MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

MONOGRAF´ IAS MATEM ´ ATICAS

ESPACIOS l_p

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Definimos los espacios lp y estudiamos algunas de sus pro- piedades.

Enunciado

Designamos por K al cuerpo de los n´umeros reales o complejos indistin- tamente. Sabemos que en el espacio vectorial Kⁿ y para todo p ∈ [1, +∞) se definen la normas

kxk_p =

n

X

k=1

|x_k|^p

!1/p

, ∀x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Kⁿ,

y tambi´en la norma kxk_∞ = m´ax {|x1| , . . . , |x_n|} . Generalizaremos estos conceptos a K^N

1. Sea K^N el espacio vectorial de las sucesiones en K con las operaciones habituales. Para cada p ∈ [1, +∞) se define el subconjunto de K^N:

l_p := {x = (x_k) ∈ K^N:

+∞

X

k=1

|x_k|^p < +∞}.

Demostrar que l_pes subespacio vectorial de K^Ny que kxk_p = P+∞

k=1|x_k|^p
1/p

es una norma en l_p.

2. Demostrar que lp es espacio de Banach para todo p ∈ [1, +∞).

3. Demostrar que para todo p ∈ [1, +∞) la dimensi´on de l_p es infinita.

4. Demostrar que para 1 ≤ p < q < +∞ se verifica lp ⊂ l_q con lp 6= l_q. Es decir l_p se agranda de manera estricta al aumentar p.

5. Se define el subconjunto de K^N: l∞:=

n

x = (x_k) ∈ K^N: sup{|x_k| : k ∈ N} < +∞o

es decir, l∞est´a formado por las sucesiones en K acotadas. Demostrar que l∞

es subespacio vectorial de K^Nde dimensi´on infinita y que kxk_∞= sup{|xk| : k ∈ N} es una norma en l∞.

6. Demostrar que l_p ⊂ l_∞ con l_p 6= l_∞ para todo p ∈ [1, +∞).

7. Demostrar que l∞ es espacio de Banach.

Key words and phrases. Espacios, lp. 1

2 FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Soluci´on

1. La sucesi´on nula 0 = (0) claramente pertenece a lp. Si x = (x_k) e y = (y_k) pertenecen a lp entonces P+∞

k=1|x_k|^p < +∞ y P+∞

k=1|y_k|^p < +∞. Usando la desigualdad de Minkowski,

n

X

k=1

|x_k+ yk|^p

!1/p

≤

n

X

k=1

(|xk| + |y_k|)^p

!1/p

≤

n

X

k=1

|x_k|^p

!1/p

+

n

X

k=1

|y_k|^p

!1/p

. Tomando l´ımites cuando n → +∞,

+∞

X

k=1

|x_k+ y_k|^p

!1/p

≤

+∞

X

k=1

|x_k|^p

!1/p

+

+∞

X

k=1

|y_k|^p

!1/p

< +∞, (1) con lo cual x + y ∈ lp. Si λ ∈ K y x ∈ lp entonces,

+∞

X

k=1

|λx_k|^p= |λ|^p

+∞

X

k=1

|x_k|^p< +∞, (2)

con lo cual λx ∈ l_p y l_p es subespacio vectorial de K^N. Es claro que kxk_p = 0 si y s´olo si x = 0 y las relaciones kλxk_p= |λ| kxk_p y kx + yk_p ≤ kxk_p+ kyk_p se deducen inmediatamente de las relaciones (2) y (1) respectivamente. Por tanto, k k_p es norma en lp.

2. Sea X_n = (x_nk) una sucesi´on de Cauchy de elementos de l_p. Para todo par de n´umeros naturales m, n se verifica |xnk− x_mk| = (|x_nk− x_mk|^p)^1/p≤ kX_n− X_mk_p. Como X_n es sucesi´on de Cauchy, tambi´en lo es x_nk para todo k y al ser K completo, podemos definir xk := l´ım_n→+∞x_nk. Veamos que la sucesi´on X = (xk) pertenece a lp y que Xn→ X con lo cual estar´a demos- trado que lp es completo. Al ser Xnde Cauchy en lp, para todo  > 0 existe n₀ natural tal que para m, n ≥ n₀ se verifica kX_n− X_mk_p< . Para todo N natural tenemos

N

X

k=1

|x_nk− x_mk|^p≤

kX_n− X_mk_pp

≤ ^p. Tomando l´ımites cuando m → +∞

N

X

k=1

|x_nk− x_k|^p= l´ım

m→+∞

N

X

k=1

|x_nk− x_mk|^p ≤ ^p, y al ser N cualquiera,P+∞

k=1|x_nk− x_k|^p ≤ ^py por tanto X_n−X ∈ l_p. Ahora bien X = Xn− (X_n− X) con lo cual X ∈ l_p. Por la ´ultima desigualdad kX_n− Xk_p <  para n ≥ n₀ es decir, X_n converge a X.

ESPACIOS lp 3

3. Consideremos para cada n natural los elementos de K^N dados por en= (x_k) con x_k = 1 si k = n y x_k = 0 si k 6= n. Es claro que el sistema {e_n : n ∈ N} es libre, tiene infinitos elementos y est´a contenido en lp para todo p ∈ [1, +∞), luego la dimensi´on de lp es infinita

4. Si x = (xk) ∈ lp entoncesP+∞

k=1|x_k|^p es convergente luego l´ımk→+∞xk= 0 con lo cual |x_k|^q ≤ |x_k|^p para k suficientemente grande. Por el teorema de comparaci´on para series de t´erminos positivos, la serieP+∞

k=1|x_k|^q converge, por tanto x ∈ lq.

El contenido l_p ⊂ l_q es estricto. En efecto, consideremos la sucesi´on y = (k^−1/p). Entonces,

+∞

X

k=1

|y_k|^p=

+∞

X

k=1

1

k (divergente),

+∞

X

k=1

|y_k|^q=

+∞

X

k=1

1

k^q/p (convergente), es decir y /∈ l_p e y ∈ lq.

5. Es claro que la sucesi´on nula est´a acotada, que la suma de dos acotadas est´a acotada y que el producto de un escalar por una acotada est´a acotada, por tanto l∞ es subespacio vectorial de K^N. La familia {en= (xk) : n ∈ N}

con x_k = 1 si k = n y x_k = 0 si k 6= n es libre y est´a contenida en l∞, por tanto l∞ tiene dimensi´on infinita. Veamos que k k_∞ es norma en l∞.

kxk_∞= 0 ⇔ sup{|x_k| : k ∈ N} = 0 ⇔ |xk| = 0 ∀k ∈ N

⇔ x_k= 0 ∀k ∈ N ⇔ x = (0).

Para λ ∈ K y x = (xk) ∈ l∞,

kλxk_∞= sup{|λxk| : k ∈ N} = sup{|λ||xk| : k ∈ N}

= |λ| sup{|x_k| : k ∈ N} = |λ| kxk∞. Por ´ultimo, para x = (x_k) e y = (y_k) elementos de l∞,

kx + yk_∞= sup{|x_k+ y_k| : k ∈ N} ≤ sup{|xk| + |y_k| : k ∈ N}

≤ sup{|x_k| : k ∈ N} + sup{|yk| : k ∈ N} = kxk∞+ kyk_∞. 6. Si x = (x_k) ∈ l_pentonces,P+∞

k=1|x_k|^pes convergente y por tanto x_k→ 0 lo cual implica que x = (x_k) est´a acotada. Por otra parte, la sucesi´on constante x = (1) pertenece a l∞ pero no a l_p.

7. Sea Xn = (xnk) una sucesi´on de Cauchy de elementos de l∞. Para todo par de n´umeros naturales m, n se verifica |x_nk− x_mk| ≤ sup{|x_nk − x_mk| : k ∈ N} ≤ kXn− X_mk_∞. Como X_n es sucesi´on de Cauchy, tambi´en lo es x_nk para todo k y al ser K completo, podemos definir xk := l´ımn→+∞x_nk. Veamos que la sucesi´on X = (x_k) pertenece a l∞y que X_n→ X con lo cual estar´a demostrado que l∞ es completo.

Si  > 0 existe n₀ natural tal que |x_nk− x_mk| < /2 para todo k y para todo m, n ≥ n₀. Haciendo m → +∞ obtenemos |x_nk− x_k| ≤ /2 y tomando supremos sobre k,

sup{|x_nk− x_k| : k ∈ N} ≤ /2

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para todo n ≥ n0, es decir kXn− Xk_∞ <  si n ≥ n0 lo cual prueba que X_n→ X. Por otra parte, es claro que X est´a acotada, luego X ∈ l∞.

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

M´as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es