Ejercicios

(1)

Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales

1) x2 – y2 = 25 página 3 x + y = 25

2) 2x2 – 3y2 = 47 página 5 x – 2y = 7

3) x2 – xy = 5 página 7 3x + y = 1

4) (x – y)2 = 49 página 9 x2 + 2xy + y2 = 9

5) 5x2 + y2 = 25 página 11 3x2 – y2 = –25

6) x2 – xy + y2 = 7 página 13 x + y = 5

7) 4x2 – y2 = –20 página 15 xy = –12

8) x2 + y2 = 17 página 17 x + xy + y = 9

(2)

2

12) 3x2 – y2 = –1 página 25 x2 + y2 = 5

13) (x – y)2 – xy = 6 página 27 2x – y = 1

(3)

Soluciones

1) Resuelve el siguiente sistema.

x2 – y2 = 25 x + y = 25

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento habitual es realizar una sustitución. Así pues, por ejemplo, despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos:

x = 25 – y

que sustituyendo en la primera tendríamos

(25 – y)2 – y2 = 25 => 625 – 50y + y2 – y2 = 25 => 600 = 50y => y = 12

Así pues la solución para y es 12,

Para la x, x = 25 – 12 , así pues x = 13

Ojo las soluciones serán:

x = 13 e y = 12

Solución

Es la intersección entre una cónica y una recta.

Punto de intersección A(13,12)

(4)

4

(5)

2) Resuelve el siguiente sistema.

2x2 – 3y2 = 47 x – 2y = 7

Resolución:

x = 7 + 2y

2(7 + 2y)2 – 3y2 = 47 => 98 + 8y2 + 56y – 3y2 = 47 => 51 + 5y2 + 56y = 0

Así pues las soluciones para y serían, y = –1 e y = -102/10,

Para y = –1 la x, x = 7 + 2(–1) , así pues x = 5

Para y = -102/10 la x, x = 7 + 2(-102/10) , así pues x = -13,4

x = 5 e y = -1 y x = -13,4 e y = 10,2

Solución

Puntos de intersección A(5,-1) y B(-13,4 , 10,2)

(6)

6

(7)

3) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

x2 – xy = 5 3x + y = 1

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento habitual es realizar una sustitución. Así pues, por ejemplo, despejamos y de la segunda ecuación y sustituimos:

y = 1 – 3x

x2 – x(1 – 3x) = 5 => x2 – x + 3x2 = 5 =>

4x2 – x – 5 = 0

Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos dan como soluciones:

x = 10/8 y x = –1

Si sustituimos en y = 1 – 3x tendremos como soluciones:

x = +10/8=5/4 e y = -22/8=-11/4 ; x = -1 e y = +4

Solución

Puntos de intersección A

(

𝟓

𝟒

,

−

𝟏𝟏

𝟒

)

B(–1 , 4)

(8)

8

(9)

(x – y)2 = 49 x2 + 2xy + y2 = 9

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento habitual es realizar una sustitución. Pero en este caso, y si nos fijamos, la segunda ecuación la podemos transformar un poco de esta manera:

(x – y)2 = 49 (x + y)2 = 9

Así pues, de la primera ecuación tenemos que

x – y = 7 ó x – y = –7

También tenemos de la segunda ecuación que

x + y = 3 ó x + y = –3

Así pues las soluciones serían:

Para x = 5 , la y = -2 y x = -5, la y = 2

Para x = 2 , la y = -5 y x = -2, la y = 5

Solución

Es la intersección entre una dos pared de rectas paralelas.

Puntos de intersección A(5 , -2) B(-5 , 2) C(2 , -5) D(-2,5)

(10)

10

(11)

5x2 + y2 = 25 3x2 – y2 = –25

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento

habitual es realizar una sustitución. Así pues, por ejemplo, despejamos y2 de la segunda

ecuación y sustituimos (lo hacemos así pues son todos de grado 2):

y2 = 25 + 3x2

5x2 + (25 + 3x2)= 25 => 8x2 = 0, de donde x = 0

Para x = 0 , la y = +5

Solución

Es la intersección entre dos cónicas (tangentes).

Puntos de intersección A(0 , 5) B(0 , -5)

(12)

12

(13)

x2 – xy + y2 = 7 x + y = 5

Resolución:

y = 5 – x

x2 – x(5 – x) + (5 – x)2 = 7 => x2 – 5x + x2 + 25 – 10x + x2 = 7 =>

3x2 – 15x – 18 = 0 => 3(x2 – 5x – 6) = 0

Ecuación de segundo de grado que si resolvemos nos quedaría:

x = 2 y x = 3

Para x = 2 , la y = 3 y para x = 3, la y = 2

Solución

Puntos de intersección A(2 , 3) B(3 , 2)

(14)

14

(15)

4x2 – y2 = –20 xy = –12

Resolución:

y = –12 / x

4x2 – (–12 / x) 2 = –20 => 4x2 – 144 / x2 = –20 =>

4x4 – 144 = –20x2

Ecuación bicuadrada que al resolver,

x2 = t = > 4t2 + 20t – 144 = 0

Ojo las soluciones serán para t serán, t = 4 y t = –8

La solución negativa no la consideramos (no podemos extraer raíces cuadradas de números negativos) y para la positiva tendríamos que x = +2

Para x = 2, la y = –6 y para x = –2, la y = 6

Así pues las soluciones de nuestro sistema son dos:

x = +2 e y = -6 ; x = -2 e y = 6

Solución

(16)

16

(17)

x2 + y2 = 17 x + xy + y = 9

Resolución:

x + y (x + 1) = 9 => y(x + 1) = 9 – x => y = (9 – x) / (x + 1)

x2 + [(9 – x) / (x + 1)]2 = 17 => x2 + (9 – x) 2 / (x + 1)2 = 17

x2(x + 1) 2 + (9 – x) 2 = 17(x + 1)2 =>

x2(x2 + 2x + 1)+ (81 – 18x + x2)= 17(x2 + 2x + 1) =>

x4 + 2x3 + x2 + 81 – 18x + x2= 17x2 + 34x + 17

x4 + 2x3 – 15x2 – 52x + 64 = 0

Ecuación que si resolvemos nos quedan como soluciones x = 1, x = 4 (solo tiene dos pues la ecuación de segundo grado que nos queda aplicando Ruffini no tiene soluciones reales).

Así pues sustituyendo las soluciones serían:

Para x = 1 , la y = 4 y para x = 4 , la y = 1

Solución

Es la intersección entre dos cónicas.

(18)

18

(19)

2x – y = –1 y2 – 2x2 = 7

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento habitual es realizar una sustitución. Así pues, por ejemplo, despejamos y de la primera ecuación y sustituimos:

y = 2x + 1

que sustituyendo en la segunda tendríamos

(2x + 1)2 – 2x2 = 7 => 4x2 + 4x + 1 – 2x2 = 7

2x2 + 4x – 6 = 0

Ecuación de segundo grado que si resolvemos nos quedan como soluciones x = 1, x = –3

Para x = 1 , la y = 3 y para x = -3 , la y = -5

Solución

Puntos de intersección A(1 , 3) B(-3 , -5)

(20)

20

(21)

x3 + y3 = 6 xy = 2

Resolución:

y = 2/x

x3 + (2/x)3 = 6 => x3 + 8/x3 = 6 => (x6 + 8)/x3 = 6

x6 – 6x3 + 8 = 0

Ecuación de bicuadrada que si resolvemos nos quedan como soluciones x = 3 4, x = 3 2

Para x =

𝟒

𝟑

, la y = 2/

𝟒

𝟑

y para x =

𝟑

𝟐 , la y = 2/

𝟑

𝟐 Solución

Es la intersección entre una cónica y una función de grado 3.

Puntos de intersección A(𝟑

𝟒 , 2/

𝟑

𝟒

) B(= 𝟑

𝟐

, 2/𝟑

𝟐

)

(22)

22

(23)

11) Resuelve es siguiente sistema:

x2 – xy = 6 x + 2y = 0

Resolución:

x = –2y

(–2y)2 – (–2y)y = 6 => 4y2 + 2y2 = 6 => 6y2 = 6 => y2 = 1

Así pues las soluciones para y son y = +1,

Para la x, x = –2(+1), así pues x = +2

x = 2 e y = –1 y x = –2 e y = 1

Solución

Puntos de intersección A(2 , -1) B(-2 , 1)

(24)

24

(25)

12) Resuelve es siguiente sistema:

3x2 – y2 = –1 x2 + y2 = 5

Resolución:

Si nos fijamos se trata de un sistema no lineal. En este tipo de casos el procedimiento habitual es realizar una sustitución. Así pues, por ejemplo, despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos (podemos hacerlo así pues sólo tenemos grado dos):

x2 = 5 – y2

3(5 – y2) – y2 = –1 => 15 – 3y2 – y2 = –1 => – 4y2 = –16

y2 = 4, de donde y = +2

Una vez aquí, las soluciones para la x serán.

x = +1

Así pues las soluciones de nuestro sistema son cuatro:

x = +1 e y = +2 ; x = -1 e y = +2

x = +1 e y = -2 ; x = -1 e y = -2

Solución

Es la intersección entre dos cónicas.

Puntos de intersección A(1 , 2) B(1 , -2) C(-1 , 2) D(-1 , -2)

(26)

26

(27)

13) Resuelve el siguiente sistema:

(x – y)2 – xy = 6 2x – y = 1

Resolución:

y = 2x – 1

(x – (2x – 1))2 – x(2x – 1) = 6 => (1 – x)2 – 2x2 + x = 6 =>

x2 – 2x + 1 – 2x2 + x = 6 => x2 + x + 5 = 0

Ecuación de segundo grado que si resolvemos tenemos veremos que no tiene soluciones reales con lo cual nuestro sistema no lineal,

NO TIENE SOLUCIONES REALES

Solución

Pero en este caso NO HAY INTERSECCIÓN, así pues no hay soluciones

(28)

28

(29)

14) Discute la siguiente sistema de ecuaciones:

x2 – 2y2 = 1 xy = 6

Resolución:

y = 6 / x

x2 – 2(6 / x) 2 = 1 => x2 – 72 / x2 = 1 =>

x4 – 72 = x2 => x4 – x2 – 72 = 0

Ecuación bicuadrada que al resolver,

x2 = t = > t2 – t – 72 = 0

Ojo las soluciones serán para t serán, t = 9 y t = –8

La solución negativa no la consideramos y para la positiva tendríamos que x = +3

Para x = 3, la y = 2 y para x = –3, la y = –2

Así pues las soluciones de nuestro sistema son dos:

x = +3 e y = +2 ; x = -3 e y = -2

Solución

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30