Academia Sabatina de Jóvenes Talento 2018
I.DATOS GENERALES:
Módulo: Razonamiento geométrico III Nivel: III
Fecha: 13/06/2018
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia se define como la figura geométrica cuyo conjunto de puntos del plano que la componen, están a una misma distancia de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia. Hay que diferenciarlo del círculo, que es el conjunto de todos los puntos del plano que están a menor distancia de un punto fijo. (centro)
A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.
Recta secante (1) que intercepta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente (2) intercepta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia.
Recta exterior (3) no tiene ningún punto de contacto con la circunferencia.
Elementos de la circunferencia:
Radio (AB): segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia.
Cuerda (CD): segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Diámetro (GH): segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes
Arco (LM): parte de la circunferencia, limitada por dos puntos de ella.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS CIRCUNFERENCIAS
1. Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
;
rOB OBAC
2. Si de un punto P exterior a una circunferencia se dibujan dos segmentos tangentes AP y BP .
Se tiene que APBP.
3. Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral a esta y bisectriz del ángulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda.
AE BE
AOE BOE
AOC BOC
3. En toda circunferencia, a los ángulos del centro congruentes, le corresponden cuerdas y arcos congruentes.
Recíprocamente ocurre que: En toda circunferencia, a arcos congruentes les corresponden cuerdas y ángulos del centro congruentes. En toda circunferencia, a cuerdas congruentes le corresponden arcos y ángulos del centro congruentes.
4. En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del Centro.
ABCD entonces
OEOF
Recíprocamente, también es válido decir que las cuerdas equidistantes del centro de una circunferencia son congruentes.
5. Los arcos comprendidos entre rectas o cuerdas paralelas, son congruentes.
Si AB CD// entonces
AC BD
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo del centro (ángulo ABC): Su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia y sus lados son radios o rayos.
Ángulo Inscrito (<DEF) Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas del círculo.
Todo ángulo del centro determina un arco, como vemos en la figura siguiente, entonces decimos que el ángulo AOB subtiende el arco AB.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Propiedad del ángulo inscrito
La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que subtiende.
Consecuencias de la propiedad del ángulo inscrito
1. Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, son congruentes.
2. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Ángulo semi-inscrito
Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es un segmento o rayo tangente y el otro lado es una cuerda o rayo secante
Propiedad La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre los lados del ángulo.
2 BAC BA
Angulo interior Corresponde al ángulo que tiene su vértice en el interior de la circunferencia y sus lados se encuentran contenidos en las cuerdas que se intersectan en dicho vértice.
Propiedad: La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y sus prolongaciones.
2 AC DE
ABC
Angulo exterior
Es el ángulo que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados son trazos secantes.
Propiedad:
La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
2 AE BD ACE
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia Corresponde a un cuadrilátero que tiene sus vértices en la circunferencia.
Propiedad En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. El teorema del recíproco también es válido.
Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia cuando cada uno de sus lados es tangente a la circunferencia
Propiedad: En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las medidas de los lados opuestos es igual a la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.
Proporcionalidad en la circunferencia
1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.
PA PC = PB PD
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.
PB PA = PD PC.
3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.
PC2 = PB PA
IMPORTANTE Estimado estudiante:
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Esta semana sólo se trabajará con la parte de ángulos y las primeras propiedades de este folleto.
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