Abraham Rueda Zoca
Universidad de Granada
“La primera gran virtud del hombre fue la duda, y el primer gran defecto
la fe”.
El espacio eucl´ıdeo y su topolog´ıa
Abraham Rueda Zoca.
Despacho 0 del Departamento de An´
alisis Matem´
atico de la Universidad
de Granada, Facultad de Ciencias.
El espacio eucl´ıdeo y su topolog´ıa
En este cap´ıtulo introduciremos los espacios eucl´ıdeos y analizaremos su estructura algebraica y topol´ogica, sobre la cual descansar´a la teor´ıa de diferenciabilidad o integrabi-lidad en varias variables que introduciremos en los siguientes cap´ıtulos. Se tratan de una generalizaci´on del plano o espacio eucl´ıdeo a dimensi´on (finita) arbitraria.
1.1.
Producto escalar, norma y distancia eucl´ıdea
Comenzaremos con la definici´on del espacio eucl´ıdeo.
Definici´on 1.1 (El espacio eucl´ıdeo). Sea N un n´umero natural. Definimos el espacio eucl´ıdeoN-dimensional como el conjunto
Rn :={(x1, . . . , xn) :xi ∈R para todo i∈ {1, . . . , n}}.
En el espacio eucl´ıdeo, dos elementos x = (x1, . . . , xN) e y = (y1, . . . , yN), diremos que
x=y si xi =yi para cada i∈ {1, . . . , N}.
Esta definici´on recoge el caso del plano eucl´ıdeo, donde los puntos se representan como parejas ordenadas de puntos (x, y), donde x denota la posici´on respecto a la horizontal y la y la posici´on respecto a la vertical. Igualmente, extiende nuestra noci´on de espacio tridimensional, donde ahora los puntos se representa como ternas ordenadas de n´umeros (x, y, z). Puesto que el espacio eucl´ıdeo se ha definido extendiendo las nociones anteriores, a sus elementos los llamaremos tanto puntos como vectores.
SeaN un n´umero natural. Al igual que ocurre en el plano o en el espacio tridimensional, en el espacio RN aparecen dos operaciones algebraicas naturales que extienden a las conocidas para los casos particulares anteriormente citados. Nos refererimos a lasuma y alproducto por escalares. Dados dos vectores (x1, . . . , xN),(y1, . . . , yN)∈RN, definiremos
susuma como el vector de RN dado por
(x1, . . . , xN) + (y1, . . . , yN) := (x1+y1, . . . , xN +yN).
Adem´as, dado un n´umero real α∈R, definimos elproducto de escalar por vector como el siguiente vector
λ(x1, . . . , xN) := (λx1, . . . , λxN).
Proposici´on 1.2. Sea N un n´umero natural. Consideramos tres vectores x, y, z ∈RN y
dos n´umeros reales α, β ∈R. Entonces: 1. [Propiedad conmutativa] x+y =y+x.
2. [Propiedad asociativa] x+ (y+z) = (x+y) +z.
3. [Existencia de neutro] Existe un ´unico vector 0 ∈ RN tal que 0 +w = 0 para todo
w∈RN.
4. [Existencia de opuesto] Existe un ´unico w ∈ RN tal que x+w = 0. A este vector
´
unico lo denotaremos por −x.
5. [Distributividad respecto a la suma de vectores] α(x+y) =αx+αy. 6. [Distributividad respecto a la suma de escalares] (α+β)x=αx+βx. 7. [Asociatividad del producto por escalares] (αβ)x=α(βx).
8. [Identidad de producto por escalares] 1x=x.
Todas estas propiedades se resumen diciendo que RN con la suma y el producto por escalares es un espacio vectorial.
Demostraci´on. Demostremos (3). Supongamos que existe un vectoru∈RN tal queu+v =
v para todo vector v ∈RN. Si u= (u
1, . . . , uN), dicho vector cumple que
u+v = (u1+v1, . . . , uN +vN) = (v1, . . . , vN)
para cualquier elecci´on de n´umeros reales v1, . . . , vN ∈R. Esto conduce a que ui+vi =vi
se cumple para cualquier elecci´on de n´umeros realesvi y para cadai∈ {1, . . . , N}, lo cual
conduce a que ui = 0 para cada i. Hemos demostrado que, en caso de existir, tal vector
u ha de ser necesariamente el vector 0 := (0, . . . ,0)∈RN. Para concluir la demostraci´on,
demostremos que el vector 0 cumple la condici´on deseada. Dado v = (v1, . . . , vN) ∈ RN
arbitrario, se tiene que
0 +v = (0 +v1, . . . ,0 +vN) = (v1, . . . , vN) =v,
lo que concluye la demostraci´on de (3).
Siguiendo ideas similares demostraremos (4). Para ello tomamos x = (x1, . . . , xN) ∈ RN y supongamos que existe y∈ RN de manera que x+y = 0. Trabajando con
coorde-nadas llegamos a que
(x1+y1, . . . , xN +yN) = x+y = 0 = (0, . . . ,0),
lo que conduce a que xi+yi = 0 se cumple para cada i ∈ {1, . . . , N}. Esto impone que
yi = −xi, lo cual demuestra de nuevo que, en caso de existir un tal vector y, ´este es
necesariamente ´unico. Para acabar, probaremos que el vector −x cumple la propiedad deseada. Para ello calculamos
lo que concluye (4).
Para finalizar, demostremos (5). Para ello, supongamos que x = (x1, . . . , xN), y =
(y1, . . . , yN). Entonces
α(x+y) =α(x1+y1, . . . , xN +yN) =
(α(x1+y1), . . . , α(xN +yN)) =
(αx1+αy1, . . . , αxN +αyN) =
(αx1, . . . , αxN) + (αy1, . . . , αyN) =
αx+αy,
donde en el tercer t´ermino se ha aplicado la propiedad distributiva de los n´umeros reales.
†
El resto de afirmaciones quedan como ejercicio (v´ease el Ejercicio 1.1.1).
Continuamos ahora con una generalizaci´on del producto escalar de vectores del plano. En dicho ambiente, dados dos vectores (x, y),(a, b) ∈ R2, su producto escalar se define como h(x, y),(a, b)i = xa+yb. Esto define una funci´on h·,·i : (R2)2 −→ R. Esto motiva una obvia extensi´on al caso de dimensi´on arbitraria (finita).
Definici´on 1.3 (Producto escalar). Sea N un n´umero natural. Dados dos vectores x = (x1, . . . , xN), y = (y1, . . . , yN)∈RN, definimos suproducto escalar como
hx, yi:=
N
X
i=1
xiyi =x1y1+. . .+xNyN.
Veamos algunas propiedades del producto escalar.
Proposici´on 1.4. Sea N un n´umero natural. Entonces:
1. Dados x, y, z ∈RN se cumple que
hx+y, zi=hx, zi+hy, zi.
2. Dados x, y ∈RN y un escalar λ∈
R se tiene que
hλx, yi=λhx, yi.
3. Dados x, y ∈RN se cumple que
hx, yi=hy, xi.
4. Dados x= (x1, . . . , xN), y = (y1, . . . , yN)∈RN se tiene que
hx, yi2 ≤
N
X
i=1 x2i
! N X
i=1 yi2
!
.
Demostraci´on. Demostremos 4, quedando 1, 2 y 3 como ejercicio (v´ease el Ejercicio 1.1.2). Para ello definimos A = PN
i=1x 2
i, B =
PN
i=1xi ·yi y C =
PN
i=1y 2
i. Notemos que la
desigualdad que queremos probar es B2 ≤AC. Dado cualquier n´umero real a se tiene que PN
i=1(xia+ yi)2 ≥ 0 por ser sumas de
cuadrados. Desarrollando en cada sumando el cuadrado de la suma tenemos que
0≤
N
X
i=1
(xia+yi)2 = N
X
i=1
x2ia2+ 2xiyia+y2i = N
X
i=1 x2i
!
a2 + 2
N
X
i=1 xiyi
!
a+
N
X
i=1 yi2
!
= Aa2+ 2Ba+C.
Ahora si A = 0 deducimos que x = (0, . . . ,0) de donde es inmediato comprobar que B = 0. En ese caso 0 = B2 = 0C = AC, con lo que tendr´ıamos incluso la igualdad. Por otra parte, si A 6= 0, como hemos probado que Aa2+ 2Ba+C ≥ 0 se cumple para cada n´umero real a, en particular se cumplir´a para a = −B/A. Sustituyendo, la desigualdad anterior nos dice que
0≤AB 2
A2 −2 B2
A +C =− B2
A +C
de donde AC ≥B2, lo que concluye la demostraci´on. †
Continuaremos con la definici´on de la norma de un vector, la cual nos permitir´a definir distancias en el espacio eucl´ıdeo.
Definici´on 1.5(Norma enRN).SeaN un n´umero natural. Dado un vectorx= (x
1, . . . , xN)∈ RN definiremos su norma como el siguiente n´umero real
kxk:=
v u u t N X i=1 x2 i = p
hx, xi. Veamos algunas propiedades b´asicas de la norma.
Proposici´on 1.6. Sea N un n´umero natural, x, y dos vectores de RN y un n´umero real
λ. Entonces:
1. kxk ≥0. Adem´as, kxk= 0 si, y s´olamente si, x= 0.
2. kλxk=|λ|kxk, donde |λ| denota al valor absoluto del n´umero real λ. 3. kx+yk ≤ kxk+kyk.
A la desigualdad 2 se le conoce como desigualdad triangular.
Demostraci´on. La demostraci´on de 1 es inmediata y queda como ejercicio. Para demostrar 2, aplicamos la definici´on y tenemos
kλxk=
v u u t N X i=1
(λxi)2 =
v u u t N X i=1 λ2x2
i = √ λ2 v u u t N X i=1 x2
Finalmente, para demostrar 3, de nuevo aplicamos la definici´on de la norma y tenemos
kx+yk2 =
N
X
i=1
(xi+yi)2 = N
X
i=1 x2i +
N
X
i=1
yi2+ 2
N
X
i=1 xiyi.
De los sumandos anteriores, el primero eskxk2, el segundo eskyk2 mientras que el tercero es justamente 2hx, yi. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz (Proposici´on 1.4) tenemos que 2hx, yi ≤ kxkkyk. Si juntamos esta desigualdad con lo que hemos probado anteriormente deducimos que
kx+yk2 ≤ kxk2+kyk2+ 2kxkkyk= (kxk+kyk)2.
Como tanto kx+yk como kxk+kyk son cantidades positivas, podemos tomar ra´ıces cuadradas en la desigualdad anterior, obteniendo que
kx+yk ≤ kxk+kyk,
como quer´ıamos demostrar. †
Con el concepto de norma ya podemos definir una distancia entre cualesquiera dos vectores del espacio eucl´ıdeo.
Definici´on 1.7 (Distancia enRN.). Sea N un n´umero natural yx, y dos vectores deRN. Definimos la distancia entre x e y por medio de
d(x, y) :=kx−yk.
Esta distancia nos permitir´a generalizar al espacio eucl´ıdeo nociones conocidas en el caso real tales como el concepto de sucesi´on convergente o el de funci´on continua. Esto se har´a en las dos siguientes secciones. Para acabar la presente secci´on, recogemos aqu´ı las principales propiedades de la distancia entre vectores del espacio eucl´ıdeo. La demostraci´on queda como ejercicio.
Proposici´on 1.8. Sea N un n´umero natural y x, y, z tres vectores de RN. Entonces:
1. d(x, y)≥0. Adem´as, d(x, y) = 0 si, y s´olamente si, x=y. 2. d(x, y) = d(y, x).
3. [Desigualdad triangular] d(x, y)≤d(x, z) +d(y, z).
Ejercicios
Ejercicio 1.1.1. Demostrar las afirmaciones no probadas de la Proposici´on 1.2
Ejercicio 1.1.2. Demostrar las afirmaciones no probadas de la Proposici´on 1.4.
Ejercicio 1.1.3. Sea N un n´umero natural. Demostrar que dados x, y ∈ RN se cumple
que
|kxk − kyk| ≤ kx−yk.
Ejercicio 1.1.4. Demostrar la Proposici´on 1.8.
Ejercicio 1.1.5. Sea N un n´umero natural y x, y ∈ RN. Demostrar que kx+yk2 =
kxk2 +kyk2 si, y s´olamente si, hx, yi = 0. N´otese que, para N = 2, este resultado es el
Teorema de Pit´agoras.
Indicaci´on: N´otese que kx+yk2 =hx+y, x+yi.
Ejercicio 1.1.6. Sea N un n´umero natural y sean x, y dos vectores de RN.
1. Demostrar que existe un ´unico θ∈[0, π] de manera que cos(θ) = hx, yi
kxkkyk.
A este ´unico θ lo llamaremos el´angulo entre x e y y lo denotaremos porθ(x, y). 2. Demostrar la siguiente identidad
kx+yk2 =kxk2 +kyk2+ 2kxkkykcos(θ(x, y)). Esto generaliza el conocidoTeorema del coseno.
Indicaci´on: N´otese quekx+yk2 =hx+y, x+yi.
1.2.
Topolog´ıa del espacio eucl´ıdeo
Ya sabemos que, en el caso de funciones reales de variable real, la estructura del con-junto de puntos sobre el que est´a definida puede transmitir propiedades deseables a dicha funci´on. Por ejemplo, si consideramos un subconjunto de R, digamos A, y una funci´on continua f :A −→R, sabemos que autom´aticamente f alcanzar´a su m´aximo y su m´ıni-mo siempre que A sea un intervalo de la forma A = [a, b] con a < b. Otro ejemplo lo tenemos cuando aseguramos que una funci´on derivable con derivada constantemente nula f : A −→ R es constante siempre que A sea un intervalo. Puesto que nos proponemos definir una teor´ıa de funciones continuas y derivables sobre los subconjuntos de un es-pacio eucl´ıdeo, parece razonable que prestemos un especial inter´es a la estructura de los subconjuntos de RN para tratar de obtener resultados similares a los que acabamos de
citar para funciones de varias variables. Para ello se har´a necesario hablar un poco sobre la topolog´ıa que induce la distancia del espacio eucl´ıdeo.
Comenzaremos con algunas definiciones. Dado un n´umero naturalN, un vectorx∈RN
y un n´umero positivor >0, definimos labola abierta de centroxy radiorcomo el siguiente conjunto
B(x, r) := {y∈RN :d(x, y)< r}.
Por otro lado, labola cerrada de centro x y radio r se define como B(x, r) := {y∈RN :d(x, y)≤r}.
Finalmente, la esfera de centro x y radio r se define como S(x, r) :={y ∈RN :d(x, y) = r}.
Definici´on 1.9 (Sucesi´on convergente). Sea N un n´umero natural y {xn} una sucesi´on
de vectores de RN. Diremos que {xn} es convergente si existe un vector x ∈ RN de
manera que para cada ε > 0 existe un natural m ∈ N de manera que si n ≥m entonces xn∈B(x, ε) o, equivalentemente, kxn−xk< ε.
En tal caso, diremos que x es l´ımite de la sucesi´on {xn} y lo denotaremos como
{xn} →x o bienx= l´ım{xn}.
Esta noci´on formaliza la idea de que los t´erminos de la sucesi´on est´en cerca de x puesto que, siempre que tomemos una bola centrada enx, los t´erminos de la sucesi´on que se quedan fuera de dicha bola es siempre una cantidad finita de ellos, por muy peque˜no que sea el radio de dicha bola.
Veamos algunas propiedades que verifican las sucesiones convergentes.
Proposici´on 1.10. Sea N un n´umero natural, sean {xn},{yn} sucesiones de vectores en RN y x, y ∈RN. Entonces:
1. Si {xn} → x y {xn} → y, entonces x = y. En otras palabras, el l´ımite de una
sucesi´on convergente es ´unico.
2. Si {xn} →x e {yn} →y, entonces la sucesi´on {xn+yn} es convergente y converge
hacia x+y.
3. Si {xn} →x y λ ∈R, entonces la sucesi´on {λxn} es convergente y converge hacia
λx.
4. Si{xn}es convergente, entonces existe un n´umero positivoM de manera quekxnk ≤
M se cumple para cada n∈N.
5. Si {xn} → x e {yn} → y, entonces la sucesi´on de n´umeros reales {hxn, yni} es
convergente y converge hacia hx, yi.
6. Si {xn} →x entonces la sucesi´on de n´umeros reales {kxnk} es convergente y
con-verge hacia kxk.
Demostraci´on. (1) Supongamos que {xn} tiene por l´ımites tanto a x como a y y fijemos
un n´umero arbitrario ε > 0. Como {xn} → x por definici´on existir´a un n´umero natural
m1 ∈Nde manera que para cualquier naturaln≥m1 se cumple quekxn−xk< ε2. Como
{xn} → y tambi´en encontramos otro natural m2 ∈ N de manera que n ≥ m2 implica quekxn−yk< ε2. Tomamos m:= m´ax{m1, m2}. Si tomamos un n´umero natural n≥ m
deducimos que
kx−yk=kx−xn+xn−yk ≤ kxn−xk+kxn−yk<
ε 2 +
ε 2 =ε.
Comoε > 0 era arbitrario deducimos que kx−yk= 0, de donde x−y = 0 o, equivalen-temente,x=y.
(2) queda propuesto como ejercicio (v´ease el Ejercicio 1.2.1). Indicaci´on: Utilizar la desigualdad triangular.
(3) queda propuesto como ejercicio (v´ease el Ejercicio 1.2.1).
(4) Como {xn} converge a un vector (digamos x) entonces habr´a un n´umero natural
triangular que kxnk<1 +kxk se cumple para cada n ≥ m. Entonces basta tomar como
M := m´ax{kx1k, . . . ,kxmk,1 +kxk}, notando que el m´aximo del conjunto anterior existe
por ser dicho conjunto finito.
(5) Por (4) sabemos que existe una constante M > 0 de manera que kxnk ≤ M se
cumple para cada natural n. Fijamos ε > 0. Como {xn} → x podremos encontrar un
n´umero natural m1 tal que si n ≥ m1 entonces kxn−xk < M+εkyk. Por otro lado, como
{yn} →y encontraremos otro n´umero naturalm2 ∈N de manera que si n≥m2 entonces
kyn−yk< M+εkyk. Entonces, dado n≥m´ax{m1, m2} se cumple que
hxn, yni − hx, yi=hxn, yni − hxn, yi+hxn, yi − hx, yi
hxn, yn−yi+hxn−x, yi ≤
kxnkkyn−yk+kxn−xkkyk ≤
M ε M +kyk+
ε
M +kykkyk
(M +kyk) ε
M +kyk =ε.
Como ε >0 era arbitrario concluimos que{hxn, yni} → hx, yi, como quer´ıamos.
(6) queda propuesto como ejercicio (v´ease el Ejercicio 1.2.1). Indicaci´on: Utilizar la
identidad kwk=phw, wi. †
Los resultados anteriores tendr´an mucha trascendencia te´orica ya que nos dar´a re-sultados sobre continuidad de ciertas funciones. Sin embargo, con la definici´on parece bastante complicada la cuesti´on de decidir cu´ando una sucesi´on dada es o no convergente. El siguiente resultado nos dice que para analizar la convergencia de una sucesi´on hay que analizar el comportamiento de las sucesiones de sus coordenadas. M´as estrictamente:
Proposici´on 1.11. Sea N un n´umero natural y sean {xn} una sucesi´on en RN y un
vector x∈ RN. Supongamos que x= (x1, . . . , xN) y que x
n = (x1n, . . . , xNn).1 Entonces se
tiene que {xn} →x si, y s´olamente si, la sucesi´on {xjn} →xj para cada j ∈ {1, . . . , N}.
Demostraci´on. Supongamos primero que {xn} → x y fijemos j ∈ {1, . . . , N}.
Demostre-mos que {xj
n} → xj. Para ello fijamos un n´umero positivo ε >0. Entonces sabemos que
existe m∈N de manera que kxn−xk < ε siempre que n ≥m. Para este m, si tomamos
un natural n≥m tenemos que
|xjn−xj|=
q
(xjn−xj)2 ≤
v u u t
N
X
i=1 (xi
n−xi)2 =kxn−xk< ε.
Rec´ıprocamente, supongamos que cada{xi
n}converge axi y demostremos que{xn} →x.
Para ello fijamosε >0. Entonces, dadoi∈ {1, . . . , N}, por hip´otesis existe un naturalmi
tal que si n ≥ mi entonces |xin−xi| < ε
√
N. Dado n ≥ m := m´ax{m1, . . . , mN} tenemos
1Notemos que en este caso las coordenadas las hemos denotado usando super´ındices, una notaci´on
que
kxn−xk=
v u u t N X i=1 (xi
n−xi)2 =
v u u t N X i=1
|xi
n−xi|2 <
v u u t N X i=1 ε √ N 2 = √
ε2 =ε.
Comoε >0 era arbitrario deducimos que {xn} →x, como quer´ıamos. †
Como ya hemos indicado la proposici´on anterior tiene una gran utilidad pr´actica.
Ejemplo 1.12. Estudiar la convergencia de la sucesi´on deR4
{xn}:=
(
1 n,
1 + 1 n n , n X k=0 1 2k,7
!)
.
Por un lado, la sucesi´onn1 →0. Por otro lado, sabemos que la sucesi´on 1 + n1n →e. Adem´as, recordemos la igualdad2
n
X
k=0 1 2k =
1− 1 2k+1
1− 1 2
,
que tiene l´ımite 2 en n. Por ´ultimo, la sucesi´on constantemente igual a 7 converge a 7 trivialmente. Como consecuencia, la Proposici´on 1.11 nos dice que
{xn} →(0, e,2,7)∈R4.
Una vez introducidas las sucesiones convergentes, as´ı como algunas de sus propiedades, hablaremos ya de la estructura topol´ogica de los conjuntos de RN.
Definici´on 1.13. (Topolog´ıa de los subconjuntos de RN)
Sea N un n´umero natural y A un subconjunto de RN.
1. Un punto x ∈ A se dir´a punto interior si existe un n´umero r > 0 de forma que B(x, r)⊆A. Denotaremos porA◦ al conjunto de todos los puntos interiores de A y lo llamaremos el interior de A. Diremos queA es un conjuntoabierto si todo punto de A es interior, es decir, siA◦ =A.
2. Un puntox∈RN se dir´aadherente aAsi, para todo r >0, se cumple queB(x, r)∩
A 6=∅. Denotamos por A al conjunto de puntos adherentes de Ay lo llamaremosla clausura o cierre de A. Diremos que A es cerrado si A contiene a todos sus puntos adherentes, es decir, si A=A.
3. Un puntox∈RN se dir´afrontera de A sixes adherente de a Apero no es interior,
es decir, si x ∈ A\A◦. Denotaremos por F r(A) al conjunto de todos los puntos frontera de A y se llamar´a la frontera de A.
Antes de seguir con propiedades de este tipo de conjuntos, conviene ver algunos ejem-plos que ayuden a comprender mejor los conceptos anteriores.
Ejemplo 1.14. En lo que sigue N denotar´a un n´umero natural cualquiera. 1. Consideramos A= [0,1[∪{4} y tomamos un punto x∈A. Entonces:
x = 0 es un punto adherente de A pero no es interior. De hecho, dado r > 0 arbitrario, 0∈]−r, r[∩A, lo que demuestra que es adherente, pero −r
2 ∈/ A, lo que demuestra que A no contiene a ning´un intervalo centrado en cero, por lo que no es interior de A.
x∈]0,1[. En este casoxes interior aA. Para verlo, notemos que como 0< x < 1 entonces podremos encontrar un positivo r > 0 de manera que 0 < x−r < x < x+r <1. En este caso, ]x−r, x+r[⊆]0,1[⊆ A, lo que demuestra quex es un punto interior.
x= 4. Este punto claramente es adherente deA, pero no es interior.
En conclusi´on de este estudio deducimos queAno es abierto, ya que contiene puntos que no son interiores. Adem´as, A tampoco es cerrado. Para ello, demostremos que 1 es un punto adherente de A pese a no ser un punto de A. Para ello, tomamos un 0 < r < 1. Entonces obviamente 0 < 1− r
2 < 1, luego 1−
r
2 ∈ [0,1[⊆ A. Esto demuestra que ]1−r,1 +r[∩A 6= ∅ deduciendo que 1 es un punto adherente de A ya que r era arbitrario.
2. Las bolas abiertas de RN son abiertas. Para verlo, tomamos A = B(x, r) una bola
cualquiera y un puntoy∈B(x, r). Por definici´onkx−yk< r, luego habr´a un n´umero positivoε >0 de manera quekx−yk+ε < r. Afirmamos queB(y, ε)⊆B(x, r) =A. Para demostrarlo tomamosz ∈B(y, ε) y demostremos quez ∈A. Comoz ∈B(y, ε) tenemos por definici´on queky−zk< ε. Usando la desigualdad triangular deducimos que
kx−zk=kx−y+y−zk ≤ kx−yk+ky−zk<kx−yk+ε < r. Esto demuestra, por definici´on, que z ∈B(x, r) = A, como quer´ıamos.
Adem´asAtiene puntos adherentes que no est´an enA. De hecho, demostraremos que todos los puntos deS(x, r) son adherentes aA(¡pese a no ser elementos deA!) y, en consecuencia, ser´an puntos frontera. Para ello tomamos un puntoy∈S(x, r) yε >0, y demostremos queB(y, ε)∩B(x, r)6=∅. Para ello, tomamosδ >0 suficientemente peque˜no para que δr < ε. Afirmamos que z:=y+δ(x−y)∈B(x, r)∩B(y, ε). De hecho,
kz−yk=ky+δ(x−y)−yk=kδ(x−y)k=δkx−yk=δr < ε, luego z ∈B(y, ε). Adem´as,
lo que prueba quez ∈B(x, r). Como consecuencia de lo anterior, hemos demostrado que todos los puntos de S(x, r) son adherentes aB(x, r). En particular, todo punto de B(x, r) es adherente a B(x, r). De hecho, no hay m´as puntos adherentes. Para demostrarlo, tomamosy∈RN que no est´e enB(x, r), lo cual significa quekx−yk>
r. Afirmamos entonces que B(x, r) ∩ B(y,kx− yk − r) = ∅. Para demostrarlo, suponemos por reducci´on al absurdo que en la intersecci´on anterior hay un punto (digamos z), por lo que z cumplir´ıa que kx−zk < r y kz−yk <kx−yk −r. En consecuencia, tendr´ıamos que
kx−yk=kx−z+z−yk ≤ |x−zk+ky−z|< r+ky−xk −r=ky−xk, lo cual es absurdo. Por tanto, deducimos que B(x, r)∩B(y,kx−yk −r) =∅, lo que demuestra quey no es punto adherente deB(x, r). En conclusi´on, un puntoy∈RN
es un punto adherente de B(x, r) si, y s´olo si, y∈B(x, r). En resumen B(x, r)◦ =B(x, r), B(x, r) = B(x, r), F r(B(x, r)) =S(x, r).
3. Del apartado anterior se deduce que todo punto de B(x, r) es adherente a B(x, r), por lo que tambi´en es adherente aB(x, r) y que, adem´as, ´estos son todos los puntos adherentes. Esto significa que todos los puntos adherentes de B(x, r) est´an en ´el y, por tanto, esto demuestra que las bolas cerradas son cerradas como subconjuntos de RN.
Una vez vistas las definiciones y algunos ejemplos de conjuntos abiertos y cerrados, veamos una caracterizaci´on secuencial de los conceptos de punto adherente, interior y frontera de un conjunto.
Proposici´on 1.15. [Caracterizaci´on secuencial de la topolog´ıa en RN] SeaN un n´umero natural y sea A⊆RN un conjunto no vac´ıo. Entonces:
1. Un punto x ∈ RN es punto adherente de A si, y s´olamente si, existe una sucesi´on
{xn} de puntos de A de manera que {xn} →x.
2. Un punto x ∈ A es interior de A si, y s´olamente si, para cualquier sucesi´on {xn}
de puntos de RN tal que {xn} → x entonces existe un natural m ∈ N de manera
que si n ≥m implica que xn∈A.
3. Un punto x ∈ RN es frontera de A si, y s´olamente si, existen dos sucesiones
{xn},{yn} ambas convergentes a x de manera que xn ∈ A e yn ∈ RN \A para
cada n∈N.
Demostraci´on. De la afirmaci´on (1) supondremos que x es un punto adherente de A y demostremos que existe una sucesi´on de puntos de A convergente a x. Para ello, dado un n´umero natural n, tomamos xn ∈B x, 1n
∩A, donde utilizamos que x es adherente para asegurar que tales puntos existen. Esto define una sucesi´on {xn} de puntos de A,
y afirmamos que {xn} → x. De hecho, fijamos un ε > 0, y demostremos que existe un
que la sucesi´on de n´umeros realesn1 →0 para encontrar m ∈N de manera que n≥m implica que n1 < ε. Entonces, para n≥m, comoxn ∈B x,1n
deducimos que
kxn−xk<
1 n < ε,
lo que demuestra que{xn} →x.
De la afirmaci´on (2) demostraremos que si x ∈ A cumple que para toda sucesi´on
{xn} →x existem ∈Ntal que n ≥m implica que xn∈A, entoncesx es necesariamente
un punto interior de A. Para ello vamos a suponer, por reducci´on al absurdo, que x no es un punto interior de A y construiremos una sucesi´on{xn} →x de manera que xn∈/ A
para todo n ∈N, lo cual es una contradicci´on por hip´otesis. Como x no es interior de A entonces, para cada n ∈ N, la bola B x,n1 no est´a contenida en A, de donde podremos encontrar puntos xn ∈ B x,n1
tal que xn ∈/ A para cada n ∈ N. Como en el apartado
anterior, se tiene que{xn} →xy, por construcci´on, ning´un t´ermino de la sucesi´on pertence
a A, lo cual contradice las hip´otesis y prueba que x es necesariamente un punto interior deA.
La afirmaci´on (3) es evidente de las dos afirmaciones anteriores. †
Como aplicaci´on pr´actica de la proposici´on anterior, en el siguiente ejemplo reproba-remos que una bola abierta es un conjunto abierto. Comp´arese la demostraci´on con la dada en el ejemplo 1.14.
Ejemplo 1.16. Sea A := B(a, r) una bola abierta. Probemos que A es abierto. Para ello tomamos x ∈ A, de donde kx−ak < r. Para demostrar que es abierto, haciendo uso de la proposici´on anterior, tomamos una sucesi´on {xn} → x y probemos que todos
los t´erminos de la sucesi´on, salvo una cantidad finita de ellos, se encuentran en A. Como
{xn} →x entonces la Proposici´on 1.10 implica que {xn−a} →x−a y, en consecuencia,
la sucesi´on de n´umeros reales {kxn−ak} → kx−ak. Como por hip´otesis kx−ak< r se
sigue que la convergencia de la sucesi´on de normas que existe un naturalmde manera que
kxn−ak < r para todo n ≥ m. Pero esto significa por definici´on que xn ∈ A para todo
n ≥ m. Esto prueba que todos los t´erminos de {xn}, salvo una cantidad finita de ellos,
pertenecen a A. La proposici´on anterior implica que x es punto interior de A y, como x era arbitrario, deducimos que A es abierto, como se quer´ıa.
A continuaci´on recogemos una serie de resultados elementales sobre los abiertos y cerrados.
Proposici´on 1.17. Sea N un n´umero natural. Entonces:
1. Los conjuntos abiertos cumplen las siguientes propiedades:
Los conjuntos ∅ y RN son abiertos.
Si A1, . . . , An son abiertos, entonces n
T
i=1
Ai es abierto, es decir, la propiedad de
ser abierto es estable por intersecciones finitas. Si {Ai :i∈I}son abiertos, entonces S
i∈I
Ai son abiertos, es decir, la propiedad
2. Un conjunto A ⊆RN es abierto si, y s´olamente si,
RN \A es cerrado.
3. Los conjuntos cerrados cumplen las siguientes propiedades:
∅, X son conjuntos cerrados.
Si C1, . . . , Cn son conjuntos cerrados entonces n
S
i=1
Ci es cerrado, es decir, la
propiedad de ser cerrado es estable por uniones finitas.
Si {Ci : i ∈ I} es una colecci´on de conjuntos cerrados, entonces T i∈I
Ci es un
conjunto cerrado, es decir, la propiedad de ser cerrado es estable por intersec-ciones arbitrarias.
Demostraci´on. S´olamente probaremos la afirmaci´on (2), quedando las otras dos como ejercicio. Supongamos queAes abierto y veamos queRN\Aes cerrado. Para ello, tomamos xun punto adherente deRN\A. Entonces para cadar >0 se tiene queB(x, r)∩
RN\A6=∅.
Entonces, no existe r > 0 de manera B(x, r) ⊆ A. Esto implica que x no es un punto interior de A y, como A es abierto, se tiene entonces que x /∈ A. En consecuencia, x ∈
RN \ A, de donde tenemos que RN \A contiene a todos sus puntos adherentes y, en
consecuencia, se tiene queRN \A es cerrado.
Para demostrar el rec´ıproco tomamos x ∈ A y demostremos que x es interior a A. Para ello, notemos que como x /∈ RN \A entonces no puede ser un punto adherente ya
que RN \ A es cerrado por hip´otesis. Como consecuencia existe ε > 0 de manera que
B(x, ε)∩RN\A=∅. Pero esto significa que B(x, ε)⊆A, lo que prueba quex es interior
aA. La arbitrariedad de x en A concluye la demostraci´on. †
Finalizaremos la secci´on introduciendo una nueva noci´on topol´ogica, quiz´a la m´as importante de todas en lo que a cuestiones pr´acticas se refiere. Para ello, necesitamos introducir primero el siguiente concepto.
Definici´on 1.18. (Sucesi´on parcial) SeaN un n´umero natural y sea{xn}una sucesi´on de
puntos deRN. Una sucesi´on parcial de {xn} es otra sucesi´on{xσ(n)}, donde σ :N−→N es una aplicaci´on estrictamente creciente.
Informalmente hablando, una parcial de una sucesi´on{xn}no es m´as que otra sucesi´on
{yn}donde los t´erminos{yn}se toma seleccionando algunos t´eminos de la sucesi´on {xn}
con la ´unica restricci´on de que se tomende forma ordenada.
Es inmediato que una sucesi´on{xn} es convergente si, y s´olamente si, todas sus
suce-siones parciales son covergentes hacia un l´ımite com´un (v´ease el Ejercicio 1.2.3). Ya podemos dar la definici´on topol´ogica que and´abamos buscando.
Definici´on 1.19. (Conjunto compacto) SeaN un n´umero natural y seaA⊆RN. Diremos
queAescompacto si toda sucesi´on de puntos deAtiene una sucesi´on parcial convergente, esto es, para toda sucesi´on {xn} tal que xn ∈A para todo n existe una parcial {xσ(n)} y un puntox∈A de manera que {xσ(n)} →x.
Proposici´on 1.20. Sea N un n´umero natural y A un subconjunto compacto de RN.
Entonces A es cerrado y acotado, es decir, existe M > 0 de manera que kxk ≤ M para cada x∈A.
Demostraci´on. Comencemos viendo que A es cerrado. Para ello, tomamos un punto ad-herente x deA y demostremos quex∈A. Para ello, por la caracterizaci´on secuencial de los puntos adherentes sabemos que existe una sucesi´on {xn} de puntos de A de manera
que {xn} → x. Como A es compacto por hip´otesis habr´a una sucesi´on parcial {xσ(n)} y un punto a ∈ A de manera que {xσ(n)} → a. Sin embargo, como {xn} → x sabemos
que todas sus parciales (y en particular {xσ(n)}) convergen ax. En consecuencia tenemos que a y x son dos l´ımites de la sucesi´on {xσ(n)} y, como sabemos que el l´ımite de una sucesi´on convergente es siempre ´unico, deducimos que a = x, lo que prueba que x ∈ A como quer´ıamos.
Para acabar, hemos de demostrar que A es acotado, es decir, que existe r > 0 de manera que A ⊆ B(x, r). Para ello, supongamos que A no fuese acotado. Entonces, para cada n ∈ N tendr´ıamos que existe xn ∈ A de manera que kxnk > n. Con esto
construir´ıamos una sucesi´on{xn} ∈Aque no es acotada. Sin embargo, la compacidad de
Aforzar´ıa a la existencia de una parcial {xσ(n)}que fuese convergente y, en consecuencia, acotada, lo cual es imposible por las hip´otesis. Por tanto A es necesariamente acotado,
como quer´ıamos. †
Acabaremos la secci´on demostrando el rec´ıproco de la proposici´on anterior, demos-trando que un subconjunto deRN es compacto si, y s´olamente si,A es cerrado y acotado,
lo cual nos dar´a un criterio de compacidad sensiblemente m´as sencillo que la definici´on original. Para ello, comenzaremos viendo una extensi´on a RN un teorema bien conocido
enR.
Teorema 1.21. (Teorema de Bolzano-WeierstrassN-dimensional) Toda sucesi´on acotada de RN admite una sucesi´on parcial convergente.
Demostraci´on. Tomamos una sucesi´on{xn}de puntos deRN y denotaremos cada t´ermino
xn := (x1n, . . . , xNn). Como {xn} es una sucesi´on acotada es evidente que todas las
suce-siones de n´umeros reales {xjn} son acotadas para cada j ∈ {1, . . . , N}. Como {x1n} es acotada por el teorema de Bolzano-Weierstrass de R existe una sucesi´on parcial {x1
σ1(n)}
convergente hacia un punto x1 ∈
R. Ahora {x2σ1(n)} es una sucesi´on acotada, de donde
existir´a una parcial {x2
σ2(n)} convergente a un punto x
2 ∈
R. Notemos que como {x1σ2(n)}
es parcial de{xn
σ1(n)}, dicha sucesi´on{x
1
σ2(n)}tambi´en converge haciax
1. Continuando de forma recursiva obtenemos una sucesi´on parcial com´un de manera que{xjσ(n)} convergen hacia alg´unxj para cada j ∈ {1, . . . , n}. Si definimos x= (x1, . . . , xN)∈
RN tenemos que
{xσ(n)} as´ı construida converge hacia x por la Proposici´on 1.11. † Ya podemos dar el criterio de compacidad para un subconjunto de RN.
Teorema 1.22. (Caracterizaci´on de la compacidad) Sea N un n´umero natural y sea
A ⊆ RN un subconjunto no vac´ıo. Entonces A es compacto si, y s´olamente si, A es
Demostraci´on. Ya hemos demostrado que si A es compacto entonces A es cerrado y acotado en la Proposici´on 1.20. Por tanto, supongamos que A es cerrado y acotado y demostremos que A es compacto. Para ello tomamos una sucesi´on {xn} de puntos de
A y demostremos que tiene una parcial convergente. Como A es acotado es obvio que la sucesi´on {xn} tambi´en es acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass tenemos
que {xn} tiene una sucesi´on parcial {xσ(n)} que converge hacia alg´un punto x ∈ RN. Para concluir que A es compacto s´olamente queda demostrar que x ∈ A. Para ello, notemos que x es un punto adherente de A porque es l´ımite de una sucesi´on de puntos de A (Proposici´on 1.15). Como A es cerrado por hip´otesis concluimos que x ∈ A, como
quer´ıamos demostrar. †
Ejercicios
Ejercicio 1.2.1. Demostrar las afirmaciones no probadas en la Proposici´on 1.10.
Ejercicio 1.2.2. Demostrar las afirmaciones no probadas en la Proposici´on 1.15.
Ejercicio 1.2.3. Sea N un n´umero natural, x ∈ RN y {x
n} una sucesi´on de puntos de RN. Demostrar que {xn} → x si, y s´olamente si, todas las sucesiones parciales de {xn}
convergen hacia x.
Ejercicio 1.2.4. Sea A un subconjunto compacto y no vac´ıo de R. Demostrar que A tiene m´aximo y m´ınimo. Indicaci´on: Usar la caracterizaci´on secuencial del supremo y del ´ınfimo de un conjunto.
Ejercicio 1.2.5. Sea N un n´umero natural y {xn} una sucesi´on en RN. Diremos que la
sucesi´on{xn} es de Cauchy si dado ε >0 existe m∈N de manera que
n, p ≥m⇒ kxn−xpk< ε.
Demostrar:
1. Las sucesiones de Cauchy est´an acotadas.
2. Si{xn}es una sucesi´on de Cauchy y tiene una parcial{xσ(n)} convergente hacia un punto x, entonces{xn} →x.
3. (Complitud de RN) Una sucesi´on{x
n} enRN es de Cauchy si, y s´olamente si, {xn}
es convergente.
1.3.
Topolog´ıa de un subconjunto de
R
NEn esta corta secci´on trataremos de extender las nociones b´asicas de topolog´ıa, defini-das paraRN en la secci´on anterior, a subconjuntos de RN. Esto ser´a b´asico, por ejemplo, para hablar de conjuntos conexos en la siguiente secci´on. Sin embargo, esta extensi´on de los conceptos topol´ogicos ser´a muy f´acil de extender considerando la distancia restringida a subconjuntos. Para ello, consideramos A ⊆ RN, y notemos que podemos considerar
la funci´on distancia d : RN ×
nos permite definir de una forma muy c´omoda las bolas relativas a A. De hecho, dados a∈A, r >0 definimos
BA(a, r) :={x∈A:d(x, a)< r}=B(a, r)∩A.
De forma an´aloga se puede definir la bola cerrada relativa a A y la esfera relativa a
A. Ya podemos dar de una forma natural una extensi´on de los conceptos topol´ogicos a subconjuntos deRN.
Definici´on 1.23. (Topolog´ıa restringida a un conjunto)
Sea N un n´umero natural, A un subconjunto de RN y B ⊆ A un subconjunto cual-quiera.
1. Un punto x ∈ B se dir´a punto interior relativo a A si existe un n´umero r > 0 de forma que BA(x, r) = B(x, r)∩A ⊆ B. Diremos que B es un conjunto abierto
relativo de A si todo punto de B es interior relativo aA.
2. Un punto x ∈A se dir´a adherente relativo a B si, para todo r > 0, se cumple que B(x, r)∩B 6=∅. Diremos que A es cerrado relativo de A si B contiene a todos sus puntos adherentes relativos.
3. Un puntox∈RN se dir´afrontera de B relativo aAsixes adherente de aB relativo
a A pero no es interior relativo aA.
Ejemplo 1.24. 1. Sea A := {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, y = 0} ⊆
R2.
Evi-dentemente A no tiene puntos interiores, puesto que dado (x,0) ∈ A entonces (x, ε) ∈ B((x,0), ε)\A. Sin embargo, B := {(x,0) : −1 < x < 1} es un abier-to relativo de A. Para ello, tomamos (x,0)∈B, de donde x∈]−1,1[. Entonces es f´acil ver que existe ε >0 de manera que ]x−ε, x+ε[⊆]−1,1[. Entonces
B((x,0), ε)∩A⊆ {(x, y)∈R2 :−1< x <1, y = 0} ⊆A.
Por definici´on el punto (x,0) es interior aBrelativo aAy, como (x,0) era arbitrario, deducimos que B es abierto relativo en A.
2. Sea A:= [0,1]⊆ R. Sea B :=]x,1] para 0< x <1. Entonces B es abierto relativo deA, aunque no lo es enR. Ambas afirmaciones pueden probarse f´acilmente usando la definici´on.
Los ejemplos anteriores muestran c´omo dados B ⊆A ⊆RN entonces B puede no ser
abierto en RN pero s´ı serlo en A. El siguiente resultado muestra la relaci´on que existe entre los abiertos de RN y los abiertos deA.
Proposici´on 1.25. Sea N un n´umero natural y sean B ⊆A ⊆ RN. Entonces son
equi-valentes:
1. B es abierto relativo de A.
2. Existe un abierto O de RN de manera que
Demostraci´on. (1)⇒(2). Dadox∈B, por definici´on de interior relativo existir´a unrx>0
de manera que B(x, rx)∩A ⊆ B. Definimos O := S x∈B
B(x, rx), el cual es un abierto de RN. Adem´as es obvio que B ⊆ O ∩ A. Para ver el rec´ıproco, tomamos z ∈ O ∩ A.
Entonces por definici´on existe x ∈ B tal que z ∈ B(x, rx) y adem´as, x ∈ A. Entonces
z∈B(x, rx)∩A⊆B, lo que prueba que O∩A⊆B, como quer´ıamos.
(2)⇒(1). Tomamos x ∈ B. Como x ∈O y O es abierto existir´a un ε > 0 de manera queB(x, ε)⊆O. Entonces
B(x, r)∩A⊆O∩A=B,
de donde se sigue que x es un punto interior relativo a A de B. Como x era arbitrario conclu´ımos queB es abierto relativo a A, lo que termina la demostraci´on. †
Ejercicios
Ejercicio 1.3.1. SeaN un n´umero natural,Aun subconjunto deRN yB ⊆A. Demostrar que:
1. Un puntox∈B es interior relativo a A si, y s´olamente si, para toda sucesi´on {xn}
de puntos de A tal que {xn} → a se tiene que existe m ∈N de manera que n ≥ m
implica que xn∈A para todon ≥m.
2. Un puntox∈Aes adherente aB relativo aAsi, y s´olamente si, existe una sucesi´on
{xn} ∈B de manera que{xn} →a.
1.4.
Funciones continuas de varias variables
1.4.1.
Definiciones y algunas propiedades te´
oricas de las
funcio-nes continuas
En esta secci´on ya hablaremos de funciones continuas. Este concepto lo definiremos adaptando la definici´on de continuidad en el caso de funciones reales de variable real. Para ello, consideramos una funci´onf :A−→R, donde A es un subconjunto no vac´ıo de
R. Sabemos que f es continua en un punto a ∈A si cumple que: para todoε > 0 existe
δ >0 de manera que six∈A se cumple
|x−a|< δ ⇒ |f(x)−f(a)|< ε.
Entonces, la extensi´on de la definici´on de continuidad a funciones de varias variables vector valuadas parece evidente.
Definici´on 1.26. (Funci´on continua) SeanN yM dos n´umeros naturales, A un subcon-junto no vac´ıo de RN y f :A −→
RM. Diremos que f es continua en un punto a ∈ A si
se cumple que: para todo ε >0 existe δ > 0 de manera que
kx−ak< δ x∈A
⇒ kf(x)−f(a)k< ε.
Esta noci´on, al igual que en en el caso real de variable real, cristaliza la idea de que los puntos ceranos a a van a parar a puntos cercanos a f(a). En t´erminos de bolas, esa idea de “preservancia de puntos cercanos” es incluso m´as sugerente. La condici´on de la continuidad dice que, fijada una bola centrada en f(a), digamos B(f(a), ε) enRM, existe
otra bola B(a, δ) en RN de manera que
f(B(a, δ)∩A)⊆B(f(a), ε).
Como viene siendo habitual con este tipo de definiciones, la noci´on de continuidad ad-mite una caracterizaci´on en t´erminos de sucesiones convergentes, la cual usaremos para proporcionar un amplio abanico de ejemplos en la siguiente secci´on.
Proposici´on 1.27. (Caracterizaci´on secuencial de la continuidad) Sean N y M dos n´umeros naturales, A un subconjunto no vac´ıo de RN y f : A −→ RM una funci´on.
Dado un punto a ∈A, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. f es continua en a.
2. Para toda sucesi´on{xn}de puntos deA con{xn} →xse tiene que{f(xn)} →f(a).
Demostraci´on. (1)⇒(2). Tomamos{xn}una sucesi´on de puntos deA tal que{xn} →ay
demostremos que{f(xn)} →f(a). Para ello tomamosε >0 y demostremos que existe un
naturalmde manera que n≥mimplica quekf(xn)−f(a)k< ε. Comof es continua ena
tenemos que existeδ >0 de manera que six∈Aykx−ak< δentonceskf(x)−f(a)k< ε. Como por hip´otesis {xn} → a encontramos un natural m de manera que n ≥m implica
quekxn−ak< δ y, por la condici´on de continuidad,kf(xn)−f(a)k< εpara todon≥m.
Como ε >0 era arbitrario concluimos que{f(xn)} →f(a), como quer´ıamos.
(2)⇒(1). Supongamos, por reducci´on al absurdo, quef no es continua ena. Entonces, existir´ıa ε0 > 0 fijo de manera que, para cada n´umero natural n ∈ N, existe xn ∈ A con
kxn−ak< n1 perokf(xn)−f(a)k ≥ε0. Esto hace nacer una sucesi´on{xn}de puntos deA
que converge haciaapero que{f(xn)}no converge haciaf(a), lo cual es una contradicci´on
con la hip´otesis (2). Por tanto, deducimos que f es necesariamente continua en a, como
quer´ıamos. †
Veamos ahora una caracterizaci´on topol´ogica de la continuidad global de una funci´on.
Proposici´on 1.28. Sean N, M dos n´umeros naturales, A⊆RN un conjunto no vac´ıo y
f :A −→RM una funci´on. Son equivalentes:
1. f es continua en todos los puntos de A.
2. Dado un abierto O ⊆RM se tiene que f−1(O) es un abierto relativo de A.
Demostraci´on. (1)⇒(2).
Sea O un conjunto abierto de RM y veamos que f−1(O) es un abierto relativo de A. Para ello tomamos a ∈ f−1(O), lo que significa que f(a) ∈ O. Como O es un conjunto abierto por definici´on existe un radio ε > 0 de manera que B(f(a), ε) ⊆ O. Como f es continua entonces por definici´on existe δ >0 de manera que si x ∈B(a, δ)∩A entonces
de donde deducimos que a es interior relativo a f−1(O) en A. Como a ∈ f−1(O) era arbitrario concluimos lo que quer´ıamos.
(2)⇒(1).
Sea a ∈A y probemos que f es continua en A. Para ello tomamos ε >0 y definimos O := B(f(a), ε). Por hip´otesis f−1(O) es un abierto relativo de A. Como a ∈ f−1(O) deducimos, por definici´on de abierto relativo, que existe unδ >0 de manera queB(a, δ)∩
A ⊆ f−1(O). Veamos que δ > 0 nos sirve para la definici´on de continuidad. Para ello tomamos x∈A de manera que kx−ak< δ. Esto significa que x∈B(a, δ)∩A. Entonces x ∈ f−1(O), lo que implica que f(x) ∈ O. Recordando que O = B(f(a), ε) esto es equivalente a quekf(x)−f(a)k< ε. Resumiendo, hemos probado quex∈Aykx−ak< δ implica que kf(x)−f(a)k < ε. Esto prueba que f es continua en a, lo que junto a la arbitrariedad dea∈A concluye la demostraci´on.
†
Uno de los principales teoremas de las funciones continuas de la variable real es que toda funci´on continua f : [a, b] −→ R alcanza su m´aximo y su m´ımino absoluto. Parece natural preguntarse si existe un sustituto natural de este resultado en un ambiente de fun-ciones reales de variable vectorial. Para encontrar una condici´on suficiente que garantice este hecho, hemos de acudir a la inagotable fuente de la topolog´ıa.
Teorema 1.29. (Teorema de compacidad) Sean N y M dos n´umeros naturales, A⊆RN
y f : A −→ RM una funci´on continua. Si A es compacto, entonces el conjunto f(A) :=
{f(x) :x∈A} es un subconjunto compacto de RM.
Demostraci´on. Tomamos una sucesi´on{yn}de puntos de f(A) y pretendemos demostrar
que{yn}tiene una parcial convergente. Para verlo, dadon∈Ntenemos que existexn ∈A
de manera que yn =f(xn) puesto queyn ∈f(A). Ahora {xn} es una sucesi´on de puntos
de A, el cual por hip´otesis es un subconjunto compacto de RN. Por tanto existe una
parcial {xσ(n)} de {xn} que es convergente hacia un punto x ∈ A. Como {xσ(n)} → x y f es continua tenemos por la caracterizaci´on secuencial de la continuidad (Proposici´on 1.27) que {f(xσ(n))} → f(x). Llamando y =f(x) hemos demostrado que {yn} tiene una
parcial {yσ(n)} que converge hacia y = f(x) ∈ f(A). Por definici´on, el conjunto f(A) es
compacto, como quer´ıamos. †
Dado que todo subconjunto compacto deR alcanza su m´aximo y su m´ınimo (v´ease el Ejercicio 1.2.4) tenemos el deseado resultado.
Corolario 1.30(Teorema de Weierstrass). Sea N un n´umero natural,A un subconjunto compacto y no vac´ıo de RN y f :A −→R una funci´on continua. Entonces f alcanza su m´aximo y su m´ınimo absoluto.
Acabaremos la subsecci´on viendo que todas las hip´otesis son necesarias en el corolario anterior.
Ejemplo 1.31. Consideramosf :B(0,1)⊆RN −→
R definida por
f(x) =kxk.
f es continua, hecho que se sigue de la desigualdad (v´ease el Ejercicio 1.1.3)
Adem´as, es claro quef(B(0,1)) = [0,1[, luego la funci´onfno alcanza su m´aximo absoluto. Este ejercicio demuestra que la condici´on de queA sea compacto es esencial.
Ejemplo 1.32. Sea f :B(0,1)⊆RN −→
R dada por
f(x) :=
kxk si kxk<1, 0 si kxk= 1.
Es evidente que esta funci´on no alcanza su m´aximo pese a estar definida en un compacto. Esto es porque, como es obvio, no se trata de una funci´on continua.
Ejercicios
Ejercicio 1.4.1. Sean N, M dos n´umeros naturales, A un subconjunto no vac´ıo de RN y f : A −→ RM. Se dice que f es Lipschitziana si existe una constante positiva L de
manera que
kf(x)−f(y)k ≤Lkx−yk
se cumple para cada x, y ∈A. Se pide:
1. Demostrar que toda funci´on Lipschitziana es continua en todos los puntos. 2. Demostrar que la normak · k:RN −→
R es una funci´on Lipschitziana.
3. Encontrar una funci´on continua que no sea Lipschiziana. Indicaci´on: B´usquese f : [0,1]−→R derivable en ]0,1[ de manera que f0(x)→ ∞ cuandox→0.
Ejercicio 1.4.2. [Lema de conservaci´on del signo N-dimensional] Sea N un n´umero natural, A un subconjunto abierto deRN y sea f :A −→
Runa funci´on que es continua
en un punto a ∈A. Demostrar que si f(a)>0 entonces existe un n´umero positivor > 0 de manera que B(x, r) ⊆ A y tal que f(z) > 0 para todo z ∈ B(x, r). Es decir, si f es positiva en un punto de continuidad entonces ser´a positiva en toda una bola que lo contenga.
Ejercicio 1.4.3. Sea f :RN −→
Runa funci´on continua y sea run n´umero real.
Demos-trar que el conjunto
{x∈RN :f(x)≤r}
es cerrado, mientras que
{x∈RN :f(x)< r}
es abierto.
1.4.2.
Ejemplos de funciones continuas
Proposici´on 1.33. Sean N y M dos n´umeros naturales, A un subconjunto no vac´ıo de
RN y f : A −→ RM. Consideramos f1, . . . , fM : A −→ R las funciones coordenadas, es
decir, tales que f(x) = (f1(x), . . . , fM(x)) para cada x∈A.
Entonces, dado un punto a ∈A se tiene que f es continua en a si, y s´olamente si, fi
es continua en a para cada i∈ {1, . . . , n}.
Demostraci´on. Se sigue de la caracterizaci´on secuencial de la continuidad y de la
Propo-sici´on 1.11. †
Ejemplo 1.34. Sea f :R−→R3 dada por f(t) :=
t2, 1
1 +t2, t−sen(t)
t∈R.
Para ver quef es continua usaremos la proposici´on anterior, que dice que es equivalente la continuidad de f a la continuidad de sus funciones coordenadas. Tales funciones son f1, f2, f3 :R−→R dadas por
f1(t) =t2 f2(t) = 1+1t2 f3(t) = t−sen(t).
Como estas tres funciones son continuas deducimos que f es continua por la proposici´on anterior.
Como bien ilustra el ejemplo anterior, podemos centrarnos en estudiar cu´ando una funci´on de varias variables es continua cuando toma valores reales.
Ahora veamos un importante resultado pr´actico que nos dar´a una amplia gama de funciones continuas para el caso real. Hablando alegremente, el siguiente resultado dice que la composici´on de funciones continuas es continua. Sin embargo, su correcto enunciado requiere algo de notaci´on.
Teorema 1.35. Sean N yM dos n´umeros naturales, A⊆RN yB ⊆
RM y consideramos
f : A−→ RM y g :B −→
R dos funciones tales que f(A)⊆ B3. Si f es continua en un
puntoa ∈Ay g es continua en el punto f(a)∈B, entonces g◦f es continua en el punto
a.
Demostraci´on. Lo demostraremos usando la caracterizaci´on secuencial de la continuidad. Para ello tomamos {xn} → a de manera que xn ∈ A para cada natural n. Como f es
continua en a sabemos que {f(xn)} → f(a). Ahora bien, como f(xn) pertence a B por
hip´otesis, converge hacia f(a) y g es continua en f(a), deducimos que {g(f(xn))} →
g(f(a)). Dicho de otro modo, la sucesi´on {(g ◦f)(xn)} converge hacia g ◦ f(a). Esto
demuestra que g◦f es continua en a, como quer´ıamos. †
Otro resultado que nos ser´a muy ´util en lo que sigue es el siguiente:
Proposici´on 1.36. Sea N un n´umero natural, A un subconjunto no vac´ıo de RN, f, g :
A−→R y λ un n´umero real. Entonces: 1. f +g, λf yf g es continua.
2. Si f(x)6= 0 se cumple para cada x∈A, entonces f1 es continua en a.
Demostraci´on. La demostraci´on de 1 es una aplicaci´on directa de la caracterizaci´on se-cuencial de la continuidad. Por otro lado, veamos que 2 es una aplicaci´on directa del Teorema 1.35. Para verlo definimosg :R\ {0} −→R por medio de
g(x) = 1 x
Notemos que la composici´on g ◦ f tiene sentido por hip´otesis y que dicha funci´on es justamente f1. La continuidad de f1 se deduce entonces del Teorema 1.35 ya que tanto f
como g son continuas. †
La proposici´on anterior nos dar´a una amplia gama de ejemplos
Ejemplo 1.37. SeaN un n´umero natural. Entonces, las funciones proyecci´onπi :RN −→ R dadas por
πi(x1, . . . , xN) =xi
son continuas. Este hecho puede comprobarse de forma inmediata usando que, dados (x1, . . . , xN),(y1, . . . , yN)∈RN, se cumple que
|xi−yi|=
p
(xi−yi)2 ≤
v u u t
N
X
j=1
(xj −yj)2 =kx−yk.
Con todos los resultados de la secci´on deducimos que “toda composici´on, suma, pro-ducto y cociente de funciones elementales es continua”. Veamos esto reflejado, por una s´ola vez, de forma estricta por medio de un ejemplo.
Ejemplo 1.38. La funci´on f :R3 −→
R dada por
f(x, y, z) =sen(x)yz −cos(x+y)
exz
es continua. Para ello, como la suma de funciones continuas es continuas, nos centraremos en analizar cada sumando:
El sumando “sen(x)yz”. Consideramos π1, π2, π3 las funciones proyecci´on sobre las variables x, y, z respectivamente. Entonces, nuestro sumando es justamente la fun-ci´on
(sen◦π1)π2π3.
Esta funci´on es continua por ser el producto de tres funciones continuas. La primera es continua porque la composici´on de funciones continuas es continua.
de funciones continuas con la funci´on exponencial, que es continua. Por tanto, el denominador es una funci´on continua que no se anula nunca, por lo que la funci´on
(x, y, z)7−→ 1
exz
es una funci´on continua. Para concluir cos(exxz+y) = cos(x+y)
1
exz es una funci´on
con-tinua como producto de funciones concon-tinuas.
Por ´ultimo, presentamos la siguiente proposici´on que dice que la restricci´on de una funci´on continua es continua. La demostraci´on queda como ejercicio.
Proposici´on 1.39. Sea N un n´umero natural, A un subconjunto no vac´ıo de RN y sea
f :A−→R una funci´on. Supongamos queB es un subconjunto no vac´ıo de Ade manera que existe a ∈ B de manera que f es continua en A. Entonces, la restricci´on4 de f a B
es continua en a.
Ejercicios
Ejercicio 1.4.4. [Una versi´onN dimensional del teorema de Bolzano] SeaN un n´umero natural y A un subconjunto no vac´ıo de RN. Se dice que A es arco conexo si, para
cualesquiera dos puntos diferentesx, y ∈A existe una funci´on γ : [0,1]−→RN continua
de manera que γ([0,1]) ⊆ A, γ(0) = x y γ(1) = y (es decir, los puntos diferentes de A est´an conectados por funciones continuas).
Sea f :A −→R continua de manera que existen dos puntos x, y ∈A de manera que f(x)<0< f(y). Demostrar que existe c∈A de manera que f(c) = 0.
Este resultado se generalizar´a en la siguiente secci´on.
Indicaci´on: Considerarf ◦γ.
Ejercicio 1.4.5. Sea N un n´umero natural. Una funci´on f : RN −→
R se dice coerciva
si se cumple que, para cada K > 0, existe M > 0 de manera que si kxk > M entonces f(x)> K (intuitivamente, si en valores alejados del origen la funci´onf toma valores cada vez mayores).
Demostrar que si f : RN −→ R es continua y coerciva, entonces alcanza su m´ınimo absoluto.
Apl´ıquese el resultado anterior para demostrar que f :R2 −→
Rdada por
f(x, y) = 1 + (x
2+y2)2 1 +x2+y2 alcanza su m´ınimo absoluto.
Indicaci´on:Tanto para comprobar la acotaci´on por abajo de f como para demostrar la existencia de m´ınimo, la coercividad implica que nos podemos restringir a trabajar en una bola (cerrada) centrada en el origen.
Ejercicio 1.4.6. Sea K := nx2+8
ex+y2, x
2+y3: (x, y)∈B(0,1)o ⊆
R2 y f : K −→ R
dada por
f(x, y) :=y−sen(xy) ∀(x, y)∈K. Demostrar que f alcanza su m´aximo y su m´ınimo absoluto.
4Recordemos que la restricci´on f
|B se define como f|B : B −→R por medio def|B(x) =f(x) para
1.4.3.
Conjuntos conexos de
R
NYa hemos visto como el teorema 1.29 generaliza el hecho de que toda funci´on continua de un intervalo cerrado y acotado en R alcanza el m´aximo y el m´ınimo absoluto al caso de varias variables. En esta secci´on introduciremos otra noci´on topol´ogica que, como consecuencia, generalizar´a al caso de varias variables el teorema de los valores intermedios para funciones reales definidas en un intervalo. Para ello, comenzamos introduciendo la siguiente definici´on.
Definici´on 1.40 (Conjunto conexo). Sea N un n´umero natural y A un subconjunto no vac´ıo de RN. Diremos que A es conexo si dado dos abiertos O1, O2 relativos de A cumpliendo que
O1∪O2 =A y O1∩O2 =∅ entonces necesariamenteO1 =∅y O2 =A oO1 =A y O2 =∅.
Dicho con otras palabras, un subconjunto de RN es conexo cuando no existe ninguna
partici´on no trivial de A formada por abiertos relativos. Informalmente hablando, la de-finici´on de conexi´on encierra la idea de que el conjuntoA es, topol´ogicamente hablando, “de una sola pieza”. Esto quedar´a corroborado por la intuici´on en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.41. 1. R\{0}no es un conjunto conexo. De hecho,R\{0}=]−∞,0[∪]o,∞[ define una partici´on no trivial deR\ {0}por abiertos.
2. Un subconjunto A de RN se dice arcoconexo si dados x, y ∈ A existe una funci´on continua γ : [0,1] −→ RN de manera que γ(t) ∈ A para cada t ∈ [0,1], γ(0) = x
y γ(1) = y. En otras palabras, A es arcoconexo cuando cualesquiera dos puntos pueden unirse por una curva continua con valores enA.
SiA es un conjunto arcoconexo entonces es conexo. Para demostrarlo, supongamos por reducci´on al absurdo que existe una partici´on no trivial de A por abiertos relativos O1 y O2. Tomamosx ∈O1 e y∈ O2 y consideramos γ : [0,1]−→RN una funci´on continua en las hip´otesis de la definici´on tal queγ(0) =x, γ(1) =y. Entonces definimos I1 :=γ−1(O1), I2 :=γ−1(O2), los cuales claramente forman una partici´on de [0,1] formada por abiertos relativos. Notemos que, por definici´on, 0 ∈ I1 pero 1∈/ I1. Definimoss := sup{t ∈[0,1] :γ(t)∈O1}. Por ser I1∪I2 = [0,1] deducimos que, o bien s ∈ I1 o bien s ∈ I2. Veamos que ambas conducen a contradicci´on. Si, por ejemplo, s ∈ I1, como ´este es un abierto relativo de [0,1] existir´a δ > 0 de manera que ]s−δ, s+δ[∩I ⊆I1. De hecho, como 0< s <1 podemos suponer, salvo tomar un δ m´as peque˜no, que ]s−δ, s+δ[⊆I1. Eso implica que s+δ2 ∈I1, lo cual es imposible por el hecho de ques es un mayorante de I1. De forma an´aloga se llega a contradicci´on con la definici´on de supremo si se asume que s∈ I2. Esto concluye que es imposible que A no sea conexo, como quer´ıamos.
3. Un conjuntoA se dice convexo si dadosx, y ∈A se tiene que tx+ (1−t)y∈A ∀t ∈[0,1].
Se verifica que todo conjunto convexo es conexo. De hecho es arcoconexo, ya que dados x, y ∈A la curva γ : [0,1]−→R dada por
γ(t) =tx+ (1−t)y t∈[0,1] es una curva continua en A que une x con y.
4. Dado N > 1 entonces RN \ {0} es arcoconexo (y, en consecuencia, conexo). De
hecho, dados dos puntos x, y ∈ RN \ {0}, consideramos γ(t) = tx + (1− t)y si
tx + (1− t)y 6= 0 para cada t. En caso contrario, tomamos un punto z que no est´e en el segmento que une x con y y consideramos una uni´on de dos segmentos, uno que una x con z y otro que una z con y.
El apartado 3. del ejemplo anterior muestra que todos los intervalos deRson conexos, ya que evidentemente son convexos de hecho. Veamos que ´estos son todos los subconjuntos conexos deR.
Teorema 1.42. Sea A un subconjunto no vac´ıo de R. Entonces A es conexo si, y s´ ola-mente si, A es un intervalo.
Demostraci´on. Ya hemos justificado que los intervalos son conexos. Por tanto, suponga-mos que A es un conexo y demostremos A debe ser un intervalo. Para ello, supongamos por reducci´on al absurdo que A no fuese un intervalo. Esto por definici´on implicar´ıa que existen x, y ∈A y z ∈Rcumpliendo que x < z < y pero z /∈A. Entonces
I = (]−∞, z[∩A)∪(]z,∞[∩A)
define una partici´on no trivial de A por abiertos relativos, lo cual implica que A no es conexo, lo que evidentemente es una contradicci´on con las hip´otesis. †
Veamos ahora c´omo se comporta la conexi´on a trav´es de las funciones continuas.
Teorema 1.43(Teorema de conexi´on). SeanN, M dos n´umeros naturales yA un subcon-junto no vac´ıo deRN. Sea f :A−→
RM una funci´on continua. Si A es conexo, entonces
f(A) es conexo.
Demostraci´on. Sean O1, O2 dos abiertos de RM de manera que f(A) = (f(A)∩ O1)∪ (f(A)∩O2) es una partici´on def(A) por abiertos relativos y demostremos que la partici´on es trivial. Por la Proposici´on 1.28 sabemos que f−1(O1), f−1(O2) son abiertos relativos de A. Adem´as, es evidente de las propiedades de la imagen inversa que ´esta es una partici´on de A. Como A es conexo por hip´otesis deducimos, salvo reetiquetar O1 y O2, que nece-sariamentef−1(01) = ∅ y f−1(O2) = A. Esto demuestra que O1 = ∅ y, en consecuencia,
O2 =f(A), lo quer´ıamos. †
Como corolario, ya podemos generalizar el teorema de los valores intermedios a fun-ciones de varias variables.
Corolario 1.44. [Teorema de los valores intermedios] Sea N un n´umero natural, A un subconjunto conexo de RN y sea f : A −→ R una funci´on continua. Si a, b ∈ f(A), entonces f ha de tomar todos los valores intermedios entre a yb.
1.4.4.
Ejercicios
Ejercicio 1.4.7. SeaN un n´umero natural yAun subconjunto no vac´ıo deRN. Demostrar
queAes conexo si, y s´olamente si,Acumple que si una funci´onf :A−→ {0,1}es continua entonces f es constante.
Ejercicio 1.4.8. Sea N >1. Demostrar que S(0,1) es conexa.
Indicaci´on: Consid´erese f :RN \ {0} −→
R definida por f(x) = kxxk.
1.5.
L´ımite funcional
Recordemos del an´alisis de una variable dada una funci´onf :A⊆R−→Rse define el concepto de l´ımite def en un punto x(no necesariamente del conjunto A) para estudiar c´omo se comporta la funci´on f en puntos cercanos a x que se encuentren en el conjunto A. Para ello, extenderemos de manera natural el concepto de punto de acumulaci´on a subconjuntos deRN.
Definici´on 1.45. Sea N un n´umero natural y A un subconjunto deRN.
1. Un punto x ∈ RN se dice que es un punto de acumulaci´on de A si se cumple que,
para cada ε >0, se tiene que
B(x, ε)\ {x} ∩A6=∅.
Denotaremos por A0 al conjunto de los puntos de acumulaci´on de A.
2. Un punto a∈A se dir´apunto aislado de A si exister > 0 de manera queB(a, r)∩
A={a}.
Ejemplo 1.46. 1. A = [0,1[∪{2} ⊆ R. Entonces todos los puntos de [0,1] son de acumulaci´on (n´otese que 1 es de acumulaci´on aunque no est´a en A). Sin embargo, 2 es un punto aislado de A pues {2}=A∩]2−1/2,2 + 1/2[.
2. A=B(0,1)\{0} ⊆RN. Entonces 0∈A0. De hecho, para cualquierε >0 y cualquier
vector x∈RN tal que kxk= 1 se tiene que (ε/2)x∈B(0, ε)\ {0} ∩A. Tambi´en es
inmediato comprobar que, dado cualquier elemento y∈S(0,1) se tiene quey∈A0, pues dado 0< ε <1 se cumple que (1−ε/2)y∈B(y, ε)∩A.
Es inmediato que las nociones de punto de acumulaci´on y punto l´ımite tienen una caracterizaci´on secuencial que recogemos a continuaci´on y cuya demostraci´on es un sencillo ejercicio.
Proposici´on 1.47. SeaN un n´umero natural yA ⊆RN un conjunto no vac´ıo. Entonces:
1. Un punto x0 ∈RN es de acumulaci´on de Asi, y s´olo si, existe una sucesi´on{xn} →
x0 de manera que xn ∈A y xn6=x0 se cumple para cada n∈N.
2. Un punto a ∈ A es aislado si se cumple que para cada {xn} → a tal que xn ∈ A
