CINEMÁTICA
ALUMNO: ... CURSO: ...
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
I.E.S. “LA JARCIA”
PUERTO REAL
1. ¿Cuándo se mueve un cuerpo?
El tren que aparece en la figura adjunta, ¿está en reposo o en movimiento?
¿Hay algún elemento en la imagen que no varíe su posición?
El caminar de una persona, el funcionamiento de las diferentes partes de una máquina, el vuelo de un avión o un cohete son movimientos.
Se dice que un coche se mueve porque lo vemos cambiar de posición respecto a los árboles o a los edificios. El tren se mueve si cambia de posición con relación a los rieles, las estaciones o los postes de la luz o del teléfono.
Por tanto un cuerpo está en movimiento cuando cambia de lugar respecto a un punto fijo, y está en reposo cuando su posición no varía respecto al punto elegido. El problema que se plantea es: ¿con respecto a dónde o a qué se tiene en cuenta el cambio de lugar? Es decir, cuando estás sentado dentro del vagón del tren antes de que salga de la estación, ¿estás en reposo o en movimiento? Cuando el tren ya ha emprendido la marcha y ves al revisor acercán-dose por el pasillo, ¿estás tú en reposo? ¿lo está el revisor?
El concepto de reposo, por tanto, es relativo porque incluso la Tierra se mueve alrededor del Sol, y éste se mueve dentro de la galaxia. No podemos hablar con propiedad de movimiento o reposo absoluto puesto que no disponemos de ningún punto de referencia que esté realmente en reposo.
Definiremos el movimiento como el cambio de posición de un cuerpo respecto a un punto que consideramos fijo.
No conviene olvidar que todos los movimientos son relativos porque dependen del punto que tomemos como referencia.
La parte de la Física que estudia los movimientos, sin ocuparse de sus causas es la Cinemá-tica. A un cuerpo en movimiento se le denomina móvil, y se estudia dicho movimiento conside-rando el de uno de esos puntos, es decir, se supone que el cuerpo en sí es un único punto móvil.
2. Posiciones de un cuerpo sobre su trayectoria
En Física, a la hora de estudiar losmovi-mientos se toma como sistema de referen-cia un sistema de ejes cartesianos, donde el origen de coordenadas (0,0) es el punto de referencia que consideramos fijo. Como se observa en la gráfica cada uno de los puntos por los que el móvil ha pasado ( po-siciones relativas) está definido por unos valores de las coordenadas (x,y). La unión de todos estos puntos nos produce una línea denominada trayectoria.
La trayectoria puede tener formas muy variadas dependiendo del recorrido del móvil aunque básicamente se distingue entre trayectorias rectilíneas y trayectorias curvilíneas.
Trayectoria de un móvil 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X Y
Esto nos lleva a una primera clasificación de los movimientos según su trayectoria que po-drán ser:
Movimientos rectilíneos: Si su trayectoria es una recta Movimientos curvilíneos: Si su trayectoria es una curva
Actividad 1. Clasifica los siguientes movimientos según su trayectoria:
3. Desplazamiento y espacio recorrido
Estos son dos conceptos que se confunden frecuentemente y que, sin embargo tienen dis-tinta definición:
Espacio recorrido: Longitud de la trayectoria.
Desplazamiento: Distancia en línea recta desde la posición inicial del móvil hasta la posición en un instante determinado.
En la siguiente ilustración se muestran las trayectorias seguidas por un insecto que vuela y por una bola en la pista de una bolera. La primera es una trayectoria curvilínea y la segunda rectilínea. En el primero de los casos el desplazamiento no coincide con el espacio recorrido, mientras que en el caso de la bola en la bolera sí.
Actividad 2. ¿Tienen siempre el mismo valor el desplazamiento y el espacio recorrido? ¿En qué caso coinciden ambos?
4. Velocidad media y velocidad instantánea
Cuando un cuerpo está en movimiento su posición cambia, respecto a un punto de referen-cia, con el tiempo. Esto quiere decir que conforme transcurre el tiempo va aumentando el es-pacio recorrido.
Si salimos a dar un paseo en coche podemos poner, en un instante dado, el cuentakilómetros en cero, a la vez que ponemos en marcha un cronómetro. Si vamos anotando cada cierto tiem-po el espacio que llevamos recorrido, tiem-podemos tener una tabla similar a la que aparece a con-tinuación:
Tiempo (s) 30 60 90 120 150 180 210
Espacio recorrido (km) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Estos resultados pueden resultar más ilustrativos sí se representan en una gráfica, colocando los datos de tiempo (variable independiente) en el eje de abcisas y los de espacio recorrido (variable dependiente) en el de ordenadas.
La gráfica resultante es una recta que pasa por el origen y muestra que existe una relación de proporcionalidad directa entre el espacio recorrido y el tiempo. La pendiente de dicha recta es un valor constante y que puede hallarse simplemente con dividir el espacio recorrido entre el tiempo.
Tiempo (s) 30 60 90 120 150 180 210
Espacio recorrido (km) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Cociente (km/s) 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017 0,017
A este cociente es lo que llamamos velocidad.
Para simplificar las expresiones el espacio recorrido vamos a representarlo como e (en algu-nos libros lo encontrarás representado por s, del inglés space), el tiempo como t y la velocidad como v.
Puesto que en el S.I. de unidades el espacio recorrido se mide en m y el tiempo en s, las uni-dades de la velocidad serán m/s (o m·s-1). Otra unidad de velocidad muy utilizada es el km/h.
Actividad 3. Convierte: a) 108 km/h en m/s b) 25 m/s en km/h
Actividad 4. El campeón del mundo de natación tiene el récord en piscina abierta en 49 s a los 100 m; calcula su velocidad en m/s y en km/h. ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer 1 km?
0 1 2 3 4 0 30 60 90 120 150 180 210 240 Tiempo (s) Espacio recorrido (km)
Cuando un conductor, al término de un largo viaje, comenta que ha hecho una media de 70 km/h, nos dice que, por término medio, en cada hora de viaje ha recorrido 70 km. Esto no quie-re decir que haya mantenido esa velocidad durante todo el viaje; habrá ido unas veces más despacio, otras más deprisa e incluso puede haber estado en algún momento detenido.
El dato que el conductor ha proporcionado es su velocidad media que es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.
empleado
tiempo
recorrido
espacio
v
m=
Podríamos pensar que, conociendo la velocidad media y el tiempo empleado, se podría ave-riguar el espacio recorrido. Así, si con una velocidad media de 80 km/h se ha tardado 1,5 horas en un viaje de Cádiz a Sevilla, la distancia que separa estas dos ciudades es de 80x1,5 = 120 km. Esto es cierto, pero no significa que, si tardamos 15 minutos (0,25 horas) de Jerez a El Cuervo, éstas estén separadas 20 km, puesto que el que la velocidad media sea de 80 km/h no significa que durante todo el trayecto mantengamos esa velocidad.
Parece, pues, que proporciona más información el conocer la velocidad media en un intervalo más pequeño. Tan pequeño puede ser el intervalo que, realmente, lo que más información nos proporciona es la velocidad en un instante dado de la trayectoria. A la velocidad que posee un móvil en un momento dado o en un punto determinado se denomina velocidad instantánea. Por aclararlo algo más, la velocidad instantánea es la que marca en cada momento la aguja o el contador del velocímetro de un coche.
Magnitudes escalares y vectoriales
Otra clasificación de las magnitudes viene dada por la cantidad de información que deben proporcionarnos para comprender el fenómeno que miden.
Por ejemplo, si decimos que la temperatura es de 25 ºC, comprendemos perfectamente que no hace frío y podemos decidir ponernos una ropa fresca. En cambio, si un amigo nos dice que nos invita a dar un paseo de 5 km no podemos suponer que va a ser un paseo suave, puesto que estos 5 km pueden resultar agotadores si discurren por la sierra.
Es decir hay magnitudes que quedan perfectamente descritas con una cantidad y su corres-pondiente unidad. A estas magnitudes se las denomina escalares y son ejemplo de ellas, ade-más de la temperatura, la masa, el tiempo, la densidad y otras que iremos viendo.
En cambio hay magnitudes que requieren más información; son las denominadas magnitudes vectoriales. Éstas precisan, además de la cantidad y su correspondiente unidad, a las que se denomina módulo, de una dirección y de un sentido.
Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores que son unos segmentos rectilíneos orientados. El módulo queda definido por la longitud del vector, la direc-ción, por la línea recta sobre la que se apoya, y el sentido, por la punta de flecha.
La velocidad es una magnitud vectorial, algo que se pone de manifiesto cuando considera-mos algunos ejemplos.
Un viaje a Sevilla se ha realizado a una velocidad media de 80 km/h, ¿podemos decir que esta velocidad media es elevada? Deberíamos saber antes de responder si la trayectoria ha transcurrido por la autopista o por la carretera general, puesto que por la primera se pueden desarrollar velocidades más altas que por la segunda. Es decir, además de conocer la canti-dad, debemos conocer la dirección que, para el caso de la velocidad, es la línea tangente a la trayectoria.
Pero incluso conociendo la dirección necesitamos conocer algo más. Consideremos un viaje por la Sierra de Cádiz. Si volvemos por la misma carretera, es evidente que la dirección (la
dirección sentido
tangente a la trayectoria) es la misma a la ida que a la vuelta, pero probablemente regresemos a mayor velocidad, puesto que iremos cuesta abajo. Por tanto, el sentido también es impres-cindible a la hora de definir la velocidad.
5. Aceleración
Cuando observamos la aguja del velocímetro del coche, vemos cómo va variando la veloci-dad de un instante a otro. Imaginemos, por un instante, que circulamos a 60 km/h y entramos en una autopista en la que el límite de velocidad máxima es de 120. Podríamos anotar la velo-cidad en cada instante y construir una tabla como la siguiente:
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Velocidad (km/h) 60 70 80 90 100 110 120 120 120 120
Si representamos estos datos en una gráfica: En la primera parte del movimiento,
de 0 a 12 s, se obtiene una recta con pendiente positiva que no pasa por el origen (corta en v = 60). En la segun-da parte del movimiento, de 12 s en adelante, la recta es horizontal, o lo que es lo mismo, pendiente cero.
La pendiente de la recta es un valor constante y puede hallarse simplemente dividiendo el aumento de velocidad entre el tiempo empleado en ese aumento. A esta magnitud que mide la variación de la velocidad en cada instante se denomina aceleración.
Al igual que con la velocidad podemos definir la aceleración media como el cociente entre la variación de la velocidad en un intervalo y el tiempo empleado en realizar la variación:
empleado
tiempo
ocidad
cambio vel
a
m=
La aceleración instantánea quedaría definida como la aceleración que tiene un móvil en un instante determinado.
La aceleración se mide en el Sistema Internacional en m/s2 (m·s-2) e, igual que la velocidad, también es una magnitud vectorial, por lo que su definición completa precisará además de una dirección y de un sentido.
En el ejemplo anterior, la aceleración se produce por un cambio en el valor de la velocidad (variación del módulo). Pero puede ocurrir que el módulo de la velocidad permanezca cons-tante y lo que varíe sea la dirección de la velocidad. Esto es lo que ocurre cuando la trayectoria no es recta sino curva; la dirección de la velocidad cambia y aparece una aceleración.
80 km/h 40 km/h 0 20 40 60 80 100 120 140 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Tiempo (s) Velocidad (km/h)
Todo esto nos lleva a concluir que un movimiento tiene aceleración cuando cambia su veloci-dad, bien en cantidad (módulo) o en dirección. Cuando cambia el módulo de la velocidad la aceleración se llama aceleración tangencial. Si lo que cambia es la dirección del vector veloci-dad, se la denomina aceleración normal o centrípeta.
Actividad 5: Un coche que va a 54 km/h pasa a tener una velocidad de 90 km/h en 5 s. ¿Cuál es su aceleración media?
6. Estudio de algunos tipos de movimientos
Vimos en el punto 2 que los movimientos pueden clasificarse atendiendo a su trayectoria en movimientos rectilíneos y movimientos curvilíneos. Además de esta clasificación, también po-demos atender al comportamiento del móvil.
Se denomina movimiento uniforme a aquel en el que el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. Es decir, tiene movimiento uniforme cuando el módulo de la velocidad perma-nece constante.
La combinación de estas dos clasificaciones nos permite estudiar de forma detallada diversos tipos de movimientos:
6.1 Movimiento rectilíneo y uniforme
Es aquel en el que la trayectoria del móvil es una recta, a lo largo de la cual se mueve con velocidad constante. Por ser la trayectoria recta no presenta cambios en la dirección de la velo-cidad. Además, al ser uniforme, tampoco varía el módulo de la velovelo-cidad. Por tanto en este tipo de movimiento el vector velocidad no cambia y no existe aceleración ninguna.
La representación gráfica de la velocidad frente al tiempo es una recta horizontal:
Como se observa en la gráfica de la derecha, el área del rectángulo formado por la recta de-termina el espacio recorrido en cada instante.
Las ecuaciones que describen este movimiento son variaciones de la expresión original:
v
e
t
t
v
e
t
e
v
=
=
·
=
Si antes de empezar a contar el tiempo, el móvil ha recorrido una longitud e0 (longitud inicial):
v
e
e
t
t
v
e
e
t
e
e
v
0 0 0·
=
+
=
−
−
=
0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo (s) Velocidad (m/s)Actividad 6: A partir del estudio de la gráfica, calcula:
a) El espacio inicial b) La velocidad del móvil c) El espacio que llevaría
recorrido a los 7 s.
d) Tiempo que tardaría en llevar recorridos 100 m.
6.2 Movimiento rectilíneo y uniformemente variado
Las características que definen a este tipo de movimiento son dos:
1. La trayectoria es una línea recta, luego no hay cambios en la dirección del vector veloci-dad y no existe aceleración centrípeta.
2. La velocidad cambia, pero de forma directamente proporcional al tiempo. Al cambiar el módulo del vector velocidad, aparece una aceleración tangencial.
Al igual que ocurría con el movimiento rectilíneo y uniforme, aquí también podemos prescindir del carácter vectorial y centrarnos solo en las variaciones de las cantidades. En la tabla si-guiente aparecen los datos de un móvil que parte del reposo y desarrolla un movimiento de este tipo:
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 0 5 10 15 20 25
La gráfica velocidad-tiempo es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es la aceleración.
Al igual que en el movimiento uniforme, el área de la figura, en este caso un triángulo, deter-mina el espacio recorrido, por lo que las ecuaciones que describen este movimiento serán:
a
v
t
t
a
v
t
v
a
=
=
·
=
t
e
v
v
e
t
t
v
e
2
2
2
·
=
=
=
v
a
e
a
v
e
at
e
2
·
2
2
2 2=
=
=
Actividad 7: Para el ejemplo anterior, calcular gráfica y analíticamente: 1. Aceleración del móvil.
2. Espacio recorrido a los 10 s.
3. Velocidad del móvil cuando hayan transcurrido 15 s. 4. ¿Qué tiempo tardará en recorrer 125 m?
0 20 40 60 80 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (s) Espacio recorrido (m) 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo (s) Velocidad (m/s)
Si el móvil no parte del reposo, sino que, cuando comienza a contar el tiempo, ya lleva una velocidad v0, denominada velocidad inicial, tal y como ocurre en el siguiente ejemplo:
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10
Velocidad (m/s) 10 12 14 16 18 20
En este caso, la recta no pasa por el origen de coordenadas, por lo que a la hora de calcular la pendiente (la aceleración) habrá que tener en cuenta el valor de la ordenada en el origen (la velocidad inicial). Del mismo modo, para calcular el área (el espacio recorrido) resulta más cómodo dividir la figura en dos (un rectángulo y un triángulo) y sumar sus áreas.
Las ecuaciones que describen este caso particular serán:
a
v
v
t
t
a
v
v
t
v
v
a
0 0 0·
=
+
=
−
−
=
e
v
v
a
a
v
v
e
at
t
v
e
2
2
2
·
2 0 2 2 0 2 2 0−
=
−
=
+
=
Actividad 8: Para el ejemplo anterior, calcular gráfica y analíticamente: 1. Aceleración del móvil.
2. Espacio recorrido a los 10 s.
3. Velocidad del móvil cuando hayan transcurrido 15 s. 4. ¿Qué tiempo tardará en recorrer 125 m?
De las expresiones anteriores en las que el espacio recorrido se encuentra en función del tiempo podemos deducir que la representación espacio-tiempo generará la gráfica de una fun-ción cuadrática, puesto que el espacio recorrido aumenta con el cuadrado del tiempo. Igual-mente, la resolución de problemas en los que halla que calcular el tiempo, conocidos el espacio recorrido y la aceleración llevará a una ecuación de segundo grado.
0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 10 12 Tiempo (s) Velocidad (m/s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 tiempo (s) espacio (m)
A continuación vamos a estudiar algunos casos particulares de movimientos rectilíneos y uniformemente variados
Movimiento rectilíneo y uniformemente retardado
Es el de un móvil que se mueve con trayectoria rectilínea y cuya velocidad va disminuyendo proporcionalmente con el tiempo.
La única diferencia respecto al caso general es que la pendiente de la gráfica, al ser decre-ciente, es negativa. Por tanto, y teniendo esto en cuenta, podemos modificar las ecuaciones anteriores y dejarlas como sigue:
a
v
v
t
t
a
v
v
t
v
v
a
=
−
=
−
=
0−
0 0·
e
v
v
a
a
v
v
e
at
t
v
e
2
2
2
·
2 2 0 2 2 0 2 0−
=
−
=
−
=
Actividad 9: Un automóvil circula a 90 km/h, calcula la aceleración de frenado a la que se de-be someter si se quiere detener en 25 s. ¿Qué espacio habrá recorrido hasta detenerse?
Caída libre
Todo cuerpo que se encuentra cerca de la superficie terrestre está sometido a la acción de la gravedad que la Tierra ejerce sobre él, de tal manera que, si se abandona, caerá con una ace-leración constante. Tendremos por tanto un cuerpo que cae en línea recta con un aumento uniforme de su velocidad, es decir, la caída libre es un caso particular del movimiento rectilíneo y uniformemente variado, sólo que con la ventaja de que la aceleración con que la Tierra lo atrae, que se representa como g, se puede considerar, para movimientos cercanos a la super-ficie, como constante e igual a 9,8 m/s2.
Por tanto, para un cuerpo que se deja caer (sin velocidad inicial), podemos obtener las ecua-ciones con sólo sustituir a por g y e por h (espacio recorrido desde el punto donde se dejó).
g
v
t
t
g
v
=
·
=
v
g
e
g
v
e
gt
e
2
·
2
2
2 2=
=
=
Actividad 10: Encuentra las expresiones para un cuerpo que se arroja hacia abajo desde lo alto de un edificio con una velocidad inicial v0.
Actividad 11: Una pelota se ha caído desde el tejado de una casa que tiene 10 m de altura. ¿Con qué velocidad llegará al suelo?
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Tiempo (s) Velocidad (m/s)
Ascensión
Básicamente este movimiento lo encontramos cuando se arroja un objeto verticalmente hacia arriba. Ahora el cuerpo se mueve en sentido opuesto al de la aceleración gravitatoria, lo que va a suponer una disminución constante de su velocidad. Las ecuaciones que lo describen se obtienen sustituyendo en las del movimiento rectilíneo uniformemente retardado a por g y e por
h (altura sobre el suelo).
g
v
v
t
t
g
v
v
=
−
=
0−
0·
2
2
·
2 2 0 2 0g
v
v
h
gt
t
v
h
=
−
=
−
Se puede calcular la altura máxima (hmax) que alcanza el cuerpo cuando es lanzado hacia
arriba considerando que, en ese punto, su velocidad es 0.
g
v
t
t
g
v
0=
·
=
02
2
·
2 0 2 0g
v
h
gt
t
v
h
max=
−
max=
Actividad 12: Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Calcula la altura máxima que alcanzará.
6.3 Movimiento circular y uniforme
Es el movimiento que describe un móvil cuya trayectoria es una circunferencia y cuya veloci-dad permanece constante en módulo. Al ser la velociveloci-dad un vector tangente a la trayectoria en cada punto, su dirección está continuamente cambiando por lo que aparece una aceleración normal o centrípeta.
Sin embargo, si podemos definir una velocidad que permanezca constante: la velocidad angular,
ω
, que se definiría como el ángulo descrito cada segundo. Si el ángulo se mide en radianes y el tiempo se mide en segundos, la velocidad angular se mide en rad/s.La constancia de la velocidad angular se pone de manifiesto cuando observamos un tocadiscos sobre el que colocamos dos fichas de parchís: el número de vueltas que dan en un minuto es el mismo. Lo que no es igual es el espacio recorrido por cada una de ellas, pues éste sí que dependerá de la distancia al eje de giro (el radio de la circunferencia descrita), de manera que a mayor distancia al centro, mayor espacio recorrido.
La relación entre la velocidad lineal v y la velocidad angular
ω
vendrá dada por la siguiente expresión, donde r es la distancia:r
v
=
ù·
ACTIVIDADES DE REFUERZO Y PROFUNDIZACIÓN
1. Si un cuerpo en movimiento recorre 100 m en 1 minuto. ¿Qué velocidad media tiene expre-sada en km/h? (S: 6 km/h)
2. Un cuerpo en movimiento recorre 2.000 km con una velocidad constante de 250 km/h. ¿Qué tiempo empleará en ese recorrido? (S: 8 h)
3. Un automóvil circula durante una hora y cuarto. ¿Qué espacio recorrerá si su velocidad es constante y de 120 km/h? (S: 150 km)
4. Sabiendo que un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año y que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s, calcular la distancia que recorre la luz en un año. (S: 9,4608·1012 km)
5. Un automóvil sale a las 8 h y a una velocidad de 60 km/h; dos horas más tarde sale otro del mismo lugar a 90 km/h. Al cabo de dos horas y media ¿Qué distancia separa los dos auto-móviles? (S: 45 km)
6. Un automóvil se desplaza desde Madrid a León a una velocidad media de 75 km/h. Sa-biendo que entre estas dos ciudades hay una distancia de 325 km. ¿Qué tiempo tarda en hacer el recorrido? (S: 260 min.)
7. Un tren ha recorrido 1.630 km en 20 horas; ¿cuál ha sido su velocidad media en km/h? ¿En cuánto tiempo recorre 249 km? ¿Qué distancia habrá recorrido a las 15 horas de estar en marcha? (S: 81,5 km/h; 183,3 min; 1.222,5 km)
8. Dos coches, con movimiento uniforme, circulan en sentido opuesto, por una misma carrete-ra con velocidades de 110 y 130 km/h, respectivamente. Se hallan a 427 km uno de otro. ¿A qué distancia del punto de partida de uno de ellos se encuentran? (S: a 165 km del punto de partida del primero).
9. En una carrera ciclista contrarreloj, un espectador está a 204 m de la línea de salida. Sa-biendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s, ¿cuánto tarda el espectador en oír el disparo de salida? Si el ciclista va a una velocidad de 54 km/h, ¿a qué distancia del es-pectador está cuando éste oye el disparo? (S: 0,6 s; a 195 m del eses-pectador)
10. Un galgo quiere atrapar a una liebre que está a 100 m de él. Si la velocidad de la liebre es de 15 m/s y la del galgo 72 km/h, ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarla? (S: 20 s).
11. Un móvil parte del reposo y en 2 s ha recorrido 10 m. Calcula la aceleración y la velocidad final. (S: 5 m/s2 ; 10 m/s)
12. Un motorista marcha a la velocidad de 54 km/h y acelera hasta alcanzar la velocidad de 72 km/h en 10 s. Calcula la aceleración y el espacio recorrido. ¿Con qué velocidad debería haber marchado para que llevando un movimiento rectilíneo uniforme recorriese el mismo espacio en el mismo tiempo? (S: 0,5 m/s2; 175 m ; 63 km/h)
13. Un coche parte del reposo con una aceleración de 6 m/s2. Cuando ha recorrido 75 m ve un semáforo en rojo, frena y tarda 10 s en llegar al semáforo y detenerse. Calcula la acelera-ción con la que frena y el espacio total recorrido por el coche. (S: 3 m/s2; 225 m).
14. Desde lo alto de una torre se deja caer una piedra y tarda 4 s en llegar al suelo. Calcular la altura de la torre y la velocidad con la cual llega al suelo. (S: 78,4 m; 39,2 m/s).
15. Desde un acantilado de 3 m de altura sobre el nivel del mar, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 6 m/s. Calcular, tomando g como 10 m/s2,: a) La altura máxima alcanzada (S: 4,8 m sobre el nivel del mar) b) La posición y la velocidad después de 0,5 s y de 1 s de haber lanzado la piedra ( 4,75 m y 1m/s subiendo; 4 m y 4 m/s bajando) c) Tiempo que tarda en chocar con el agua desde que fue lanzada y la velo-cidad con la que choca ( 1,58 s y 9,8 m/s).
GRÁFICAS
16. Analiza y describe las siguientes gráficas indicando, para cada una de ellas el tipo de mo-vimiento o momo-vimientos, el espacio total recorrido, la velocidad (si es un M.R.U) y la acele-ración (si es un M.R.U.V.)
GRÁFICO 2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 t (s) e (m) GRÁFICO 1 0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 30 35 t (s) e (m) GRÁFICO 3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 t (s) e (m) GRÁFICO 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 2 4 6 8 10 t (s) e (m) GRÁFICO 5 0 100 200 300 400 500 600 700 0 10 20 30 40 50 t (s) e (m) GRÁFICO 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 1 2 3 4 5 6 t (h) e (km) GRÁFICO 7 0 20 40 60 80 100 120 e (km)
17. Analiza y describe las siguientes gráficas indicando, para cada una de ellas el tipo de mo-vimiento o momo-vimientos, el espacio total recorrido, la velocidad (si es un M.R.U) y la acele-ración (si es un M.R.U.V.)
GRÁFICO 8 0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 t (s) v (m/s) GRÁFICO 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 t (s) v (m/s) GRÁFICO 10 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t (s) v (m/s) GRÁFICO 11 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 t (s) v (m/s) GRÁFICO 12 0 2 4 6 8 10 12 0 10 20 30 40 50 60 t (s) v (m/s) GRÁFICO 13 0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t (s) v (m/s) GRÁFICO 13 0 20 40 60 80 100 120 v (km/h)
18. Un tractor recorre 2 Km de su ruta a una velocidad de 24 Km/h, hace una parada de 15 minutos y emplea 6 minutos más en recorrer el kilómetro y medio restante. ¿Cuál es la ve-locidad media durante el viaje?
19. Dos ciclistas van a marchar por la misma carretera recta con movimientos uniformes, uno con la velocidad de 15 Km/h y otro con la de 25 Km/h. a) ¿Cuál debe salir antes para que lleguen a encontrarse? b) Si el segundo sale del origen de los movimientos 3 horas des-pués que el primero ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo? c) ¿A qué distancia del origen se encuentran los dos ciclistas cuando se alcanzan? d) Representar gráficamente los dos movimientos de los ciclistas utilizando los mismos ejes coordenados.
20. Dos pueblos distan entre sí 180 Km. Simultáneamente salen de cada uno de ellos, y en sentidos contrarios, dos ciclistas con velocidades de 25 Km/h y 35 Km/h. ¿En qué punto de la carretera se encontrarán y cuánto tiempo durarán sus movimientos? Representar gráfi-camente ambos movimientos en los mismos ejes coordenados.
21. Si se tardan 3 horas en hacer un recorrido de 186 Km con movimiento uniforme. ¿Qué velocidad ha llevado el coche expresado en el S.I.? ¿Cuánto habría que aumentar la velo-cidad para hacer el mismo recorrido en dos horas y veinte minutos, también con movi-miento uniforme?
22. Un coche tiene una aceleración constante de 0,3 m/s2 y parte del reposo. a) ¿Qué veloci-dad lleva al cabo de un minuto de iniciar su movimiento? b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese minuto? c) ¿Qué distancia habrá recorrido en el instante en que su velocidad sea de 108 Km/h?
23. Un cohete alcanzó una velocidad de 29000 Km/h en 2,05 minutos. ¿Cuál es su aceleración media (en unidades S.I.)?. Si el cohete mantiene esa aceleración durante una hora ¿qué velocidad tendría el cohete al final de dicha hora?
24. Durante un movimiento uniformemente acelerado, los valores espacio-tiempo-velocidad vienen recogidos, de forma incompleta en la siguiente tabla:
t (s) 0 1 - 10
-v(m/s) 10 - 20 -
-s(m) 0 11 - - 600
a) ¿Qué aceleración lleva el móvil? b) Completar la tabla. c) Representar las gráficas a-t, v-t y s-t. d) ¿Qué distancia habrá recorrido hasta el instante en que su velocidad sea de 108 km/h?
25. Un coche marcha a 40 km/h mientras atraviesa un pueblo. Al salir de él, el conductor acele-ra hasta que su velocidad es de 80 km/h, lo cual ocurre en 25 s. Calcular la aceleacele-ración del coche en esos 25 s. ¿Cuál será el espacio recorrido en ese tiempo?
26. Desde lo alto de un edificio de 50 m de altura se dejó caer un objeto. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo y con qué velocidad llega? Tomar g= 9,8 m/s2.
