Construcci´on de polinomios con ra´ıces dadas

Construcci´

on de polinomios con ra´ıces dadas

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Ejemplo introductorio

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces

−5, −3, −3, 4.

Soluci´on.

El polinomio requerido es el siguiente producto de binomios m´onicos: (x + 5)(x + 3)2(x − 4).

Aplicamos sucesivamente el algoritmo de multiplicaci´on de un polinomio por un binomio m´onico:

1 5 5 1 3 15 8 1 3 45 39 11 1 − 4 −180 −111 −5 7 1 Respuesta: −180 − 111x − 5x2+ 7x3+ x4.

Contenido

Teorema del resto y sus corolarios

Multiplicaci´on de polinomios por binomios m´onicos

Construcci´on de polinomios con ra´ıces dadas

Teorema del resto

Divisi´on de un polinomio entre un binomio. Dado un polinomio f y un n´umeroa,

existe un polinomioq y un n´umeror tales que

f (x ) = (x − a)q(x ) + r .

El polinomio q y el n´umeror se determinan de manera ´unica y se pueden calcular con la divisi´on sint´etica(Horner–Ruffini).

Teorema del resto.

En la f´ormula anterior, el restor es el valor del polinomio f en el punto a:

Teorema del resto

Divisi´on de un polinomio entre un binomio. Dado un polinomio f y un n´umeroa,

existe un polinomioq y un n´umeror tales que

f (x ) = (x − a)q(x ) + r .

El polinomio q y el n´umeror se determinan de manera ´unica y se pueden calcular con la divisi´on sint´etica(Horner–Ruffini).

Teorema del resto.

En la f´ormula anterior, el restor es el valor del polinomio f en el punto a:

Divisibilidad de un polinomio entre un binomio

Sea f un polinomio y seaa un cero def, esto es, f (a) = 0. Entonces(x − a) | f (x ), esto es, existe un polinomioq tal que

f (x ) = (x − a)q(x ).

Corolario sobre la divisibilidad entre un producto de binomios. Sea f un polinomio y sean a1, . . . , am algunos ceros def:

f (a1) = · · · = f (am) = 0.

Supongamos que los n´umeros a1, . . . , am son diferentes por pares.

Entonces(x − a1) · · · (x − am) | f (x ), esto es, existe un polinomioq tal que f (x ) = (x − a1) · · · (x − am)q(x ).

Divisibilidad de un polinomio entre un binomio

Sea f un polinomio y seaa un cero def, esto es, f (a) = 0. Entonces(x − a) | f (x ), esto es, existe un polinomioq tal que

f (x ) = (x − a)q(x ).

Corolario sobre la divisibilidad entre un producto de binomios. Sea f un polinomio y sean a1, . . . , am algunos ceros def:

f (a1) = · · · = f (am) = 0.

Supongamos que los n´umeros a1, . . . , am son diferentes por pares.

Entonces(x − a1) · · · (x − am) | f (x ), esto es, existe un polinomioq tal que f (x ) = (x − a1) · · · (x − am)q(x ).

Contenido

Teorema del resto y sus corolarios

Multiplicaci´on de polinomios por binomios m´onicos

Construcci´on de polinomios con ra´ıces dadas

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

(2 − 5x − x3)(−2 + x )

= −4 + 12x − 5x2+ 2x3− x4.

2 −5 0 −1

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

(2 − 5x − x3)(−2 + x )

= −4 + 12x − 5x2+ 2x3− x4.

2 −5 0 −1

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

Multiplicar un polinomio por un binomio m´

onico (repaso)

(2 − 5x − x3)(−2 + x ) = −4 + 12x − 5x2+ 2x3− x4.

2 −5 0 −1

Ejercicio de repaso

Multiplicar un polinomio por un binomio: (4 − 5x + 2x3)(−3 + x ) =

− 12 + 19x − 5x2_{− 6x}3_{+ 2x}4_.

4 −5 0 2

−3

Ejercicio de repaso

Multiplicar un polinomio por un binomio: (4 − 5x + 2x3)(−3 + x ) =

− 12 + 19x − 5x2_{− 6x}3_{+ 2x}4_.

4 −5 0 2

−3

Ejercicio de repaso

Multiplicar un polinomio por un binomio:

(4 − 5x + 2x3)(−3 + x ) = − 12 + 19x − 5x2− 6x3_{+ 2x}4_.

4 −5 0 2

Contenido

Teorema del resto y sus corolarios

Multiplicaci´on de polinomios por binomios m´onicos

Construcci´on de polinomios con ra´ıces dadas

Recetas

Los polinomios con ra´ıces dadas a1, a2, . . . , am son de la forma (x − a1)(x − a2) · · · (x − am) q(x ),

dondeq es un polinomio arbitrario.

Los polinomios no nulos de grado m´ınimo con ra´ıces dadas

a1, a2, . . . , am son de la forma

c (x − a1)(x − a2) · · · (x − am),

dondec es una constante no nula.

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces a1, . . . , am es

Recetas

Los polinomios con ra´ıces dadas a1, a2, . . . , am son de la forma (x − a1)(x − a2) · · · (x − am) q(x ),

dondeq es un polinomio arbitrario.

Los polinomios no nulos de grado m´ınimo con ra´ıces dadas

a1, a2, . . . , am son de la forma

c (x − a1)(x − a2) · · · (x − am),

dondec es una constante no nula.

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces a1, . . . , am es

Recetas

Los polinomios con ra´ıces dadas a1, a2, . . . , am son de la forma (x − a1)(x − a2) · · · (x − am) q(x ),

dondeq es un polinomio arbitrario.

Los polinomios no nulos de grado m´ınimo con ra´ıces dadas

a1, a2, . . . , am son de la forma

c (x − a1)(x − a2) · · · (x − am),

dondec es una constante no nula.

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces a1, . . . , am es

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−3, −2, −2, 3. 1 3 3 1 2 6 5 1 2 12 16 7 1 −3 −36 −36 −5 4 1 Calculamos el producto 1 (x + 3) (x + 2) (x + 2) (x − 3). Respuesta: −36 − 36x − 5x2_{+ 4x}3_{+ x}4_.

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on completa

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)2(x − 3) = −36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Probemos que f (−3) = f (−2) = f0(−2) = f (3) = 0.

Aplicamos la divisi´on sint´etica (el algoritmo de Horner–Ruffini):

−36 −36 −5 4 1 −3 0 −12 −8 1 1 f (−3) = 0 X −36 −36 −5 4 1 −2 0 −18 −9 2 1 −2 0 −9 0 1 (x + 2)2 _{| f (x ), i.e.,} f (−2) = f0(−2) = 0 X −36 −36 −5 4 1 3 0 12 16 7 1 f (3) = 0 X

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes.

I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

Algoritmo en acci´

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El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) =(x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3) = − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

28 −16 −5 0

1

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

28 −16 −5

0 1

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

28 −16

−5 0 1

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4

28

−16 −5 0 1

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

−4 28 −16 −5 0 1

Algoritmo en acci´

on

El mismo ejemplo, comprobaci´on parcial

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −3, −2, −2, 3 es

f (x ) = (x + 3)(x + 2)(x + 2)(x − 3)

= − 36 − 36x − 5x2+ 4x3+ x4.

Comprobaci´on parcial: calculemos f (−4) de dos maneras diferentes. I. Usamos la descomposici´on de f en un producto de binomios m´onicos:

f (−4) = (−1)(−2)(−2)(−7) = 28.

II. Aplicamos el algoritmo de Horner–Ruffini:

−36 −36 −5 4 1

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que tenga ra´ıces

−5, 0, 2, 2, 4. 1 5 5 1 0 0 5 1 −2 0 −10 3 1 −2 0 20 −16 1 1 −4 0 −80 84 −20 −3 1 Calculamos el producto (x + 5)(x + 0)(x − 2)2(x − 4). Respuesta: −80x + 84x2_{− 20x}3_{− 3x}4_{+ x}5_.

Algoritmo en acci´

on

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −5, 0, 2, 2, 4 es

f (x ) = (x + 5)x (x − 2)2(x − 4) = − 80x + 84x2− 20x3− 3x4+ x5.

Para comprobar la respuesta, calculemos f (3) de dos maneras.

I. Usamos la descomposici´on de f en binomios m´onicos:

f (3) = 8 · 3 · 12· (−1) = −24. II. Evaluamos f en 3 con el algoritmo de Horner–Ruffini:

0 −80 84 −20 −3 1

3

Algoritmo en acci´

on

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −5, 0, 2, 2, 4 es

f (x ) =(x + 5)x (x − 2)2(x − 4)= − 80x + 84x2− 20x3− 3x4+ x5.

Para comprobar la respuesta, calculemos f (3) de dos maneras. I. Usamos la descomposici´on de f en binomios m´onicos:

f (3) = 8 · 3 · 12· (−1) = −24.

II. Evaluamos f en 3 con el algoritmo de Horner–Ruffini:

0 −80 84 −20 −3 1

3

Algoritmo en acci´

on

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −5, 0, 2, 2, 4 es

f (x ) = (x + 5)x (x − 2)2(x − 4) = − 80x + 84x2− 20x3− 3x4+ x5.

Para comprobar la respuesta, calculemos f (3) de dos maneras. I. Usamos la descomposici´on de f en binomios m´onicos:

f (3) = 8 · 3 · 12· (−1) = −24. II. Evaluamos f en 3 con el algoritmo de Horner–Ruffini:

0 −80 84 −20 −3 1

3

Algoritmo en acci´

on

El polinomio m´onico de grado m´ınimo con ra´ıces −5, 0, 2, 2, 4 es

f (x ) = (x + 5)x (x − 2)2(x − 4) = − 80x + 84x2− 20x3− 3x4+ x5.

Para comprobar la respuesta, calculemos f (3) de dos maneras. I. Usamos la descomposici´on de f en binomios m´onicos:

f (3) = 8 · 3 · 12· (−1) = −24. II. Evaluamos f en 3 con el algoritmo de Horner–Ruffini:

0 −80 84 −20 −3 1

3

−24 −8 24 −20 0

1