Matemática financiera. Ciclo profesional

(1)

MATEMÁTICA

FINANCIERA

FACULTAD DE

CIENCIAS

ECONÓMICAS

UNIVERSIDAD

N

ACIONAL DE

C

ÓRDOBA

MATEMÁTICA

FINANCIERA

(2)

MATEMÁTICA

FINANCIERA

AUTORES:

M

GTER

. O

SCAR

M

ARGARÍA

C

RA

. L

AURA

B

RAVINO

MATEMÁTICA

FINANCIERA

(3)

Margaría, Oscar

Matemática financiera / Oscar Margaría y Laura Bravino. - 1a ed. - Córdoba: Universidad

Nacional de Córdoba, 2014.

E-Book.

ISBN 978-950-33-1118-9

1. Finanzas. I. Bravino, Laura II. Título.

CDD 332.071 1

Fecha de catalogación: 28/03/2014

(4)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

Rector

Dr. Francisco Tamarit

Vicerrectora

Dra. Silvia Barei

____________________________________________

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Decano

Lic. FRANCISCO M. ECHEGARAY

Vicedecano

Cr. ÁNGEL A. TAPIA

Secretaria de Asuntos Académicos

Mgter. SHIRLEY SAUNDERS

Asesora Académica

Dra. Catalina Alberto de Azcona

Secretario Técnico

Cr. SERGIO ZEN

Secretario de Extensión

Lic. EDUARDO DI LEONARDO

Secretaria de Asuntos Estudiantiles

Cr. FACUNDO QUIROGA MARTINEZ

Secretaria de Ciencia, Técnica y Relaciones Internacionales

Dr. ALFREDO VISINTINI

Secretario de Administración

(5)

Departamento de Educación a Distancia - Facultad de Ciencias Económicas

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

Coordinadora del Dpto. de Educación a Distancia

Mgter. Dalmira Pensa

Coordinadora Pedagógica

Dra. Adela Coria

Equipo Pedagógico

Esp. Verónica Pacheco

Lic. Marina Yazyi

Maquetación de contenidos

Lic. Víctor Cacciagiú

Lic. Diego Ruíz

Diseño gráfico

(6)

Matemática Financiera –Índice

ÍNDICE

UNIDAD 1: Teoría del interés 5

Operación Financiera 9

Evolución de las operaciones financieras 10

Teoría del Interés. Postulado Fundamental del Campo Financiero 10

Componentes de una operación financiera 11

Operaciones Financieras a Interés Simple 15

Operaciones Financieras a Interés Compuesto 20

Cálculo de los elementos que componen la fórmula de Monto a Interés Compuesto 24

Operación Financiera de Capitalización 26

Operación Financiera de Actualización 28

La interpretación y el uso de la variable tiempo en las operaciones financieras 29

Ejercitación 31

Bibliografía 33

UNIDAD 2: Operaciones financieras equivalentes 35

Operaciones financieras equivalentes 38

Tasa de Interés Proporcional. Tasa de interés nominal 44

Monto o Capital Final con tasas de interés variables. Tasa de interés promedio 50

Tasa Instantánea de Interés 54

Monto en el Campo Continuo 56

Ejercitación 59

Bibliografía 67

UNIDAD 3: Operación de descuento 69

Descuento de documentos de terceros 72

Tasa de Descuento 75

Determinación del Valor Efectivo 76

Relaciones entre la tasa de descuento y la tasa de interés 78

Operaciones de descuento equivalentes 85

Tasa de descuento nominal 87

La inclusión de conceptos no financieros en las operaciones financieras 89

Operaciones de pago único 90

Operaciones de préstamo de pago único 90

Operaciones de descuento 91

Ejercitación 93

Bibliografía 96

UNIDAD 4: Rentas ciertas de pagos constantes igualmente espaciados 97

Renta: concepto y clasificación 100

(7)

Valor Actual de una renta cierta, temporaria, constante, inmediata y anticipada 122 Relaciones entre el valor actual de cuotas vencidas y el valor actual de cuotas anticipadas 126 Relación entre el Valor Final y el Valor Actual de cuotas constantes 131 Valor Actual de una renta cierta, temporaria, constante, diferida y vencida 132 Valor Actual de una renta cierta, temporaria, constante, diferida y anticipada 135

Valor Actual de una Renta Perpetua 137

Sistemas de Amortización de Deudas 138

Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Constante Composición de la Cuota 140 Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Constante Determinación del Saldo 146 Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Constante. Cuadro de Amortización 155 Sistema de amortización de deudas de cuota constante. Situaciones Especiales 158

Regularización 158

Cancelación anticipada 159

Regularización y cancelación anticipada 160

Conversión de deudas 160

Pago extraordinario 160

Sistema de amortización de deudas de cuota constante con período de diferimiento 162

Ejercitación 169

Bibliografía 179

UNIDAD 5: Rentas Ciertas de pagos variables 181

Rentas Ciertas de Pagos Variables 185

Rentas Ciertas de Pagos Variables en Progresión Aritmética 186

Valor Actual de una renta cierta de pagos variables en progresión aritmética 187 Valor Final de una renta cierta de pagos variables en progresión aritmética 193 Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Variable en Progresión Aritmética 195 Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Variable y Amortización Constante 200 Sistema de amortización de deudas de cuota variable y amortización constante.

Situaciones Especiales

208

Rentas Ciertas de Pagos Variables en Progresión Geométrica 210

Valor Actual de una renta cierta de pagos variables en progresión geométrica 211 Valor Final de una renta cierta de pagos variables en progresión geométrica 215 Valor Actual de una renta cierta de pagos variables en progresión geométrica. Caso

Particular

217

Sistema de Amortización de Deudas de Cuota Variable en Progresión Geométrica 219 Sistema de Amortización de Deudas de Interés Periódico y Amortización al Final 222

Otras alternativas en la amortización de deudas 224

Ejercitación 227

Bibliografía 237

UNIDAD 6: Valuación de Operaciones Financieras en decisiones de Inversión y Financiación

239

PRIMERA PARTE

Métodos de cálculo donde la tasa enunciada en la operación no es la aplicada al financiamiento

243

Método Directo o Cargado 243

(8)

Otros métodos de cálculo donde la tasa enunciada en la operación no es la aplicada al financiamiento

250

SEGUNDA PARTE

Valuación de Operaciones Financieras. Usufructo y Nuda Propiedad.

253

TERCERA PARTE

Corrección monetaria en el ámbito financiero

258

Tasa de Inflación 258

Ajuste por Inflación 261

Tasa de Rendimiento 263

Ajuste por Inflación en la amortización de deudas 268

CUARTA PARTE

Otras alternativas de financiamiento

274

Determinación de la tasa de costo al incorporar impuestos, gastos, seguros y otros conceptos no financieros en las operaciones de préstamos

276

Ejercitación 278

Bibliografía 289

UNIDAD 7: Aplicación de Herramientas Financieras en las decisiones de Inversión y financiamiento

291

Proyectos de Inversión. Concepto. Clasificación. Elementos. 294

Criterios de Evaluación de Proyectos de Inversión 296

Valor Actual Neto 297

Tasa Interna de Rendimiento 299

Período de Recupero del Capital Invertido 300

Relación entre los criterios de evaluación VAN, TIR y PR en la aceptación o no de un proyecto de inversión.

304

Inconsistencia de la TIR 36

Orden de selección de los proyectos de inversión aceptados 313

Ejercitación 316

Títulos de Deuda. Títulos Públicos. 318

Títulos Públicos: elementos. 319

Evaluación de Títulos Públicos desde el punto de vista del Emisor. Tasa de Costo. 321 Evaluación de Títulos Públicos desde el punto de vista del Inversor. Tasa de Rendimiento. 324

Relación de Paridad 326

Ejercitación 328

Bibliografía 337

UNIDAD 8: Conceptos demográficos básicos 339

Matemática Actuarial 342

Funciones biométricas elementales 342

Probabilidad de vida y de muerte de una persona 345

Tasa de mortalidad 349

Tasa central de mortalidad 351

Tabla de mortalidad 352

Ejercitación 354

(9)

UNIDAD 9: Rentas aleatorias y seguros 361

Seguros en caso de Vida 364

Capital Diferido 364

Rentas Vitalicias 366

Renta vitalicia inmediata anticipada 367

Renta vitalicia inmediata vencida 368

Renta vitalicia diferida, vencida y anticipada 369

Renta vitalicia temporaria, vencida y anticipada 371

Renta vitalicia interceptada, vencida y anticipada 373

Seguros en caso de Muerte 375

Seguro de vida entera 376

Seguro en caso de muerte diferido 377

Seguro en caso de muerte temporario 378

Seguro en caso de muerte interceptado 380

Seguros Mixtos 381

Reserva Matemática 381

Ejercitación 381

(10)

1 La presente propuesta tiene por objetivo acompañarlos en el estudio de la asignatura

Matemática Financiera -modalidad a distancia- que corresponde al Ciclo Superior de las carreras dictadas en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Córdoba. La misma ha sido diseñada de manera integral, a partir de espacios que se articulan y complementan. Este material de estudio será de utilidad para orientarlos en el recorrido por la asignatura y ayudarlos en la comprensión de las distintas temáticas abordadas. También forma parte de esta propuesta un aula virtual diseñada para enriquecer los aprendizajes, potenciar la interacción entre docentes y estudiantes y posibilitar el acceso a múltiples recursos.

En estos materiales se desarrollan todos los contenidos del programa. Los mismos han sido organizados en bloques y unidades:

Bloque 1 Unidades 1 a 3

Bloque 2 Unidades 4 y 5

Los bloques abarcan varias unidades, las cuales incluyen:

- los objetivos y contenidos de la asignatura;

- una presentación, que contiene un ejemplo introductorio vinculado a alguno/s de los contenidos, que se irá resolviendo a lo largo de la unidad;

- el desarrollo conceptual y matemático-financiero de los contenidos de la unidad. Encontrarán aquí definiciones, explicaciones, desarrollos matemáticos, gráficos y ejemplos. Cada uno de estos ejemplos está destacado e identificado con el número de unidad y con numeración correlativa;

- ejercicios a resolver. A medida que se avanza en el desarrollo de las distintas temáticas, encontrarán una serie de ejercicios que los ayudarán a poner en práctica lo aprendido hasta el momento. Asimismo, al finalizar cada unidad, se ofrece una nueva propuesta de actividades para seguir trabajando;

- un breve resumen de los temas analizados en la unidad, denominado Integrando Ideas y, por último;

- la bibliografía, referenciada en el programa de la asignatura como obligatoria.

(11)

Matemática Financiera –Introducción 2

hace referencia a los ejemplos introductorios de la presentación de cada unidad.

indica la importancia de prestar especial atención sobre algún concepto o idea

que puede dar lugar a errores frecuentes o generar conflictos en su compresión.

hace referencia a todos aquellos ejercicios que tendrán que resolver a medida que

avanzan en el estudio de la asignatura. Todos tienen su respuesta en el texto.

Nos anticipa cuáles serán los recursos a utilizar en cada una de las unidades. Si

trabajaremos por ejemplo con videos tutoriales de ejercicios, de planilla de

cálculo, con instructivos para el uso de la calculadora financiera y/o con

simuladores, además de hacerlo con este material teórico-práctico.

También, encontrarán otros íconos que hacen referencia a distintos espacios y recursos disponibles en el aula virtual:

Remite a las presentaciones de los distintos bloques y unidades. Allí los profesores proporcionan pistas y algunas recomendaciones para el estudio de los distintos temas abordados.

Con él les recordamos que no están solos en el estudio y que contamos con distintos medios e instancias de interacción virtuales que nos permiten aprender juntos a compañeros y profesores. Estos espacios están destinados a establecer

diálogos sobre los contenidos, allí podrán consultar cualquier duda o dificultad que se presente. Cabe aclarar que también contaremos con instancias presenciales destinadas a tal fin.

Nos advierte sobre la posibilidad de realizar autoevaluaciones por bloque. Las mismas estarán disponibles, en el aula virtual, a medida que se avance en el estudio de la asignatura para ayudarlos a hacer un seguimiento de los progresos en el aprendizaje.

(12)

3

Ejercicio resuelto en video tutorial. En cada unidad hemos seleccionado algunos ejercicios a fin de mostrarles, de manera detallada, cómo se resuelven ya que por su nivel de dificultad pueden generar confusión y/o porque permiten agrupar contenidos diversos y, de este modo, se integra para su resolución varios de los procedimientos enseñados.

Ejercicio resuelto empleando la planilla de cálculo y en video tutorial. Como profesionales en Ciencias Económicas seguramente realizaremos muchas tareas en una computadora. En este sentido, la planilla de cálculo constituye una herramienta clave para trabajar con funciones financieras. En aquellas unidades donde sea necesario introducir distintas funciones encontrarán ejercicios resueltos en formato de video.

Ejercicio resuelto con instrucciones en la utilización de la calculadora financiera. Para facilitar el uso de la calculadora financiera hallaremos en el aula virtual archivos donde se encuentran resueltos ejercicios con instrucciones en el uso de los modelos Casio FC-100V y Casio FC-200V. Estos archivos estarán en las unidades donde sea necesario aprender nuevas funciones.

Ejercicio resuelto con simuladores de operaciones financieras y en video tutorial. Con el objetivo de afianzar lo que aprendemos en la asignatura y vincularlo con las operaciones habituales del sistema financiero, les proponemos, en algunas unidades, ejercicios que permitirán el uso de simuladores de operaciones financieras ofrecidas por bancos y otras entidades. En estos videos podremos conocer algunos simuladores y cómo utilizarlos.

Como ya se mencionó, el aula virtual ha sido pensada de manera complementaria al material digital. La información y contenido dentro de ella está estructurado a partir de diferentes espacios. Los invitamos a ingresar y a recorrerla a fin de que puedan familiarizarse con el entorno y consultar a los profesores las dudas que se presenten.

Sobre el margen izquierdo podrán encontrar las siguientes secciones:

Acerca de la materia

Desde allí podrán acceder a:

Una introducción en video, que contextualiza la asignatura. El programa, que detalla los contenidos a desarrollar. Una descripción de equipo docente.

El cronograma, es decir, las fechas y tiempos de trabajo. nos indica la bibliografía obligatoria establecida en el programa de la asignatura.

(13)

Matemática Financiera –Introducción 4

Espacio de comunicación

Esta sección está destinada a la interacción entre profesores y estudiantes:

En el foro Novedades se publicarán distintos anuncios que acompañan el desarrollo de la materia, referidos a la organización general, como fechas relevantes, inicio y cierre de unidades, de actividades, etc.

Fuera de clase es un sitio distendido, destinado a la socialización y el intercambio, vinculado a diversas temáticas de interés común.

La sección Participantes se utilizará para el envío de mensajería personal a quienes participan en el curso, sean profesores o estudiantes.

Biblioteca

Como ya se mencionó, esta sección presenta recursos y materiales complementarios.

En la sección central del aula encontrarán los contenidos de las unidades de estudio, distribuidas en diferentes pestañas que configuran un menú de navegación. Cada pestaña corresponde a una unidad y se irán habilitando a medida que lo indique el cronograma. Allí podrán acceder, cuando el material digital indique o cuando ustedes consideren necesario, a la presentación del bloque y/o unidad correspondiente, al material de estudio en formato digital, a los recursos integrados en la categoría explicando cómo se hace y al espacio destinado a las consultas, debates, etc. denominado diálogos sobre los contenidos que ya se han mencionado previamente.

Por último, consideramos importante destacar que la modalidad a distancia implica una manera particular de llevar adelante el cursado. Si bien otorga flexibilidad en el estudio, requiere una mayor autonomía de trabajo por parte de los estudiantes. Es por ello que les recomendamos que establezcan su propio ritmo de trabajo y organización pero siempre respetando los tiempos, fechas y modalidad pautados por la propuesta.

(14)

U

1

UNIDAD 1

(15)

Matemática Financiera –Unidad 1

7

Introducción a la Matemática Financiera. Operaciones Financieras. Teoría del interés. Teoría del interés en el campo discreto. Tasa de interés. Valor del capital al final de la operación financiera o Monto en el campo discreto. Operaciones financieras fundamentales: Capitalización y Actualización.

 Comprender el postulado fundamental de la Matemática Financiera  Reconocer las operaciones financieras

 Identificar y obtener la tasa de interés en una operación financiera

 Valorar el concepto financiero del valor del capital en el tiempo y la importancia de la unidad de tiempo de la operación

En esta unidad nos introduciremos en nuestra asignatura lo que implicará dar nuestros primeros pasos en el campo financiero, definiendo el postulado fundamental y los elementos que intervienen en las operaciones financieras. Analizaremos detenidamente conceptos como: tasa de interés, plazo, unidad de tiempo, capitales, que estarán presentes a lo largo de toda la asignatura. Asimismo, diferenciaremos cuándo una operación es a interés simple o a interés compuesto y cuándo es de capitalización o de actualización.

Los invitamos a consultar la

Introducción al Bloque 1, donde los profesores explican la relación entre contenidos temáticos de las unidades 1 a 3 y la presentación de la Unidad 1

donde se proporcionan algunas recomendaciones para el estudio de ésta unidad.

- Material Teórico - Práctico - Videos Tutoriales de ejercicios - Videos Tutoriales sobre planilla de cálculo

(16)

(17)

9

Cuando pensamos en matemática financiera, se nos aparecen, seguramente, distintas imágenes, por un lado, como toda matemática, fórmulas, operaciones, calculadoras y por otro lado, informaciones periodísticas, publicidades, conversaciones familiares acerca de préstamos,

créditos, comprar en cuotas, tasa de interés, plazo fijo…

La matemática financiera, como toda matemática aplicada requiere de definir conceptos, analizar desarrollos, obtener fórmulas, realizar cálculos, interpretar resultados, y por otra parte está vinculada a operaciones que cotidianamente realizan las personas, las familias y las empresas.

La Matemática Financiera es una de las ramas de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo combinando capitales, tasas y tiempo, solucionando problemas de naturaleza financiera y ayudando en la toma de decisiones de inversión y financiación, siendo las operaciones financieras su objeto de estudio analítico y sistemático.

Definimos una operación financiera como:

todo intercambio no simultáneo de capitales a título oneroso

A partir de esta definición podemos indicar las condiciones que deben estar presentes para que una operación sea considerada financiera:

- Dos o más partes que interactúan, con posiciones opuestas. Por ejemplo, en un préstamo, el deudor y el acreedor, en un depósito, el depositante y el depositario(entidad financiera).

- A título oneroso, es decir, siempre hay un precio.

- Capitales, pueden tratarse de bienes o valores, expresados en sumas de dinero, y en diferentes monedas.

- No simultáneo, en el intercambio de capitales es necesario el transcurso del tiempo, produciéndose el reemplazo de un capital por otro en un momento distinto del tiempo. Por ejemplo, la venta de un ticket aéreo de contado no constituye una operación financiera. Pero si el precio se paga luego de transcurrido cierto plazo y pagando un interés como importe adicionado por el período adicional, la operación adquiere el carácter de operación financiera.

Es posible clasificar las operaciones financieras de diferentes maneras, dependiendo del criterio que se adopte, según: el sentido en que se aplica la ley financiera, el número de capitales y la duración:

- Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:

De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro. Por ejemplo: una operación de depósito a plazo fijo.

De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente. Por ejemplo: una operación de descuento de cheques diferidos.

- Según el número de capitales de que consta:

Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación. Por ejemplo: un préstamo a devolver en un solo pago.

(18)

10

- Según si la duración está establecida o no:

Ciertas: se conoce la fecha de inicio y finalización de la operación. Ejemplo: un bono emitido por el estado nacional.

Contingentes: el inicio y/o la finalización están condicionados a un evento aleatorio. Ejemplo: una renta vitalicia correspondiente a un seguro en caso de vida.

Evolución de las operaciones financieras

Las operaciones financieras han estado vinculadas a la actividad productiva y comercial desde la antigüedad. Los grupos humanos tuvieron la necesidad de intercambiar aquello que tenían en exceso, por determinados productos de los cuales carecían, es así que surge el comercio, a través del trueque directo de bienes y servicios.

El aumento en la variedad de productos generó la necesidad de un bien que facilitara el intercambio, surgiendo así el dinero. Este ha formado parte de la actividad comercial utilizándose como medio de pago en primer lugar, y de acumulación y ahorro posteriormente. A lo largo de los siglos su utilización y aplicación se ha vuelto más sofisticada. En general, se ha identificado como unidades superavitarias a las personas y familias y como unidades deficitarias al estado y a las empresas, pero pueden en distintos momentos asumir uno u otro rol.

Como mencionamos, al ser el dinero un medio de acumulación y ahorro, y a su vez un bien escaso, se generó un mercado del dinero en donde interactúan unidades llamadas económicas que tienen excedentes de dinero y unidades que necesitan este recurso llamadas unidades deficitarias. En general, se ha identificado como unidades superavitarias a las personas y familias y como unidades deficitarias al estado y a las empresas, pero pueden en distintos momentos asumir uno u otro rol.

Este intercambio, en donde el dinero asume el rol de objeto principal, da origen a las operaciones financieras. Pero dicho intercambio no es sencillo ya que todos los interesados en las operaciones deben conciliar plazos, montos y precios. La necesidad de dar respuesta a los oferentes y demandantes de dinero, dieron lugar al surgimiento de intermediarios, que hoy podemos identificar como las entidades financieras (sistema financiero) y mercados y bolsas de valores (mercado de capitales).

En el sistema financiero tienen lugar operaciones que permiten captar los excedentes a través de depósitos (operaciones pasivas) en distintas modalidades como cuentas corrientes, cajas de ahorro y plazo fijo y los ponen a disposición de las unidades deficitarias, a través de préstamos (operaciones activas). En el mercado de capitales nos encontraremos con títulos valores que posibilitan realizar operaciones de inversión y financiación.

Debemos considerar que las operaciones financieras se desarrollan bajo un principio básico, que podemos denominar Postulado Fundamental y que indica que:

(19)

11

Ejemplo 1.1:

Si una persona cuenta hoy con $10.000, no es válido financieramente que luego de transcurrido un cierto tiempo (supongamos un año) tenga $10.000. Ese capital necesariamente ha crecido ya que pudo ser aplicado a una operación financiera que permite que ese capital se incremente. Y al final del plazo contará con $10.100, $11.000, $12.000 u otro valor mayor que $10.000.

Como puede notarse, hemos mencionado distintos componentes de una operación financiera: capital, interés, plazo y unidad de tiempo, tasa de interés, que definimos a continuación.

1. Capital

Este término ya ha sido abordado en diferentes asignaturas de la carrera pero en el marco de la Matemática Financiera adquiere una connotación especial. El capital es la denominación que le damos a la suma de dinero que, colocada en una operación financiera variará en función del tiempo. Vamos a simbolizar este valor con

f t

 

. Como el capital es una función que depende del tiempo, utilizamos

f

, letra que representa una función, y entre paréntesis el valor que asume el tiempo. Como analizaremos más adelante, el crecimiento del capital es continuo, pero a los fines de su aplicación en operaciones financieras la medición del capital se realiza en períodos discretos.

En el Gráfico 1 podemos observar en el sistema de ejes cartesianos donde encontramos en el eje de las abcisas el tiempo (variable independiente), y en el eje de las ordenadas el capital colocado en la operación financiera, siendo

f

 

0

el capital en el momento

0

_y

f t

 

el valor que asume el capital en el momento

t

.

Gráfico 1

(20)

12

El capital inicial es la suma de dinero colocada al inicio de la operación financiera (momento 0). En el Ejemplo 1.1, los $10.000.

Vamos a simbolizar este valor con

f

 

0

ya que el capital es una función que depende del tiempo, y en esta caso está al inicio -momento 0- de la operación. El capital inicial debe ser siempre mayor a cero:

 

0 

0 f

El capital al final, esla suma de dinero obtenida al final de la operación financiera. En el Ejemplo 1.1 son: $10.100, $11.000, $12.000.

Simbolizaremos con

f

 

n

al capital final. El

n

representa un momento futuro cualquiera, posterior al momento 0 y en el cual concluye la operación financiera. En el ejemplo 1.1 este capital está ubicado un año después del

f

 

0

.

El capital final debe ser siempre mayor al capital inicial:

 

n

f

 

0 f



2. Interés

Denominamos Interés al crecimiento operado por el capital a lo largo del tiempo y que puede obtenerse de la diferencia entre el capital final y el capital inicial. Lo representamos con la letra

I

. En el Ejemplo 1.1:

10.100 10.000 100

I







11.000 10.000 1.000

I







12.000 10.000 2.000

I







En general:

   

n

f

0 f

I





3. Plazo y Unidad de Tiempo

Como puede notarse, un elemento fundamental presente en una operación financiera es el tiempo ya que es necesario que este transcurra para que un capital crezca, por lo que a mayor tiempo, mayor es el crecimiento. En este sentido, podemos afirmar que la variación del capital se da en función del tiempo y esta relación es de tipo creciente.

Este crecimiento es continuo pero en las operaciones financieras corrientes, la medición se realiza de manera discreta, fijando intervalos de tiempo al final del cual se mide el capital. Por ejemplo, 30 días, 60 días, un año, etc.

Al trabajar con operaciones financieras, debemos ser capaces de diferenciar:

- La unidad de tiempo, que es el lapso de tiempo al final del cual se mide el capital y se determina el interés obtenido en una operación financiera. En el Ejemplo 1.1, los intereses están medidos al final del año, por lo tanto es el año la unidad de tiempo.

(21)

13

Aunque en el ejemplo mencionado puede parecer que unidad de tiempo y plazo son conceptos idénticos, no es así. Muchas veces se presentan operaciones financieras en donde los intereses se miden en períodos intermedios. Por ejemplo, si la operación tiene una duración (plazo) de un año y los intereses se calculan al final de cada mes (unidad de tiempo). Como podemos notar en este caso, el plazo (año) es distinto a la unidad de tiempo (mes).

Ambos elementos se relacionan a través de

n

, siendo este el número de unidades de tiempo contenidas en el plazo de la operación.

Mencionamos anteriormente que el plazo y la unidad de tiempo de una operación pueden coincidir (en ese caso

n



1

). Por ejemplo, si el plazo es un año y los intereses se miden al final del año, el plazo es el año y la unidad de tiempo también. Por lo tanto

n



1

.

Pero podemos encontrarnos con una operación en donde el plazo es un año y los intereses se calculan al final de cada mes, por lo tanto, la unidad del tiempo es un mes. Como en un año tenemos 12 meses,

n



12

, en este caso

n



1

.

Podemos obtener el valor de

n

con el siguiente cálculo:

Tiempo

de

Unidad

Plazo

n



4. Tasa de interés

La tasa de interés indica:

el interés obtenido por cada unidad de capital inicial y por cada unidad de tiempo.

Este es un elemento muy importante en las operaciones financieras y, como lo indica su definición, representa el interés que se gana por cada unidad de capital aplicado a la operación financiera.

Si analizamos el Ejemplo 1.1, se depositaron $10.000 y uno de los capitales finales es de $11.000, el Interés

 

I

, es de $1.000. Es decir, que por los $10.000 se ganaron $1.000. ¿Cuánto se obtuvo por cada $1 depositado?

Interés

de

Tasa

Inicio

al

Capital

tiempo

de

unidad

la

de

Interés

_

Si lo aplicamos a nuestro ejemplo resulta:

1.000 0,10

10.000 

anual

Es decir, por cada peso, se ganan 10 centavos o $0,10, y la expresión anual indica que el tiempo

necesario para alcanzar esa ganancia es un año.

Al enunciar una tasa de interés, observaremos que se compone de dos partes un número y un período:

(22)

14

 El período de tiempo, nos indica el lapso de tiempo que es necesario que transcurra para obtener ese interés. Este período de tiempo nos indica la unidad de tiempo de la tasa de interés.

Simbolizaremos la tasa de interés con

i

.

Podemos representar gráficamente la tasa de interés de la siguiente manera:

Gráfico 2

En el Gráfico 2, partimos de $1 de capital inicial y al cabo de una unidad de tiempo alcanzamos el capital final

 

1 

i

siendo

i

el interés obtenido.

Es común encontrarnos con tasas de interés expresadas como porcentaje. Por ejemplo, una tasa de interés de 0,10 anual equivale en porcentaje al 10% anual de interés. Son dos formas alternativas de hacer referencia al mismo valor y es equivalente indicar que por $1 se obtiene 10 centavos ($0,10) que por cada $100 se obtienen $10.

Está muy difundido expresar la tasa de interés es el 10% . Formalmente es incorrecto, porque debe indicarse la tasa de interés es 0,10 anual o el porcentaje de interés es el 10% anual , pero debemos estar atentos a que en el lenguaje corriente suele no

respetarse la manera correcta de expresarse.

Tal como indicamos anteriormente, la tasa de interés se obtiene:

Interés de la unidad de tiempo

Tasa de Interés

Capital al Inicio



En símbolos:

 

0 I

i

f

(23)

15

Si sabemos que

I



f

 

1 

f

 

0

, reemplazamos:

 

1

0

0 f

f

i

f





O también:

 

1

0

1 f

i

f





En ambos casos, el capital final es aquel que se obtiene al final de una unidad de tiempo, debido a que la tasa de interés se calcula en base a la unidad de tiempo de la operación.

Cuando se trata de una operación de colocación de fondos, la tasa de interés nos reflejará el rendimiento financiero de la operación.

Cuando se trata de una operación de toma de fondos, la tasa de interés reflejará el costo financiero de la operación.

Se indicó anteriormente que el interés de una operación financiera se obtiene de la diferencia entre el capital final y el capital inicial. Pero puede suceder que conozcamos sólo el capital inicial y la tasa de interés. En este caso, el interés para la primera unidad de tiempo, se calcula como:

 

i

f

I



0 .

Es decir, el producto entre el capital al inicio de la unidad de tiempo multiplicado por la tasa de interés para esa unidad de tiempo.

Si aplicamos esta expresión al Ejemplo 1.1, tendremos:

10.000 . 0,10 1.000



En las operaciones financieras, una vez calculados los intereses al final de la unidad de tiempo, pueden presentarse las siguientes situaciones:

 Que los intereses se paguen o se cobren, o se retiren. Es una operación a interés simple.

 Que los intereses se sumen al capital inicial, para originar nuevos intereses. Es una operación a interés compuesto.

A continuación nos detendremos en la explicación de dichas operaciones.

Como indicamos anteriormente, las operaciones financieras a interés simple son aquellas en las que los intereses obtenidos al final de cada unidad de tiempo se retiran, se cobran o pagan. En estas operaciones podemos identificar los siguientes elementos:

 

0 f

= capital colocado a una operación a interés simple

i

= tasa de interés para la unidad de tiempo

Antes de seguir avanzando mencionaremos los elementos desarrollados y, cuando corresponda, la simbología a utilizar:

Unidad de Tiempo Plazo

n

= número de unidades de tiempo contenidas en el plazo de la operación

 

0 f

= capital al inicio o capital inicial

 

n

f

= capital al final o capital final

(24)

16

n

= número de unidades de tiempo de la operación

Al inicio de la operación tendremos:

 

0 f

Al final de la primera unidad de tiempo se calculan los intereses:

 

i

f

I

₁



0 .

y se obtiene el capital final:

 

f

 

I

f

   

f

i

f

1 

0 

₁



0 

0 .

los intereses son retirados y volvemos a tener el capital inicial

f

 

0

.

Al final de la segunda unidad de tiempo se calculan los intereses:

 

i

f

I

₂



0 .

 

f

 

I

f

   

f

i

f

2 

0 

₂



0 

0 .

los intereses son retirados y volvemos a tener el capital inicial

f

 

0

.

De la misma manera operamos para las unidades de tiempo siguientes, hasta la última, la enésima, en donde:

 

i

f

I

_n



0 .

 

n

f

 

I

f

   

f

i

f



0 

_n



0 

0 .

los intereses son retirados junto con el capital

f

 

0

.

Podemos indicar entonces que los intereses obtenidos en cada una de las unidades de tiempo de la operación son iguales:

n

I

₁



₂



...



Analicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.2

Considerando los datos indicados a continuación:

 

0 f

= $10.000

i

= 0,06 mensual

Plazo = 3 meses

Unidad de tiempo = mes

3

1 meses

n

mes

(25)

17

Resolvemos:

Al final de la primera unidad de tiempo (mes, en este caso) se calculan los intereses:

1

10.000 . 0,06

600 I



 

1 10.000 600 10.000 10.000 . 0, 06 10.600

f











y se retiran $600 de interés.

Como los intereses son retirados, volvemos a tener el capital inicial

f

 

0

= $10.000.

Al final de la segunda unidad de tiempo (2° mes), se calculan los intereses:

2

10.000 . 0,06

600 I



 

2 10.000 600 10.000 10.000 . 0, 06 10.600

f











Se retiran $600 de interés y volvemos a tener el capital inicial

f

 

0

= $10.000.

Al final del 3° mes:

3

10.000 . 0, 06

600 I



 

3 10.000 600 10.000 10.000 . 0, 06 10.600

f











Se retiran los $10.600 ya que concluye la operación.

Verificamos que:

1 2 3

600 I



I

 

I

Podemos observar esta operación, a través de un gráfico de ejes cartesianos:

En el Gráfico 3, se muestra el interés obtenido en cada una de las tres unidades de tiempo de la operación.

(26)

18

Gráfico 4

En el momento 0, se encuentra

f

 

0

al final de la 1° unidad de tiempo,

f

 

0 

I

, que es retirado, y al inicio de la 2° unidad de tiempo, el capital vuelve a ser

f

 

0

, y así sucesivamente hasta la última unidad de tiempo.

Al representar el crecimiento del capital por una línea curva de tipo creciente, reflejamos que el crecimiento es continuo aunque se mida al final de cada unidad de tiempo.

Podemos asociar el incremento del capital, al crecimiento que podemos observar en una planta, o recordar, cuando éramos niños y medían nuestro crecimiento. Supongamos que nos midieron un día determinado y lo hacen nuevamente seis meses después, constatando que crecimos cuatro centímetros. No significa que el aumento se produce en el momento de la medición, sino que el crecimiento es continuo y se mide cada cierto período de tiempo. De igual manera ocurre con el capital en el campo financiero: crece de manera continua, midiéndose ese crecimiento cada cierto tiempo.

También es posible representar la evolución de un capital colocado en una operación de interés simple en el campo discreto. En el Gráfico 5 se observa al final de cada unidad de tiempo, la medición del capital y de los intereses, que serán retirados:

(27)

19

Es frecuente la aplicación de la siguiente fórmula para obtener el capital final de una operación a interés simple:

 

0  

0 .

.

 

0 1

.



f n



f



f

i

n



f



i n

Lo que hacemos a través de esta fórmula es calcular el interés para cada unidad de tiempo

 



f

0 .

i



y luego multiplicarlo por la cantidad de unidades de tiempo de la operación (

n

).

Si bien esto puede tener validez matemática no es válido financieramente.

¿Por qué? Porque estaríamos sumando valores que están ubicados en distintos momentos del tiempo. Si los intereses son retirados ya no forman parte de esta operación. Son importes de libre disponibilidad para quien los ha obtenido y los puede utilizar para otra operación, financiera o no.

Es decir, volviendo a nuestro ejemplo, si aplicamos esta fórmula obtendríamos:

 

10.000 1 0, 06 . 3





11.800 f n







No es lo mismo recibir $11.800 a los 3 meses que ir recibiendo $600 a final del primer mes, $600 al final del segundo mes y $10.600 al final del tercero. Los $600 que se obtuvieron al final del primer mes podrán ser utilizados por el depositante (consumirlos o invertirlos nuevamente) y no tener que esperar otros 2 meses para recibirlos con el capital depositado.

Teniendo en cuenta el principio fundamental del campo financiero, no es lo mismo recibir $600 al final del primer mes que recibir esos mismos $600 a los 3 meses.

A pesar de esto, el uso de esta fórmula está muy difundido en las operaciones comerciales.

Es común el uso de la siguiente expresión para calcular intereses bajo el modelo de interés simple:

. .

100.365 C R T

I



Operando:

.

100 365

R

T

I



C

Obtenemos una expresión idéntica a la que ya habíamos trabajado:

 

i

n

f

I



0 .

.

Ya que:

y

365 T

n



A fin de aplicar lo aprendido acerca de las operaciones a interés simple, los invitamos a realizar el siguiente ejercicio:

100 R

i



Donde:

C

= capital prestado o

precio de contado.

R

= razón, porcentaje de

interés generalmente anual.

T

= plazo de la operación,

(28)

20

EJERCICIO 1

Un particular coloca $12.000, por 180 días, en el Banco Alemán en un depósito a Plazo Fijo Renta. La tasa de interés es 0,01 para 30 días.

El inversor retirará cada 30 días los intereses devengados, y el capital, junto a los intereses de la última unidad de tiempo, a los 180 días.

Indicar:

a) Los intereses a retirar cada 30 días. b) El capital final a retirar a los 180 días.

Rta: a) $120 b) $12.120

En estas operaciones el interés obtenido al final de cada unidad de tiempo no se retira sino que

se agrega al capital al inicio de cada una de ellas, es decir, se capitalizan y, por lo tanto,

generarán nuevos intereses.

Si dados:

 

0 f

= capital colocado a una operación a interés compuesto

i

= tasa de interés para la unidad de tiempo

n

= número de unidades de tiempo de la operación

Al inicio de la operación tendremos

f

 

0

.

Al final de la primera unidad de tiempo se calculan los intereses

 

i

f

I

₁



0 .

 

f

 

I

f

   

f

i

f

1 

0 

₁



0 

0 .

En esta última expresión extraemos factor común

f

 

0

:

 

1  

0  

0 .

 

0 1



f



f



f

i



f



i

(1)

Los intereses no son retirados y al inicio de la segunda unidad de tiempo tenemos como capital inicial

f

 

1

.

Al final de la segunda unidad de tiempo se calculan los intereses:

 

i

f

I

₂



1 .

 

f

 

I

f

   

f

i

f

2 

1 

₂



1 

1 .

En esta última expresión extraemos factor común

f

 

1

:

 

2  

1  

1 .

  

1 1

(29)

21

Remplazamos a

f

 

1

por la expresión que obtuvimos en (1):

 

 





 



2

2 0 1

1 0 1

f



f



i

 

i

f



i

(2)

Los intereses no son retirados y al inicio de la tercera unidad de tiempo tenemos como capital inicial

f

 

2

.

Al final de la tercera unidad de tiempo se calculan los intereses:

 

i

f

I

₃



2 .

 

f

 

I

f

   

f

i

f

3 

2 

₃



2 

2 .

En la última expresión extraemos factor común

f

 

2

:

 

3  

2  

2 .

  

2 1

f



f



f

i



f



i

Remplazamos a

f

 

2

por la expresión que obtuvimos en (2):

 

 

 

2



 



3

3 0 1

1 0 1

f



f



i

 

i

f



i

Los intereses no son retirados y al inicio de la cuarta unidad de tiempo tenemos como capital inicial

f

 

3

.

De la misma manera para las unidades de tiempo siguientes hasta la última, la enésima, en donde:



n



i

f

I

n





1 .

 

n

f



n



I

f



n

 

f

n



i

f





1 

_n





1 



1 .

En la última expresión extraemos factor común

f



n



1 

:

 



1 1

 

f n



f n





i

Remplazamos a

f



n



1 

:

 

 

 

1



0 1

n

1 f n



f



i





i

 

 

0 1



n

f n



f



i

(30)

22

Tomando los mismos datos que utilizamos en el Ejemplo 1.2 para operaciones a interés simple realizamos la operación a interés compuesto:

 

0

10.000 f



i

= 0,06 mensual

Plazo = 3 meses

Al final del primer mes:

1

10.000 . 0,06

600 I



y el capital final:

 

1 10.000 600 10.000 10.000 . 0, 06 10.600

f











 

1 10.000 1 0, 06





10.600 f







Al final de la segunda unidad de tiempo se calculan los intereses

2

10.600 . 0,06

636 I



 

2 10.600 636 10.600 10.600 . 0, 06 11.236

f











 





2

2 10.000 1 0, 06

11.236 f







Al final de la tercera unidad de tiempo se calculan los intereses

3

11.236 . 0, 06

674,16

I



y se obtiene el capital final

 

3 11.236 674,16 11.236 11.236.0, 06 11.910,16

f











 





3

3 10.000 1 0, 06

11.910,16

f







En donde

600 

636 

674,16

La expresión

f n

 



f

 

0 1



i



n llamada fórmula de monto (o capital final) a interés compuesto, o directamente fórmula de monto, es la que nos permite obtener el capital final de una operación financiera a interés compuesto

(31)

23

En el Gráfico 6 observamos cómo el interés obtenido en cada unidad de tiempo es creciente, debido a que se le adiciona el interés al capital que le dio origen, es decir, se capitaliza .

Al representar el crecimiento del capital de manera continua, se genera la gráfica de una función exponencial, que crece a medida que el valor de

t

aumenta.

De manera general, es posible representar el valor de un capital colocado en una operación a interés compuesto como puede observarseen el Gráfico 7, donde se refleja la variación continua de un capital

f

 

0

en una operación a interés compuesto:

Gráfico 7

También puede representarse en el campo discreto como puede observarse en el Gráfico 8, que representa el capital obtenido al final de cada una de las unidades de tiempo que componen la operación.

(32)

24

Finalmente, en el siguiente cuadro se compara cómo evoluciona el capital al final de cada unidad de tiempo, teniendo en cuenta si la operación se realiza a Interés Simple o Interés Compuesto, considerando el Ejemplo 1.2:

n Interés Simple Interés Compuesto

 

0 f

= 10.000

f

 

0

= 10.000

1

f

 

₁

= 10.600

f

 

1

= 10.600

2

_f

 

₂

= 10.600

f

 

2

= 11.236

3

_f

 

₃

_{= 10.600}

_f

 

₃

_{= 11.910,16}

Observamos que cuando

n



1

, los capitales finales coinciden. Pero para

n



1

, al capitalizarse los intereses (Interés Compuesto) el capital final es diferente.

Si en este caso aplicamos la fórmula de monto a interés simple (de la cual indicamos que no tiene validez financiera a pesar de su uso extendido) obtenemos:

 

 

0 1

.



f n



f



i

n

 

10.000 1 0, 06 . 3





11.800 f n







Su valor es inferior al monto a interés compuesto. Si los intereses no son cobrados y pagados, deben ser agregados al concluir cada unidad de tiempo, transformándose en una operación a interés compuesto.

Obtuvimos anteriormente, al analizar las operaciones financieras a interés compuesto, la fórmula de cálculo del monto o capital final:

 

 

0 1



n

f n



f



i

Notamos que intervienen cuatro elementos:

f

 

n

,

f

 

0

,

i

y

n

Conociendo 3 de ellos podemos calcular el que nos falta.

Con los datos del Ejemplo 1.2, determinamos que:

 





3

3 10.000 1 0, 06

11.910,16

f







Si queremos determinar el valor de

f

 

0  

 





 



0

1

n

f n

f

f n

i







(33)

Matemática Financiera –Unidad 1 25 Si remplazamos:

 









3 3

11.910,16

0 11.910,16 1 0, 06

10.000 1 0, 06

f











Si queremos calcular el valor de

i

, despejando convenientemente, determinamos que:

 

0

1

















n

f

n

f

i

Dando valores a los elementos conocidos: 1

3

11.910,16

1 0, 06

10.000 i





_



_

 

mensual





Finalmente para determinar el valor de

n

:

 

i

f

n

f

n







1 log

0 log

log

Remplazando:





log11.910,16 log10.000

4, 0759 4

3 log 1 0, 06

0, 0253

n













El cálculo de los elementos que componen la fórmula de Monto a Interés Compuesto puede ser realizado a través de una calculadora financiera o planilla de cálculo.

Les proponemos ahora, resolver los siguientes ejercicios a fin de aplicar lo aprendido hasta aquí:

EJERCICIO 2

Se depositan en una institución financiera $8.000, con capitalización mensual durante 4 meses, a una tasa de interés del 0,0135 mensual. Calcular el valor final de dicho depósito.

Rta.:$8.440,83

EJERCICIO 3

Si retiramos $1.830, luego de que han transcurrido 90 días desde el momento que se depositó un capital en una entidad financiera a una tasa de interés de 0,0098 para 30 días, ¿cuál fue el capital depositado?

Rta.: $1.777,24

Aquí encontrarán desarrolladas las resoluciones de estos ejercicios utilizando las funciones financieras de la

(34)

26

EJERCICIO 4

¿Cuál fue la tasa de interés para 30 días aplicada en una operación donde se depositaron $3.650, se retiraron $3.886,07 y el plazo fue de 180 días?

Rta.: 0,0105 para 30 días

EJERCICIO 5

La empresa SOLTIX SA solicita al Banco Trex SA, con el que opera habitualmente, un préstamo de $15.000. El mismo se abonará en un único pago de $17.956,35 y la tasa aplicada a la operación es 0,046 bimestral. ¿Cuántos meses transcurren entre el otorgamiento del préstamo y su devolución?

Rta.: 8 meses

Se denomina capitalización a la operación financiera que permite obtener el valor futuro de un capital ubicado en un momento determinado del tiempo.

A través de la fórmula de monto,

f n

 



f

 

0 1



i



n, se puede trasladar cualquier capital ubicado en un momento 0, hasta el momento

n

.

De manera general se puede expresar que:

 

 

0 1



t

f t



f



i

que permite trasladar un capital inicial a un momento

t

.

Al multiplicar un capital por



1 

i



t, es posible obtener su valor en el momento

t

. Por esto,



1 

i



t es llamado factor de capitalización.

También se simbolizará este factor de capitalización con t

u

, por lo tanto:



1 

t

u

 

i

Definimos

u

tcomo: el valor final de una unidad de moneda, en

t

unidades de tiempo . Y se expresa en

t

unidades de tiempo porque es el valor al que está elevado. Si se tratara de:





1

1 u

 

i

es el valor final de $1 en una unidad de tiempo .





5 5

₁

u

 

i

es el valor final de $1 en cinco unidades de tiempo .

Podemos graficar

u

de la siguiente manera: Aquí encontrarán

desarrolladas las resoluciones de estos ejercicios utilizando las funciones financieras de la

(35)

27

Ejercicio a resolver

Gráfico 9

En el Gráfico 9, además de observar el factor de capitalización para una unidad de tiempo, ha quedado también representada la tasa de interés

i

_,que es el interés de una unidad de capital inicial en una unidad de tiempo.

En el Ejemplo 1.2 el factor de capitalización es:





3

1 0, 06





1,191016

Al multiplicar este factor por

f

 

0 

$10.000

, se obtiene los

$11.910,16

de capital final.

A continuación, les proponemos resolver el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 6

Un particular deposita inicialmente a Plazo Fijo $15.000. La siguiente línea de tiempo refleja las sucesivas operaciones realizadas por el depositante: Ud debe completar, indicando los cálculos realizados.

(36)

28

Se denomina actualización _{a la operación financiera que consiste en obtener el valor actual de un}

capital futuro.

A partir de la fórmula de monto:

 

 

0

1 

n

f n



f



i

Se determinó previamente el valor de

_f

 

0

_:

 





 



0

1

n

f n

f

f n

i







De manera general se puede expresar que:

 





 



0

1

t

f t

f

f t

i







Se denomina a



1 

_i



t factor de actualización_{, que multiplicado por un capital ubicado en un}

momento determinado del tiempo, permite obtener su valor actual.

También se simbolizará este factor de actualización con

v

t_:









1

t t

t

v

i



 





Por lo tanto:



1 

t

v

 

i

 es el valor actual de $1 en

t

unidades de tiempo.

Si el factor es:





1

1 v

 

i

 , es el valor actual de $1 en 1 unidad de tiempo.





5

1 v

 

i

 , es el valor actual de $1 en 5 unidades de tiempo.

(37)

29

Ejercicio a resolver

Gráfico 10

En el Gráfico anteriorobservamos $1 al final de una unidad de tiempo y su valor actual a la tasa de interés

i

, simbolizado con

v

.

En el Ejemplo 1.2, el factor de actualización es:





3

1 0, 06







0,839619

Al multiplicar este factor por

f n

 



$11.910,16

, se obtienen los

$10.000

depositados. Les proponemos resolver el siguiente ejercicio:

EJERCICIO 7

Un productor agropecuario compra una máquina, y la abona de la siguiente forma: una entrega inicial de $18.000 y una cuota de $35.600, a los 60 días. Determinar el precio de contado si la tasa de interés que incluyó el vendedor en la cuota es 0,012 p/30 días.

Rta: $ 52.760,74

Un aspecto a considerar en las operaciones que estamos analizando es la interpretación de la variable tiempo. En general, en las operaciones comerciales se trabaja con un año que equivale a 360 días, un mes a 30 días, un bimestre a 60 días, etc.

En cambio, en las operaciones que se realizan en el sistema financiero y mercado de capitales está más extendido el uso de la cantidad exacta de días del año, es decir, 1 año equivale a 365 días. Por lo tanto, es importante tener en cuenta desde dónde se parte para definir la cantidad de días que tiene: