Operaciones de números racionales

Operaciones de números

racionales

Yuitza T. Humarán Martínez Adapatado por Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo

• El conjunto de los números

racionales consiste de:



Fracciones de naturales



Opuestos de las fracciones de

naturales

Orden de números racionales

y la recta numérica

Recta numérica

• A todo número racional le

corresponde uno y sólo un punto

de la recta.

Números racionales

negativos

Dos números racionales opuestos están a la misma distancia de cero

• el positivo hacia la derecha de cero

• el negativo hacia la izquierda de cero.

Opuestos 0 1 -1 2 3 4 -2 -3 ₂3 1_{2 2}3 ₂5 2 1  2 5 

Orden

Los números en la recta numérica

aumentan siempre de izquierda a

derecha.

a)

b)

c)

d)

Una fracción está en su mínima expresión si el máximo común divisor o factor (MCDiv) del

numerador y del denominador es 1. Ejemplos: 24 7 (a) (b) 35 8 MCDiv(7,24)=1 MCDiv(8,35)=1

Las fracciones se escriben en su mínima

expresión mediante la ley fundamental de

Ley fundamental de

fracciones

Si es una fracción, entonces

para cualquier número

n

≠ 0 y

b

≠0.

b

a

bn

an

b

a



Ejemplo

Reduzca o simplifique a su mínima

expresión. 54

36

 Determine el máximo común divisor de 36 y 54.

18 3 18 2 54 36    MCDiv(36,54) = 18

 Exprese el numerador y el denominador como

producto del máximo común divisor.

 Utilice ley fundamental de fracciones

18 3 18 2 54 36    3 2 

Otra forma de reducir una fracción es mediante la factorización prima.

1. Se factoriza en números primos el numerador y el denominador.

2. Se aplica la ley fundamental de fracciones a todos los factores del numerador y del

denominador que sean iguales.

Del ejemplo anterior:

3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2 54 36             

Ejercicio

Determine si la fracción está o no

está en su mínima expresión. De

no estarlo, simplifíquela.

1.

2.

3.

Suma y resta

de

Si quieres sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.

+ ₌

+ ₌

Nota que al sumar fracciones con el mismo denominador, el resultado tiene ese

denominador.

Considere el siguiente ejemplo.

Además, el numerador del resultado es la suma de los numeradores.

2 __ 8 __ 8 3 __ 8 5

Ejemplo

+

=

+

=

=

Suma lo siguiente: Sumas los numeradores. Escribes el mismo denominador. __ 3 4

+

Ejemplo

Suma de fracciones

Sean

a

,

b

y

c

números enteros

tal que

b

≠ 0, entonces,

b

c

a

b

c

b

a

+

=

+

Lo mismo ocurre con la resta.

-

=

-

=

Resta lo siguiente: Resta los numeradores. Escribe el mismo denominador. ___ 12 10 _{___} 12 7 - = ___ 12 3 = ___ 4 1 _Simplifica. 10 7 12  

Suma o Resta de

fracciones homogéneas

Sean

a

,

b

y

c

números enteros

tal que

b

≠ 0, entonces,

.

b

c

a

b

c

b

a







b

c

a

b

c

b

a







Reglas de signos y

operaciones con fracciones

• Las reglas de signo se usan igual

que con lo números enteros.

• Se operan los valores absolutos y

se decide el signo del resultado.

Ejemplos:

Efectúe la operación y simplifique. a) b) c) 8 7 5 5    5 10 8 8   7 11 4  4 15 5   _{ 3} 5 8  5 ) 7 ( 8       5 10 8 7 11 4 4     _{ }   4 1 4     5 ) 11 ( 7   

¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos? 1 2 1 3 +

Recuerda que sumar fracciones implica contar cuántos pedazos de un mismo tamaño tenemos.

¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos? 1 2 1 3 +

Simbólicamente, debemos representar las fracciones de tal forma que tengan el mismo denominador.

2 6 = 1 3 1 = 3

Así que, 1 2 1 3 + =

2

6

3

6

5

6

Entonces podemos representar la suma,

2 6 = 1 3 1 2 = 3 6 + + 5₆

1. Calcular el mínimo común múltiplo

(MCM) del conjunto de denominadores

(mínimo común denominador (MCD)).

Sumar o resta de fracciones

con denominadores distintos

2. Construir fracciones equivalentes que tengan el denominador que se calculó en el paso anterior usando la ley

fundamental de fracciones.

bn an b

1 2 1 3 + =

2

6

3

6

5

6

Ejemplo:

Efectúe la operación y simplifique.

(a) (b) 1 3 10  4 = MCM(4, 10) 1 2 10 2   + 3 5 4 5   = = 9 6 50 25   ₌ MCM(50, 25) 9 6 2 50 25 2     = 9 12 50 50   = 20 15 20 2 _ 20 17 = 20 = 50

Multiplicación

de

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los

denominadores.

a

c

b

 

d

a c

b d





Ahora bien, los resultados deben estar expresados en su forma mínima.

Para lograr esto, se aconseja que

simplifiques antes de efectuar como tal la multiplicación. Ejemplo: 3 10 4  3  3 10 4 3    5 2  2 3 2 5 3 2    

Ejemplos

(c)

₄

5

3

 

 

 

4

5

1

3

  

  

  

4 5

1 3





20

3

Escribes el entero en alguna forma racional.

(d)

2

9

3

5





 



 



 

2 9

3 5







_



_





2 3 3

3 5

 







_







6

5



Escoges el signo del producto con las reglas

de signo.         5 3 2

División

de

Recíproco

Dos números cuyo producto es 1, son

recíprocos o inversos multiplicativos uno del otro. Ejemplos: 8 1 3 1 7   a) b) 7 3 1 8

Dividir por un número equivale a multiplicar por el recíproco del número.

a

c

a

d

a d

b

d

b

c

b c



   



Ejemplos

Divide y expresa tu resultado en su expresión mínima. a) b) 2 8 3  3 2 3 3 8   2 3 3 8    1 4  1 3 4  2 1 2 4 3   1 2 4 3    1 6  2 2 3 2 1 3 2 2 2 1         2 3 1   3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2           2 2 1  

c)

12

3

7





3

7

12





3 7

1 12





3 7

1 12





7

4



7

4

2

3

  

7 3

2 4







_



_







21

8



3

4

1

3

7







