0. Repaso . . . . 7
Divisibilidad . . . 8
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo . . . 9
Números enteros . . . 10
Operaciones con números enteros . . . 11
Operaciones combinadas con números enteros . . . 12
Razón y proporción . . . 13 Polígonos y circunferencia . . . 14 Triángulos y cuadriláteros . . . 15 Coordenadas cartesianas . . . 16 1. Números racionales . . . . 17 Fracciones . . . 18
Operaciones con fracciones . . . 21
Números decimales . . . 23
Fracciones y números decimales . . . 24
Números racionales . . . 27
Lo esencial . . . . 28
Actividades . . . . 30
En la vida cotidiana . . . . 36
2. Números reales . . . . 37
Potencias de números racionales . . . 38
Propiedades de las potencias . . . 40
Notación científica. Operaciones . . . 42
Números reales . . . 44
Aproximación de números reales . . . 45
Representación de números reales . . . 46
Intervalos . . . 47 Lo esencial . . . . 48 Actividades . . . . 50 En la vida cotidiana . . . . 56 3. Polinomios . . . . 57 Monomios . . . 58
Operaciones con monomios . . . 59
Polinomios . . . 60
Operaciones con polinomios . . . 62
Factor común . . . 64 Igualdades notables . . . 65 Fracciones algebraicas . . . 67 Lo esencial . . . . 68 Actividades . . . . 70 En la vida cotidiana . . . . 74
4. Ecuaciones de primer y segundo grado . . . . 75
Identidades y ecuaciones . . . 76
Elementos de una ecuación . . . 77
Ecuaciones de primer grado . . . 78
Ecuaciones de segundo grado . . . 81
Resolución de problemas con ecuaciones . . . 84
Lo esencial . . . . 86
Actividades . . . . 88
En la vida cotidiana . . . . 94
5. Sistemas de ecuaciones . . . . 95
Ecuaciones lineales . . . 96
Sistemas de ecuaciones lineales . . . 97
Métodos de resolución de sistemas . . . 99
Resolución de problemas con sistemas . . . 103
Lo esencial . . . 104 Actividades . . . 106 En la vida cotidiana . . . 112 6. Proporcionalidad numérica . . . 113 Proporcionalidad directa . . . 114 Proporcionalidad inversa . . . 115
Regla de tres simple . . . 116
Repartos proporcionales . . . 118
Proporcionalidad compuesta . . . 120
Problemas con porcentajes . . . 121
Interés simple . . . 123 Lo esencial . . . 124 Actividades . . . 126 En la vida cotidiana . . . 132 7. Progresiones . . . 133 Sucesiones . . . 134 Progresiones aritméticas . . . 136 Progresiones geométricas . . . 139 Interés compuesto . . . 143 Lo esencial . . . 144 Actividades . . . 146 En la vida cotidiana . . . 152
⺡
⺡
⺞
⺞
⺪⺪
8. Lugares geométricos. Figuras planas . . . 153
Lugares geométricos . . . 154
Rectas y puntos notables en el triángulo . . . 155
Teorema de Pitágoras . . . 157
Aplicaciones del teorema de Pitágoras . . . 158
Área de figuras planas . . . 159
Lo esencial . . . 162
Actividades . . . 164
En la vida cotidiana . . . 170
9. Cuerpos geométricos . . . 171
Poliedros . . . 172
Clasificación de poliedros. Áreas . . . 173
Cuerpos de revolución. Áreas . . . 176
Volumen de cuerpos geométricos . . . 178
La esfera terrestre . . . 181 Lo esencial . . . 182 Actividades . . . 184 En la vida cotidiana . . . 190 10. Movimientos y semejanzas . . . 191 Vectores . . . 192 Movimientos en el plano . . . 193 Traslaciones . . . 194 Giros . . . 195 Simetrías . . . 196 Homotecias y semejanzas . . . 198 Teorema de Tales . . . 199
Aplicaciones del teorema de Tales . . . 200
Escalas . . . 201 Lo esencial . . . 202 Actividades . . . 204 En la vida cotidiana . . . 210 11. Funciones . . . 211 Concepto de función . . . 212
Formas de expresar una función . . . 213
Características de una función . . . 215
Lo esencial . . . 222
Actividades . . . 224
En la vida cotidiana . . . 228
12. Funciones lineales y afines . . . 229
Función lineal . . . 230
Función afín . . . 231
Ecuaciones y gráficas . . . 232
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos . . . 233
Rectas secantes y paralelas . . . 234
Aplicaciones . . . 236 Lo esencial . . . 238 Actividades . . . 240 En la vida cotidiana . . . 244 13. Estadística . . . 245 Conceptos básicos . . . 246 Frecuencias y tablas . . . 248 Gráficos estadísticos . . . 251 Medidas de centralización . . . 253 Medidas de posición . . . 254 Medidas de dispersión . . . 255 Lo esencial . . . 256 Actividades . . . 258 En la vida cotidiana . . . 262 14. Probabilidad . . . 263
Experimentos aleatorios. Sucesos . . . 264
Operaciones con sucesos . . . 266
Probabilidad de un suceso . . . 268 Regla de Laplace . . . 269 Frecuencia y probabilidad . . . 270 Propiedades de la probabilidad . . . 271 Lo esencial . . . 272 Actividades . . . 274 En la vida cotidiana . . . 278 826490 _ 0001-0005.qxd 2/2/07 19:01 Página 3
Página inicial:Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas.
Concluye con una actividad donde pondrás a prueba tus conocimientos previos.
Páginas de contenidos:En ellas
encontrarás los contenidos
y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos. Al final de cada página se proponen ejercicios clasificados en tres niveles:
PRACTICA. Son actividades para que repitas de forma prácticamente exacta el procedimiento que has estudiado.
APLICA. Son actividades en las que tendrás que aplicar ese procedimiento.
REFLEXIONA. Una vez que seas capaz de repetirlo y aplicarlo, te proponemos que hagas una reflexión sobre él.
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.
Una clase improvisada
Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes. Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar: –Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra: –Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar al palacio. Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.
Sistemas
de ecuaciones
5
En esta unidad aprenderás a… • Reconocer sistemas de ecuaciones y clasificarlos según sus soluciones. • Obtener soluciones de un sistema mediante tablas y a partir de su representación gráfica. • Calcular las soluciones de un sistema por los métodos de sustitución, igualación y reducción. • Plantear y resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales. PLAN DE TRABAJO APLICAIndica el poliedro regular que se puede formar con:
a) Triángulos equiláteros. b) Cuadrados.
¿Cuántas caras coinciden en cada vértice?
REFLEXIONA
¿Podrías formar un poliedro regular utilizando solo hexágonos regulares? ¿Y utilizando polígonos regulares de más de seis lados?
6 5
EJERCICIOS
PRACTICA
Este poliedro es un cubo truncado (cada vértice del cubo ha sido cortado formando un triángulo equilátero). ¿Es el poliedro cóncavo o convexo? Comprueba que se cumple la fórmula de Euler.
4
Poliedros
1 Clasificación de poliedros. Áreas
Según su forma, los poliedros pueden ser cóncavos o convexos.
En todos los poliedros convexos se cumple la relación de Euler: C + V = A + 2
N.ode caras N.ode vértices N.ode aristas
Solo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
2
APLICA
Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior, indicando los pasos que sigues al hacerlo.
REFLEXIONA
Dibuja dos heptaedros que tengan distinto número de aristas y de vértices. (Fíjate en los ejemplos anteriores.)
3 2
EJERCICIOS
PRACTICA
Determina el nombre de los poliedros y su número de caras y aristas.
a) b)
1
172
Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas de forma poligonal.
Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos regulares iguales y, además, en cada vértice se une el mismo número de caras. Llamamos desarrollo plano de un poliedro a la figura que se obtiene al
extenderlo sobre un plano. A partir de él podemos reconstruir el poliedro.
Cara
Cada polígono que limita al poliedro.
Arista
Lado de cada cara.
Diagonal
Segmento que une dos vértices no consecutivos.
Vértice
Donde concurren tres o más caras. Coinciden con los vértices de las caras.
Los poliedros se nombran según su número de caras: 4 caras Tetraedro 5 caras Pentaedro 6 caras Hexaedro 7 caras Heptaedro ... F F F F Determina el nombre de los siguientes poliedros. ¿Cuántas caras tienen? ¿Y cuántas aristas?
En ambos casos, el número de caras es 5, luego son pentaedros; sin embargo, el primero tiene 8 aristas y el segundo 9.
1 EJEMPLO
Clasifica estos poliedros y comprueba si se verifica la relación de Euler. a) Es un poliedro convexo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 b) Es un poliedro cóncavo. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2 2 Convexo
Ninguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.
EJEMPLO
2.1Poliedros regulares
Cóncavo
Alguna cara, al prolongarla, corta al poliedro. 173 F F G G F
Los principales poliedros convexos son los poliedros regulares, los prismas y las pirámides.
Lo esencial:Esta doble página es de resumen y autoevalución.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.
HAZLO DE ESTA MANERA. Son los procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.
Y AHORA… PRACTICA. Es una autoevalución cuyas soluciones aparecen al final del libro.
Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.
Investiga:
Actividades en las que tendrás que aplicar todo tu ingenio para descubrir regularidades y propiedades de los contenidos que acabas de estudiar. En la vida cotidiana: La última página de la unidad se dedica a la propuesta de problemas con datos reales.
Mediante su resolución descubrirás la utilidad práctica de todo lo aprendido, que te puede ayudar
en tu vida cotidiana. 182
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Prismas
Pirámides
Cilindros
183
HAZLO DE ESTA MANERA
1.APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN CUERPOS GEOMÉTRICOS
Calcula el dato desconocido en estos cuerpos geométricos.
PRIMERO.Determinamos el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y se aplica el teorema de Pitágoras.
a) b) c)
SEGUNDO.Resolvemos la ecuación resultante.
a) g2= 32+ 42 b) 52= (a')2+ 32→ (a')2= 52− 32 c) a2= 32+ 42 a =32+42=5cm a' =52−32=4cm g =32+42=5cm 2.CALCULAR EL ÁREA DE UN POLIEDRO Halla el área de este poliedro.
3.CALCULAR EL ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN Obtén el área de estos cuerpos de revolución.
4.CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CUERPO GEOMÉTRICO
Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.
SEGUNDO.Aplicamos la fórmula. a) V = ABase⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3 b) V=1r h= ⋅ ⋅ = 3 1 3 3437 68 2 2 π π ,cm3 Aplicar el teorema de Pitágoras
en cuerpos geométricos 1. La altura de un cono con 5 cm de radio
de la base y 12 cm de generatriz, es: a) 10,91 cm b) 13 cm c) 7 cm
Calcular el área de un poliedro 2. El área de un prisma triangular regular
de arista básica 3 cm y arista lateral 2 cm, es: a) 18 cm2
b) 25,8 cm2
c) 22,3 cm2
Calcular el área de un cuerpo de revolución 3. El área de un cono de radio 4 cm
y altura 3 cm, es: a) 87,96 cm2
b) 113,04 cm2
c) 96,7 cm2 Calcular el volumen de un cuerpo geométrico 4. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro
de arista de la base 2 cm y altura 1,63 cm? a) 2,82 cm3 b) 0,94 cm3 c) 6,52 cm3 Y AHORA… PRACTICA Conos Esferas h h r 2πr h r h PB A = PBase⋅ h + 2ABase V = ABase⋅ h A = 2πr(h + r) V = πr2h A = πr(g + r) V=1r h 3 2 π A = 4πr2 V=4r 3 3 π a a a' AA P a V A h = + ⋅ = ⋅ Base Base Base 2 1 3 h r r g 2πr g r a) b) c) g 4 cm 3 cm a' 3 cm 5 cm a 4 cm 6 cm g 4 cm 3 cm a' 3 cm 5 cm a 4 cm 6 2 3 cm=cm a 5 cm 6 cm 4 cm 3 cm 4 cm 3 cm PRIMERO.Determinamos el tipo de poliedro y los datos necesarios para calcular su área. Pirámide cuadrangular regular:
n = 4 → PBase= 4 ⋅ 6 = 24 cm Calculamos su apotema:
a2= 52− 32→
ABase→ Área de un cuadrado
ABase= 62= 36 cm2 SEGUNDO.Aplicamos la fórmula. A=A+P ⋅ = + ⋅ =a Base Base cm 2 36 24 4 2 84 2 a =52−32=4 cm
PRIMERO.Determinamos el tipo de cuerpo de revolución y los datos para calcular su área. a) Cilindro: r= 3 cm h = 4 cm b) Cono: r = 3 cm Calculamos su generatriz: SEGUNDO.Aplicamos la fórmula. a) A= 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) = = 131,88 cm2 b) A= πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2 g2=42+32→g=42+32=5cm
PRIMERO.Determinamos el tipo de cuerpo geométrico y los datos necesarios para calcular su volumen. a) Prisma octogonal regular:
h = 4 cm b) Cono: r = 3 cm h = 4 cm A P a Base=⋅ = ⋅ ⋅,=,cm 2 8 2 2 41 2 19 28 2 ( ) a) b) G 4 cm 2,41 cm 2 cm 4 cm 3 cm F g2= 32+ 42 52= (a')2+ 32 a2= 32+ 42 30 Actividades FRACCIONES
36.GExpresa estos enunciados utilizando una fracción.
a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido
de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas. d) Una de cada 5 personas tiene problemas
de espalda.
37.GEscribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura. a) c) b) d)
38.GRepresenta, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones. a) c) b) d)
39.GColorea los de la figura.
40.GCalcula. a) de 180 d) de 540 b) de 420 e) de 320 c) de 40 f)−3de 1.342 11 −2 5 5 8 5 6 4 9 1 2 2 3 4 9 5 2 7 6 3 7
42.GRepresenta estos números racionales. a) b) c) d)
43.G¿Qué fracción representa cada letra? a) b) c) − − 28 8 −7 5 13 3 2 9
¿CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA? 41. Representa en la recta numérica la fracción . PRIMERO.Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia.
→ → La fracción está comprendida entre 5 y 6. SEGUNDO.Se divide el trozo de recta comprendido entre 5 y 6 en tantas partes como indica el denominador, 3, y se toman las que señala el numerador, 1. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en 5, con la inclinación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales. Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones.
16 3 5 1 3 = + 16 3 16 3 HAZLO ASÍ 16 3 1 5 5 6 5 6 5 16 3 6 A B C −3 −2 −1 1 2 6 7
94.GGGUnos amigos organizan una excursión a la montaña: el primer día recorren un cuarto de lo programado, el segundo día un tercio, dejando el resto (que son 25 km) para el tercer día. ¿Qué fracción representan los kilómetros recorridos el tercer día? ¿Cuántos kilómetros han recorrido en total?
INVESTIGA
95.GGGCalcula las siguientes diferencias.
a) Con los resultados, efectúa esta suma. b) A la vista del resultado anterior, ¿cuál crees
que será el resultado de esta suma?
96.GGGSi vaciamos estos dos recipientes en una jarra, ¿cuál es la proporción de agua y de vinagre en la jarra?
97.GGEsta figura contiene nueve cuadrados, todos de lado 1. Los puntos señalados verifican:
P苶Q苶 = Q苶R苶 = R苶S苶 = S苶T苶 =
Una recta une a X con uno de esos puntos y divide la figura en dos regiones de igual área. ¿Cuál es esa recta? 1 4 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 1 001 000 ++ + + + + … + .. 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 + + + + 35 90.GGTenemos una pieza de alambre de 90 m.
Vendemos las partes a 3 €/m, del resto a 4 €/m y los metros que quedan a 2 €/m.
¿Cuánto hemos ganado si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €?
91.GGTres amigos se reparten 90 € que han ganado
en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe el segundo.
a) ¿Qué fracción representa lo que obtiene cada uno?
b) ¿Cuánto dinero se queda cada amigo? c) ¿Y cuánto dinero dejan de bote?
93.GGGDe un calentador, primero se gasta la mitad del agua y luego la cuarta parte de lo que quedaba. Si todavía quedan 12 litros, ¿cuál es la capacidad del calentador?
1 6 2 3
¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIENDO UNA PARTE?
92. Una piscina está llena hasta los de su
capacidad. Aún se necesitan 880 litros para que esté completamente llena. ¿Qué capacidad tiene la piscina?
PRIMERO.Se calcula la fracción que representa la parte vacía de la piscina.
SEGUNDO.Se designa por x la capacidad total
de la piscina. Despejando x:
La piscina tiene 3.960 litros de capacidad.
x =8802= ⋅ = = 9 880 9 2 7 920 2 3 960 : . . 2 9 2 9 880 dex= ⋅ =x 17 9 9 9 7 9 2 9 −= −= 7 9 HAZLO ASÍ X T S R Q P MEZCLA 2 partes de agua 1 parte de vinagre MEZCLA 3 partes de agua 1 parte de vinagre 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − 2 2 3 3 4 4 5 5 6 En la vida cotidiana
99.GGGA Mariam le quedan pocos días para dar a luz. En su trabajo tienen la costumbre de hacer un regalo a los recién nacidos. Sus compañeros Roberto y Pilar se han encargado de recoger el dinero. Mariam es muy popular en su empresa, la conoce casi todo el mundo, por eso la mayoría de sus compañeros han participado en el regalo. Ayer, Roberto y Pilar estuvieron en unos grandes almacenes y han propuesto comprar un coche de bebé que está de oferta y por el que tendrían que poner 8 € cada uno. Como todos estaban de acuerdo, fueron a comprarlo, pero resultó que la oferta había terminado y les faltaban 4 €.
Finalmente, Roberto y Pilar me han dicho que de los 14 compañeros hay una persona que no ha puesto dinero para el regalo de Mariam.
100.GGGMarcelino es herrero y se ha encontrado con bastantes problemas a lo largo de su trayectoria profesional. Muchas veces le piden encargos que son difíciles de realizar.
En ocasiones, la dificultad no está solo en el trabajo que hay que realizar, sino también en interpretar lo que el cliente desea. Por eso, cuando alguien le plantea un problema como este, Marcelino tiene que traducirlo a las tareas que él debe realizar en su herrería.
¿Cómo tendrá que doblar Marcelino la barra En la terraza tengo un trozo de pared que mide 1,30 m. Quiero colocar, sobre los extremos de la pared, una barra de hierro
que forme un ángulo recto para instalar un toldo que tiene 1,70 m de longitud.
Lo que usted necesitaría es una barra de hierro que mida 1,70 m. Esa barra hay que doblarla hasta que forme un ángulo recto, de tal manera que la distancia entre sus extremos
sea 1,30 m. Lo que podemos hacer es poner
cada uno 9 € y con los 8 € que sobran compramos una camiseta para el niño.
En esta unidad vamos a repasar algunos contenidos que ya has
trabajado en cursos anteriores, y que nos van a servir como punto
de partida para entender los nuevos conceptos que estudiarás en
este curso de 3.º ESO.
Aunque te resulte sencillo, conviene que le dediques un poco
de tiempo y atención, ya que la mayoría de los contenidos que
vas a estudiar en este curso se basan en otros que ya has
estudiado.
0
Repaso
PLAN DE TRABAJO
En esta unidad repasarás…
• Los múltiplos y divisoresde un número.
• El cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números.
• Los números enteros y sus operaciones.
• La razón y la proporción entre números.
• Los elementos de un polígono y sus clasificaciones.
• La representación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
Halla seis múltiplos de cada número.
a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
Obtén dos divisores de los siguientes números.
a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
Completa los huecos con la palabra adecuada (múltiplo o divisor).
a) 24 es … de 6 b) 12 es … de 24 c) 125 es … de 25 d) 51 es … de 17
Averigua cuáles de los siguientes números son primos o compuestos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 y 6.723.
Busca los números primos comprendidos entre 100 y 120. Completa los huecos.
a) Div (30) = {1, 2, 3, , , , 15, } c) Div (97) = {, 97} b) Div (100) = {1, 2, , , 10, , 25, , 100} d) Div (48) = {, 2, 3, 4, 6, , , , , } 6 5 4 3 2 1
Números
• Un número b es múltiplo de un número a si la división de b entre a
es exacta.
• Un número a es divisor de un número b si la división de b entre a
es exacta.
12 : 4 es una división exacta
12 es divisible por 4
12 es múltiplo de 4
4 es divisor de 12
Números primos y compuestos
• Un número a es primo si solo tiene dos divisores: él mismo
y la unidad.
Div (7)
= {1, 7} → 7 es un número primo.
• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es
un número compuesto.
Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} → 12 es un número compuesto.
Criterios de divisibilidad
F
F
F
DIVISIBILIDAD
Divisible por… Criterio de divisibilidad
2 Si la última cifra es 0 o par.
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5 Si la última cifra es 0 o 5.
El número 1 solo tiene un divisor, él mismo.
No se considera un número primo pero
• Para calcular el máximo común divisor de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.d. de los números.
12
2
30
2
6
2
12
= 2
2⋅ 3
15
3
30
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5
3
3
5
5
1
1
m.c.d. (12, 30)
= 2 ⋅ 3 = 6
• Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor
exponente.
3.º El producto de estos factores es el m.c.m. de los números.
20
2
18
2
10
2
20 = 2
2⋅ 5
9
3
18 = 2 ⋅ 3
25
5
3
3
1
1
m.c.m. (20, 18)
= 2
2⋅ 3
2⋅ 5 = 180
Números
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Obtén el m.c.d. de cada pareja de números.
a) 6 y 14 c) 5 y 15 e) 76 y 85 g) 160 y 180
b) 9 y 10 d) 42 y 4 f) 102 y 104 h) 281 y 354
Obtén el m.c.m. de estos números.
a) 7 y 14 c) 9 y 16 e) 61 y 49 g) 150 y 415
b) 12 y 7 d) 8 y 25 f) 280 y 416 h) 296 y 432
Obtén el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.
a) 25, 50 y 100 c) 40, 42 y 48 e) 8, 10, 12 y 14
b) 6, 7 y 8 d) 12, 18 y 20 f) 2, 4, 6, 8 y 10
Dos buques mercantes salen de un puerto
el día 1 de enero. El primero tarda en regresar 26 días, y el segundo, 30 días. Ambos van y vienen constantemente. ¿Cuántos días tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto?
Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen 144 y 120 m de longitud, respectivamente. ¿Cuál es el número de trozos iguales, de tamaño máximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda?
11 10 9 8 7 Si a y b no tienen divisores comunes: m.c.d. (a, b) = 1 m.c.m. (a, b) = a · b 826490Tema00.qxd 23/1/07 13:54 Página 9
Números
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son números precedidos del signo
+ o −,
dependiendo de si la cantidad expresada es mayor o menor que cero.
El conjunto de los números enteros, que designamos por
Z,
está formado por:
– Números enteros positivos:
+1, +2, +3, +4 …
– El número 0.
– Números enteros negativos:
−1, −2, −3, −4 …
Valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número entero es igual al número sin su signo.
⏐
+b
⏐= b
⏐−a
⏐= a
Opuesto de un númeroEl opuesto de un número entero es ese mismo número cambiado
de signo.
Op (
+a) = −a
Op (
−a) = +a
Escribe todos los números enteros.
a) Mayores que −4 y menores que +2. c) Menores que +1 y mayores que −2.
b) Menores que +3 y mayores que −5. d) Mayores que −5 y menores que +6.
Representa en la recta numérica los siguientes números: −6, 0, −8, +3, −5 y +4.
Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica.
a) b)
Completa con números enteros.
a) −3 < < < +1 c) −9 < < < −6
b)+3 > > > −1 d)−15 < < < −10
¿Puedes colocar más de un número en cada hueco? Calcula.
a) ⏐+3⏐ b)⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐
Obtén los opuestos de estos números.
a) −5 b)+8 c) −15 d)−40 e) +125 f) −134 17 16 15 14 13 12 El 0 es el único número entero que no es positivo
ni negativo. El valor absoluto
de 0 es 0.
… −5
Números enteros negativos
−4 −3 −2 −1 0
1 2 3 4 5 …
Números enteros positivos
A B 0 C D A B 0 C D
Números
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Suma de números enteros
• Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus
valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos.
(+2) + (+3) = +5
⏐+2
⏐+
⏐+3
⏐= 5
(
−1) + (−5) = −6
⏐−1
⏐+
⏐−5
⏐= 6
• Para sumar dos enteros de distinto signo, se restan
sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone
el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto.
(
+5) + (−3) = +2 5
> 3 → 5 − 3 = 2
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros hay que sumar al primer sumando
el opuesto del segundo.
(−5) − (+3) = (−5) + op (+3) = (−5) + (−3) = −8
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican
o dividen sus valores absolutos y al resultado se le añade el signo
+
si los dos factores tienen el mismo signo, o el signo − si tienen
distinto signo.
(−5) ⋅ (+3) = −15
(−15) : (+3) = −5
⎯→
⎯→
⏐+5
⏐= 5
⏐−3
⏐= 3
Recuerda la regla de los signos. (+
) · (+
) =+
(-) · (-) =+
(+
) · () = -(-) · (+
) = -(+
) : (+
) =+
(-) : (-) =+
(+
) : () = -(-) : (+
) = -Calcula. a) (−11) + (+4) b) (+13) + (+12) c) (−20) + (−12) d) (+11) + (−15)Realiza estas restas.
a) (−5) − (+5) b) (+3) − (−7) c) (−15) − (−17) d) (+8) − (+7)
Calcula.
a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5)
b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7)
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.
a) (+13) + = (+12) b) + (−20) = (−12) c) (−15) − = (+9) d) − (+8) = (+7)
Calcula.
a) (+4) ⋅ (−5) b) (−40) ⋅ (+8) c) (−40) ⋅ (−10) d) (+2) ⋅ (+15)
Haz estas divisiones.
a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.
a) (+13) ⋅ = (+39) b) ⋅ (−6) = (−42) c) (−15) : = (+5) d) : (+8) = (+2) 24 23 22 21 20 19 18 826490Tema00.qxd 23/1/07 13:54 Página 11
Números
OPERACIONES COMBINADAS
CON NÚMEROS ENTEROS
Sumas y restas con paréntesis
• Si el paréntesis viene precedido por el signo
+, se suprime
manteniendo los sumandos del interior con sus signos.
• Si el paréntesis viene precedido por el signo
−, al suprimirlo
se transforman en sus opuestos los signos de los sumandos del interior.
−4 − (5 − 7) + (−2 + 3) = −4 − 5 + 7 − 2 + 3 = −11 + 10 = −1
Jerarquía en las operaciones
1.º Resolvemos los corchetes
y paréntesis.
2.º Realizamos las multiplicaciones
y divisiones en el orden
en el que aparecen.
3.º Efectuamos las sumas y restas
en el mismo orden.
Realiza estas operaciones.
a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)
b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)
c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g)−1 − (−1 + 2 − 5 + 4)
d)−8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)
Halla el valor de estas expresiones.
a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 c) 9 − 12 : 4 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4
b) (−12) ⋅ 7 : 3 d) 100 − 22 ⋅ 5 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2
Haz estas operaciones.
a) (−4) − (−6) : (+3) d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5) b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6) c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)] Calcula. a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)] b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]
Completa los huecos para que se cumplan las igualdades.
a) (−6) ⋅ [(−1) + ] = −18 c) 3 − [ ⋅ 5] = 18 b) 8 ⋅ [4 − ] = 32 d) 1 + [3 : ] = −2 29 28 27 26 25
[(
−5) ⋅ 3] : [10 : (−2)] + (−6)
−15 :
(
−5)
+ (−6)
3
+ (−6)
−3
F F F FSigno − → Signos opuestos
Signo + → Mismos signos
F F F F F F F F En la práctica:
+
(+
a) =+
a+
(-a) = -a - (+
a) = -a - (-a) =+
aNúmeros
RAZÓN Y PROPORCIÓN
Una razón entre dos números a y b es el cociente .
Una proporción es la iguadad entre dos razones.
La razón entre a y b es
Si
→ a, b, c y d forman una proporción.
La razón entre c y d es
Si con 5 kg de pintura pintamos 4 m
2de pared, ¿podremos pintar 6 m
2de pared con 7,5 kg?
Sí, ya que se cumple que
.
La igualdad de las razones
y
forma una proporción.
Porcentaje
Para calcular el tanto por ciento, o porcentaje, de una cantidad,
multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100.
12 % de 150
=
120 % de 150
= 150
120
100
180
⋅
=
150
12
100
18
⋅
=
a
% de
b
= ⋅
b
a
100
7 5
6
,
5
4
5
4
7 5
6
=
,
c
d
a
b
c
d
=
⎫
⎬
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪⎪
a
b
a
b
La proporción = se lee: «5 es a 4 como 7,5 es a 6». 7 5 6 , 5 4 VALOR NUTRITIVO Proteínas: 3,5 % Carbohidratos: 13,4 % Grasas: 1,9 %Expresa mediante una razón.
a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.
c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65. d) Una frutería tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.
En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción? Identifica las razones que forman una proporción.
a) b) c)
«PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.»
Si Puebla de Montealbo tiene 7.000 habitantes, ¿cuántos, aproximadamente, aprueban la labor del alcalde?
A la derecha ves la composición de un yogur: Calcula el peso de sus componentes
si pesa 125 g. 34 33 7 5 3 4 6 3 2 10 4 , , , , 10 2 50 10 30 8 20 5 , , , 2 1 8 2 6 3 9 5 , , , 32 31 30 826490 _ 0007-0016.qxd 8/2/07 17:57 Página 13
Nombre N.º de lados Regular Irregular
Triángulo 3
Cuadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Nombre N.º de lados Regular Irregular
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala sus lados, vértices y ángulos. Traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene? Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono
que no sean regulares y dibuja sus diagonales. Contesta si es verdadero o falso.
a) Un polígono puede tener más vértices que lados. b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos. c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales. Dibuja una circunferencia con un compás. Después, traza una cuerda y los dos arcos que determina. En esta circunferencia, señala los segmentos que son cuerdas, radios y diámetros.
39 38 37 36 35
Geometría
POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana limitada por segmentos.
El nombre de los polígonos está relacionado con su número de lados.
Los lados son los segmentos que limitan el polígono. La suma de las longitudes de
los lados es su perímetro. Los ángulos son las regiones
que forman los lados al cortarse. Se escriben así: E$.
Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Se nombran con una letra mayúscula. Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
CIRCUNFERENCIA
Longitud de la circunferencia:
L
= 2πr
A B C D E O Arco Cuerda Radio Diámetro A B F F F F F F F G G Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.Octógono regular
8 lados iguales y 8 ángulos iguales
Geometría
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTEROS
Según sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Según sus lados y sus ángulos, los cuadriláteros se clasifican en:
T
RAPECIOSDos lados paralelos.
P
ARALELOGRAMOSLados paralelos dos a dos.
T
RAPEZOIDESNo tienen lados paralelos.
Contesta a estas preguntas.
a) Un triángulo rectángulo, ¿puede ser equilátero?
b) ¿Cuál es el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? c) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo con un ángulo
agudo que mide el triple que el otro ángulo agudo? Un triángulo isósceles tiene
el ángulo desigual de 50°.
¿Cuánto miden los ángulos iguales?
Si dibujamos un triángulo rectángulo, uno isósceles y otro escaleno, y los cortamos por una recta paralela a la base, ¿qué polígonos obtenemos en cada caso?
Calcula la medida de C$ en este trapecio rectángulo sabiendo que B$ = 45°. 43 42 41 40 Equilátero Lados y ángulos iguales. Isósceles
Dos lados y dos ángulos iguales.
Escaleno
Lados y ángulos desiguales.
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapecio rectángulo Acutángulo Ángulos agudos. Obtusángulo Un ángulo obtuso. Rectángulo Un ángulo recto. C A B C A B C A B C A B C A B C A B C D C A A B B
La suma de los ángulos de un triángulo es 180° y la de un cuadrilátero
es 360°.
Indica las coordenadas de cada punto.
Dados los siguientes puntos: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) y D(−2, −3):
a) Represéntalos en el plano.
b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. ¿Qué figura obtienes? Haz lo mismo con estos puntos: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) y E(0, −4). Representa los siguientes puntos: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) y E(−1, 2). a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada.
b) ¿Cuántos puntos tienen la misma abscisa? ¿Cuáles son? Dibuja los ejes de coordenadas
para que el punto sea A(2, −1).
48 47 46 45 44
Funciones
COORDENADAS CARTESIANAS
Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas
perpendiculares denominadas ejes de coordenadas.
En este sistema de coordenadas llamamos:
– Eje de abscisas a la recta horizontal,
y se representa por X.
– Eje de ordenadas a la recta vertical,
y se representa por Y.
– Origen de coordenadas al punto
de intersección de los ejes,
y se representa por O.
Los puntos del plano se denotan
con dos números entre paréntesis
que representan cada una
de sus coordenadas: la primera
se representa gráficamente
en el eje X, y la segunda, en el eje Y.
A Eje de ordenadas Eje de abscisas Origen O Y X B(−3, 3) A(2, −3) 1 3 −3 −3 1 3 Y X B G A B C D E F Y X A A B C D E F 1 1 1 1 G Y X Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, que se llaman
cuadrantes. Segundo cuadrante Primer cuadrante Y X Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
1
En esta unidad
aprenderás a…
• Identificar y calcular fracciones equivalentes. • Efectuar operaciones con fracciones. • Expresar fracciones como números decimales y números decimales en forma fraccionaria. • Identificar números racionales. PLAN DE TRABAJOLa senda de los recuerdos
La sala del trono papal aparecía enorme y vacía a los ojos
de Silvestre II. El otrora poderoso pontífice romano
había perdido todo su poder político aunque a los ojos
de cualquiera su presencia aún imponía un respeto
casi místico.
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único
sitio adonde solo podía llegar él y se sentía libre.
Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán
de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca
y la ciencia que venía del sur.
A su memoria volvían algunos de sus recuerdos
iluminando su rostro, como aquel ábaco que él mismo
construyó con los números arábigos escritos en sus
fichas y cuyo uso describió con detalle, o el proyecto
de aquella máquina que fraccionaría el tiempo,
sustituta de la campana de los monjes: maitines, laudes,
prima, tercia…
Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto
de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras
líneas decían:
Día y noche son las dos partes en que se
divide el día, mas no son iguales, el primero
de diciembre durante el día se han consumido
3 velas y 6 durante la noche…
De repente, como el humo de las velas tras
un golpe de aire, el imaginario camino trazado
en el tiempo se desvaneció al oír la voz de su
secretario que, a cierta distancia, le informaba
de su próxima audiencia.
¿Qué fracción del día le asignarías al día
y a la noche?
Números
racionales
Comprueba si son equivalentes estas fracciones.
y → → 63 ⫽ 32 → No son equivalentes.
Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.
→ 6 ⋅ x = 15 ⋅ 2 → x= 15 2⋅ → x = 5 6 6 15 2 = x 4 7 9 63 4 8 32 ⋅ = ⋅ = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ 8 9 7 4 3 EJEMPLOS
Tomamos 4 partes de las 5 que representan la unidad. → 4 : 5 = 0,8 de 40 € → 4 40 32 € 5 160 5 ⋅ = = 4 5 2 4 5 1 EJEMPLOS
Fracciones
1
1.1
Fracciones equivalentes
Una fracción se puede interpretar como parte de una unidad, como co-
ciente entre dos números o como el operador de un número.
APLICA
Representa, mediante un gráfico, estas fracciones como partes de la unidad.
a) b) c) d)
REFLEXIONA
Escribe fracciones cuyo valor numérico sea:
a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5 4 6 3 5 5 7 4 4 10 3 EJERCICIOS PRACTICA Calcula. a) de 450 b) de 350
Comprueba si son equivalentes estas fracciones. a) y b) y 10 25 12 60 21 6 7 2 2 3 7 4 5 1
Una fracción es una expresión
en la que a y b son números enteros
llamados numerador, a, y denominador, b.
a
b
Dos fracciones, y ,
son
equivalentes, y lo escribimos como
, si se cumple que: a
⋅ d = b ⋅ c.
a
b
c
d
=
c
d
a
b
DATE CUENTADos fracciones equivalentes representan el mismo cociente. 6 : 15 = 0,4 2 : 51= 0,4 F F
Cualquier número entero se puede poner en forma
de fracción: 2 = = = = ... -3 = - = -6 = ... 2 3 1 8 4 4 2 2 1 2 5 6 15 =
Escribe dos fracciones equivalentes a , amplificando y simplificando. Amplificando: Simplificando: 15 35 15 5 35 5 3 7 = : = : 15 35 15 2 35 2 30 70 = ⋅ ⋅ = 15 35 5 EJEMPLO
Calcula la fracción irreducible de .
→ m.c.d. (45, 60) = 3 ⋅ 5 = 15 → Fracciónirreducible 45 60 45 15 60 15 3 4 = : = : 45 3 5 60 2 3 5 2 2 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 45 60 6 EJEMPLO
1.2
Amplificación y simplificación de fracciones
Existen dos métodos para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada:
• Amplificar fracciones consiste en multiplicar el
nu-merador y el denominador de la fracción por un
mismo número, distinto de cero.
• Simplificar fracciones consiste en dividir el
nume-rador y el denominador de la fracción entre un
divi-sor común a ambos.
Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el
numerador y el denominador entre su máximo común divisor.
es la fracción irreducible de .
a
b
a
b
a
a b
b
a b
x
y
x
y
=
:
( , )
=
:
( , )
m.c.d.
m.c.d.
→
1.3
Fracción irreducible
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.La fracción irreducible de una fracción dada es una fracción
equiva-lente en la que el numerador y el denominador no tienen divisores
comunes.
F
APLICA
Halla fracciones de denominador 100 que sean
equivalentes a las fracciones , y .
REFLEXIONA
La fracción es irreducible. ¿Seguirá siendo
irreducible si multiplicamos el numerador y el denominador por 7? a b 8 11 20 39 50 13 25 7 EJERCICIOS PRACTICA
Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación y otras dos por simplificación.
a) b) c)
Calcula la fracción irreducible de estas fracciones.
a) b) c) 42 56 60 75 18 40 6 12 28 690 360 120 60 5
a
b
a n
b n
=
⋅
⋅
a
b
a n
b n
=
:
:
826490 _ 0017-0036.qxd 23/1/07 11:22 Página 191.4
Reducción a común denominador
APLICA
Ordena, de menor a mayor:
REFLEXIONA
¿Cuánto tiene que valer a para que a ?
5 7 5 > 11 5 9 2 3 3 4 8 5 6 7 , − , − , , . 10 EJERCICIOS PRACTICA
Ordena, de menor a mayor. a) b) 3 5 3 4 3 7 4 9 , , , 4 9 1 3 2 5 11 30 , , , 9
Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en
ob-tener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan todas el mismo
denominador.
Reduce a común denominador las fracciones .
Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: → m.c.m. (15, 18) = 2 ⋅ 32⋅ 5 = 90
El m.c.m. será el denominador común de las fracciones.
Para hallar el numerador de cada fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 7⋅ 6 = 42 11 ⋅ 5 = 55 90 : 15 = 6 F 90 : 18 = 5 F F F F F 15 3 5 18 2 32 = ⋅ = ⋅ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪ 7 15 11 18 y 7 7 15 42 90 11 18 55 90 EJEMPLO
1.5
Comparación de fracciones
Para comparar fracciones las reducimos primero a denominador común.
Será mayor la fracción que tenga mayor numerador.
Ordena, de menor a mayor, estas fracciones: Reducimos las fracciones a común denominador:
Ordenando los numeradores: 21
45 25 45 27 45 33 45 7 15 5 9 3 5 11 15 < < < → < < < . m.c.m. (15, 5, 9)=45 = = = → 7 15 21 45 3 5 27 45 11 15 333 45 5 9 25 45 = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ 7 15 11 15 3 5 5 9 , , y . 8 EJEMPLO El denominador común de dos o más fracciones es el m.c.m. de los denominadores. F F F F
APLICA
Haz las siguientes operaciones.
a) b)
REFLEXIONA
Completa con una fracción.
a) b) = −1 21 3 7 − = 1 4 1 3 + 15 − −5 9 − 4 3 14 − +7 − 2 9 4 5 8 14 EJERCICIOS PRACTICA Calcula. a) c) b) d)
Realiza estos productos.
a) b) (− ⋅4) 11 2 12 5 7 3 ⋅ 13 4 8 3 − 5 7 8 + 5 3 4 3 − 7 8 3 8 + 12
Operaciones
con fracciones
2.1
Suma y resta de fracciones
2
Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman
(o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador.
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador primero
se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman
(o restan) los numeradores.
Realiza la siguiente suma de fracciones.
m.c.m. (6, 3, 1) = 6 5 6 7 3 4 + − = 5 + − = + − = + − = − = − 6 7 3 4 1 5 6 14 6 24 6 5 14 24 6 5 6 5 6 6 9 EJEMPLO
2.2
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene como
numerador el producto de los numeradores, y como denominador, el
producto de los denominadores.
a
b
c
d
e
f
a c
e
b d
f
⋅
⋅ … ⋅
=
⋅ ⋅ … ⋅
⋅ ⋅ … ⋅
Calcula este producto de fracciones.
Fracción irreducible 5 6 4 9 ⋅ = ⋅ ⋅ = = 5 4 6 9 20 54 10 27 10 EJEMPLO F F Simplificando Al operar con fracciones es conveniente simplificar al máximo la fracción que obtenemos como
resultado.
F
APLICA
Opera. a) b)
REFLEXIONA
Completa con una fracción para que estas igualdades sean ciertas.
a) b) : 3 5 6 3 = = 21 20 3 5 : 19 9 4 5 6 8 9 6 5 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −:⎛⎝⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅⎛ + − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 7 3 3 5 5 6 7 12 18 EJERCICIOS PRACTICA
Realiza las divisiones.
a) c) b) d) Calcula. a) b) 4 25 8 2 7 20 −⎛ − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 5 9 7 5 4 15 +⎛ − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 17 (−5) : 10 9 8 11 3 5 : 4 7 2 : 9 5 4 7 : 16
2.3
División de fracciones
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por la
inversa de la segunda.
a
b
c
d
a
b
d
c
a d
b c
:
=
⋅
=
⋅
⋅
Calcula esta división de fracciones. 2 7 6 11 : = ⋅ = ⋅ ⋅ = = 2 7 11 6 2 11 7 6 22 42 11 21 11 EJEMPLO
2.4
Jerarquía de las operaciones
Para realizar operaciones combinadas entre fracciones es necesario seguir
el orden de prioridad entre las operaciones:
1.
oSe efectúan las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.
2.
oSe realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que
aparecen, de izquierda a derecha.
3.
oSe calculan las sumas y restas en el orden en que aparecen.
Efectúa las siguientes operaciones. a) b) 4 7 2 21 8 9 5 3 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⎛ − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ : 9 8 3 5 7 4 5 6 ⋅ − : = 27 − = − = 40 42 20 27 40 84 40 57 40 12 =⎛ + ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟= = 12 21 2 21 8 9 15 9 14 2 : 1 1 7 9 126 147 6 7 :⎛− ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟= − = − EJEMPLO Fracción inversa La fracción inversa de es b. a a b
Números
decimales
Los números decimales expresan cantidades con unidades incompletas.
Un número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la
coma, y una parte decimal, situada a la derecha.
37,0907 → Treinta y siete unidades novecientas siete diezmilésimas
3
Decenas 3 Unidades 7, décimas 0 centésimas 9 milésimas 0 7 diezmilésimasPARTE ENTERA PARTE DECIMAL
Tipos de números decimales
• Un número decimal es exacto cuando tiene un número finito de
cifras decimales.
• Un número decimal es periódico si tiene infinitas cifras decimales y,
además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra
o grupo de cifras que se repiten se llama período.
– Si el período empieza inmediatamente después de la coma, es un
decimal periódico puro.
– En caso contrario, es un decimal periódico mixto. La cifra o cifras
decimales que no se repiten se llaman anteperíodo.
• Un número decimal es no exacto y no periódico si tiene infinitas
cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente.
→ → → 2 = 1,4142135… → 7 5 16 15 5 3 13 EJEMPLO 16 15 1100 1,066…→ 11100 11110 Decimal periódico mixto Decimal periódico puro Decimal no exacto y no periódico 5 3 20 1,666…→ 120 1120 Decimal exacto 7 5 20 1,4 → 10 Período
230,569
Anteperíodo F F Para abreviar la escritura de los decimales periódicos colocamos un arco sobre
las cifras del período. 1,666… = 1,6 1,0666… = 1,06
APLICA
Completa hasta diez cifras decimales.
a) 1,347347… c) 3,2666…
b) 2,7474… d) 0,253737…
REFLEXIONA
Escribe dos números decimales no exactos y no periódicos.
23 22
EJERCICIOS PRACTICA
Indica la parte entera, la decimal, el período y el anteperíodo.
a) 0,333… c) 3,37888…
b) 234,4562525… d) 0,012333…
Clasifica estos números.
a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6
21 20
APLICA
Escribe dos fracciones que expresen: a) Un número entero.
b) Un número decimal exacto. c) Un número decimal periódico.
REFLEXIONA
Una fracción cuyo numerador no es múltiplo del denominador y el denominador tiene factores distintos de 2 y 5, ¿qué tipo de número decimal expresa?
26 25
EJERCICIOS PRACTICA
Sin realizar la división, clasifica estas
fracciones según se expresen como un número entero, decimal exacto o periódico.
Explica cómo lo haces.
a) d) g) b) e) h) c) f) i) − − 346 222 17 6 9 5 − 84 210 111 240 7 6 −85 17 175 25 5 3 24
Cualquier fracción, dividiendo su numerador entre su denominador,
puede expresarse mediante:
• Un número entero, si el numerador es múltiplo del denominador.
• Un número decimal exacto, cuando su denominador solo tiene
como factores 2, 5 o ambos números.
• Un número decimal periódico, en el caso de que no ocurra
ningu-na de las condiciones anteriores.
Determina el tipo de número que expresan estas fracciones. Número entero
− Número entero −
Número decimal exacto Número decimal exacto
Simplificando
− Número decimal exacto −
Número decimal periódico = 0,43
Simplificando Periódico mixto
− Número decimal periódico − = 2,5
Periódico puro 46 18 9 = 32. Factores distintos de 2 y 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 46 18 = − 23 9 13 30 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Factores distintos de 2 y 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 13 30 69 30 = − ,2 3 10 = 2 ⋅ 5. Solo factores 2 y 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 69 30 = − 23 10 7 25 = ,0 28 25 = 52. Solo factor 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 7 25 7 8 = ,0 875 8 = 23. Solo factor 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 7 8 8 4 = −2 8 es múltiplo de 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 4 8 4 =2 8 es múltiplo de 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 8 4 14 EJEMPLO
y números decimales
4.1
Paso de fracción a número decimal
4
Hay que simplificar las fracciones antes de aplicar estas reglas. F F F F
La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreducible
tal que, al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es
ese número decimal.
Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales. a) 6,39. Para expresar un número decimal exacto en forma de fracción,
seguimos estos pasos.
b) 4,65. Para expresar un número decimal periódico puro en forma
de fracción, seguimos estos pasos.
15
EJEMPLO
APLICA
Expresa en forma de fracción.
a) 3,9 b) 17,9 c) 15,9
¿A qué equivale el período formado por 9?
REFLEXIONA Completa: a) b) 5 6 5 , =
5 33, = 533 29 28 EJERCICIOS PRACTICAObtén la fracción generatriz de estos números decimales. a) 3,54 f) 0,8 b) 9,87 g) 0,7 c) 0,000004 h) 5,211 d) 24,75 i) 37,117 e) −7,002 j) −2,02 27
4.2
Paso de número decimal a fracción
Llamamos N al número decimal. N= 6,39
Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya.
100 ⋅ N = 100 ⋅ 6,39 100N= 639
Despejamos N, obteniendo la fracción buscada. 6 39 639 100 , = N= 639 100 F Fracción generatriz
Llamamos N al número decimal. N= 4,6565
Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período.
100 ⋅ N = 100 ⋅ 4,65 100N= 465,65
Restamos a este resultado el primer número.
100N= 465,65 −0 N=004,65
099N= 46100,
Despejamos N, obteniendo la fracción buscada. 4 65 461 99 ,= N= 461 99 F Fracción generatriz DATE CUENTA 6 39 639 100 , = DATE CUENTA 4 65 465 4 99 ,= − Parte entera y decimal sin coma Parte entera y decimal Tantos 9 como cifras tiene el período
Parte entera Unidad seguida de tantos 0 como cifras decimales haya F F F F F 826490 _ 0017-0036.qxd 23/1/07 11:22 Página 25
REFLEXIONA
Razona, sin hallar la fracción generatriz, por qué son falsas las igualdades.
a) c) 12,37 b) d) 0,124 = 56 495 0 023 321 990 , = = 55 45 0 243 241 999 , = 32 EJERCICIOS PRACTICA
Obtén la fracción generatriz de estos números.
a) 3,24 b) 11,87 c) 5,925
APLICA
Calcula, utilizando fracciones generatrices.
a) 2,75 + 3,8 b) 5,06− 2,95
31 30
Escribe, en forma de fracción, el número decimal 3,745.
Para expresar un decimal periódico mixto en forma de fracción, seguimos estos pasos.
Calcula, utilizando sus fracciones generatrices: 0,7777… + 2,3444…
1.o Expresamos como fracción 0,7777…:
0,7 Expresamos como fracción 2,3444…:
2,34 2.o Sumamos: 0 7777 2 3444 7 9 211 90 70 90 211 90 281 90 , … + , … = + = = + = = 234−23 = 90 211 90 = − =7 0 9 7 9 17 16 EJEMPLOS
Llamamos N al número decimal. N= 3,745
Multiplicamos ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como
cifras tiene el anteperíodo.
10 ⋅ N = 10 ⋅ 3,745 10N= 37,45 Multiplicamos ambos miembros por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tiene el período.
100 ⋅ 10N = 100 ⋅ 37,45 1.000N= 3.745,45
A este resultado le restamos el primero.
1.000N= 3.745,45 − 10N =00.37,45 0990N= 3.70800, Despejamos N. N= 3 708 990 .
Simplificamos la fracción obtenida.
3 745 206 55 , = N= 3 708 = 990 206 55 . F F Fracción generatriz DATE CUENTA 3 745 3 745 37 990 , = . − Parte entera y decimal Tantos 9 como cifras tiene el período y tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo Parte entera y decimal no periódica F F F m.c.m. (9, 90) = 90
Completa la siguiente tabla con estos números. Ten en cuenta que cada número puede estar colocado en más de una casilla.
0,125 −7 14,019 11,223344… 1 −0,75 −4,1234567…
18
EJEMPLO
Al conjunto de todos los números que se pueden expresar mediante
fracciones se le llama conjunto de los números racionales y se
repre-senta por ⺡.
Números
racionales
5
Hemos visto en esta unidad que tanto los números enteros como los
deci-males exactos y periódicos se pueden expresar mediante fracciones:
Los números decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar
en forma de fracción, y por tanto, no son racionales. A estos números se
les llama números irracionales.
Números racionales Números enteros Números decimales Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: −1, −2, −3, … Decimales exactos: 0,2; 0,34; … Decimales periódicos: 0,7; 0,894; … Número natural 1 Número entero 1 −7 Número decimal exacto 0,125 Número decimal periódico 14,019 −0,75 Número decimal no exacto y no periódico 11,223344… −4,1234567… Número racional 0,125; −7; 14,019 1; −0,75 APLICA
Escribe cuatro fracciones que representen números racionales que sean:
a) Menores que 1 y mayores que −1.
b) Mayores que −1 y menores que 0.
REFLEXIONA
Escribe cuatro números que no sean racionales y que estén comprendidos entre:
a) −1 y 1 b)−1 y 0
35 34
EJERCICIOS PRACTICA
Completa esta tabla, teniendo en cuenta que un número puede estar en más de una casilla.
−0,224466881010… −1,897897897… −24 −0,67543 −3,0878787… −1,5 33 Número natural Número entero Decimal exacto Decimal periódico Decimal no exacto y no periódico Número racional
⺡
⺞
⺪
826490 _ 0017-0036.qxd 23/1/07 11:22 Página 27COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
HAZLO DE ESTA MANERA
1.
DETERMINAR EL TIPO DE NÚMERO DECIMAL QUE EXPRESA UNA FRACCIÓNDetermina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones: a) b) c) 33
63 19
25 14
7
PRIMERO.Si el numerador es múltiplo del denominador, la expresión decimal de la fracción es un número entero.
a) Número entero 14 es múltiplo de 7 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 14 7
TERCERO.Si contiene otros factores, su expresión decimal es un número decimal periódico. c) 33 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯21 = 3 ⋅ 7. Factores distintos de 2 y 5⎯⎯⎯⎯⎯→ Número decimal periódico
63 11 21 =
SEGUNDO.En caso contrario, si el denominador de la fracción irreducible solo tiene como factores 2, 5 o ambos, es un número decimal exacto.
b) Número decimal exacto 25 = 52. Solo factor 5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 19 25 Fracción Fracciones equivalentes ↔ 2 ⋅ 14 = 7 ⋅ 4 Fracción irreducible 24 30 = 24 : m.c.d. (24, 30) 30 : m.c.d. (24, 300) = 4 5 2 7 4 14 = 3 4 Números naturales: 1, 2, 3, … El número cero: 0 Enteros negativos: −1, −2, −3, … Decimales exactos: 0,2; 0,34; … Decimales periódicos: 0,7; 0,894; … NÚMEROS DECIMALES NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS RACIONALES Número decimal
17,208
Exacto: 0,03 9,1586 −12,2 Periódico puro: 0,03 9,1586 −12,2 Periódico mixto: 0,03 9,1586 −12,02 No exacto y no periódico: 1,234… 1,112233…2.
EXPRESAR UN NÚMERO DECIMAL EXACTO EN FORMA DE FRACCIÓNExpresa 2,309 como una fracción.
PRIMERO.El denominador de la fracción será la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número.
2,309 → 3 cifras decimales →
→ Denominador = 1.000
SEGUNDO.El numerador de la fracción es la parte entera y decimal del número, sin la coma.
2,309 → Numerador = 2.309 2 309 2 309 1 000 , . . = Numerador ⎯⎯→ Parte entera Anteperíodo Parte decimal Período Denominador ⎯→ F F F F
