1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

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Algebra lineal y Geometr´ıa I´

Gloria Serrano Sotelo

Departamento de MATEM ´ATICAS

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Sea k un cuerpo.

Definici´on 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial sobre k es un conjunto E con dos operaciones, suma y multiplicaci´on por elementos de k, que verifican:

Suma

1. Es una operaci´on cerrada: e + e^� ∈ E, cualesquiera que sean e, e^� ∈ E.

2. Es asociativa: (e + e^�) + e^��= e + (e^�+ e^��), cualesquiera que sean e, e^�, e^�� ∈ E.

3. Tiene elemento neutro: Existe 0∈ E tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E.

4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada E ∈ E existe −e ∈ E tal que e + (−e) = (−e) + e = 0.

5. Es conmutativa: e + e^� = e^�+ e, cualesquiera que sean e, e^� ∈ E.

Multiplicaci´on por elementos de k

1. Es una operaci´on cerrada: λe∈ E, cualesquiera que sean λ ∈ k y e ∈ E.

2. λ(e + e^�) = λe + λe^�, cualesquiera que sean λ∈ k y e, e^� ∈ E.

3. (λµ)e = λ(µe), cualesquiera que sean λ, µ∈ k y e ∈ E.

4. (λ + µ)e = λe + µe, cualesquiera que sean λ, µ∈ E y e ∈ E.

5. 1e = e, siendo 1 la unidad de k.

Los elementos del espacio vectorial E se llaman vectores y los del cuerpo base k escalares.

Ejemplos 1.2.

• Rⁿ={(x1, . . . , x_n) : x_i ∈ k, 1 ≤ i ≤ n} es un R-espacio vectorial con las operaciones:

Suma (x1, . . . , xn) + (x^�₁, . . . , x^�_n) = (x1 + x^�₁, . . . , xn + x^�_n) y multiplicaci´on por escalares λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λ xn).

• k[x] = {polinomios en x con coeficientes en k} es un k- espacio vectorial con las operaciones suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar.

• C = {a + bi : a, b ∈ R} es un R-espacio vectorial con las operaciones suma de números complejos y producto de un número complejo por un número real.

• C es tambi´en un C-espacio vectorial respecto de la suma y el producto de n´umeros complejos.

• Matrices de orden m × n con coeficientes en k

M (m× n, k) = {A = (aij) : aij ∈ k, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

es un k- espacio vectorial con las operaciones: Suma de matrices, A + B = (aij + bij), y producto de una matriz por un escalar, λA = (λaij).

Una combinaci´on lineal de los vectores e₁, . . . , e_n ∈ E es un vector de E de la forma λ1e1+· · · + λⁿen para ciertos escalares λ1. . . λn ∈ k.

Los subconjuntos del espacio vectorial E que conservan la estructura lineal son los que son cerrados por combinaciones lineales:

Definici´on 1.3. Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si es cerrado por combinaciones lineales, es decir, si λv + µv^� ∈ V cualesquiera que sean v, v^� ∈ V y λ, µ ∈ k.

1

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Ejemplos 1.4.

• Las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios de R³.

• Los polinomios de grado menor o igual que dos forman un subespacio de k[x].

• El conjunto S(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = A^t} de las matrices sim´etricas de orden n con coeficientes en k es un subespacio vectorial de M (n, k)

Se representa por�e1, . . . en� el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores e1, . . . , en. Por definici´on, �e1, . . . en� es un subespacio vectorial de E, el subespacio generado por los vectores e1, . . . , en.

Si E = �e1, . . . en�, es decir, si todo vector de E se expresa como combinaci´on lineal de e1, . . . , en, se dice que {e1, . . . , en} forman un sistema de generadores de E.

Ejemplos 1.5.

• Los polinomios 1, x, x² generan el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a cero.

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman un sistema de generadores del plano de R³ de ecuaci´on x + 2y− z = 0.

• Las matrices

�1 0 0 0

� ,

�0 1 1 0

� y

�0 0 0 1

�

generan S(2,R).

2. Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensi´on Sea E un k-espacio vectorial.

Los vectores{e1, . . . , en} de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combinaci´on lineal de los otros, esto es, si ei = α1e1+· · ·+ ˆei+· · ·+αnenpara ciertos α1, . . . , αn∈ k.

Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinación lineal de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinación lineal son cero, si λ1e1+· · · + λⁿen = 0⇒ λ¹ =· · · = λⁿ= 0.

Definici´on 2.1. Los vectores {e1, . . . , e_n} forman una base de E si generan E y son linealmente independientes.

El vector cero es combinaci´on lineal de cualesquiera vectores, 0 = 0e₁+· · ·+0en, luego nunca puede formar parte de una base.

Teorema 2.2. (Caracterización de una base) Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de E si y sólo si cualquier vector de E se puede expresar de modo único como combinación lineal de ellos.

Demostraci´on.

• Si {e1, . . . , e_n} es una base de E, probaremos que para todo vector e de E existen escalares

´

unicos λ₁, . . . , λ_n tales que e = λ₁e₁+· · · + λne_n:

Como{e¹, . . . , en} generan E, cualquiera que sea e ∈ E es e = λ¹e1+· · · + λⁿenpara ciertos λi ∈ k. Adem´as, los escalares λ¹, . . . , λn son ´unicos, pues si existen otros escalares µ1, . . . , µn

tales que e = µ1e1+· · · + µⁿen, igualando, resulta que (λ1− µ¹)e1+· · · + (λⁿ− µⁿ)en= 0, de donde se deduce que λ1 − µ¹ = · · · = λⁿ− µⁿ = 0 ya que {e¹, . . . , en} son linealmente independientes, luego λ1 = µ1. . . λn = µn.

• Rec´ıprocamente, si todo vector de E se expresa de modo ´unico como combinaci´on lineal de los vectores {e1, . . . , en} demostraremos que {e1, . . . , en} forman una base de E:

{e1, . . . , en} generan E pues todo vector de E es combinación lineal de ellos y son linealmente independientes, ya que si λ1e1+· · · + λnen= 0 necesariamente λ1 = . . . λn = 0 pues el vector cero es 0 = 0e1+· · ·+0eny por hipótesis los escalares de la combinación lineal son únicos. � Si e = λ₁e₁+· · · + λne_n es la expresión del vector e en la base{e1, . . . , e_n} de E, los escalares (λ₁, . . . λ_n) son las coordenadas del vector e en esa base.

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Ejemplos 2.3.

• Los vectores {(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} forman una base de Rⁿ.

• Los n´umeros complejos {1, i} forman una base de C como R-espacio vectorial.

• Los polinomios {1, x, x²} forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos. Las coordenadas del polinomio 5− 3x + 2x² en esta base son (5,−3, 2).

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman una base del plano de R³ de ecuaci´on x + 2y− z = 0. Las coordenadas, respecto de esa base, del vector e = (1, 1, 3) del plano son (1, 1), pues e = u + v.

• Las matrices A1 =

�1 0 0 0

�

, A2 =

�0 1 1 0

�

y A3 =

�0 0 0 1

�

definen una base de S(2,R).

Las coordenadas de la matriz sim´etrica A =

�2 3 3 1

�

en esa base son (2, 3, 1), ya que A = 2A1+ 3A2+ A3.

Probaremos ahora que toda colecci´on de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial se puede ampliar hasta formar una base del espacio.

Teorema 2.4. (Teorema de Steinitz) Sean{v1, . . . , vm} vectores linealmente independientes de E y{e1, . . . , en} una base de E. Se pueden sustituir m vectores de la base {e1, . . . , en} por los vectores {v1, . . . , v_m} para obtener una nueva base de E.

Demostraci´on. Iremos sustituyendo, uno a uno, m vectores de la base {ei} por los vectores {v¹, . . . , vm}.

• Probaremos que {v¹, e2, . . . , en} es una base de E.

Como {e¹, . . . , en} es una base y v¹ ∈ E es v¹ = λ1e1 +· · · + λⁿen (1)

y no todos los escalares {λⁱ} son nulos, pues en ese caso v¹ = 0 y el vector cero no puede formar parte de una colecci´on de vectores linealmente independientes.

Podemos suponer, reordenando la base si es preciso, que λ1 �= 0. Despejando, resulta que e1 = _λ¹₁v1−^λ_λ²₁en− · · · −^λ_λⁿ₁en, de lo que se deduce que los vectores{v1, e2. . . , en} generan E.

Los vectores {v1, e2. . . , en} son linealmente independientes ya que si µ1v1 +· · · + µnen= 0, sustituyendo v1 por (1) se obtiene µ1λ1e1 + (µ1λ2 + µ2)e2 + · · · + (µ1λn + µn)en = 0 y µ₁λ₁ = µ₁λ₂+ µ₂ =· · · = µ1λ_n+ µ_n = 0 por ser{e1, . . . , e_n} linealmente independientes. Por otra parte, como λ₁ �= 0 debe ser µ1 = 0, de lo que se deduce que tambi´en µ₂ =· · · = µn= 0.

• Probaremos que {v¹, . . . , vm, . . . , en} es una base de E.

Supongamos que ya hemos sustituido m − 1 vectores de la base {e¹, . . . , en} por vectores vi. Reordenando si es preciso, podemos suponer que hemos sustituido los m primeros y que tenemos la nueva base {v¹, . . . , vm−1, em, . . . , en}. Expresando v^m en funci´on de esta base se tiene

vm = α1v1+· · · + αm−1vm−1+ βmem+· · · + βnen,

donde alg´un β_i tiene que ser no nulo, pues en otro caso v_m ser´ıa combinaci´on lineal de {v², . . . , vm} y hemos supuesto que {v¹, . . . , vm} son linealmente independientes. Como antes, reordenando si es necesario, podemos suponer que βm �= 0. Y el mismo argumento del apartado anterior prueba que podemos sustituir em por vm de manera que {v¹, . . . , vm, . . . , en}

es una base de E. �

Teorema 2.5. (Teorema de la base)Todas las bases de un k-espacio vectorial tienen el mismo n´umero de elementos.

Se llama dimensi´on del espacio vectorial E al n´umero de elementos de una base y se representa por dimkE.

Demostraci´on. Sean {e1, . . . , en} y {e^�1, . . . , e^�_m} dos bases de E. Por el teorema de Steinitz aplicado a la base {e1, . . . , en} y a los vectores linealmente independientes {e^�1, . . . , e^�_m}, debe ser m ≤ n, y ahora a la base {e^�1, . . . , e^�_m} y a los vectores linealmente independientes

{e1, . . . , e_n} da n ≤ m. Por tanto, n = m. �

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Es claro que la dimensión de un espacio vectorial coincide con el número máximo de vectores linealmente independientes y con el número m´ınimo de generadores. Por tanto, en un espacio vectorial de dimensión n cualesquiera n vectores linealmente independientes forman una base.

Ejemplos 2.6.

• dimRRⁿ= n

• dimRC = 2 y dimCC = 1 pues C = �1, i� considerado como R-espacio vectorial y C = �1�

considerado como C-espacio vectorial

• Los vectores v¹ = (2, 0, 3, 1), v2 = (−3, 1, 1, 1), v³ = (−1, 1, 2, 0) y v⁴ = (0, 1, 1, 2) forman una base de R⁴, pues son linealmente independientes, ya que det(v1, v2, v3, v4) �= 0, y dim_RR⁴ = 4.

• Los polinomios {1, x, x²} forman una base del espacio vectorial E de los polinomios de grado menor o igual a dos, luego dimkE = 3. Las coordenadas de los polinomios{1−2x, x²+ 1, 2 + x− x²} respecto de la base de E anterior son (1, −2, 0), (1, 0, 1) y (2, 1, −1) respectivamente, y como estos vectores son linealmente independientes ya que su determinante es distinto de cero, resulta que {1 − 2x, x²+ 1, 2 + x− x²} es otra base del espacio E de los polinomios de grado menor o igual a dos.

3. Problemas propuestos

1. Probar que el conjunto de matrices cuadradas diagonales con coeficientes en un cuerpo k tiene estructura de espacio vectorial sobre k.

2. Determinar cu´ales de los siguientes subconjuntos deRⁿ son subespacios vectoriales:

a) E ={(0, x2, . . . , xn)} b) E ={(1, x2, . . . , xn)}

c) E ={(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Q}

d ) E ={(x1, x2, . . . , xn) : �n

i=1xi = 0} e) E ={(x1, x₂, . . . , x_n) : �n

i=1x_i = 5}

3. Sea F (R, R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudiar si E es un subespacio de F (R, R), donde:

a) E ={f ∈ F (R, R): f(3) = 0}

b) E ={f ∈ F (R, R): f(1) = f(2)}

c) E ={f ∈ F (R, R): f(−x) = −f(x)}

d ) E ={f ∈ F (R, R): f es continua}

e) E ={f ∈ F (R, R): f es derivable}

4. Demostrar que los vectores (−5, 2, 8, −16), (−5, 3, 17, −14), (1, 1, 11, 6) de R⁴ son linealmente independientes.

5. Demostrar que los vectores (m, 1, 0), (−1, m, 0) y (0, 1, 1) son linealmente independientes en R³, sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en C³.

6. Consid´erense las matrices

�−3 2

−4 1

� ,

�2 3 1 5

� ,

� 9 x

−3 y

�

. Determinar x e y para que dichas matrices sean linealmente independientes.

7. Pru´ebese que las funciones sin x, sin 2x, . . . , sin nx son linealmente independientes sobre el cuerpo R.

Pru´ebese otro tanto para las funciones e^α¹^x, e^α²^x, . . . , e^αⁿ^x donde α1, . . . , αn son n n´umeros reales distintos.

8. Demostrar que el subespacio E = {(a, b, 0): a, b ∈ R} de R³ est´a generado por cualquiera de los pares de vectores siguientes:

a) e = (1, 1, 0), e^� = (1, 0, 0) b) e = (2,−1, 0), e^� = (−1, −1, 0)

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9. Determinar x e y en el vector (3, 2, x, y) ∈ Q⁴ para que pertenezca al subespacio generado por (1, 4,−5, 2), (1, 2, 3, 1).

10. Pru´ebese que el subespacio deR³ generado por los vectores (1, 1, 1), (0, 1, 0) coincide con el subespacio generado por (2, 3, 2) y (1, 0, 1).

11. Hallar un vector com´un al subespacio E1 engendrado por los vectores (1, 2, 3) y (3, 2, 1) y al subespacio E2 engendrado por (1, 0, 1) y (3, 4, 3).

12. Sea A =

�1 2 3 m

� .

a) Encontrar el valor de m para que existan matrices cuadradas no nulas B tales que AB = 0.

b) Demostrar que dichas matrices (incluida el 0) forman un subespacio vectorial.

Encontrar un sistema de generadores linealmente independientes.

13. Averiguar si V es un subespacio vectorial real y en caso afirmativo calcula una base y su dimensi´on:

a) V ={(a, b, 0): a, b ∈ R}

b) V ={(a, b, c): a + b + c = 0}

c) V ={(a, b, c): a²+ b²+ c² ≥ 1}

d ) V ={(a, b, c): a = b + c}

e) V ={(a, b, c): a, b, c ∈ Q}

14. En un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los n´umeros complejos C se dan tres vectores a, b, c y se consideran los vectores

u = b + c, v = c + a, w = a + b

a) Probar que los subespacios vectoriales engendrados por a, b, c y por u, v, w son el mismo.

b) Demostrar que los vectores u, v, w son linealmente independientes s´ı y s´olo si lo son a, b, c.

15. Determinar λ para que los vectores (2, 4, 6), (1, 2, 3), (5, λ ,15) est´en en un mismo plano (subespacio de dimensi´on 2).

16. Determinar en Q⁵ una base del subespacio generado por los vectores (1, 2,−4, 3, 1), (6, 17,−7, 10, 22), (2, 5, 0, −3, 8), (1, 3, −3, 2, 0).

17. Demostrar que el subconjunto H ={(x, y, z) ∈ R³: x + 2y− z = 0} es un subespacio deR³ y calcular una base del mismo. ¿Cu´al es su dimensi´on?.

18. Comprobar que los vectores (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) forman una base del espacio vectorial R³ y calcular las coordenadas del vector (4, 6, 12) respecto de esta base.

19. Comprobar que los vectores e = (1,−1, 0), e^� = (2, 1, 0), e^�� = (0, 1, 1) forman una base. Encontrar las coordenadas respecto de la misma del vector (1, 1, 1).

20. Comprobar que las matrices

�1 0 0 0

� ,

�1 1 0 0

� ,

�1 1 1 0

� ,

�0 0 0 1

�

forman una base del espacio vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz

�5 3 1 1

�

respecto de esta base.

21. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios p(x)∈ R[x] de grado menor que 3.

a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x + x², 1 + x² forman una base.

b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x + 5x² en dicha base.

22. ¿Cuál es la condición para que dos números complejos z1 = a1+ b1i, z2 = a2+ b2i

formen una base del espacio vectorial real de los n´umeros complejos?.

23. Se considera el espacio vectorial R⁴ y se pide:

a) Hallar una base que contenga al vector (1, 2, 1, 1).

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b) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 2) y (1,−1, 2, 0).

c) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2) y (0, 3, 3, 0).

24. Se consideran los vectores deR³ (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

a) Demostrar que forman una base de R³.

b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (“base can´onica o est´andar”) respecto de esta base.

25. Se consideran en R⁴ los vectores (1, 0, 0, 1), (1, 2, 0, 0). Completar a una base de R⁴. 26. En el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que 3, demostrar que p₀(x) = 1, p₁(x) = x + 1, p₂(x) = (x + 1)², p₃(x) = (x + 1)³ forman una base. Calcular las coordenadas del polinomio 2x³+ x²− 4x − 4 en dicha base.

27. Sea R²[x] el espacio vectorial de los polinomios en una variable, de grado menor o igual que 2. Sea M el subespacio engendrado por:

{x²− 1, x + 1, x²− 7x − 8}

Hallar una base de R²[x] que contenga a una base de M .

28. Sea B = {e, e^�, e^��} una base de R³ y v un vector cuyas coordenadas respecto de B son (1,−1, 2).

a) Demostrar que el conjunto S ={e + e^�, e + e^�+ e^��} es linealmente independiente.

b) Completar S a una base B^� tal que las coordenadas de v respecto de B^� sean (1, 1, 1).

29. Se consideran sobre R⁴ los vectores (1 + λ, 1, 1, 1), (1, 1 + λ, 1, 1), (1, 1, 1 + λ, 1), (1, 1, 1, 1 + λ). Determinar en funci´on de λ la dimensi´on del subespacio que generan y calcular una base.

30. Se consideran en R⁴ el subespacio E^� de los vectores (x1, x2, x3, x4) tales que 2x1+ 3x2 = 2x3+ 3x4. Probar que los vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0, 1, 0, 1) son linealmente independientes y est´an en E^�. Extenderlos a una base de E^�.

31. Probar que los polinomios p0(x) = 1, p1(x) = 1− x, p2(x) = 1− x², p3(x) = x− x³ forman base del espacio vectorial realR³[x] de los polinomios de grado menor o igual que 3.

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1. Subespacios suma e intersección. Suma directa de subespacios Definición 1.1. Sean E₁ y E₂ subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E₁+ E₂ y la intersección E₁∩ E₂ por

E1+ E2 = {e ∈ E : e = u + v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2} E₁ ∩ E₂ = {e ∈ E : e ∈ E₁ y e ∈ E₂}

Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados por combinaciones lineales:

Si u + v, u⁰+ v⁰ ∈ E₁+ E₂ y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u⁰+ v⁰) est´a en E₁+ E₂ pues λ(u + v) + µ(u⁰+ v⁰) = λu + λv + µu⁰+ µv⁰ = (λu + µu⁰) + (λv + µv⁰) ∈ E₁+ E₂, ya que E₁ y E₂ son cerrados por combinaciones lineales.

Si e, e⁰ ∈ E₁∩E₂ y λ, µ ∈ k, su combinaci´on lineal λe+µe⁰ es un vector de E₁y tambi´en de E₂, ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.

Luego λe + µe⁰ es un vector de la intersecci´on E1 ∩ E2. Es claro que:

• E1+ E2 ⊇ E1 y E1+ E2 ⊇ E2. La suma E1 + E2 es el m´ınimo subespacio que contiene a E₁ y a E₂.

• E₁ ∩ E₂ ⊆ E₁ y E₁ ∩ E₂ ⊆ E₂. La intersecci´on E₁ ∩ E₂ es el mayor subespacio que est´a contenido en E₁ y en E₂.

• Sistema de generadores de la suma. Si {u₁, . . . , u_r} es una base de E₁ y {v₁, . . . , v_s} es una base de E₂, los vectores {u₁, . . . , u_r, v₁, . . . , v_s} forman un sistema de generadores de E₁+ E₂. Teorema 1.2. Se verifica la siguiente f´ormula de dimensi´on

dimk(E1+ E2) = dimkE1+ dimkE2 − dimk(E1∩ E2)

Demostraci´on. Sea {e₁, . . . , e_m} una base de E₁∩E₂que, por el teorema de Steinitz, podemos ampliar para formar una base {e₁, . . . , e_m, . . . , e_r} de E₁ y otra {e₁, . . . , e_m, v_m+1, . . . , v_s} de E₂.

Los r + s − m vectores {e₁, . . . , e_m, . . . , e_r, v_m+1, . . . , v_s} generan E₁ + E₂. Probaremos que adem´as son linealmente independientes, con lo que quedar´a demostrado el teorema.

Si λ1e1+ . . . λmem+ · · · + λrer+ µm+1vm+1+ · · · + µsvs = 0 (∗), despejando se obtiene µ_m+1v_m+1+ · · · + µ_sv_s = −λ₁e₁− . . . λ_me_m− · · · − λ_re_r,

luego el vector µ_m+1v_m+1 + · · · + µ_sv_s ∈ E₂ está también en E₁, pues es combinación lineal de los vectores de una base de E₁. Por tanto, el vector µ_m+1v_m+1+ · · · + µ_sv_s está en E₁∩ E₂, y expresándolo como combinación lineal de los vectores de la base {e₁, . . . , e_m}, se tiene que µ_m+1v_m+1+· · ·+µ_sv_s = α₁e₁+· · ·+α_me_m, de donde α₁e₁+· · ·+α_me_m−µ_m+1v_m+1−· · ·−µ_sv_s = 0, luego α₁ = · · · = µ_m+1 = · · · = µ_s = 0, pues los vectores {e₁, . . . , e_m, v_m+1, . . . , v_s} son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinación lineal inicial (∗) se obtiene λ₁e₁+ . . . λ_me_m+ · · · + λ_re_r = 0, lo que implica que λ₁ = · · · = λ_m = · · · = λ_r = 0 ya que {e₁, . . . , e_m, . . . , e_r} son linealmente independientes.

1

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Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R⁴

E₁ = hu₁ = (1, −1, 1, 0), u₂ = (0, 1, −1, 1), u₃ = (2, −1, 1, 1)i E₂ = {(x, y, z, t) ∈ R⁴ : x + y + z = 0, x + z + t = 0}

Calculemos bases y dimensiones de E₁+ E₂ y de E₁ ∩ E₂. Para ello calcularemos primero una base de E₁ y otra de E₂:

dim_RE₁ = rg(u₁, u₂, u₃) = 2 y E₁ = hu₁ = (1, −1, 1, 0), u₂ = (0, 1, −1, 1)i.

E₂ = {(x, −x−z, z, −x−z) ∈ R⁴} = hv₁ = (1, −1, 0, −1), v₂ = (0, −1, 1, −1)i y dim_RE₂ = 2.

Resulta que

dim_R(E₁+ E₂) = rg(u₁, u₂, v₁, v₂) = 3 y E₁+ E₂ = hu₁, u₂, v₁i

dim_R(E1∩ E2) = dim_RE1+ dim_RE2− dim_R(E1+ E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1∩ E2 = hu2i . Definici´on 1.4. La suma directa de los subespacios E₁ y E₂ es la suma, E₁+ E₂, cuando la intersecci´on es cero, E₁ ∩ E₂ = {0}. Se representa por E₁⊕ E₂.

En particular, dim_k(E₁⊕ E₂) = dim_kE₁+ dim_kE₂.

2. Subespacios suma e intersecci´on. Suma directa de subespacios Definici´on 2.1. Los subespacios E₁ y E₂ de E son suplementarios si E₁ + E₂ = E y E₁∩ E₂ = {0}, esto es, si E = E₁⊕ E₂.

Proposici´on 2.2. Sean E₁ y E₂ subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equiva- lentes:

(a) E₁ y E₂ son subespacios suplementarios.

(b) Todo vector de E se expresa de modo ´unico como suma de uno de E₁ y otro de E₂. (c) Si {u₁, . . . , u_m} es una base de E₁ y {v₁, . . . , v_s} es una base de E₂ los vectores

{u₁, . . . , u_m, v₁, . . . , v_s} forman una base de E.

Demostraci´on.

(a) ⇒ (b)

Por hipótesis E = E₁ + E₂, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E₁ y v ∈ E₂. Esta descomposición es única pues si e = u⁰+ v⁰ es otra, resulta que u + v = u⁰+ v⁰, luego u − u⁰ = v⁰− v y por tanto el vector u − u⁰ = v⁰ − v ∈ E₁ ∩ E₂, pero E₁ ∩ E₂ = {0} y se deduce que u = u⁰ y v = v⁰.

(b) ⇒ (c)

Por hip´otesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo ´unico como suma de uno u ∈ E₁ y otro v ∈ E₂, e = u + v.

Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo único como combinación lineal u = λ1u1+ · · · + λmum. Análogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1+ · · · + µmvs, con los escalares µi únicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E₂.

As´ı, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo único como combinación lineal e = λ₁u₁ + · · · + λ_mu_m+ µ₁v₁+ · · · + µ_mv_s, luego por el teorema de caracterización de una base los vectores {u₁, . . . , u_m, v₁, . . . , v_s} forman una base de E.

(c) ⇒ (a)

Si {u₁, . . . , u_m} es una base de E₁ y {v₁, . . . , v_s} es una base de E₂, por definición de suma, los vectores {u₁, . . . , u_m, v₁, . . . , v_s} generan E₁ + E₂ y como por hipótesis estos vectores forman una base de E, resulta que E₁ + E₂ = E. Por último, de la fórmula de dimensión, dim_k(E₁+ E₂) = dim_kE₁+ dim_kE₂− dim_k(E₁∩ E₂), resulta que dim_k(E₁∩ E₂) = 0, luego

E₁∩ E₂ = {0}.

(9)

Ejemplo 2.3.

• Los subespacios de R³ E₁ = h(1, 2, −1), (3, 1, 2)i y E₂ = h(0, 1, 1), (1, −1, 1)i no son suplementarios, pues dim_RE₁+ dim_RE₂ = 2 + 2 6= 3 = dim_RR³.

• Los planos E₁ = hu₁ = (1, 0, −1, 0), u₂ = (0, 1, 1, 2)i y E₂ = hv₁ = (−1, 0, 1, 1), v₂ = (1, −1, 1, 2)i son suplementarios, pues {u₁, u₂, v₁, v₂} es una base de R⁴ ya que rg(u₁, u₂, v₁, v₂) = 4.

• Un subespacio suplementario del plano V = hv₁ = (1, 0, −1), v₂ = (0, 1, 1)i es la recta V⁰ = hu = (2, 1, −2)i, pues rg(v1, v2, u) = 3. La recta hu1 = (0, 2, 4)i es otro subespacio suplementario del plano V .

• Los subespacios de M (n, k) de las matrices simétricas, S(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = A^t}, y de las matrices hemisimétricas, H(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = −A^t}, son suplementarios pues toda matriz cuadrada A descompone de modo único en la forma A = ¹₂(A + A^t) +¹₂(A − A^t), siendo ¹₂(A + A^t) una matriz simétrica y ¹₂(A − A^t) una matriz hemisimétrica.

3. Problemas propuestos

1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y sean E₁ = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E₂ = {p(x) ∈ E : p⁰(0) = 0}.

(a) Demostrar que E₁ y E₂ son subespacios de E.

(b) Calcular una base y la dimensi´on de cada uno de los subespacios siguientes E₁, E₂, E₁+ E₂, E₁∩ E₂

(c) ¿Son E₁ y E₂ subespacios suplementarios?

2. Sea F el subespacio de R³ generado por (1, 1, −1) y G el subespacio de ecuaciones 3x − y = 0, 2x + z = 0. Determinar F ∩ G.

3. Determinar en R³ un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendrados por los siguientes vectores:

(a) v₁ = (−3, 1, 0)

(b) v₁ = (−1, 2, 1), v₂ = (2, −4, 3)

(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1, −2), v3 = (1, 1, −1) 4. Dados los subconjuntos de R⁴

E₁ =< (1, 2, −3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4, −1, 6) > ; E₂ = {(x, y, z, t) : x − 2y − z = 0, t = 0}

(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones de los mismos.

(b) Calcular bases y dimensiones de E₁+ E₂ y E₁∩ E₂. (c) Calcular un suplementario de E₂.

5. Sean E y E⁰ dos subespacios de R³ definidos por:

E = {(a, b, c) : a = b = c} , , E⁰ = {(0, b, c) : b, c ∈ R}

Demostrar que R³ = E ⊕ E⁰.

6. Sean E y E⁰ dos subespacios de R³ definidos por: E = {(x, y, z) : x + y + z = 0}, E⁰ = {(t, 2t, 3t) : t ∈ R} Demostrar que E y E⁰ son subespacios suplementarios.

7. Sean E, E⁰, E⁰⁰ los subespacios vectoriales de R³

E = {(a, b, c) : a + b + c = 0}, E⁰ = {(a, b, c) : a = c}, E⁰⁰ = {(0, 0, c)}

Demostrar que R³ = E + E⁰, R³ = E + E⁰⁰, R³ = E⁰ + E⁰⁰. ¿En qu´e casos se trata de suma directa?.

(10)

8. Sea E = M (2, R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en R y sea V el subconjunto de E definido por:

V =x y z t

∈ E : 2x − y + t = 0, x = z

(a) Probar que V es un subespacio vectorial de E y calcular su dimensi´on y una base.

(b) Calcular las coordenadas de la matriz1 0 1 −2

∈ V en la base elegida en el apartado anterior.

(c) Calcular un suplementario de V .

9. Se considera el espacio R⁴ y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e⁰ = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v⁰ = (1, 0, 0, 1).

Estudiar si R⁴ es suma directa de E y V .

10. Sea E1 el subespacio de R³ generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2) y (1, 1, 1). Probar que R³ = E₁ ⊕ E₂ y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R³ como suma de un vector de E₁ y otro de E₂.

11. Sea E = h1, x, x², x³i el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .

(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensi´on y una base.

(b) Calcular las coordenadas del polinomio x²−3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado anterior.

(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .

12. Consid´erense los siguientes subespacios de R⁴: E₁ =< (1, 0, −1, 0), (2, −1, 2, 0), (3, −2, 3, 0) >

y E₂ =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.

(a) Calcular bases y dimensiones de E₁, E₂, E₁+ E₂, E₁∩ E₂. (b) ¿Se verifica que R⁴ = E₁⊕ E₂?

(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E₁.

13. Se consideran los subespacios de R⁴ generados por los siguientes vectores:

E₁ =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E₂ =< (1, −1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >

Se pide:

(a) Hallar las dimensiones de E₁, E₂, E₁ + E₂, E₁∩ E₂. (b) Estudiar si E₁+ E₂ = R⁴.

(c) ¿E₁ y E₂ son subespacios suplementarios?

(11)

1. Aplicaciones lineales. N´ucleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.

Sean E y E⁰ k-espacios vectoriales.

Definici´on 1.1. Una aplicaci´on E −→ E^T ⁰ es lineal si T (e + v) = T (e) + T (v) y T (λe) = λT (e) o, lo que es equivalente, T (λe + µv) = λT (e) + µT (v), cualesquiera que sean e, v ∈ E y λ, µ ∈ k.

Si E −→ E^T ⁰ es una aplicaci´on lineal la imagen del vector cero es el vector cero:

T (0) = T (0e + 0v) = 0T (e) + 0T (v) = 0.

Ejemplo 1.2.

• La aplicaci´on

R^{3 T}−→ R²

(x, y, z) 7→ (x + z + 2, y − z) No es lineal pues T (0, 0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0)

• La aplicaci´on derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E −→ E, es^D lineal : D(λp(x) + µq(x)) = λp⁰(x) + µq⁰(x) = λD(p(x)) + µD(q(x)).

• La aplicaci´on

R^{3 T}−→ R²

(x, y, z) 7→ (x + y, z²)

No es lineal ya que T (λ(x, y, z)) no es igual λT (x, y, z) para todo valor de λ.

T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx + λy, λ²z²) 6= (λx + λy, λz²) = λ(x + y, z²) = λT (x, y, z).

La igualdad se da si λ² = λ, esto es, s´olo para λ = 0, 1

1.1. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.

Definición 1.3. Sea E −→ E^T ⁰ una aplicación lineal, se definen su núcleo, ker T , y su imagen, Im T , por:

ker T = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E

Im T = {e⁰ ∈ E⁰ : e⁰ = T (e) , para alg´un e ∈ E} ⊆ E⁰

Teorema 1.4. Si E −→ E^T ⁰ una aplicación lineal, ker T es un subespacio vectorial de E e Im T es un subespacio vectorial de E⁰ y se verifica la fórmula de dimensión:

dim_kE = dim_kker T + dim_kIm T Demostraci´on.

• ker T es cerrado por combinaciones lineales:

Si e, v ∈ ker T y λ, µ ∈ k se tiene que T (λe + µv) = λT (e) + µT (v) = 0, lo que prueba que λe + µv ∈ ker T .

• Im T es cerrado por combinaciones lineales:

Si T (e), T (v) ∈ Im T y λ, µ ∈ k se tiene que λT (e) + µT (v) = T (λe + µv), lo que prueba que λe + µv ∈ Im T .

1

(12)

• Sea {v₁, . . . , v_m} una base de ker T .

Ampliemos esta base para formar una base {v₁, . . . , v_m, e_m+1, . . . , e_n} de E.

Tomando imágenes por T , los vectores {T (v₁), . . . , T (v_m), T (e_m+1), . . . , T (e_n)} generan Im T , y como T (v₁) = · · · = T (v_m) = 0 por definición de núcleo, resulta que {T (e_m+1), . . . , T (e_n)}

es un sistema de generadores de Im T . Probaremos que {T (e_m+1), . . . , T (e_n)} son linealmente independientes con lo que quedar´a demostrada la f´ormula.

Si λm+1T (em+1) + · · · + λnT (en) = 0, por ser T lineal, T (λm+1em+1+ · · · + λnen) = 0, por tanto el vector λm+1em+1+ · · · + λnen pertenece a ker T , luego λm+1em+1+ · · · + λnen = 0, ya que {e_m+1, . . . , e_n} generan un suplementario de ker T y como adem´as son linealmente

independientes resulta que λ_m+1 = · · · = λ_n = 0.

Ejemplo 1.5. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3.

Calculemos el n´ucleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) Operador derivada: E−→ E, definido por D(p(x)) = p^D ⁰(x).

(b) E −→ R, definida por T (p(x)) =^T R1

−1p(x)dx

ker D = {p(x) ∈ E : p⁰(x) = 0} = {polinomios constantes} = h1i.

Im D = h1, x, x²i, pues la derivada de un polinomio de grado menor o igual que tres es un polinomio de grado menor o igual que 2.

Im T es un subespacio vectorial de R y como Im T 6= (0), ha de ser Im T = R = h1i, luego dim ker T = dim E − dim Im T = 4 − 1 = 3.

Calculemos una base del ker T : Z 1

−1

(a + bx + cx²+ dx³)dx = ax + bx² 2 + cx³

3 + dx⁴ 4

1

−1

= 2a + 2 3c luego

ker T = {a + bx + cx²+ dx³ ∈ E : 2a + 2

3c = 0} = {a + bx − 3ax²+ dx³ : a, b, d ∈ R}

= {a(1 − 3x²) + bx + dx³ : a, b, d ∈ R} = h1 − 3x², x, x³i

1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas.

Definición 1.6. Sea E −→ E^T ⁰ una aplicación lineal. T es inyectiva o epiyectiva si como aplicación de conjuntos lo es, esto es:

• T es inyectiva si siempre que T (e) = T (v) se deduce que e = v, cualesquiera que sean e, v ∈ E

• T es epiyectiva si Im T = E⁰.

T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman isomorfismos.

Un endomorfismo de E es una aplicaci´on lineal de E en si mismo, E −→ E. Se llaman^T automorfismos a los endomorfismos biyectivos.

Ejemplo 1.7.

• Sea V un subespacio vectorial de E, la inclusi´on natural V ,→ E

v 7→ v es una aplicaci´on lineal inyectiva.

• Si E representa el espacio vectorial de los polinomios, p(x), de grado menor o igual que tres y E⁰ el de los polinomios de grado menor o igual que dos, la aplicaci´on derivada

E −→ E^D ⁰ p(x) 7→ p⁰(x)

(13)

es una aplicaci´on lineal epiyectiva.

• La aplicaci´on identidad

E −^Id→ E e 7→ e es un automorfismo de E.

Proposición 1.8. Una aplicación lineal E−→ E^T ⁰ es inyectiva si y sólo si ker T = {0}.

Demostraci´on.

⇒ Si e ∈ ker T es T (e) = 0, luego T (e) = T (0) pues T (0) = 0. Como T es inyectiva, de T (e) = T (0) se deduce que e = 0.

⇐ Si T (e) = T (e⁰), por ser T lineal T (e − e⁰) = 0, luego e − e⁰ ∈ ker T , y como ker T = {0}

resulta que e = e⁰, lo que prueba que T es inyectiva.

1.3. Operaciones con aplicaciones lineales: Suma, multiplicación por escalares, composición. Aplicación lineal inversa.

– Dadas aplicaciones lineales E −→ E^f ⁰ y E−→ E^g ⁰, las aplicaciones suma y multiplicaci´on por un escalar, definidas repectivamente por

E −−→ E^{f +g} ⁰

e 7→ f (e) + g(e)

E −→ E^λf ⁰ e 7→ λf (e)

son aplicaciones lineales, pues cualesquiera que sean e, v ∈ E y α, µ ∈ k se verifica

(f + g)(αe + µv) = α(f + g)(e) + µ(f + g)(v) y (λf )(αe + µv) = α(λf )(e) + µ(λf )(v), como es f´acil comprobar.

El conjunto de las aplicaciones lineales de E en E⁰ se representa por Hom_k(E, E⁰) y es un k-espacio vectorial con las operaciones anteriores.

– La composici´on de aplicaciones lineales E ^f ^//

g◦f

66

E⁰ ^g ^//E⁰⁰ E ^f ^//

g◦fAAAAAAA AE⁰

g

E⁰⁰

definida, para cada e ∈ E, por (g ◦ f )(e) = g(f (e)), es una aplicaci´on lineal:

(g◦f )(αe+µv) = g(f (αe+µv)) = g(αf (e)+µf (v)) = α(g◦f )(e)+µ(g◦f )(v), ∀e, v ∈ E, α, µ ∈ k . –Una aplicaci´on E −→ E^f ⁰ tiene inversa si existe otra aplicaci´on E^{0 f}

−1

−−→ E tal que f ◦ f⁻¹ = f⁻¹◦ f = Id .

Las aplicaciones biyectivas tienen aplicaci´on inversa y, rec´ıprocamente, cualquier aplicaci´on que tiene inversa es biyectiva.

La inversa de una aplicación lineal es también una aplicación lineal.

Ejemplo 1.9. Sea T un endomorfismo del k-espacio vectorial E tal que T² = T + I. Pro- baremos que T es automorfismo y calcularemos T⁻¹ en funci´on de T .

De T² = T + I se sigue I = T²− T = T (T − I), lo que prueba que T tiene inversa y esta es T⁻¹ = T − I y por tanto es biyectiva.

(14)

2. Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices 2.1. Matriz asociada a una aplicaci´on lineal.

Dada una aplicaci´on lineal E −→ E^T ⁰ y bases {e1, . . . , en} de E y {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰, existe una ´unica matriz A = (a_ij) ∈ M (m × n, k) determinada por

T (e_j) =

m

X

i=1

a_ije⁰_i, para j = 1, . . . , n

A es la matriz asociada a T respecto de la las bases {e₁, . . . , e_n} de E y {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰. Las columnas de A son las coordenadas de los vectores T (e₁), . . . , T (e_n) respecto de la base {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰.

Si e = x1e1+ · · · + xnen y T (e) = x⁰₁e⁰₁+ · · · + x⁰_me⁰_m, la expresi´on en coordenadas de T es

T (x1, . . . , xn) = (x⁰₁, . . . , x⁰_m) , siendo A ·



 x₁

... x_n



=



 x⁰₁

... x⁰_m



la expresi´on matricial del sistema lineal que T define.

Obs´ervese que:

• A es la matriz de coeficientes del sistema lineal anterior y ker T es el subespacio de solu- ciones del sistema homog´eneo asociado.

• Los vectores {T (e₁), . . . , T (e_n)} forman un sistema de generadores del subespacio imagen, Im T , luego su dimensión coincide con el rango de la matriz A y por tanto la dimensión del núcleo es la de E menos el rango de A

dim_kIm T = rg A , dim_kker T = dim_kE − rg A Ejemplo 2.1. Dada la aplicaci´on lineal

R^{3 T}−→ R⁴

(x, y, z) 7→ (x − y, x + 2z, y, y + z) calculemos su matriz asociada y probemos que T es inyectiva.

A =







1 −1 0

1 0 2

0 1 0

0 1 1







, rg A = 3 ⇒ dim_Rker T = 3 − 3 = 0 ⇒ ker_RT = {0}

Ejemplo 2.2. Sean {e₁, e₂, e₃} una base de E y {e⁰₁e⁰₂, e⁰₃, e⁰₄} una base de E⁰ y k = R.

Consid´erense la aplicaci´on lineal E −→ E^T ⁰ definida por

T (e₁) = e⁰₁+ e⁰₂− e⁰₃, T (e₂) = 2e⁰₂− e⁰₄, T (e₃) = 3e⁰₁+ 3e⁰₂− 3e⁰₃ calculemos su expresi´on en coordenadas y bases y dimensiones de Im T y ker T . La matriz asociada a T , por columnas, es A = T (e₁) T (e₂) T (e₃) =







1 0 3

1 2 3

−1 0 −3

0 −1 0





 dim_RIm T = rg A = 2 , Im T = hT (e1), T (e2)i = he⁰₁+ e⁰₂− e⁰3, 2e⁰₁− e⁰₄i

dim_Rker T = dim_RE − rg A = 1 ker T ≡

(x + 3z = 0 x + 2y + 3z = 0

ker T = {(−3z, 0, z), z ∈ R} = h(−3, 0, 1)i = h−3e1+ e₃i

(15)

2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de una aplicaci´on lineal por un escalar.

Sean A = (a_ij) y B = (b_ij) las matrices asociadas a las aplicaciones lineales E −→ E^f ⁰ y E −→ E^g ⁰ respecto de la las bases {e₁, . . . , e_n} de E y {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰.

• La matriz asociada a la aplicaci´on lineal suma f + g es la matriz A + B. En efecto:

(f + g)(e_j) = f (e_j) + g(e_j) =

m

X

i=1

a_ije⁰_i+

m

X

i=1

b_ije⁰_i =

m

X

i=1

(a_ij + b_ij)e⁰_i

• La matriz asociada a la aplicaci´on lineal λf es la matriz λA. En efecto:

(λf )(e_j) = λf (e_j) = λ

m

X

i=1

a_ije⁰_i =

m

X

i=1

λa_ije⁰_i

2.3. Matriz asociada a la composici´on de aplicaciones lineales.

E ^f ^//

g◦f

66

E⁰ ^g ^// E⁰⁰

Sea A = (a_ij) la matriz asociada a f respecto de la las bases {e₁, . . . , e_n} de E y {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰ y sea B = (b_ij) la matriz asociada a g respecto de la las bases {e⁰₁, . . . , e⁰_m} de E⁰ y {e⁰⁰₁, . . . , e⁰⁰_s} de E⁰⁰, esto es:

f (ej) =

m

X

i=1

aije⁰_i, para j = 1, . . . , n ; g(e⁰_i) =

s

X

k=1

bkie⁰⁰_k, para i = 1, . . . , m

La matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases {e₁, . . . , e_n} de E y {e⁰⁰₁, . . . , e⁰⁰_s} de E⁰⁰ es la matriz producto B · A. En efecto:

(g ◦ f )(e_j) = g(f (e_j) =

m

X

i=1

a_ijg(e⁰_i) =

m

X

i=1

a_ij

s

X

k=1

b_kie⁰⁰_k=

s

X

k=1

(

m

X

i=1

b_kia_ij)e⁰⁰_k =

s

X

k=1

(B · A)_kje⁰⁰_k

Ejemplo 2.3. Dadas las aplicaciones lineales R^{3 f}−→ R²

(x, y, z) 7→ (x − y, y + 2z)

R^{2 g}−→ R³

(x, y) 7→ (x + y, 2y, x − y)

Calculemos las matrices asociadas a f ◦ g y g ◦ f y la dimensi´on y una base del subespacio Im(f ◦ g) de R² y del subespacio Im(g ◦ f ) de R³.

3. Cambios de base

Sea {e₁, . . . , e_n} una base de E, que llamaremos base inicial o antigua, y {¯e₁, . . . , ¯e_n} otra base de E, a la que nos referiremos como base nueva. Los vectores ¯e_j de la base nueva expresados como combinaci´on lineal de los de la base antigua, ¯e_j = Pn

i=1b_ije_i, definen la matriz B = (b_ij) que expresa el cambio de base en el espacio vectorial E.

La matriz de cambio de base B = (b_ij) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base nueva en funci´on de los de la antigua.

La aplicaci´on lineal que realiza el cambio de base de matriz B es la aplicaci´on identidad respecto de las bases {¯e₁, . . . , ¯e_n} y {e₁, . . . , e_n}.

h¯e₁, . . . , ¯e_ni = E −−→ E = he^Id^B ₁, . . . , e_ni , Id_B(¯e_j) = ¯e_j =

n

X

i=1

b_ije_i,