MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

ITERACI ´ON DE PUNTO FIJO

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Estudiamos las bases teóricas del método de la iteración de punto fijo para la resolución aproximada de ecuaciones.

Enunciado

Sea una funci´on g : D ⊂ R → R. Se dice que p ∈ D es punto fijo de g si se verifica g(p) = p.

1) Sea una funci´on f : D ⊂ R → R y p ∈ D. Demostrar que

p es cero o ra´ız de f ⇔ p es punto fijo de g(x) = x − f (x).

2) Sea g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x ∈ [a, b]. Demostrar que i) g tiene un punto fijo en [a, b].

ii) Si adem´as, g es derivable en (a, b) y existe constante k con 0 < k < 1 tal que |g⁰(x)| ≤ k para todo x ∈ (a, b), el punto fijo de g es ´unico.

3) Demostrar el Teorema del punto fijo:

Sea g ∈ C[a, b] tal que g(x) ∈ [a, b] para todo x ∈ [a, b]. Supongamos además además, g es derivable en (a, b) y que existe constante k con 0 < k < 1 tal que |g⁰(x)| ≤ k para todo x ∈ (a, b). Entonces, la sucesión

p_n= g (p_n−1) , n ≥ 1

converge al único punto fijo p en [a, b] (método de iteración de punto fijo).

4) Demostrar que en las hipótesis del teorema del punto fijo, se verifican para todo n ≥ 1 las acotaciones de la sucesión de iteración de punto fijo:

(a) |p_n− p| ≤ kⁿ· m´ax{p₀− a, b − p₀}.

(b) |pn− p| ≤ kⁿ

1 − k|p₁− p₀| .

5) Aplicaci´on. Se considera la funci´on g : [−1, 1] → R dada por g(x) = (x²− 1)/3.

a) Demostrar que g satisface las hip´otesis del teorema del punto fijo.

b) Calcular el p₃ de la iteraci´on de punto fijo con p₀ = −1.

c) Determinar a partir de qu´e n la iteraci´on de punto fijo proporciona p con tres cifras decimales exactas.

d) Demostrar que la iteración de punto fijo proporciona en el caso presente una sucesión convergente a la única solución de la ecuación x²− 3x − 1 = 0 en [−1, 1]. Dar una fórmula cerrada para esta solución.

Key words and phrases. Iteraci´on, punto fijo.

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Soluci´on

1) ⇒) Si p es cero o ra´ız de f entonces g(p) = p − f (p) = p − 0 = p es decir, p es punto fijo de g.

⇐) Si p es punto fijo de g entonces f (p) = p − g(p) = p − p = 0 es decir, p es ra´ız de f .

2) i) Si g(a) = 0 o g(b) = 0, un punto fijo es p = a o p = b. En caso contrario se verifica g(a) > a y g(b) < b. La funci´on h(x) = g(x) − x es continua en [a, b] y verifica h(a) > 0 y h(b) < 0. Por el teorema de Bolzano, existe p ∈ (a, b) tal que 0 = h(p) = g(p) − p, con lo cual g(p) = p y p es por tanto punto fijo de g.

ii) Supongamos que existieran dos puntos fijos p, q distintos con p < q.

Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a la funci´on g en el intervalo [p, q]:

∃ξ ∈ (p, q) : g⁰(ξ) = g(q) − g(p)

q − p ⇒ |q − p|

= |g(q) − g(p)| = g⁰(ξ)

|q − p| ≤ k |q − p| < |q − p|

lo cual es absurdo por tanto, el punto fijo es ´unico.

3) Por el apartado anterior, existe un único punto fijo p. Como g([a, b]) ⊂ [a, b], la sucesión p_n está bien definida. Dado que |g⁰(x)| ≤ k para todo x ∈ (a, b) y por el teorema del valor medio de Lagrange,

|p_n− p| = |g(p_n−1) − g(p)| = g⁰(ξn)

|p_n−1− p| ≤ k |p_n−1− p|

en donde ξn∈ (a, b). Reiterando obtenemos

|p_n− p| ≤ k |p_n−1− p| ≤ k²|p_n−2− p| ≤ . . . ≤ kⁿ|p₀− p| .

Al ser 0 < k < 1 se verifica l´ımn→+∞|p_n− p| ≤ l´ım_n→+∞kⁿ|p₀− p| = 0, y por tanto la sucesi´on pn converge a p.

4) (a) En la demostración del teorema del punto fijo se probó que |p_n− p| ≤ kⁿ|p₀− p|, pero se verifica |p₀− p| ≤ máx{p0− a, b − p₀}.

(b) Tenemos las desigualdades

|p_n+1− p_n| = |g(p_n) − g(p_n−1)| ≤ k |p_n− p_n−1| ≤ . . . ≤ kⁿ|p₁− p₀| . Entonces, para m > n ≥ 1,

|p_m− p_n| = |p_m− p_m−1+ p_m−1− · · · + p_n+1− p_n|

≤ |p_m− p_m−1| + |p_m−1− p_m−2| + · · · + |p_n+1− p_n|

≤ k^m−1|p₁− p₀| + k^m−2|p₁− p₀| + · · · + kⁿ|p₁− p₀|

= kⁿ(1 + k + k²+ · · · + k^m−n−1) |p1− p₀| . Se verifica l´ım_n→+∞p_n= p, por tanto

|p − p_n| = l´ım

m→+∞|p_m− p_n| ≤ kⁿ|p₁− p₀|

m−n−1

X

j=0

k^j

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ITERACI ´ON DE PUNTO FIJO 3

≤ kⁿ|p₁− p₀|

+∞

X

j=0

k^j = kⁿ

1 − k|p₁− p₀| .

5) a) La función g es polinómica y por tanto continua en [−1, 1]. Es derivable en (−1, 1) con derivada g⁰(x) = 2x/3. El único punto cr´ıtico de g es x = 0.

Tenemos g(0) = −1/3, g(−1) = g(1) = 0, por tanto el m´ınimo absoluto de g en [−1, 1] es −1/3 y el m´aximo absoluto 0. Esto demuestra que g([−1, 1]) ⊂ [−1, 1]. Adem´as, se verifica

g⁰(x)

=

2x 3

≤ 2

3 para todo x ∈ (−1, 1),

lo cual demuestra que se verifican las hip´otesis del teorema del punto fijo.

b) Para p0 = −1 tenemos

p₁= g(p₀) = g(−1) = −1 3, p₂= g(p₁) = g(−1/3) = 1/9 − 1

3 = − 8

27, p3= g(p2) = g(−8/27) = 64/729 − 1

3 = −665

2187.

c) Usando la acotación |p_n− p| ≤ kⁿ·máx{p₀−a, b−p₀}, tenemos en nuestro caso |pn− p| ≤ (2/3)ⁿ· máx{0, 2} = 2(2/3)ⁿ. Entonces,

|p_n− p| ≤ 2 2 3

n

< 10⁻³ ⇔ 2 3

n

< 10⁻³

2 ⇔ n log₁₀2

3 < −3 − log₁₀2

⇔

|{z}

log10(2/3)<0

n > −3 − log₁₀2

log₁₀²₃ = 20,97 . . . , con lo cual n = 21.

d) Sabemos que p es punto fijo de g si y s´olo si p es ra´ız de f (x) = x − g(x).

En nuestro caso,

f (x) = 0 ⇔ x − g(x) = 0 ⇔ x − x²− 1

3 = 0 ⇔ 3x − x²+ 1

3 = 0,

lo cual equivale a x² − 3x − 1 = 0. Las soluciones de esta ecuaci´on son (3 ±√

13)/2 y s´olo (3 −√

13)/2 ∈ [−1, 1]. Por tanto, el l´ımite de la iteraci´on de punto fijo es p = (3 −√

13)/2

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Fernando Revilla Jiménez. Jefe del Departamento de Matemáticas del IES San- ta Teresa de Jesús de la Comunidad de Madrid y Profesor de Métodos Ma- temáticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Cañada, Madrid (Hasta el curso académico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es