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1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

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Algebra lineal y Geometr´ıa I´

Gloria Serrano Sotelo

Departamento de MATEM ´ATICAS

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Sea k un cuerpo.

Definici´on 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial sobre k es un conjunto E con dos operaciones, suma y multiplicaci´on por elementos de k, que verifican:

Suma

1. Es una operaci´on cerrada: e + e ∈ E, cualesquiera que sean e, e ∈ E.

2. Es asociativa: (e + e) + e��= e + (e+ e��), cualesquiera que sean e, e, e�� ∈ E.

3. Tiene elemento neutro: Existe 0∈ E tal que 0 + e = e + 0 = e, para todo e ∈ E.

4. Todo elemento de E posee un opuesto: Para cada E ∈ E existe −e ∈ E tal que e + (−e) = (−e) + e = 0.

5. Es conmutativa: e + e = e+ e, cualesquiera que sean e, e ∈ E.

Multiplicaci´on por elementos de k

1. Es una operaci´on cerrada: λe∈ E, cualesquiera que sean λ ∈ k y e ∈ E.

2. λ(e + e) = λe + λe, cualesquiera que sean λ∈ k y e, e ∈ E.

3. (λµ)e = λ(µe), cualesquiera que sean λ, µ∈ k y e ∈ E.

4. (λ + µ)e = λe + µe, cualesquiera que sean λ, µ∈ E y e ∈ E.

5. 1e = e, siendo 1 la unidad de k.

Los elementos del espacio vectorial E se llaman vectores y los del cuerpo base k escalares.

Ejemplos 1.2.

• Rn={(x1, . . . , xn) : xi ∈ k, 1 ≤ i ≤ n} es un R-espacio vectorial con las operaciones:

Suma (x1, . . . , xn) + (x1, . . . , xn) = (x1 + x1, . . . , xn + xn) y multiplicaci´on por escalares λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λ xn).

• k[x] = {polinomios en x con coeficientes en k} es un k- espacio vectorial con las operacio- nes suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar.

• C = {a + bi : a, b ∈ R} es un R-espacio vectorial con las operaciones suma de n´umeros complejos y producto de un n´umero complejo por un n´umero real.

• C es tambi´en un C-espacio vectorial respecto de la suma y el producto de n´umeros com- plejos.

• Matrices de orden m × n con coeficientes en k

M (m× n, k) = {A = (aij) : aij ∈ k, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}

es un k- espacio vectorial con las operaciones: Suma de matrices, A + B = (aij + bij), y producto de una matriz por un escalar, λA = (λaij).

Una combinaci´on lineal de los vectores e1, . . . , en ∈ E es un vector de E de la forma λ1e1+· · · + λnen para ciertos escalares λ1. . . λn ∈ k.

Los subconjuntos del espacio vectorial E que conservan la estructura lineal son los que son cerrados por combinaciones lineales:

Definici´on 1.3. Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si es cerrado por combinaciones lineales, es decir, si λv + µv ∈ V cualesquiera que sean v, v ∈ V y λ, µ ∈ k.

1

(2)

Ejemplos 1.4.

• Las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios de R3.

• Los polinomios de grado menor o igual que dos forman un subespacio de k[x].

• El conjunto S(n, k) = {A ∈ M(n, k) : A = At} de las matrices sim´etricas de orden n con coeficientes en k es un subespacio vectorial de M (n, k)

Se representa por�e1, . . . en� el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores e1, . . . , en. Por definici´on, �e1, . . . en� es un subespacio vectorial de E, el subespacio generado por los vectores e1, . . . , en.

Si E = �e1, . . . en�, es decir, si todo vector de E se expresa como combinaci´on lineal de e1, . . . , en, se dice que {e1, . . . , en} forman un sistema de generadores de E.

Ejemplos 1.5.

• Los polinomios 1, x, x2 generan el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a cero.

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman un sistema de generadores del plano de R3 de ecuaci´on x + 2y− z = 0.

• Las matrices

�1 0 0 0

� ,

�0 1 1 0

� y

�0 0 0 1

generan S(2,R).

2. Dependencia e independencia lineal. Bases. Dimensi´on Sea E un k-espacio vectorial.

Los vectores{e1, . . . , en} de E son linealmente dependientes si alguno de ellos es combi- naci´on lineal de los otros, esto es, si ei = α1e1+· · ·+ ˆei+· · ·+αnenpara ciertos α1, . . . , αn∈ k.

Los vectores {e1, . . . , en} de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinaci´on lineal de los restantes o, lo que es equivalente, si existe una combinaci´on lineal de ellos igual al vector cero, necesariamente los escalares de la combinaci´on lineal son cero, si λ1e1+· · · + λnen = 0⇒ λ1 =· · · = λn= 0.

Definici´on 2.1. Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de E si generan E y son lineal- mente independientes.

El vector cero es combinaci´on lineal de cualesquiera vectores, 0 = 0e1+· · ·+0en, luego nunca puede formar parte de una base.

Teorema 2.2. (Caracterizaci´on de una base) Los vectores {e1, . . . , en} forman una base de E si y s´olo si cualquier vector de E se puede expresar de modo ´unico como combinaci´on lineal de ellos.

Demostraci´on.

• Si {e1, . . . , en} es una base de E, probaremos que para todo vector e de E existen escalares

´

unicos λ1, . . . , λn tales que e = λ1e1+· · · + λnen:

Como{e1, . . . , en} generan E, cualquiera que sea e ∈ E es e = λ1e1+· · · + λnenpara ciertos λi ∈ k. Adem´as, los escalares λ1, . . . , λn son ´unicos, pues si existen otros escalares µ1, . . . , µn

tales que e = µ1e1+· · · + µnen, igualando, resulta que (λ1− µ1)e1+· · · + (λn− µn)en= 0, de donde se deduce que λ1 − µ1 = · · · = λn− µn = 0 ya que {e1, . . . , en} son linealmente independientes, luego λ1 = µ1. . . λn = µn.

• Rec´ıprocamente, si todo vector de E se expresa de modo ´unico como combinaci´on lineal de los vectores {e1, . . . , en} demostraremos que {e1, . . . , en} forman una base de E:

{e1, . . . , en} generan E pues todo vector de E es combinaci´on lineal de ellos y son linealmente independientes, ya que si λ1e1+· · · + λnen= 0 necesariamente λ1 = . . . λn = 0 pues el vector cero es 0 = 0e1+· · ·+0eny por hip´otesis los escalares de la combinaci´on lineal son ´unicos. � Si e = λ1e1+· · · + λnen es la expresi´on del vector e en la base{e1, . . . , en} de E, los escalares (λ1, . . . λn) son las coordenadas del vector e en esa base.

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Ejemplos 2.3.

• Los vectores {(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} forman una base de Rn.

• Los n´umeros complejos {1, i} forman una base de C como R-espacio vectorial.

• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos. Las coordenadas del polinomio 5− 3x + 2x2 en esta base son (5,−3, 2).

• Los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 2) forman una base del plano de R3 de ecuaci´on x + 2y− z = 0. Las coordenadas, respecto de esa base, del vector e = (1, 1, 3) del plano son (1, 1), pues e = u + v.

• Las matrices A1 =

�1 0 0 0

, A2 =

�0 1 1 0

y A3 =

�0 0 0 1

definen una base de S(2,R).

Las coordenadas de la matriz sim´etrica A =

�2 3 3 1

en esa base son (2, 3, 1), ya que A = 2A1+ 3A2+ A3.

Probaremos ahora que toda colecci´on de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial se puede ampliar hasta formar una base del espacio.

Teorema 2.4. (Teorema de Steinitz) Sean{v1, . . . , vm} vectores linealmente independien- tes de E y{e1, . . . , en} una base de E. Se pueden sustituir m vectores de la base {e1, . . . , en} por los vectores {v1, . . . , vm} para obtener una nueva base de E.

Demostraci´on. Iremos sustituyendo, uno a uno, m vectores de la base {ei} por los vectores {v1, . . . , vm}.

• Probaremos que {v1, e2, . . . , en} es una base de E.

Como {e1, . . . , en} es una base y v1 ∈ E es v1 = λ1e1 +· · · + λnen (1)

y no todos los escalares {λi} son nulos, pues en ese caso v1 = 0 y el vector cero no puede formar parte de una colecci´on de vectores linealmente independientes.

Podemos suponer, reordenando la base si es preciso, que λ1 �= 0. Despejando, resulta que e1 = λ11v1λλ21en− · · · −λλn1en, de lo que se deduce que los vectores{v1, e2. . . , en} generan E.

Los vectores {v1, e2. . . , en} son linealmente independientes ya que si µ1v1 +· · · + µnen= 0, sustituyendo v1 por (1) se obtiene µ1λ1e1 + (µ1λ2 + µ2)e2 + · · · + (µ1λn + µn)en = 0 y µ1λ1 = µ1λ2+ µ2 =· · · = µ1λn+ µn = 0 por ser{e1, . . . , en} linealmente independientes. Por otra parte, como λ1 �= 0 debe ser µ1 = 0, de lo que se deduce que tambi´en µ2 =· · · = µn= 0.

• Probaremos que {v1, . . . , vm, . . . , en} es una base de E.

Supongamos que ya hemos sustituido m − 1 vectores de la base {e1, . . . , en} por vectores vi. Reordenando si es preciso, podemos suponer que hemos sustituido los m primeros y que tenemos la nueva base {v1, . . . , vm−1, em, . . . , en}. Expresando vm en funci´on de esta base se tiene

vm = α1v1+· · · + αm−1vm−1+ βmem+· · · + βnen,

donde alg´un βi tiene que ser no nulo, pues en otro caso vm ser´ıa combinaci´on lineal de {v2, . . . , vm} y hemos supuesto que {v1, . . . , vm} son linealmente independientes. Como antes, reordenando si es necesario, podemos suponer que βm �= 0. Y el mismo argumento del apar- tado anterior prueba que podemos sustituir em por vm de manera que {v1, . . . , vm, . . . , en}

es una base de E. �

Teorema 2.5. (Teorema de la base)Todas las bases de un k-espacio vectorial tienen el mismo n´umero de elementos.

Se llama dimensi´on del espacio vectorial E al n´umero de elementos de una base y se repre- senta por dimkE.

Demostraci´on. Sean {e1, . . . , en} y {e1, . . . , em} dos bases de E. Por el teorema de Steinitz aplicado a la base {e1, . . . , en} y a los vectores linealmente independientes {e1, . . . , em}, debe ser m ≤ n, y ahora a la base {e1, . . . , em} y a los vectores linealmente independientes

{e1, . . . , en} da n ≤ m. Por tanto, n = m. �

(4)

Es claro que la dimensi´on de un espacio vectorial coincide con el n´umero m´aximo de vectores linealmente independientes y con el n´umero m´ınimo de generado- res. Por tanto, en un espacio vectorial de dimensi´on n cualesquiera n vectores linealmente independientes forman una base.

Ejemplos 2.6.

• dimRRn= n

• dimRC = 2 y dimCC = 1 pues C = �1, i� considerado como R-espacio vectorial y C = �1�

considerado como C-espacio vectorial

• Los vectores v1 = (2, 0, 3, 1), v2 = (−3, 1, 1, 1), v3 = (−1, 1, 2, 0) y v4 = (0, 1, 1, 2) for- man una base de R4, pues son linealmente independientes, ya que det(v1, v2, v3, v4) �= 0, y dimRR4 = 4.

• Los polinomios {1, x, x2} forman una base del espacio vectorial E de los polinomios de grado menor o igual a dos, luego dimkE = 3. Las coordenadas de los polinomios{1−2x, x2+ 1, 2 + x− x2} respecto de la base de E anterior son (1, −2, 0), (1, 0, 1) y (2, 1, −1) respectivamente, y como estos vectores son linealmente independientes ya que su determinante es distinto de cero, resulta que {1 − 2x, x2+ 1, 2 + x− x2} es otra base del espacio E de los polinomios de grado menor o igual a dos.

3. Problemas propuestos

1. Probar que el conjunto de matrices cuadradas diagonales con coeficientes en un cuerpo k tiene estructura de espacio vectorial sobre k.

2. Determinar cu´ales de los siguientes subconjuntos deRn son subespacios vectoriales:

a) E ={(0, x2, . . . , xn)} b) E ={(1, x2, . . . , xn)}

c) E ={(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Q}

d ) E ={(x1, x2, . . . , xn) : �n

i=1xi = 0} e) E ={(x1, x2, . . . , xn) : �n

i=1xi = 5}

3. Sea F (R, R) el espacio de todas las funciones de R en R. Estudiar si E es un subes- pacio de F (R, R), donde:

a) E ={f ∈ F (R, R): f(3) = 0}

b) E ={f ∈ F (R, R): f(1) = f(2)}

c) E ={f ∈ F (R, R): f(−x) = −f(x)}

d ) E ={f ∈ F (R, R): f es continua}

e) E ={f ∈ F (R, R): f es derivable}

4. Demostrar que los vectores (−5, 2, 8, −16), (−5, 3, 17, −14), (1, 1, 11, 6) de R4 son linealmente independientes.

5. Demostrar que los vectores (m, 1, 0), (−1, m, 0) y (0, 1, 1) son linealmente indepen- dientes en R3, sea quien sea m. Comprobar que esta propiedad no se cumple en C3.

6. Consid´erense las matrices

�−3 2

−4 1

� ,

�2 3 1 5

� ,

� 9 x

−3 y

. Determinar x e y para que dichas matrices sean linealmente independientes.

7. Pru´ebese que las funciones sin x, sin 2x, . . . , sin nx son linealmente independientes so- bre el cuerpo R.

Pru´ebese otro tanto para las funciones eα1x, eα2x, . . . , eαnx donde α1, . . . , αn son n n´umeros reales distintos.

8. Demostrar que el subespacio E = {(a, b, 0): a, b ∈ R} de R3 est´a generado por cualquiera de los pares de vectores siguientes:

a) e = (1, 1, 0), e = (1, 0, 0) b) e = (2,−1, 0), e = (−1, −1, 0)

(5)

9. Determinar x e y en el vector (3, 2, x, y) ∈ Q4 para que pertenezca al subespacio generado por (1, 4,−5, 2), (1, 2, 3, 1).

10. Pru´ebese que el subespacio deR3 generado por los vectores (1, 1, 1), (0, 1, 0) coincide con el subespacio generado por (2, 3, 2) y (1, 0, 1).

11. Hallar un vector com´un al subespacio E1 engendrado por los vectores (1, 2, 3) y (3, 2, 1) y al subespacio E2 engendrado por (1, 0, 1) y (3, 4, 3).

12. Sea A =

�1 2 3 m

� .

a) Encontrar el valor de m para que existan matrices cuadradas no nulas B tales que AB = 0.

b) Demostrar que dichas matrices (incluida el 0) forman un subespacio vectorial.

Encontrar un sistema de generadores linealmente independientes.

13. Averiguar si V es un subespacio vectorial real y en caso afirmativo calcula una base y su dimensi´on:

a) V ={(a, b, 0): a, b ∈ R}

b) V ={(a, b, c): a + b + c = 0}

c) V ={(a, b, c): a2+ b2+ c2 ≥ 1}

d ) V ={(a, b, c): a = b + c}

e) V ={(a, b, c): a, b, c ∈ Q}

14. En un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los n´umeros complejos C se dan tres vectores a, b, c y se consideran los vectores

u = b + c, v = c + a, w = a + b

a) Probar que los subespacios vectoriales engendrados por a, b, c y por u, v, w son el mismo.

b) Demostrar que los vectores u, v, w son linealmente independientes s´ı y s´olo si lo son a, b, c.

15. Determinar λ para que los vectores (2, 4, 6), (1, 2, 3), (5, λ ,15) est´en en un mismo plano (subespacio de dimensi´on 2).

16. Determinar en Q5 una base del subespacio generado por los vectores (1, 2,−4, 3, 1), (6, 17,−7, 10, 22), (2, 5, 0, −3, 8), (1, 3, −3, 2, 0).

17. Demostrar que el subconjunto H ={(x, y, z) ∈ R3: x + 2y− z = 0} es un subespacio deR3 y calcular una base del mismo. ¿Cu´al es su dimensi´on?.

18. Comprobar que los vectores (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) forman una base del espacio vectorial R3 y calcular las coordenadas del vector (4, 6, 12) respecto de esta base.

19. Comprobar que los vectores e = (1,−1, 0), e = (2, 1, 0), e�� = (0, 1, 1) forman una base. Encontrar las coordenadas respecto de la misma del vector (1, 1, 1).

20. Comprobar que las matrices

�1 0 0 0

� ,

�1 1 0 0

� ,

�1 1 1 0

� ,

�0 0 0 1

forman una base del espacio vectorial de las matrices de orden 2. Calcular las coordenadas de la matriz

�5 3 1 1

respecto de esta base.

21. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios p(x)∈ R[x] de grado menor que 3.

a) Demostrar que los polinomios 1 + x, x + x2, 1 + x2 forman una base.

b) Hallar las coordenadas del polinomio 3 + 2x + 5x2 en dicha base.

22. ¿Cu´al es la condici´on para que dos n´umeros complejos z1 = a1+ b1i, z2 = a2+ b2i

formen una base del espacio vectorial real de los n´umeros complejos?.

23. Se considera el espacio vectorial R4 y se pide:

a) Hallar una base que contenga al vector (1, 2, 1, 1).

(6)

b) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 2) y (1,−1, 2, 0).

c) Hallar una base que contenga a los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2) y (0, 3, 3, 0).

24. Se consideran los vectores deR3 (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

a) Demostrar que forman una base de R3.

b) Hallar las coordenadas de los vectores de la base (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (“base can´onica o est´andar”) respecto de esta base.

25. Se consideran en R4 los vectores (1, 0, 0, 1), (1, 2, 0, 0). Completar a una base de R4. 26. En el R-espacio vectorial de los polinomios p(x) ∈ R[x] de grado menor o igual que 3, demostrar que p0(x) = 1, p1(x) = x + 1, p2(x) = (x + 1)2, p3(x) = (x + 1)3 forman una base. Calcular las coordenadas del polinomio 2x3+ x2− 4x − 4 en dicha base.

27. Sea R2[x] el espacio vectorial de los polinomios en una variable, de grado menor o igual que 2. Sea M el subespacio engendrado por:

{x2− 1, x + 1, x2− 7x − 8}

Hallar una base de R2[x] que contenga a una base de M .

28. Sea B = {e, e, e��} una base de R3 y v un vector cuyas coordenadas respecto de B son (1,−1, 2).

a) Demostrar que el conjunto S ={e + e, e + e+ e��} es linealmente independiente.

b) Completar S a una base B tal que las coordenadas de v respecto de B sean (1, 1, 1).

29. Se consideran sobre R4 los vectores (1 + λ, 1, 1, 1), (1, 1 + λ, 1, 1), (1, 1, 1 + λ, 1), (1, 1, 1, 1 + λ). Determinar en funci´on de λ la dimensi´on del subespacio que generan y calcular una base.

30. Se consideran en R4 el subespacio E de los vectores (x1, x2, x3, x4) tales que 2x1+ 3x2 = 2x3+ 3x4. Probar que los vectores u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (0, 1, 0, 1) son lineal- mente independientes y est´an en E. Extenderlos a una base de E.

31. Probar que los polinomios p0(x) = 1, p1(x) = 1− x, p2(x) = 1− x2, p3(x) = x− x3 forman base del espacio vectorial realR3[x] de los polinomios de grado menor o igual que 3.

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Algebra lineal y Geometr´ıa I´

Gloria Serrano Sotelo

Departamento de MATEM ´ATICAS

1. Subespacios suma e intersecci´on. Suma directa de subespacios Definici´on 1.1. Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1+ E2 y la intersecci´on E1∩ E2 por

E1+ E2 = {e ∈ E : e = u + v , donde u ∈ E1 y v ∈ E2} E1 ∩ E2 = {e ∈ E : e ∈ E1 y e ∈ E2}

Probaremos que ambos son subespacios vectoriales de E comprobando que son cerrados por combinaciones lineales:

Si u + v, u0+ v0 ∈ E1+ E2 y λ, µ ∈ k el vector λ(u + v) + µ(u0+ v0) est´a en E1+ E2 pues λ(u + v) + µ(u0+ v0) = λu + λv + µu0+ µv0 = (λu + µu0) + (λv + µv0) ∈ E1+ E2, ya que E1 y E2 son cerrados por combinaciones lineales.

Si e, e0 ∈ E1∩E2 y λ, µ ∈ k, su combinaci´on lineal λe+µe0 es un vector de E1y tambi´en de E2, ya que ambos son subespacios y, por tanto, cerrados por combinaciones lineales.

Luego λe + µe0 es un vector de la intersecci´on E1 ∩ E2. Es claro que:

• E1+ E2 ⊇ E1 y E1+ E2 ⊇ E2. La suma E1 + E2 es el m´ınimo subespacio que contiene a E1 y a E2.

• E1 ∩ E2 ⊆ E1 y E1 ∩ E2 ⊆ E2. La intersecci´on E1 ∩ E2 es el mayor subespacio que est´a contenido en E1 y en E2.

• Sistema de generadores de la suma. Si {u1, . . . , ur} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, los vectores {u1, . . . , ur, v1, . . . , vs} forman un sistema de generadores de E1+ E2. Teorema 1.2. Se verifica la siguiente f´ormula de dimensi´on

dimk(E1+ E2) = dimkE1+ dimkE2 − dimk(E1∩ E2)

Demostraci´on. Sea {e1, . . . , em} una base de E1∩E2que, por el teorema de Steinitz, podemos ampliar para formar una base {e1, . . . , em, . . . , er} de E1 y otra {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs} de E2.

Los r + s − m vectores {e1, . . . , em, . . . , er, vm+1, . . . , vs} generan E1 + E2. Probaremos que adem´as son linealmente independientes, con lo que quedar´a demostrado el teorema.

Si λ1e1+ . . . λmem+ · · · + λrer+ µm+1vm+1+ · · · + µsvs = 0 (∗), despejando se obtiene µm+1vm+1+ · · · + µsvs = −λ1e1− . . . λmem− · · · − λrer,

luego el vector µm+1vm+1 + · · · + µsvs ∈ E2 est´a tambi´en en E1, pues es combinaci´on lineal de los vectores de una base de E1. Por tanto, el vector µm+1vm+1+ · · · + µsvs est´a en E1∩ E2, y expres´andolo como combinaci´on lineal de los vectores de la base {e1, . . . , em}, se tiene que µm+1vm+1+· · ·+µsvs = α1e1+· · ·+αmem, de donde α1e1+· · ·+αmem−µm+1vm+1−· · ·−µsvs = 0, luego α1 = · · · = µm+1 = · · · = µs = 0, pues los vectores {e1, . . . , em, vm+1, . . . , vs} son linealmente indepedientes. Sustituyendo en la combinaci´on lineal inicial (∗) se obtiene λ1e1+ . . . λmem+ · · · + λrer = 0, lo que implica que λ1 = · · · = λm = · · · = λr = 0 ya que {e1, . . . , em, . . . , er} son linealmente independientes. 

1

(8)

Ejemplo 1.3. Dados los subespacios de R4

E1 = hu1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1), u3 = (2, −1, 1, 1)i E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y + z = 0, x + z + t = 0}

Calculemos bases y dimensiones de E1+ E2 y de E1 ∩ E2. Para ello calcularemos primero una base de E1 y otra de E2:

dimRE1 = rg(u1, u2, u3) = 2 y E1 = hu1 = (1, −1, 1, 0), u2 = (0, 1, −1, 1)i.

E2 = {(x, −x−z, z, −x−z) ∈ R4} = hv1 = (1, −1, 0, −1), v2 = (0, −1, 1, −1)i y dimRE2 = 2.

Resulta que

dimR(E1+ E2) = rg(u1, u2, v1, v2) = 3 y E1+ E2 = hu1, u2, v1i

dimR(E1∩ E2) = dimRE1+ dimRE2− dimR(E1+ E2) = 1 y como v2 = −u2 es E1∩ E2 = hu2i . Definici´on 1.4. La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1+ E2, cuando la intersecci´on es cero, E1 ∩ E2 = {0}. Se representa por E1⊕ E2.

En particular, dimk(E1⊕ E2) = dimkE1+ dimkE2.

2. Subespacios suma e intersecci´on. Suma directa de subespacios Definici´on 2.1. Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1 + E2 = E y E1∩ E2 = {0}, esto es, si E = E1⊕ E2.

Proposici´on 2.2. Sean E1 y E2 subespacios de E. Las proposiciones siguientes son equiva- lentes:

(a) E1 y E2 son subespacios suplementarios.

(b) Todo vector de E se expresa de modo ´unico como suma de uno de E1 y otro de E2. (c) Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2 los vectores

{u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.

Demostraci´on.

(a) ⇒ (b)

Por hip´otesis E = E1 + E2, luego para todo e ∈ E es e = u + v, con u ∈ E1 y v ∈ E2. Esta descomposici´on es ´unica pues si e = u0+ v0 es otra, resulta que u + v = u0+ v0, luego u − u0 = v0− v y por tanto el vector u − u0 = v0 − v ∈ E1 ∩ E2, pero E1 ∩ E2 = {0} y se deduce que u = u0 y v = v0.

(b) ⇒ (c)

Por hip´otesis, todo vector e ∈ E se expresa de modo ´unico como suma de uno u ∈ E1 y otro v ∈ E2, e = u + v.

Si {u1, . . . , um} es una base de E1, u ∈ E1 se expresa de modo ´unico como combinaci´on lineal u = λ1u1+ · · · + λmum. An´alogamente, si v ∈ E2 es v = µ1v1+ · · · + µmvs, con los escalares µi ´unicos, siendo {v1, . . . , vs} una base de E2.

As´ı, se deduce que todo vector e ∈ E se expresa de modo ´unico como combinaci´on lineal e = λ1u1 + · · · + λmum+ µ1v1+ · · · + µmvs, luego por el teorema de caracterizaci´on de una base los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} forman una base de E.

(c) ⇒ (a)

Si {u1, . . . , um} es una base de E1 y {v1, . . . , vs} es una base de E2, por definici´on de suma, los vectores {u1, . . . , um, v1, . . . , vs} generan E1 + E2 y como por hip´otesis estos vectores forman una base de E, resulta que E1 + E2 = E. Por ´ultimo, de la f´ormula de dimensi´on, dimk(E1+ E2) = dimkE1+ dimkE2− dimk(E1∩ E2), resulta que dimk(E1∩ E2) = 0, luego

E1∩ E2 = {0}. 

(9)

Ejemplo 2.3.

• Los subespacios de R3 E1 = h(1, 2, −1), (3, 1, 2)i y E2 = h(0, 1, 1), (1, −1, 1)i no son suple- mentarios, pues dimRE1+ dimRE2 = 2 + 2 6= 3 = dimRR3.

• Los planos E1 = hu1 = (1, 0, −1, 0), u2 = (0, 1, 1, 2)i y E2 = hv1 = (−1, 0, 1, 1), v2 = (1, −1, 1, 2)i son suplementarios, pues {u1, u2, v1, v2} es una base de R4 ya que rg(u1, u2, v1, v2) = 4.

• Un subespacio suplementario del plano V = hv1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, 1)i es la recta V0 = hu = (2, 1, −2)i, pues rg(v1, v2, u) = 3. La recta hu1 = (0, 2, 4)i es otro subespacio suplementario del plano V .

• Los subespacios de M (n, k) de las matrices sim´etricas, S(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = At}, y de las matrices hemisim´etricas, H(n, k) = {A ∈ M (n, k) : A = −At}, son suplementarios pues toda matriz cuadrada A descompone de modo ´unico en la forma A = 12(A + At) +12(A − At), siendo 12(A + At) una matriz sim´etrica y 12(A − At) una matriz hemisim´etrica.

3. Problemas propuestos

1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y sean E1 = {p(x) ∈ E : p(0) = 0} y E2 = {p(x) ∈ E : p0(0) = 0}.

(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios de E.

(b) Calcular una base y la dimensi´on de cada uno de los subespacios siguientes E1, E2, E1+ E2, E1∩ E2

(c) ¿Son E1 y E2 subespacios suplementarios?

2. Sea F el subespacio de R3 generado por (1, 1, −1) y G el subespacio de ecuaciones 3x − y = 0, 2x + z = 0. Determinar F ∩ G.

3. Determinar en R3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendra- dos por los siguientes vectores:

(a) v1 = (−3, 1, 0)

(b) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, −4, 3)

(c) v1 = (−1, 2, 1), v2 = (2, 1, −2), v3 = (1, 1, −1) 4. Dados los subconjuntos de R4

E1 =< (1, 2, −3, 0), (2, 1, 1, 3), (5, 4, −1, 6) > ; E2 = {(x, y, z, t) : x − 2y − z = 0, t = 0}

(a) Demostrar que E1 y E2 son subespacios vectoriales y calcular bases y dimensiones de los mismos.

(b) Calcular bases y dimensiones de E1+ E2 y E1∩ E2. (c) Calcular un suplementario de E2.

5. Sean E y E0 dos subespacios de R3 definidos por:

E = {(a, b, c) : a = b = c} , , E0 = {(0, b, c) : b, c ∈ R}

Demostrar que R3 = E ⊕ E0.

6. Sean E y E0 dos subespacios de R3 definidos por: E = {(x, y, z) : x + y + z = 0}, E0 = {(t, 2t, 3t) : t ∈ R} Demostrar que E y E0 son subespacios suplementarios.

7. Sean E, E0, E00 los subespacios vectoriales de R3

E = {(a, b, c) : a + b + c = 0}, E0 = {(a, b, c) : a = c}, E00 = {(0, 0, c)}

Demostrar que R3 = E + E0, R3 = E + E00, R3 = E0 + E00. ¿En qu´e casos se trata de suma directa?.

(10)

8. Sea E = M (2, R) el R-espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con coefi- cientes en R y sea V el subconjunto de E definido por:

V =x y z t



∈ E : 2x − y + t = 0, x = z



(a) Probar que V es un subespacio vectorial de E y calcular su dimensi´on y una base.

(b) Calcular las coordenadas de la matriz1 0 1 −2



∈ V en la base elegida en el apartado anterior.

(c) Calcular un suplementario de V .

9. Se considera el espacio R4 y los subespacios E y V generados, respectivamente, por las parejas de vectores e = (1, 0, 1, 0), e0 = (0, 1, 0, 1) y v = (0, 0, 1, 3) y v0 = (1, 0, 0, 1).

Estudiar si R4 es suma directa de E y V .

10. Sea E1 el subespacio de R3 generado por (2, 3, 1) y E2 el subespacio generado por (0, 1, 2) y (1, 1, 1). Probar que R3 = E1 ⊕ E2 y expresar el vector generado por (1, 0, 1) ∈ R3 como suma de un vector de E1 y otro de E2.

11. Sea E = h1, x, x2, x3i el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 y sea V = {p(x) ∈ E : p(1) = 0} .

(a) Probar que V es un subespacio de E y calcular su dimensi´on y una base.

(b) Calcular las coordenadas del polinomio x2−3x+2 ∈ V respecto de la base del apartado anterior.

(c) Encuentra un subespacio suplementario de V .

12. Consid´erense los siguientes subespacios de R4: E1 =< (1, 0, −1, 0), (2, −1, 2, 0), (3, −2, 3, 0) >

y E2 =< (0, 1, 1, 0), (1, 1, 3, 0), (−2, 1, 1, 1) >.

(a) Calcular bases y dimensiones de E1, E2, E1+ E2, E1∩ E2. (b) ¿Se verifica que R4 = E1⊕ E2?

(c) Calcula dos subespacios suplementarios diferentes de E1.

13. Se consideran los subespacios de R4 generados por los siguientes vectores:

E1 =< (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) >, E2 =< (1, −1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) >

Se pide:

(a) Hallar las dimensiones de E1, E2, E1 + E2, E1∩ E2. (b) Estudiar si E1+ E2 = R4.

(c) ¿E1 y E2 son subespacios suplementarios?

(11)

Algebra lineal y Geometr´ıa I´

Gloria Serrano Sotelo

Departamento de MATEM ´ATICAS

1. Aplicaciones lineales. N´ucleo e Imagen. Tipos de aplicaciones lineales.

Sean E y E0 k-espacios vectoriales.

Definici´on 1.1. Una aplicaci´on E −→ ET 0 es lineal si T (e + v) = T (e) + T (v) y T (λe) = λT (e) o, lo que es equivalente, T (λe + µv) = λT (e) + µT (v), cualesquiera que sean e, v ∈ E y λ, µ ∈ k.

Si E −→ ET 0 es una aplicaci´on lineal la imagen del vector cero es el vector cero:

T (0) = T (0e + 0v) = 0T (e) + 0T (v) = 0.

Ejemplo 1.2.

• La aplicaci´on

R3 T−→ R2

(x, y, z) 7→ (x + z + 2, y − z) No es lineal pues T (0, 0, 0) = (2, 0) 6= (0, 0)

• La aplicaci´on derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E −→ E, esD lineal : D(λp(x) + µq(x)) = λp0(x) + µq0(x) = λD(p(x)) + µD(q(x)).

• La aplicaci´on

R3 T−→ R2

(x, y, z) 7→ (x + y, z2)

No es lineal ya que T (λ(x, y, z)) no es igual λT (x, y, z) para todo valor de λ.

T (λ(x, y, z)) = T (λx, λy, λz) = (λx + λy, λ2z2) 6= (λx + λy, λz2) = λ(x + y, z2) = λT (x, y, z).

La igualdad se da si λ2 = λ, esto es, s´olo para λ = 0, 1

1.1. N´ucleo e imagen de una aplicaci´on lineal.

Definici´on 1.3. Sea E −→ ET 0 una aplicaci´on lineal, se definen su n´ucleo, ker T , y su imagen, Im T , por:

ker T = {e ∈ E : T (e) = 0} ⊆ E

Im T = {e0 ∈ E0 : e0 = T (e) , para alg´un e ∈ E} ⊆ E0

Teorema 1.4. Si E −→ ET 0 una aplicaci´on lineal, ker T es un subespacio vectorial de E e Im T es un subespacio vectorial de E0 y se verifica la f´ormula de dimensi´on:

dimkE = dimkker T + dimkIm T Demostraci´on.

• ker T es cerrado por combinaciones lineales:

Si e, v ∈ ker T y λ, µ ∈ k se tiene que T (λe + µv) = λT (e) + µT (v) = 0, lo que prueba que λe + µv ∈ ker T .

• Im T es cerrado por combinaciones lineales:

Si T (e), T (v) ∈ Im T y λ, µ ∈ k se tiene que λT (e) + µT (v) = T (λe + µv), lo que prueba que λe + µv ∈ Im T .

1

(12)

• Sea {v1, . . . , vm} una base de ker T .

Ampliemos esta base para formar una base {v1, . . . , vm, em+1, . . . , en} de E.

Tomando im´agenes por T , los vectores {T (v1), . . . , T (vm), T (em+1), . . . , T (en)} generan Im T , y como T (v1) = · · · = T (vm) = 0 por definici´on de n´ucleo, resulta que {T (em+1), . . . , T (en)}

es un sistema de generadores de Im T . Probaremos que {T (em+1), . . . , T (en)} son linealmente independientes con lo que quedar´a demostrada la f´ormula.

Si λm+1T (em+1) + · · · + λnT (en) = 0, por ser T lineal, T (λm+1em+1+ · · · + λnen) = 0, por tanto el vector λm+1em+1+ · · · + λnen pertenece a ker T , luego λm+1em+1+ · · · + λnen = 0, ya que {em+1, . . . , en} generan un suplementario de ker T y como adem´as son linealmente

independientes resulta que λm+1 = · · · = λn = 0. 

Ejemplo 1.5. Sea E el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3.

Calculemos el n´ucleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) Operador derivada: E−→ E, definido por D(p(x)) = pD 0(x).

(b) E −→ R, definida por T (p(x)) =T R1

−1p(x)dx

ker D = {p(x) ∈ E : p0(x) = 0} = {polinomios constantes} = h1i.

Im D = h1, x, x2i, pues la derivada de un polinomio de grado menor o igual que tres es un polinomio de grado menor o igual que 2.

Im T es un subespacio vectorial de R y como Im T 6= (0), ha de ser Im T = R = h1i, luego dim ker T = dim E − dim Im T = 4 − 1 = 3.

Calculemos una base del ker T : Z 1

−1

(a + bx + cx2+ dx3)dx = ax + bx2 2 + cx3

3 + dx4 4

1

−1

= 2a + 2 3c luego

ker T = {a + bx + cx2+ dx3 ∈ E : 2a + 2

3c = 0} = {a + bx − 3ax2+ dx3 : a, b, d ∈ R}

= {a(1 − 3x2) + bx + dx3 : a, b, d ∈ R} = h1 − 3x2, x, x3i

1.2. Aplicaciones lineales inyectivas, epiyectivas y biyectivas.

Definici´on 1.6. Sea E −→ ET 0 una aplicaci´on lineal. T es inyectiva o epiyectiva si como aplicaci´on de conjuntos lo es, esto es:

• T es inyectiva si siempre que T (e) = T (v) se deduce que e = v, cualesquiera que sean e, v ∈ E

• T es epiyectiva si Im T = E0.

T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman isomorfismos.

Un endomorfismo de E es una aplicaci´on lineal de E en si mismo, E −→ E. Se llamanT automorfismos a los endomorfismos biyectivos.

Ejemplo 1.7.

• Sea V un subespacio vectorial de E, la inclusi´on natural V ,→ E

v 7→ v es una aplicaci´on lineal inyectiva.

• Si E representa el espacio vectorial de los polinomios, p(x), de grado menor o igual que tres y E0 el de los polinomios de grado menor o igual que dos, la aplicaci´on derivada

E −→ ED 0 p(x) 7→ p0(x)

(13)

es una aplicaci´on lineal epiyectiva.

• La aplicaci´on identidad

E −Id→ E e 7→ e es un automorfismo de E.

Proposici´on 1.8. Una aplicaci´on lineal E−→ ET 0 es inyectiva si y s´olo si ker T = {0}.

Demostraci´on.

⇒ Si e ∈ ker T es T (e) = 0, luego T (e) = T (0) pues T (0) = 0. Como T es inyectiva, de T (e) = T (0) se deduce que e = 0.

⇐ Si T (e) = T (e0), por ser T lineal T (e − e0) = 0, luego e − e0 ∈ ker T , y como ker T = {0}

resulta que e = e0, lo que prueba que T es inyectiva. 

1.3. Operaciones con aplicaciones lineales: Suma, multiplicaci´on por escalares, composici´on. Aplicaci´on lineal inversa.

– Dadas aplicaciones lineales E −→ Ef 0 y E−→ Eg 0, las aplicaciones suma y multiplicaci´on por un escalar, definidas repectivamente por

E −−→ Ef +g 0

e 7→ f (e) + g(e)

E −→ Eλf 0 e 7→ λf (e)

son aplicaciones lineales, pues cualesquiera que sean e, v ∈ E y α, µ ∈ k se verifica

(f + g)(αe + µv) = α(f + g)(e) + µ(f + g)(v) y (λf )(αe + µv) = α(λf )(e) + µ(λf )(v), como es f´acil comprobar.

El conjunto de las aplicaciones lineales de E en E0 se representa por Homk(E, E0) y es un k-espacio vectorial con las operaciones anteriores.

– La composici´on de aplicaciones lineales E f //

g◦f

66

E0 g //E00 E f //

g◦fAAAAAAA AE0

g

E00

definida, para cada e ∈ E, por (g ◦ f )(e) = g(f (e)), es una aplicaci´on lineal:

(g◦f )(αe+µv) = g(f (αe+µv)) = g(αf (e)+µf (v)) = α(g◦f )(e)+µ(g◦f )(v), ∀e, v ∈ E, α, µ ∈ k . –Una aplicaci´on E −→ Ef 0 tiene inversa si existe otra aplicaci´on E0 f

−1

−−→ E tal que f ◦ f−1 = f−1◦ f = Id .

Las aplicaciones biyectivas tienen aplicaci´on inversa y, rec´ıprocamente, cualquier aplicaci´on que tiene inversa es biyectiva.

La inversa de una aplicaci´on lineal es tambi´en una aplicaci´on lineal.

Ejemplo 1.9. Sea T un endomorfismo del k-espacio vectorial E tal que T2 = T + I. Pro- baremos que T es automorfismo y calcularemos T−1 en funci´on de T .

De T2 = T + I se sigue I = T2− T = T (T − I), lo que prueba que T tiene inversa y esta es T−1 = T − I y por tanto es biyectiva.

(14)

2. Aplicaciones lineales en coordenadas: Matrices 2.1. Matriz asociada a una aplicaci´on lineal.

Dada una aplicaci´on lineal E −→ ET 0 y bases {e1, . . . , en} de E y {e01, . . . , e0m} de E0, existe una ´unica matriz A = (aij) ∈ M (m × n, k) determinada por

T (ej) =

m

X

i=1

aije0i, para j = 1, . . . , n

A es la matriz asociada a T respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e01, . . . , e0m} de E0. Las columnas de A son las coordenadas de los vectores T (e1), . . . , T (en) respecto de la base {e01, . . . , e0m} de E0.

Si e = x1e1+ · · · + xnen y T (e) = x01e01+ · · · + x0me0m, la expresi´on en coordenadas de T es

T (x1, . . . , xn) = (x01, . . . , x0m) , siendo A ·

 x1

... xn

=

 x01

... x0m

la expresi´on matricial del sistema lineal que T define.

Obs´ervese que:

• A es la matriz de coeficientes del sistema lineal anterior y ker T es el subespacio de solu- ciones del sistema homog´eneo asociado.

• Los vectores {T (e1), . . . , T (en)} forman un sistema de generadores del subespacio imagen, Im T , luego su dimensi´on coincide con el rango de la matriz A y por tanto la dimensi´on del n´ucleo es la de E menos el rango de A

dimkIm T = rg A , dimkker T = dimkE − rg A Ejemplo 2.1. Dada la aplicaci´on lineal

R3 T−→ R4

(x, y, z) 7→ (x − y, x + 2z, y, y + z) calculemos su matriz asociada y probemos que T es inyectiva.

A =

1 −1 0

1 0 2

0 1 0

0 1 1

, rg A = 3 ⇒ dimRker T = 3 − 3 = 0 ⇒ kerRT = {0}

Ejemplo 2.2. Sean {e1, e2, e3} una base de E y {e01e02, e03, e04} una base de E0 y k = R.

Consid´erense la aplicaci´on lineal E −→ ET 0 definida por

T (e1) = e01+ e02− e03, T (e2) = 2e02− e04, T (e3) = 3e01+ 3e02− 3e03 calculemos su expresi´on en coordenadas y bases y dimensiones de Im T y ker T . La matriz asociada a T , por columnas, es A = T (e1) T (e2) T (e3) =

1 0 3

1 2 3

−1 0 −3

0 −1 0

 dimRIm T = rg A = 2 , Im T = hT (e1), T (e2)i = he01+ e02− e03, 2e01− e04i

dimRker T = dimRE − rg A = 1 ker T ≡

(x + 3z = 0 x + 2y + 3z = 0

ker T = {(−3z, 0, z), z ∈ R} = h(−3, 0, 1)i = h−3e1+ e3i

(15)

2.2. Matrices asociadas a la suma de aplicaciones lineales y al producto de una aplicaci´on lineal por un escalar.

Sean A = (aij) y B = (bij) las matrices asociadas a las aplicaciones lineales E −→ Ef 0 y E −→ Eg 0 respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e01, . . . , e0m} de E0.

• La matriz asociada a la aplicaci´on lineal suma f + g es la matriz A + B. En efecto:

(f + g)(ej) = f (ej) + g(ej) =

m

X

i=1

aije0i+

m

X

i=1

bije0i =

m

X

i=1

(aij + bij)e0i

• La matriz asociada a la aplicaci´on lineal λf es la matriz λA. En efecto:

(λf )(ej) = λf (ej) = λ

m

X

i=1

aije0i =

m

X

i=1

λaije0i

2.3. Matriz asociada a la composici´on de aplicaciones lineales.

E f //

g◦f

66

E0 g // E00

Sea A = (aij) la matriz asociada a f respecto de la las bases {e1, . . . , en} de E y {e01, . . . , e0m} de E0 y sea B = (bij) la matriz asociada a g respecto de la las bases {e01, . . . , e0m} de E0 y {e001, . . . , e00s} de E00, esto es:

f (ej) =

m

X

i=1

aije0i, para j = 1, . . . , n ; g(e0i) =

s

X

k=1

bkie00k, para i = 1, . . . , m

La matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases {e1, . . . , en} de E y {e001, . . . , e00s} de E00 es la matriz producto B · A. En efecto:

(g ◦ f )(ej) = g(f (ej) =

m

X

i=1

aijg(e0i) =

m

X

i=1

aij

s

X

k=1

bkie00k=

s

X

k=1

(

m

X

i=1

bkiaij)e00k =

s

X

k=1

(B · A)kje00k

Ejemplo 2.3. Dadas las aplicaciones lineales R3 f−→ R2

(x, y, z) 7→ (x − y, y + 2z)

R2 g−→ R3

(x, y) 7→ (x + y, 2y, x − y)

Calculemos las matrices asociadas a f ◦ g y g ◦ f y la dimensi´on y una base del subespacio Im(f ◦ g) de R2 y del subespacio Im(g ◦ f ) de R3.

3. Cambios de base

Sea {e1, . . . , en} una base de E, que llamaremos base inicial o antigua, y {¯e1, . . . , ¯en} otra base de E, a la que nos referiremos como base nueva. Los vectores ¯ej de la base nueva expresados como combinaci´on lineal de los de la base antigua, ¯ej = Pn

i=1bijei, definen la matriz B = (bij) que expresa el cambio de base en el espacio vectorial E.

La matriz de cambio de base B = (bij) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base nueva en funci´on de los de la antigua.

La aplicaci´on lineal que realiza el cambio de base de matriz B es la aplicaci´on identidad respecto de las bases {¯e1, . . . , ¯en} y {e1, . . . , en}.

h¯e1, . . . , ¯eni = E −−→ E = heIdB 1, . . . , eni , IdB(¯ej) = ¯ej =

n

X

i=1

bijei,

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