai ∗ x ≤ bi =⇒ ai ∗ x + hi = bi Donde. hi = bi − ai ∗ x En general. A ∗ x ≤ b =⇒ A ∗ x + h = b Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 62 / 169.

(32) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Algoritmo Simplex. Dantzig, 1947 0.- Modelar el problema usando la forma estándar. 1.- Encontrar una Solución (Básica) Inicial 2.- SI Ultima Solución es Óptima > Terminar 3.- SINO Moverse al próximo vértice adyacente 4.- Volver a 2 Nota: La solución óptima estará en un punto extremo. Nota: Si todos los vértices adyacentes son menores al actual, estamos en presencia de la Solución Óptima (Local y Global).. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 63 / 169. Deniciones. Variable: Incógnitas a encontrar. Son. n.. Restricción: Condiciones impuestas. Se asumen linealmente independientes, es decir, que no son redundantes. Son. m. sin. contar las de no negatividad. Variable Básica: Variable (incógnita) que obtiene su valor desde el sistema de ecuaciones. Existe una por cada restricción, es decir, existen. m.. Variable NO Básica: Variable, de forma arbitraria, jada a cero. Existe una por cada grado de libertad de la matriz. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. A,. es decir,. n−m. 18 de marzo de 2016. 64 / 169.

(33) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Demostración 1/6 Sea un problema en su forma canónica:. Max. z = c| ∗ x. A∗x ≤ b x ≥0 Es equivalente a:. Max. z. z − c| ∗ x = 0 A∗x ≤ b Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 65 / 169. Demostración 2/6 Y a su vez a:. Max. z. z − c| ∗ x = 0 A∗x +I ∗h = b Ahora en forma de matriz:. . 1 0. Rodrigo Linfati (UBB). −c. A. 0. I. . z 0 ∗ x  = b h . . Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 66 / 169.

(34) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Demostración 3/6 Podemos denir:. x = [xb xn ] c = [cb cn ] A = [B. N]. Siendo ·b la parte relacionada con las variables básicas, y ·n las no básicas. Entonces. B ∗ xb + N ∗ xn = b. Pre Multiplicamos. por. B −1. B −1 ∗ B ∗ xb + B −1 ∗ N ∗ xn = B −1 ∗ b xb + B −1 ∗ N ∗ xn = B −1 ∗ b Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 67 / 169. Demostración 4/6 xb = B −1 ∗ b − B −1 ∗ N ∗ xn. Pero , El valor de. xb. xn = 0 en metodo. Simplex. se puede denir como:. xb = B −1 ∗ b Remplazamos en. z,. podemos denir:. z = cb ∗ xb = cb ∗ B −1 ∗ b Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 68 / 169.

(35) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Demostración 5/6 Las ecuaciones anteriores las podemos escribir en forma matricial:. . z xb. . =. c ∗ B −1 ∗ b B −1 ∗ b . Nos damos cuenta que. . =. cb ∗ B −1 B −1. 1 0. cb ∗ B −1 B −1. 1 0. ∗. 0. . b. multiplica al lado derecho del. sistema de ecuaciones inicial, por tanto hacemos lo mismo con el lado izquierdo: . cb ∗ B −1 B −1. 1 0. ∗. 1 0. −c. A. 0. I. . =. 1 0. cb ∗ B −1 ∗ A − c cb ∗ B −1 B −1 ∗ A B −1. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. . 69 / 169. Demostración 6/6. Finalmente, remplazando en el sistema original tenemos:. . 1 0. cb ∗ B −1 ∗ A − c cb ∗ B −1 B −1 ∗ A B −1. Rodrigo Linfati (UBB). . . z. . ∗ x  =. h. Investigación Operativa 1 - 430098. . cb ∗ B −1 ∗ b B −1 ∗ b. 18 de marzo de 2016. . 70 / 169.

(36) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex En general, la tabla Simplex cumple con:. z xb. Variables Originales Variables Holgura RHS cb ∗ B −1 ∗ A − c cb ∗ B −1 cb ∗ B −1 ∗ b B −1 ∗ A B −1 B −1 ∗ b. En términos coloquiales. Variables z Costos Reducidos Valor Variables Basicas Valor. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. Funcion Objetivo Variables básicas. 18 de marzo de 2016. 71 / 169. Tabla Simplex con B=I Hasta el momento, lo único desconocido es. B,. nuestra base.. Si tomamos como variables básicas las variables de holgura tenemos que:. B =I. B −1 = I. cb = 0. Al remplazar en la tabla anterior nos queda:. Variables Originales Variables Holgura RHS Variables NO Basicas Variables Basicas RHS z −c 0 0 h A I b Esta tabla la llamaremos Tabla Simplex Inicial Nota: recuerde que estamos bajo el supuesto de variables no negativas. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 72 / 169.

(37) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Criterios. Criterio de Optimalidad Una Tabla Simplex sera óptima, si y solo si, no existen costos reducidos negativos (para las variables no básicas). Elección del próximo vértice Para moverse a un vértice adyacente, se debe agregar (insertar) una variable no básica a la base, y sacar (eliminar) una variable de la base (que se transformará en no básica).. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 73 / 169. Elección de Próximo Vértice Elección del variable de entrada Se elige una variable (columna) con los costos reducidos negativos. cj. En general, se selecciona el más negativos de los costos reducidos. Esta elección se realiza para moverse en la dirección que más aumenta la función objetivo.. Elección del variable de salida Se elige la variable (la) con una razón Se ignoran las variables (las) con. aij. bi ai ,j positiva más pequeña.. negativos o cero.. Esta elección se realiza para moverse en la dirección de la primera restricción, garantizando que la solución siga siendo factible.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 74 / 169.

(38) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Casos Especiales. Variable de entrada: En caso de empate, se elige una de forma aleatoria Variable de salida: En caso de empate, se elige una de forma aleatoria Base Degenerada: Cuando en el lado derecho existe un cero. Variable de salida: Si no existe, la función objetivo no es acotada en esa dirección. Múltiples Soluciones Óptimas: Existen costos reducidos asociado a variables NO básicas igual a cero en la tabla óptima.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 75 / 169. Ejemplo Puertas y Ventanas. Sea una empresa que se dedica a la fabricación de puertas y ventanas, estos productos deben pasar por tres plantas de producción. ¾Cual es la mejor combinación de puertas y ventanas? Planta. Puerta Ventana Horas Disponible. 1. 1. 0. 4. 2. 0. 2. 12. 3. 3. 2. 18. Ganancia. 3. 5. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 76 / 169.

(39) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo Puertas y Ventanas Variables. x1 : x2 :. Número de Puertas Número de Ventanas. Modelo. Ganancia: Max z=3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 Planta1: x1 ≤ 4 Planta2: 2*x2 ≤ 12 Planta3: 3 ∗ x1 + 2 ∗ x2 ≤ 18 No Negatividad: x1 , x2 ≥ 0 Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 77 / 169. Región Factible x2. 0,6 z=30. Planta1. Planta2. 2,6 z=36. 4,3 z=27. x1 0,0 z=0. 4,0 z=12 Planta3. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 78 / 169.

(40) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo Canónico Puertas y Ventanas. Max. z = 3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 x1 ≤ 4 2∗. 3∗. x2 ≤ 12. x1 + 2 ∗ x2 ≤ 18 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 79 / 169. 18 de marzo de 2016. 80 / 169. Modelo Estándar Puertas y Ventanas. Max. z = 3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 x1 + h1 = 4 2∗. 3∗. x2 + h2 = 12. x1 + 2 ∗ x2 + h3 = 18 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(41) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo Matricial Puertas y Ventanas. . xn xb. . =. . x h. cn cb. . . =. =. . x1 x2 h1 h2 h3. . 3. . b=. 5. 0. 4. . 12. . 0. 0. . . 18. . N B. . =. . A I. . . 1. 0. =. 0. 2. 3. 2. . 1 1.  1. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 81 / 169. Tabla Simplex Inicial Puertas y Ventanas x1 x2 h1 h2 h3 z −3 −5 0 0 0 h1 1 0 1 0 0 h2 0 2 0 1 0 h3 3 2 0 0 1 Solución actual:. 0 4 12 18. x1 = 0, x2 = 0 z =0. Valor de la solución actual:. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x2 h2 (12/2 = 6. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 18/2. = 9). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 82 / 169.

(42) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex Puertas y Ventanas x1 x2 h1 h2 h3 z −3 0 0 5/2 0 h1 1 0 1 0 0 x2 0 1 0 1/2 0 h3 3 0 0 −1 1. 30 4 6 6. x1 = 0, x2 = 6 solución actual: z = 30. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x1 h3 (4/1 = 4. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 6/3. = 2). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 83 / 169. Tabla Simplex Puertas y Ventanas. z h1 x2 x1. x1 x2 h1 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. h2 / 1/3 1/2 −1/3 3 2. h3 1. 36. −1/3. 2. 0. 6. /. 2. 1 3. x1 = 2, x2 = 6 solución actual: z = 36. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: SI, no existen costos reducidos negativos. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 84 / 169.

(43) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo 3D Max. z = 1 ∗ x1 + 2 ∗ x2 + 3 ∗ x3 x1 ≤ 10 x2 ≤ 12 x3 ≤ 8 x1 + x2 ≤ 15 x2 + x3 ≤ 15 x1 , x2, x3 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 85 / 169. 18 de marzo de 2016. 86 / 169. Región Factible 3D. Desafío Dibujar la Región Factible Encontrar los Puntos Extremos Encontrar el Óptimo. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(44) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo Estándar 3D. Max x1. z = 1 ∗ x1 + 2 ∗ x2 + 3 ∗ x3 +h1. x2. x3. +h2. +h3. x1 +x2 x2 +x3. +h4. +h5. = = = = =. 10 12 8 15 15. x1 , x2, x3 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 87 / 169. Tabla Simplex Inicial 3D x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4 h5 z −1 −2 −3 0 0 0 0 0 h1 1 0 0 1 0 0 0 0 h2 0 1 0 0 1 0 0 0 h3 0 0 1 0 0 1 0 0 h4 1 1 0 0 0 0 1 0 h5 0 1 1 0 0 0 0 1. 0 10 12 8 15 15. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 solución actual: z = 0. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x3 h3 (8/1 = 8. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 15/1. = 15). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 88 / 169.

(45) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex 3D x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4 h5 z −1 −2 0 0 0 3 0 0 h1 1 0 0 1 0 0 0 0 h2 0 1 0 0 1 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 h4 1 h5 0 1 0 0 0 −1 0 1. 24 10 12 8 15 7. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 8 solución actual: z = 24. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x2 h5 (12/1 = 12. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 15/1. = 15. vs 7/1. = 7). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 89 / 169. Tabla Simplex 3D x1 x2 x3 h1 h2 h3 h4 h5 z −1 0 0 0 0 1 0 2 h1 1 0 0 1 0 0 0 0 h2 0 0 0 0 1 1 0 −1 x3 0 0 1 0 0 1 0 0 h4 1 0 0 0 0 1 1 −1 x2 0 1 0 0 0 −1 0 1. 38 10 5 8 8 7. x1 = 0, x2 = 7, x3 = 8 solución actual: z = 38. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x1 h4 (10/1 = 10. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 8/1. = 8). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 90 / 169.

(46) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex 3D. z h1 h2 x3 x1 x2 Solución actual:. x1 x2 x3 h1 h2. h3. h4. h5. 2. 1. 1. 46. 1. 2. 0. −1. 5. 1. 0. 0. 8. 0. 1. 1. −1. 8. 0. −1. 0. 1. 7. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. −1 −1. x1 = 8, x2 = 7, x3 = 8 z = 46. Valor de la solución actual:. Solución Óptima: SI, no existen costos reducidos negativos. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 91 / 169. Ejercicio 1 Max. z = −1 ∗ x1 + 3 ∗ x2 2∗. x1 + 3 ∗ x2 ≤ 6. x1 − 2 ∗ x2 ≥ −2 x1 , x2 ≥ 0 1. Resuelva por método gráco.. 2. Resuelva por método simplex. Nota: Recuerde expresar la solución óptima indicando el valor que toman las variables de decisión y el valor de la función objetivo.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 92 / 169.

(47) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Región Factible x2 R2. 6/7,10/7 z=24/7. 0,1 z=3. x1. 0,0 z=0. 3,0 z=-3 R1. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 93 / 169. Modelo Estándar. Max. z = −1 ∗ x1 + 3 ∗ x2. 2 ∗ x1 +3 ∗ x2 +h1 = −1 ∗ x1 +2 ∗ x2 +h2 =. 6 2. x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 94 / 169.

(48) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex Inicial. x1 x2 h1 h2 z 1 −3 0 0 h1 2 3 1 0 h2 −1 2 0 1. 0 6 2. x1 = 0, x2 = 0 solución actual: z = 0. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x2 h2 (6/3 = 2. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 2/2. = 1). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 95 / 169. Tabla Simplex. z h1 x2. x1. x2 h1. h2. −1/2. 0. 0. 3 2. /. 3. / −1/2. 0. 1. −3/2. 3. 1. 0. 1 2. /. 1. 7 2. x1 = 0, x2 = 1 solución actual: z = 3. Solución actual: Valor de la. Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x1 h1 (3/7/2 = 6/7). Variable de Entrada: Variable de Salida:. Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 96 / 169.

(49) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Tabla Simplex. z x1 x2 Solución actual:. x1 x2 h1. h2. / 2/7 1/7. 9 7. /. 24 7. −3/7. 6 7. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1 7. /. 2 7. / / 10/7. x1 = / x2 = 10 z = 24/7 6 7,. Valor de la solución actual:. Solución Óptima: SI, no existen costos reducidos negativos. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 97 / 169. 18 de marzo de 2016. 98 / 169. Ejercicio 2 Max. z = 3 ∗ x1 + 2 ∗ x2. 2∗. x1 + 1 ∗ x2 ≤ 18. 2∗. x1 + 3 ∗ x2 ≤ 42. 3∗. x1 + 1 ∗ x2 ≤ 24 x1 , x2 ≥ 0. 1. Resuelva por método gráco.. 2. Resuelva por método simplex.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(50) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Ejercicio 3 Usted posee una panadería que vende tres tipos de empanadas: grandes, medianas y pequeñas y desea saber cual es la combinación de productos que se deben fabricar. En su nomina de empleados usted puede tener trabajadores a tiempo completo (50 horas por semana) y trabajadores a media jornada (25 horas por semana). El sindicato de trabajadores le exige que existan al menos 20 personas a tiempo completo y que por cada trabajador a media jornada existan al menos 1.5 trabajadores a jornada completa. El sueldo de una persona a tiempo completo es de 400 pesos por hora y para los media jornada de 300 pesos por hora. Para fabricar una empanada grande se necesitan de 20 cm2 de masa y de 20 minutos, para la mediana 15 cm2 y 30 minutos y para la pequeña 10 cm2 y 40 minutos. Usted dispone semanalmente de un paño de masa preparada de 8 metros de largo y 5 metros de ancho. SI el precio de venta de las empanadas es de 900, 700, 500 pesos respectivamente, ¾Cuál es la mejor combinación de productos que se deben fabricar?. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 99 / 169. Variables. eg: el número de empanadas grandes a producir semanalmente em: el número de empanadas medianas a producir semanalmente ec: el número de empanadas pequeñas a producir semanalmente tc: el número de trabajadores a tiempo completo tp: el número de trabajadores a tiempo parcial. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 100 / 169.

(51) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo Max. z = 900 ∗ eg + 700 ∗ em + 500 ∗ ec − 400 ∗ 50 ∗ tc − 300 ∗ 25 ∗ tp tc ≥ 20 1, 5 ∗. 20 ∗. tp ≤tc. eg + 15 ∗ em + 10 ∗ ec ≤ 800 ∗ 500. / ∗ eg + 30/60 ∗ em + 40/60 ∗ ec ≤ 50 ∗ tc + 25 ∗ tp. 20 60. eg , em, ec , tc , tp ≥ 0 Se deben fabricar 20000 empanadas grandes, contratando 100 personas a tiempo completo y a 66,6 personas a tiempo parcial. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 101 / 169. Ejercicio 4 Un agricultor que dispone de 50 hectáreas para plantar trigo o maíz quiere determinar cuántas hectáreas debe destinar para cultivar cada uno de estos productos, con el propósito de obtener un benecio máximo. Sabe que cada hectárea le produce 85 sacos de maíz o 50 sacos de trigo y le demandará 10 horas de trabajo por temporada, cualquiera sea la semilla que siembre. Además, para cosechar un saco de maíz requiere de 45 minutos y por cada saco de trigo necesita de 15 minutos. El total de horas de trabajo que quiere dedicar al año son 2125. El precio de venta es de $15000 por saco de trigo y $10000 por saco de maíz y los costos directos de producción (semillas, fertilizantes, etc.) ascienden a $90000 por hectárea sembrada de trigo y $95000 por hectárea sembrada de maíz. El agricultor desea producir al menos 1000 sacos de maíz y cultivar al menos tantas hectáreas de trigo como de maíz.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 102 / 169.

(52) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Variables. x1 =. Hect áreas. de trigo. x2 =. Hect áreas. de ma´ız. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 103 / 169. Modelo Max. z = 15000 ∗ 50 ∗ x1 + 10000 ∗ 85 ∗ x1 − 90000 ∗ x1 − 95000 ∗ x2 x1 + x2 ≤50 10 ∗. x1 + 10 ∗ x2 + 15/60 ∗ 50 ∗ x1 + 45/60 ∗ 85 ∗ x2 ≤ 2125 x1 ≥ x2 85 ∗. x2 ≥ 1000. x1 , x2 ≥0 Nota: También se puede expresar las variables en sacos... Inténtelo !!. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 104 / 169.

(53) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Ejercicio 5a Una empresa de la zona, dedicada al negocio de comercialización de productos agrícolas, compra y vende trigo en efectivo. Posee una bodega con capacidad de 20.000 kg. de trigo. El 1 de enero, espera tener un inventario inicial de 14.000 kg. de trigo y $600.000 en dinero efectivo. Las condiciones del mercado estipulan que la cantidad de trigo que se compre en un mes estará disponible para la venta inmediatamente al inicio del mes siguiente. No hay ninguna forma de vender en un mes la cantidad comprada en el mismo mes. La empresa tiene que satisfacer los pedidos que ha establecido en un contrato con sus clientes preferidos. También, en cada mes, puede vender toda la cantidad que desee y que exceda el pedido exigido para ese mes. El almacenamiento del trigo en la bodega tiene un costo de mantenimiento de $2 el kg de trigo de un mes a otro. En la tabla que sigue se muestra el precio de compra, el precio de venta y el tamaño del pedido que debe satisfacer cada mes.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 105 / 169. Ejercicio 5b Mes. Precio de compra Precio de venta Demanda [$/kg]. [$/kg]. [kg]. Enero. 35. 35. 8.000. Febrero. 36. 38. 15.000. Marzo. 33. 39. 12.000. Abril. 38. 36. 11.000. Se asume que el dinero de las ventas que realiza en un mes llega al nal del mismo mes y está disponible para utilizarlo al inicio del mes siguiente. La gerencia de la empresa desea tener un inventario nal de 10.000 kg. de trigo al terminar el último mes. Dena las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal que le permita a la gerencia disponer de un programa de compra y venta que maximice el dinero que tendrá disponible para el mes 5.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 106 / 169.

(54) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Variables cj =. kilogramos. vj =. Ij =. de trigo comprado en el. kilogramos. kilogramos gj =. de trigo vendido en el. mes mes. de trigo en inventario en el. dinero disponible al. inicio del. mes. j j. mes. j. j. j ∈ {1, 2, 3, 4} Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 107 / 169. 18 de marzo de 2016. 108 / 169. Modelo 1/3. Maz. z = g4 + 36 ∗ v4. 14000 + 0. = v1 + I1. I1 + c1 = v2 + I2 I2 + c2 = v3 + I3 I3 + c3 = v4 + I4. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098.

(55) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex. Modelo 2/3. 600000. = 35 ∗ c1 + 2 ∗ I1 + g1. g1 + 35 ∗ v1 = 36 ∗ c2 + 2 ∗ I2 + g2 g2 + 38 ∗ v2 = 33 ∗ c3 + 2 ∗ I3 + g3 g3 + 39 ∗ v3 = 38 ∗ c4 + 2 ∗ I4 + g4. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex. 18 de marzo de 2016. 109 / 169. Modelo 3/3. v1 ≥ 8000. v2 ≥ 15000. v3 ≥ 12000. v4 ≥ 11000. I2 ≤ 20000. I3 ≤ 20000. I4 = 10000. I1 ≤ 20000 c1 ≥ 0. c2 ≥ 0. c3 ≥ 0. c4 ≥ 0. I1 ≥ 0. I2 ≥ 0. I3 ≥ 0. I4 ≥ 0. g1 ≥ 0. g2 ≥ 0. g3 ≥ 0. g4 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 110 / 169.

(56) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Metodo Big-M. ¾Que hacemos cuando X=0 no es solución factible? ¾Cuando pasa esto?. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 111 / 169. Caso1: igualdad. Max. z = 3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 x1 ≤ 4 2∗. 3∗. x2 ≤ 12. x1 + 2 ∗ x2 = 18 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 112 / 169.

(57) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Caso1: igualdad. Max x1. x2 +2 ∗ x2. z = 3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 +h1. 2∗. 3∗. x1. +h2 ¾?. = = =. 4 12 18. x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 113 / 169. Caso1: igualdad. Max x1. z = 3 ∗ x1 + 5 ∗ x2 − M ∗ a3. x2 +2 ∗ x2. +h1. 2∗. 3∗. x1. +h2. a3. = = =. 4 12 18. x1 , x2 ≥ 0 Nota1: Nota2:. a3 M. es una variable Articial, la cual debe valer cero. es un numero. Nota3: el termino. muy grande. −M ∗ a3 (en un problema de máximo) obliga a ser cero la. variable artificial a3. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 114 / 169.

(58) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex Pre-Inicial x1 x2 h1 h2 a3 z −3 −5 0 0 M h1 1 0 1 0 0 h2 0 2 0 1 0 a3 3 2 0 0 1. 0 4 12 18. La tabla simplex no esta en su estructura inicial, los costos reducidos de la base no son cero. Se debe hacer un cero en los costos reducidos para las variables básicas, calculamos. (la. z ) = (la z ) − M ∗ (la a3 ). Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 115 / 169. Tabla Simplex INICIAL x1 x2 h1 h2 a3 z −3 − 3M −5 − 2M 0 0 0 −18M h1 1 0 1 0 0 4 h2 0 2 0 1 0 12 a3 3 2 0 0 1 18 Nota: La solución actual implica que. a3. vale 18, por tanto la solución. actual no es factible !, esto también se ve reejado en que. x1 = 0, x2 = 0 solución actual: z = −18M. z = −18M. Solución actual: Valor de la. (infactible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x1 h1 (4/1 = 4. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 18/3. = 6). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 116 / 169.

(59) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex x1. z x1 h2 a3. x2. 0. −5 − 2M. 1. 0. 0. 2. 0. 2. h1. M. h2 a3. 3+3. 12 − 6. 0. 0. 0. 0. 4. 0. 1. 0. 12. −3. 0. 1. 6. 1. Nota: La solución actual implica que. a3. M. vale 6, por tanto la solución actual. no es factible !, esto también se ve reejado en que. x1 = 4, x2 = 0 solución actual: z = 12 − 6M. z = 12 − 6M. Solución actual: Valor de la. (infactible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x2 a3 (12/2 = 6. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 6/2. = 3). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 117 / 169. Tabla Simplex. z x1 h2 x2 Solución actual:. x1 x2. h1. h2. 0. 0. −9/2. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 27. 0. 0. 4. 3. 1. 6. −3/2. 0. −1 1/2. x1 = 4, x2 = 3 z = 27. Valor de la solución actual:. a3. / +M. 5 2. 3. (factible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. h1 h2 (4/1 = 4. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 6/3. = 2). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 118 / 169.

(60) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex. z x1 h1 x2. x1 x2 h1 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. x1 = 2, x2 = 6 solución actual: z = 36. h2 / −1/3 1/3 1/2 3 2. a3 M. 1+. 36. / −1/3. 2. 0. 6. 1 3. 2. Solución actual: Valor de la. (factible). Solución Óptima: SI, no existen costos reducidos negativos. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 119 / 169. Caso2: mayor o igual. Max. z = −x1 + 2 ∗ x2 x1 + x2 ≥ 2 − x1 + x2 ≥ 1. x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 120 / 169.

(61) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Caso2: mayor o igual. Max. z = −x1 + 2 ∗ x2. x1 +x2 −s1 −x1 +x2 −s2 x2. +h3. = = =. 2 1 3. x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 121 / 169. Caso2: mayor o igual. Max. z = −x1 + 2 ∗ x2 − M ∗ a1 − M ∗ a2. x1 +x2 −s1 +a1 −x1 +x2 −s2 +a2 x2. +h3. = = =. 2 1 3. x1 , x2 ≥ 0 a1 , a2 son variables Articiales, la cuales deben valer cero. Nota2: M es un numero muy grande Nota3: el termino −M ∗ a1 − M ∗ a2 en un problema de máximo) obliga a ser cero las variables artificiales a1 , a2 Nota1:. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 122 / 169.

(62) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex Pre-Inicial x1 x2 s1 s2 a1 a2 h3 z 1 −2 0 0 M M 0 a1 1 1 −1 0 1 0 0 a2 −1 1 0 −1 0 1 0 h3 0 1 0 0 0 0 1. 0 2 1 3. La tabla simplex no esta en su estructura inicial, los costos reducidos de la base no son cero. Se debe hacer un cero en los costos reducidos para las variables básicas, calculamos. (la. z ) = (la z ) − M ∗ (la a1 ) − M ∗ (la a2 ). Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 123 / 169. Tabla Simplex INICIAL x1 x2 s1 s2 a1 a2 h3 z 1 −2 − 2M M M 0 0 0 −3M a1 1 1 −1 0 1 0 0 2 a2 −1 1 0 −1 0 1 0 1 h3 0 1 0 0 0 0 1 3 Nota: La solución actual implica que. a1 = 2, a2 = 1,. por tanto la solución. actual no es factible !, esto también se ve reejado en que. x1 = 0, x2 = 0 solución actual: z = −3M. z = −3M. Solución actual: Valor de la. (infactible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x2 a2 (2/1 = 2. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 1/1. =1. vs 3/1. = 3). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 124 / 169.

(63) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex x1 x2 s1 s2 a1 z −1 − 2M 0 M −2 − M 0 a1 2 0 −1 1 1 x2 −1 1 0 −1 0 h3 1 0 0 1 0. a2. h3. M. 0. 2−. 0. 1. 1. 0. 1. −1. 1. 2. 2+2. −1. M. a1 = 1, por tanto la solución actual no reejado en que z = 2 − M. Nota: La solución actual implica que es factible !, esto también se ve Solución actual:. x1 = 0, x2 = 1 z = 2−M. Valor de la solución actual:. (infactible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. x1 a1 (1/2 = 1/2. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs 2/1. = 2). Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 125 / 169. Tabla Simplex. z x1 x2 h3. x1 x2. Solución actual:. s1. s2. 0. 0. −1/2. 1. 0. −1/2. 0. 1. −1/2. 0. 0. 1 2. −3/2 1/2 −1/2 1/2. /. a1. x1 = / x2 = / z = 5/2 1 2,. / +M 1/2 1/2 −1/2. 1 2. a2. / +M −1/2 1/2 −1/2. h3. 3 2. / / 3/2 3/2. 0. 5 2. 0. 1 2. 0 1. 3 2. Valor de la solución actual:. (factible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. s2 x1 (1/2/1/2 = 1. Variable de Entrada: Variable de Salida:. vs. / / / = 3). 3 2 1 2. Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. Rodrigo Linfati (UBB). z. y recuperar la matriz identidad.. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 126 / 169.

(64) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Tabla Simplex x1 x2 s1 s2 z 3 0 −2 0 s2 2 0 −1 1 x2 1 1 −1 0 h3 −1 0 1 0 x1 = 0, x2 = 2 solución actual: z = 4. a1 M. a2 M. h3 0. 4. 1. −1. 0. 1. 1. 0. 0. 2. −1. 0. 1. 1. 2+. Solución actual: Valor de la. (factible). Solución Óptima: NO, existen costos reducidos negativos. s1 h3 (1/1 = 1). Variable de Entrada: Variable de Salida:. Ahora, se debe retornar la matriz a su forma original, es decir, para la nueva variable básica hacer un cero en la la. z. y recuperar la matriz identidad.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 127 / 169. Tabla Simplex. x1 x2 s1 s2 a1 a2 h3 z 1 0 0 0 M M 2 s2 1 0 0 1 0 −1 1 x2 0 1 0 0 0 0 1 s1 −1 0 1 0 −1 0 1 x1 = 0, x2 = 3 solución actual: z = 6. 6 2 3 1. Solución actual: Valor de la. (factible). Solución Óptima: SI, no existen costos reducidos negativos. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 128 / 169.

(65) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Ejemplo Big-M. Min z = 0, 4 ∗ x1 + 0, 5 ∗ x2 0, 3 ∗. x1 + 0, 1 ∗ x2 ≤ 2, 7. 0, 5 ∗. x1 + 0, 5 ∗ x2 = 6. 0, 6 ∗. x1 + 0, 4 ∗ x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 129 / 169. Ejemplo. Usted se ganó el Kino, y decide prestarle dinero a sus amigos de toda la vida y a sus compañeros de trabajo. A sus amigos de toda la vida les cobrará un 7 % de interés, en cambio a sus compañeros de trabajo un 10 %, ya que estima que el 20 % de este grupo no le devolverá el dinero. Si desea prestarle a sus compañeros de trabajo 2 veces más que a sus amigos de toda la vida y su premio fue de 10.000.000 pesos. Formule un modelo matemático que le ayude a repartir su dinero.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 130 / 169.

(66) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Ejemplo Big-M. Max. z = 3 ∗ x1 + 4 ∗ x2. 1∗ 2∗. x1 + 1 ∗ x2 ≤ 4. x1 + 3 ∗ x2 ≥ 18 x1 , x2 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 131 / 169. Ejemplo Big-M. Min z = −4 ∗ x1 + 3 ∗ x2 − 1 ∗ x1 + 1 ∗ x2 ≥ 6 − 2 ∗ x1 − 1 ∗ x2 ≥ 0 − 1 ∗ x1 + 0 ∗ x2 ≥ 2. x1 sin restricci oń,. Rodrigo Linfati (UBB). x2 ≥ 0. Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 132 / 169.

(67) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Ejemplo Big-M. Min z = 375 ∗ x1 + 200 ∗ x2 + 50 ∗ x3 5∗. x1 + 5 ∗ x2 + 10 ∗ x3 = 500. 10 ∗. x1 + 8 ∗ x2 + 5 ∗ x3 ≤ 800. 10 ∗. x1 + 5 ∗ x2 + 0 ∗ x3 ≤ 500 x1 , x2 , x3 ≥ 0. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 133 / 169. Ejemplo Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas, mezclando diferentes tamaños. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12, además:. 1. El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.. 2. El peso de los tamaños 1 y 2 (de forma independiente) no debe ser mayor que 1,6 libras. 3. Cualquier tamaño de tuercas debe ser al menos el 10 % del paquete total. ¾Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 134 / 169.

(68) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Ejemplo. En una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para bocel, cuya longitud original es de 300 cm. El Departamento de ventas tiene pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 cm. x 90 cm. El Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles de 119 cm. Y 350 boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión). Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 135 / 169. Ejemplo. Una fábrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y 45 respectivamente. El coste del transporte por jamón en euros se ve en la tabla siguiente: M. N. O. Oferta. A. 5. 6. 8. 50. B. 7. 4. 2. 80. Demanda 35 50 45 Formule el problema que mínimo el gasto en transporte.. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 136 / 169.

(69) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Ejemplo. Usted posee una fábrica de sillas y mesas, las cuales son fabricadas con madera y pegamento. Las sillas requieren de 2 mt2 de madera, 3 gotas de pegamentos y 1 hora de trabajo. Las mesas requieren de 3 mt2 de madera, 2 gotas de pegamento y 2 horas de trabajo. Cada silla vale 400 pesos y cada Mesa 500 pesos. Actualmente usted tiene 100 mt2 de madera, 120 gotas de pegamento y 70 horas de trabajo. Usted puede ir al aserradero que esta al lado y comprar madera a un precio de 100 pesos por mt2. Usted debe producir al menos 20 sillas y 25 mesas. Formular.. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 137 / 169. Casos de Restricciones - Simplex (Primal). Original. para Tabla Simplex. ai ∗ x ≤ b ai ∗ x ≤ −b. =⇒ ai ∗ x + h = b =⇒ −ai ∗ x ≥ b =⇒ −ai ∗ x − s = b =⇒ −ai ∗ x − s + a = b. Cuadro : Casos de Restricciones Menor o Igual Nota: Cuando se añade una variable Articial, se debe incluir en la función objetivo multiplicada por un numero muy grande (M).. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 138 / 169.

(70) Programación Lineal / Linear Programming. Método Simplex Big-M. Casos de Restricciones - Simplex (Primal). Original. para Tabla Simplex. ai ∗ x = b =⇒ ai ∗ x + a = b ai ∗ x = −b =⇒ −ai ∗ x = b =⇒ −ai ∗ x + a = b Cuadro : Casos de Restricciones Igual Nota: Cuando se añade una variable Articial, se debe incluir en la función objetivo multiplicada por un numero muy grande (M).. Rodrigo Linfati (UBB) Investigación Operativa 1 - 430098 18 de marzo de 2016 Programación Lineal / Linear Programming Método Simplex Big-M. 139 / 169. Casos de Restricciones - Simplex (Primal). Original. para Tabla Simplex. ai ∗ x ≥ b. =⇒ ai ∗ x − s = b =⇒ ai ∗ x − s + a = b ai ∗ x ≥ −b =⇒ −ai ∗ x ≤ b =⇒ −ai ∗ x + h = b Cuadro : Casos de Restricciones Mayor o Igual Nota: Cuando se añade una variable Articial, se debe incluir en la función objetivo multiplicada por un numero muy grande (M).. Rodrigo Linfati (UBB). Investigación Operativa 1 - 430098. 18 de marzo de 2016. 140 / 169.