Actividad 4. Letras, Variables e Incógnitas Página 1 Alberto González Diddi
Letras, Variables e Incógnitas.
Es un hecho sabido que para los estudiantes el paso de la aritmética al
álgebra es de lo más difícil en su vida académica, no solo por el hecho de manejar
conceptos abstractos (el concepto de los número ya es abstracto de por si), sino
por el hecho muy particular de la introducción de letras para representar incógnitas
y variables. Hay varias propuestas de solución, pero para entenderlas primero hay
que tratar de acotar el problema para un entendimiento más claro y por ende
escoger una propuesta de solución.
Acerca de la importancia de introducir las letras y otros símbolos en el
álgebra, algunos autores, en especial Godino1 expone al respecto del álgebra
características esenciales: “El uso de símbolos, habitualmente letras, expresan
elementos variables o genéricos de conjuntos de números, u otras clases de
objetos matemáticos; la expresión de relaciones entre objetos, mediante
ecuaciones, fórmulas, funciones, y la aplicación de unas reglas sintácticas de
transformación de las expresiones”. Además considerando que la fuerza del
álgebra esta en su no-ambigüedad se puede entender la importancia de introducir
las letras de forma que se genere un aprendizaje de las mismas.
En investigaciones recientes, se ha puesto de manifiesto que el poco
entendimiento de álgebra viene dado en gran medida por la introducción de letras
en la enseñanza del álgebra, durante un estudio hecho en Argentina2, en las
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manifestaron que la introducción de letras les da a las matemáticas un nivel de
incomprensibles y ajenas. En el mismo reporte se manifiesta una relación curiosa
entre la aritmética y el álgebra, y es que hay necesidad de ruptura entre ellas pero
por el contrario en la práctica común van juntas en el entendimiento de los
alumnos. La ruptura está justificada (de acuerdo a las autoras) bajo varios
esquemas, quizás el más representativo sea el esquema de la resolución de
problemas donde se menciona la siguiente (de acuerdo a G. Vergnaud y A.
Cortes, 1987): “Mientras que la resolución aritmética de un problema en lenguaje
natural consiste en buscar las incógnitas intermedias en un orden conveniente y
elegir los datos y las operaciones adecuadas para calcular estas incógnitas, el
álgebra consiste en escribir relaciones explícitas entre incógnitas y datos y luego
hacer un tratamiento relativamente automático para llegar a la solución. Es
necesario así renunciar a calcular las incógnitas auxiliares y evitar preocuparse
por la significación (en términos del enunciado del problema) de los pasos
intermedios que se realizan en la resolución de la ecuación.”
Uno de los factores que influye en esta falta de entendimiento en el álgebra
está marcado por la historia, la introducción de símbolos para variables y
parámetros tardó años en desarrollarse, un resumen del proceso es el siguiente:
El “Papiro de Rhind”, que data del año 1650 a. C.3
, describe problemas
algebraicos haciendo referencia a las incógnitas con palabras. La misma situación
se percibe en Mesopotamia y Babilonia, por ejemplo con el siguiente problema4:
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Las matemáticas griegas (600 al 200 a. C.) tuvieron un gran desarrollo en el
campo de la geometría, pero efectivamente hubo muchas dificultades que
encontraron en la solución de numerosos problemas y eso se explica por la
carencia de un álgebra que permitiera formularlos en términos de operaciones. Es
con Diofanto (207 – 291 d. C.) cuando aparece el primer uso de signos y
abreviaturas con referencia a las incógnitas de las ecuaciones, pero no está
completamente aceptado que ese halla sido el inicio de la introducción de letras, ni
como el inicio del simbolismo algebraico5, esto por que dichas letras no se
interpretan como darle carácter simbólico al tratamiento de los problemas. De
hecho Euclides y Arquímedes ya utilizaban letras en la representación de algunas
de sus explicaciones, pero sin carácter simbólico. Es hasta el siglo XVI que el uso
de las letras tiene ya un carácter simbólico con Francois Vieta (1540 -1603), quien
utiliza las vocales para representar a las incógnitas y las consonantes para las
constantes. Otras aportaciones en el desarrollo de la simbología en el álgebra
fueron6:
En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los
símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez eran las
iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para
expresar la suma y la resta.
En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la
raíz cuadrada que usamos hoy en día:
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En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la
igualdad, =.
En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el
álgebra inventando la "geometría analítica". Introdujo también la notación
exponencial que usamos hoy en día.
Adicionalmente al lento desarrollo de la simbología, se debe considerar como
otro obstáculo la propia formación de los niños, es decir, la forma en que crecen
con el lenguaje materno el cual se afianza en su mente conforme las situaciones
cotidianas transcurren alrededor de su vida, en cambio el lenguaje literal del
álgebra no es ningún modo natural y se reduce su uso a solo dentro del salón de
clases y particularmente en la clase de matemáticas.
La forma en que esta falta de entendimiento de las letras en los alumnos se
manifiesta de diferentes formas, en el estudio presentado por Felix E. González y
Ma. Mercedes Díaz7, se presentan las siguientes divergencias en las
concepciones de las letras en el álgebra:
Considerar las letras como objetos, como si representaran a dichos objetos
como las iniciales de su denominación, ejemplo: 7m significa 7 manzanas.
Las letras con valor adjudicado, esto es, al aparecer las letras los alumnos
las sustituyen por valor que es elegido de forma arbitraria y heterogénea,
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Letras de acompañamiento solo son consideradas como algo que se tiene
que escribir pero no tiene sentido matemático, por ejemplo, sumar 4 a 3k,
ye le resultado se muestra como 7k.
Letras desaparecidas, son letras que se eliminan de manera arbitraria, por
que no tiene sentido para el alumno, por ejemplo, sumar 5 a 6p, dando
como resultado 11.
La letra como conjunto de números, es decir, en ejercicios como las
desigualdades, las respuestas se dan en términos de un solo valor y no de
un conjunto de valores, por ejemplo, a la respuesta de la desigualdad x<9,
se da como resultado 8.
Una estrategia de solución para mejorar el entendimiento de las letras en el
álgebra viene dada por Sonia Ursini y María Trigueros con el desarrollo de una
metodología denominada como modelo “3uv”8
, el cual nace tras analizar que es lo
que se requiere para poder resolver los ejercicios y problemas de los libros de
texto. La base de esta metodología se basa en la identificación de 3 usos de la
variable: la incógnita específica, el número general, y las variables en la relación
funcional. Además, asociados a los usos mencionados, se han identificado una
serie de aspectos que una persona requiere comprender para poder resolver
problemas y ejercicios:
a) Variable como incógnita: para comprender el uso de la variable como incógnita,
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valor se puede determinar tomando en cuenta la información contenida en un
problema o situación determinado. Será necesario simbolizar la cantidad que se
desconoce y con los datos del problema se deberá plantear una ecuación que
refleje los datos relacionados para que después, mediante un procedimiento de
aritmética o de álgebra, se resuelva dicha ecuación y hallar el valor desconocido.
La conceptualización de la variable como incógnita implica entonces los
siguientes elementos:
I1: reconocer e identificar en un problema la existencia de algo desconocido que
se puede determinar;
I2: interpretar la variable simbólica que aparece en una ecuación como un ente
que puede tomar valores específicos;
I3: sustituir el o los valores de la variable que hacen que la ecuación sea
verdadera;
I4: determinar la incógnita que aparece en ecuaciones o problemas llevando a
cabo las operaciones algebraicas y/o aritméticas necesarias;
I5: simbolizar la incógnita que aparece en una situación específica y plantear una
Ecuación.
b) Variable como número general: para comprender el uso de la variable como
número general y poder trabajar con él, hay que desarrollar la capacidad para
reconocer patrones, deducir reglas o métodos generales y describirlos. Hay que
distinguir lo que varía de lo que no. Se usarán símbolos para representar la
situación general, una regla o un método o relacionar expresiones generales entre
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pueden ni se necesitan determinar. Según el tipo de problema, dichas cantidades
se podrán manipular factorizando o simplificando pero sin tener que asignarles
valores particulares a las variables.
La conceptualización de la variable como número general implica entonces
los siguientes elementos:
G1: reconocer patrones y reglas generales en secuencias numéricas y en familias
de problemas;
G2: interpretar la variable simbólica como la representación de una entidad
general, indeterminada, que asumir cualquier valor;
G3: deducir reglas o métodos generales, en secuencias y en familia de problemas;
G4: manipular la variable simbólica para simplificar o desarrollar expresiones
algebraicas;
G5: simbolizar enunciados, reglas o métodos generales
c) Variable en relación funcional: para comprender el uso de la variable en relación
funcional primero hay que reconocer, que hay cantidades cuyos valores están
relacionados en cierta situación y después, distinguir que en dicha situación la
variación de una cantidad afecta la variación de la otra. En este tipo de situaciones
la información puede estar representada mediante una tabla, en una gráfica, en
forma analítica o en forma verbal. Se debe de reconocer la correspondencia entre
las variables y cómo las variables varían de manera relacionada. También es
importante reconocer el intervalo de variación para el cual está definida la relación.
La conceptualización de las variables en relación funcional implica los siguientes
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F1: reconocer la correspondencia entre cantidades en sus diferentes
representaciones: tabla, gráfica, problema verbal o expresión analítica;
F2: determinar los valores de la variable dependiente cuando se conocen los de la
variable independiente;
F3: determinar los valores de la variable independiente cuando se conocen los de
la variable dependiente;
F4: reconocer la variación conjunta de las variables que intervienen en una
relación en cualquiera de sus formas de representación;
F5: determinar los intervalos de variación cuando se conocen los de la otra;
F6: simbolizar una relación funcional de manera tabular, gráfica y/o analítica, con
base en el análisis de los datos de un problema.
Las tres caracterizaciones del concepto de variable están relacionadas
entre sí. En casi todas las actividades algebraicas aparecen conjuntamente, pero
con diferentes grados de importancia.
El uso de esta metodología en la enseñanza puede ser provechoso si se
lleva con orden, pero es claro que los profesores deben de estar preparados para
aplicarla. Además se debe de entender que el uso de la variable es solo una parte
del manejo del álgebra, pero considero que es la base para extender los
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Referencias Bibliográficas
1
Godino J., Font V. (2003). “Razonamiento Algebraico y su Didáctica para Maestros”. Proyecto Edumat-Maestros. pp. 778. Disponible en URL:
http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/7_Algebra.pdf
2
Panizza M., Sadovsky P., Sessa C. (1995). “Los primeros aprendizajes algebraicos.
Cuando las letras entran en la clase de Matemática. Informe sobre una investigación en marcha”. Trabajo presentado en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina. REM.
3Mankiewicz Richard, (2000) “
Historia de las matemáticas”, Barcelona, Paidós.
4Enfedaque, J. (1990). “
De los Números a las Letras”.
5Piaget J., García R. (1982). “Psicogénesis e Historia de la Ciencia”. Madrid, Editorial
Siglo XXI Editores, pp. 137
6Articulo “Un poquito en la historia del Álgebra” Disponible en URL:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate3a/mate3a.ht m [consultado el 12 de octubre de 2012].
7
González J., Diez Ma. M. (2002). “Dificultades en la adquisición del significado en el uso
de las letras en el Álgebra. Propuesta para interacción didáctica”. Revista Computense de Educación. Vol. 13 Num. 1 (2202) pp. 281-302.
8Ursini S., Trigueros M. (2006). “¿Mejora la comprensión del concepto de variable
