MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

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MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

ESPACIOS lp

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Definimos los espacios lp y estudiamos algunas de sus pro- piedades.

Enunciado

Designamos por K al cuerpo de los n´umeros reales o complejos indistin- tamente. Sabemos que en el espacio vectorial Kn y para todo p ∈ [1, +∞) se definen la normas

kxkp =

n

X

k=1

|xk|p

!1/p

, ∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn,

y tambi´en la norma kxk = m´ax {|x1| , . . . , |xn|} . Generalizaremos estos conceptos a KN

1. Sea KN el espacio vectorial de las sucesiones en K con las operaciones habituales. Para cada p ∈ [1, +∞) se define el subconjunto de KN:

lp := {x = (xk) ∈ KN:

+∞

X

k=1

|xk|p < +∞}.

Demostrar que lpes subespacio vectorial de KNy que kxkp = P+∞

k=1|xk|p1/p

es una norma en lp.

2. Demostrar que lp es espacio de Banach para todo p ∈ [1, +∞).

3. Demostrar que para todo p ∈ [1, +∞) la dimensi´on de lp es infinita.

4. Demostrar que para 1 ≤ p < q < +∞ se verifica lp ⊂ lq con lp 6= lq. Es decir lp se agranda de manera estricta al aumentar p.

5. Se define el subconjunto de KN: l:=

n

x = (xk) ∈ KN: sup{|xk| : k ∈ N} < +∞o

es decir, lest´a formado por las sucesiones en K acotadas. Demostrar que l

es subespacio vectorial de KNde dimensi´on infinita y que kxk= sup{|xk| : k ∈ N} es una norma en l.

6. Demostrar que lp ⊂ l con lp 6= l para todo p ∈ [1, +∞).

7. Demostrar que l es espacio de Banach.

Key words and phrases. Espacios, lp. 1

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2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Soluci´on

1. La sucesi´on nula 0 = (0) claramente pertenece a lp. Si x = (xk) e y = (yk) pertenecen a lp entonces P+∞

k=1|xk|p < +∞ y P+∞

k=1|yk|p < +∞. Usando la desigualdad de Minkowski,

n

X

k=1

|xk+ yk|p

!1/p

n

X

k=1

(|xk| + |yk|)p

!1/p

n

X

k=1

|xk|p

!1/p

+

n

X

k=1

|yk|p

!1/p

. Tomando l´ımites cuando n → +∞,

+∞

X

k=1

|xk+ yk|p

!1/p

+∞

X

k=1

|xk|p

!1/p

+

+∞

X

k=1

|yk|p

!1/p

< +∞, (1) con lo cual x + y ∈ lp. Si λ ∈ K y x ∈ lp entonces,

+∞

X

k=1

|λxk|p= |λ|p

+∞

X

k=1

|xk|p< +∞, (2)

con lo cual λx ∈ lp y lp es subespacio vectorial de KN. Es claro que kxkp = 0 si y s´olo si x = 0 y las relaciones kλxkp= |λ| kxkp y kx + ykp ≤ kxkp+ kykp se deducen inmediatamente de las relaciones (2) y (1) respectivamente. Por tanto, k kp es norma en lp.

2. Sea Xn = (xnk) una sucesi´on de Cauchy de elementos de lp. Para todo par de n´umeros naturales m, n se verifica |xnk− xmk| = (|xnk− xmk|p)1/p≤ kXn− Xmkp. Como Xn es sucesi´on de Cauchy, tambi´en lo es xnk para todo k y al ser K completo, podemos definir xk := l´ımn→+∞xnk. Veamos que la sucesi´on X = (xk) pertenece a lp y que Xn→ X con lo cual estar´a demos- trado que lp es completo. Al ser Xnde Cauchy en lp, para todo  > 0 existe n0 natural tal que para m, n ≥ n0 se verifica kXn− Xmkp< . Para todo N natural tenemos

N

X

k=1

|xnk− xmk|p≤

kXn− Xmkpp

≤ p. Tomando l´ımites cuando m → +∞

N

X

k=1

|xnk− xk|p= l´ım

m→+∞

N

X

k=1

|xnk− xmk|p ≤ p, y al ser N cualquiera,P+∞

k=1|xnk− xk|p ≤ py por tanto Xn−X ∈ lp. Ahora bien X = Xn− (Xn− X) con lo cual X ∈ lp. Por la ´ultima desigualdad kXn− Xkp <  para n ≥ n0 es decir, Xn converge a X.

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ESPACIOS lp 3

3. Consideremos para cada n natural los elementos de KN dados por en= (xk) con xk = 1 si k = n y xk = 0 si k 6= n. Es claro que el sistema {en : n ∈ N} es libre, tiene infinitos elementos y est´a contenido en lp para todo p ∈ [1, +∞), luego la dimensi´on de lp es infinita

4. Si x = (xk) ∈ lp entoncesP+∞

k=1|xk|p es convergente luego l´ımk→+∞xk= 0 con lo cual |xk|q ≤ |xk|p para k suficientemente grande. Por el teorema de comparaci´on para series de t´erminos positivos, la serieP+∞

k=1|xk|q converge, por tanto x ∈ lq.

El contenido lp ⊂ lq es estricto. En efecto, consideremos la sucesi´on y = (k−1/p). Entonces,

+∞

X

k=1

|yk|p=

+∞

X

k=1

1

k (divergente),

+∞

X

k=1

|yk|q=

+∞

X

k=1

1

kq/p (convergente), es decir y /∈ lp e y ∈ lq.

5. Es claro que la sucesi´on nula est´a acotada, que la suma de dos acotadas est´a acotada y que el producto de un escalar por una acotada est´a acotada, por tanto l es subespacio vectorial de KN. La familia {en= (xk) : n ∈ N}

con xk = 1 si k = n y xk = 0 si k 6= n es libre y est´a contenida en l, por tanto l tiene dimensi´on infinita. Veamos que k k es norma en l.

kxk= 0 ⇔ sup{|xk| : k ∈ N} = 0 ⇔ |xk| = 0 ∀k ∈ N

⇔ xk= 0 ∀k ∈ N ⇔ x = (0).

Para λ ∈ K y x = (xk) ∈ l,

kλxk= sup{|λxk| : k ∈ N} = sup{|λ||xk| : k ∈ N}

= |λ| sup{|xk| : k ∈ N} = |λ| kxk. Por ´ultimo, para x = (xk) e y = (yk) elementos de l,

kx + yk= sup{|xk+ yk| : k ∈ N} ≤ sup{|xk| + |yk| : k ∈ N}

≤ sup{|xk| : k ∈ N} + sup{|yk| : k ∈ N} = kxk+ kyk. 6. Si x = (xk) ∈ lpentonces,P+∞

k=1|xk|pes convergente y por tanto xk→ 0 lo cual implica que x = (xk) est´a acotada. Por otra parte, la sucesi´on constante x = (1) pertenece a l pero no a lp.

7. Sea Xn = (xnk) una sucesi´on de Cauchy de elementos de l. Para todo par de n´umeros naturales m, n se verifica |xnk− xmk| ≤ sup{|xnk − xmk| : k ∈ N} ≤ kXn− Xmk. Como Xn es sucesi´on de Cauchy, tambi´en lo es xnk para todo k y al ser K completo, podemos definir xk := l´ımn→+∞xnk. Veamos que la sucesi´on X = (xk) pertenece a ly que Xn→ X con lo cual estar´a demostrado que l es completo.

Si  > 0 existe n0 natural tal que |xnk− xmk| < /2 para todo k y para todo m, n ≥ n0. Haciendo m → +∞ obtenemos |xnk− xk| ≤ /2 y tomando supremos sobre k,

sup{|xnk− xk| : k ∈ N} ≤ /2

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4 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

para todo n ≥ n0, es decir kXn− Xk <  si n ≥ n0 lo cual prueba que Xn→ X. Por otra parte, es claro que X est´a acotada, luego X ∈ l.

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es

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