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Al finalizar el presente capítulo, Ud. estará en capacidad de :
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Aplicar las leyes de exponentes referidas a la potenciación y radicación
en los diferentes campos numéricos
; ; yLas leyes expo nencial son verdades matemáticas que siempre se cumplen. Se aplica constantemente en los cálculos matemáticos, nos permite abreviar las operación .
La operación que da origen a la teoría de exponentes es la potenciación.
Potenciación
.Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, al resultado de esto se denomina potencia
a = p
nbase
potenciaexponente
RepresentaciónExponentes Básicos
I. Exponente Natural n "n" veces A . A . A . ... . A A ; n Ejemplos: 1. 4 4 v e c e s 3 3 . 3 . 3 . 3 8 1LEYES DE EXPONENTES
2. 6 6 v e c e s 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 6 4 3. n n veces n n . n . n . n ... . n 4. 8 8 veces 1 1 1 1 1 1 . . . . ... . 2 2 2 2 2 2 5
7 7 veces 7 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 6.
7 7 veces 3 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 II. Exponente Negativoa a 1 x x ; x
0 a a x y y x ; x 0 ; y 0 ,porque : no esta definido 0 Ejemplos: 1. 2 1 1 2 2. 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2
III. Exponente Nulo o Cero
0
x ;1 x0
porque :
0 = número indeterminado
0 Ejemplo : 1.
3xy 0 1 2. 0 3y 2x 1 5 Leyes de Exponentes:
I. Producto de Potencias de igual Base: en este caso se pone la misma base y los exponentes se suman: a b a b x . x x Ejemplos: 1) 2 . 23 4 23 4 27 2) 95.94.979 5 4 7 92
II. Cociente de Potencias de Igual Base: en este caso se pone la misma base y los exponentes se restan: a a b b x x x ; x 0
porque: 0 número in det er min ado
0 : Ejemplos : 1. 8 8 4 4 4 2 2 2 2 2. 6 6 ( 5) 1 5 2 2 2 2
III. Producto de Potencias de Bases Diferentes: en este caso ambas quedan elevados al mismo exponente:
a a a
x . y (x . y) Ejemplos:
1. 2 . 43 3 (2 . 4)3
2.
3.5
4 3 . 54 4IV. Cociente de Potencias de Bases Diferentes: en este caso los términos de la fracción queda afectado a la misma potencia:
a a a x x y y ; y 0
porque : Número = No esta definido 0 1.
2
3 3 34
4
=
2
2. 3 3 38
8
=
2
2
V. Potencia de Potencia: en este caso se multiplican los exponentes, se efectuan las potencias de arriba hacia abajo
a b c a . b . cx
= x
Observación:
a
x y
a
xy Ejemplos: 1.
2 4 3 3.4.2 24 x = x = x 2.
x
-3 -5= x
-3 -5= x
15
A B B A A.B = = x Así mismo : x xNivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
Radicación
Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada raíz (r), de modo tal que se cumple que al ser elevada esta a un número llamado índice (n) nos reproduzca otra expresión llamada radicando (a)
n : es el símbolo radical " n ": es el índice; n n 2
a b
"a" : es el radicando "b" : es la raíz enésima Se cumplea = b
n
Exponente Fraccionario
Todo número elevado a un exponente fraccionario puede escribirse como un radical ó viceversa a b b a
x =
x
Ejemplos: 1. 3 2 2 3 x x 2. 3 5 5 3 x x
Leyes de Radicales
I. Producto de Radicales Homogéneos: En este caso se coloca el mismo indice y dentro de la raíz el producto de los términos:
ax . ya ax . y
Ejemplos: 1. 34 .3534.5320
2. 51.55 5 1 5. 55 2 3 2 3 6 II. Cociente de Radicales Homogéneos:
Se coloca el mismo indice y dentro del radical el cociente de los términos:
a a a
x
x
=
y
y
III. P o te n c ia d e u n R a d ic a l: Se multiplicael exponente con el exponente del radicando manteniendo el mis mo índice:
caxb = xa b.c
IV. Raíz de Raíz: Se multiplican los índices de los radicandos. a b cx =a.b.c x Observa: abx bax Ejemplos: 1. 3 4
x =
3.2.4x =
24x
2. 4 310 =
3 410 =
1210
Ecuaciones Exponenciales
Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán solo los casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.
Se presentan los siguientes casos: 1. Bases iguales :
Si Nx Ny xy
Observación: N 0 N1
Ejemplo: Resolver: 9x 1 27x 2 Buscando bases iguales tenemos:
2x 2 3x 6 3 3 Luego: 2x 2 3x 6 x 4 2. Formas Análogas :
Observación: M 1 M 1
2 4
Ejemplo(1) resuelva:
x5 x5 363 ResoluciónBuscando formas análogas:
5 3 5 x 2 x 6
5 6 5 x x 6 5 x 6 5 x 6 Ejemplo(2) resuelva: 3x 7 5x 7 Resolución x 7 0 x 7 3. Propiedadad: Si n x nx
n
x
n
Ejemplo: Halle "x" , si:
3 x x 3 x 33 01. Simplificar: 16 2 8 2 . 16 8 02. Efectuar:
2 2 2 2 2 2 2 2 03. Reducir: 20 15 17 18 0 0 0 0 3 4 5 3 2 3 4 2 R1 2 3 4 04. Calcular: «R» en: 3 2 3 3 4 4 1 1 2 R 30 a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 176 e) No se puede. 05. Simplificar: n 3 n 1 n 1 3 3 V 3.3 a) 3n1 b) 24 c) 1 3 n d) 3n 1 1 e) 1806. Calcular el valor de:
1 3 3 2 2 1 2 1 C 2 0,2 2 9 3 a) 8 b) 6 c) 1/8 d) 1/6 e) 1 07. Resolver: 6 9 4 2 9 8 . . 3 4 27 08. Calcular: a 2 a 2b a 2 b 2 2 . 4 8 . 16 09. Reducir:
4 2 / 3 5 / 4 0 64 . 16 . 2 . 3 10. Calcular:
n 2 n 1 n 1 2 2 T 2 2 PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 1
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares Diaria 01. Simplificar: 8 veces 6 veces x . x ... x I x . x ...x a) x2 b) 3/2 c) 4/3 d) 3 4 x e) x 02. Reducir:
3 4 5 4 3 2 x 2 x 2 C 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 03. Reducir: 3 4 3 2 15 . 6 A 9 . 4 .125 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Reducir: 10 veces 2 2 2 n 2 " 20 n " veces x . x ...x .x V x . x . x ... x a) x b) 2 x c) 3 x d) x4 e) 1 05. Calcular:
n 2 n 1 n 1 2 2 T 2 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 Semanal 06. Resolver: 1 2 3 1 1 1 L 2 3 3 a) 16 b) 17 c) -17 d) -16 e) 9 07. Reducir:
3
2 1 2 2 1 A 3 3 27 5 a) 11 b) 13 c) 14 d) 17 e) 82 08. Calcular: 0 0 3 0 2 2 25 D3 5 5 a) 25 b) 33 c) 35 d) 42 e) 20 09. Simplificar: 6 7 1 2 A .3 3 3 a) 1 b) 3 c) 1 3 d) 1 9 e) 2 3 10. Calcular: 16 2 8 2 . 16 R 8 a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/42
06. Resolver la ecuación: 3 2x x 2 6 x 9 27 81
Rpta: ... 07. Considerando : a . Calcular el valor de0
"x" en: 3 4 x 1 2x 1 2 3x a . a . a 1 Rpta: ... 08. Resolver la ecuación: x 3 x 1 x 2 x x 2 2 2 2 50 Rpta: ... 09. De la siguiente ecuación: 3 a b 3xa b 3x 27x Obtener el valor de:
2 2 2a M a b Rpta: ... 10. Resolver la ecuación: xx 1 x 256 Dar el valor de:
2
2 M x2 x1 Rpta: ... 01. Reducir: 5 6 2 10 6 75
15
48
35
M =
2
6
10
49
Rpta: ... 02. Si: 2 x 1 3 , Calcule:
1 1 2 x x 3 x 2 P 4 8 16 Rpta: ... 03. Si: x 4 x 2 x 5 5 A 5 y y 5 y 3 y 3 3 B 3 Calcular: S 36 A B Rpta: ... 04. Hallar el exponente final de “x” en:
" b " veces bc a a bc ac ac ac c b 3a x x x x ...x P x Rpta: ... 05. Reducir: 8 4 x . x . x A x . x Rpta: ...Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares Semanal 06. Resolver: 5 x 2x 3 x 2 16 8 32 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
07. Considerando que: a 0 . Calcular el valor de "x" en: 3 4 x 2 2 x 2x 1 a . a . a 1 a) 1/8 b) 2/3 c) 1/6 d) 2 e) 5 08. Resolver la ecuación: x 2 x 1 x 3 3 3 99 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 09. De la siguiente ecuación: 3 m n 5xm n 5x 125x Hallar el valor de:
2 2 m n M 2m a) 2 b) 1 c) 1 3 d) 3 e) 81 10. Resolver la ecuación: 3 x 1 x 128
Dar como respuesta el valor de: 2 E x x 1 Diaria 01. Reducir: 4 3 3 2 2 10 30 42 P 54 250 60 70 a) 20 b) 84 c) 12 d) 30 e) 90 02. Si: 3-x = 1 2 Calcule:
1 1 1 x 2 x 3 x 2 P 9 27 81 a) 20 b) 21 c) 22 d) 26 e) 6 03. Calcular:
n 4 n n 3 2 2 2 R 2 2 a) 7 8 b) 71 8 c) 9 2 d) 8 e) 15 2 04. Hallar el exponente final de “x” en:
" 2n " veces 2m m n 2n m m m m 4n mn x x x x ...x M x x a) n b) m c) m/n d) mn e) 5mn 05. Reducir: 30 5 4 3 4 3 5 4 3 2 x . x . x E x . x . x a) x7 b) x5 c) x34 d) x11 e) x103
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
(GRADO DE UN MONOMIO)
Al finalizar el tema Ud. estará en la capacidad de :
El grado es una característica de las expresiones algebraicas, esta relacionado con los exponentes, que posee la expresión e indica el número de valores que debe tener la incógnita.
El grado es absoluto si se refiere a todas las variables, y es relativo si se refiere a una de las variables.
Grados en un monomio
A. Grado Absoluto (G. A.): Se obtiene al sumar los exponentes de las variables. B. Grado relativo (G. R.): El grado relativo a
una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplo Para el Monomio:
4 5 8
F(x ; y)a x y
Determine: a) El grado relativo de x b) El grado relativo de y c) El grado absoluto de F Solución: a) G. R. (x) = 5 b) G. R. (y) = 8 c) G. A. (F) = 5 + 8 = 13
Grados en un polinomio
a) Grado absoluto : Esta dado por el mayor grado de sus términos.
b) Grado relativo : El grado relativo a una variable es el mayor exponente de dicha variable.
* Definir el grado de una expresión algebraica y su importancia
* Identificar el grado absoluto y relativo en un monomio,con respecto a sus variable.
Ejemplo Para el polinomio:
6 7 3 5
P(x ; y)6x y3x y 2xy Determine: a) El grado relativo de x
b) El grado relativo de y
c) El grado absoluto del polinomio Solución:
a) G. R. (x) = 7 (Es el exponente mayor de la variable "x" en uno de sus términos)
b) G. R. (y) = 5 (Es el exponente mayor de la variable "y" en uno de sus términos)
c) G. A. (P) = 10(Es el mayor grado absoluto de uno de sus términos)
Cálculo de grados en operaciones
1. En la adición y sustracción se conserva elgrado del mayor. Ejemplo:
Si P(x) es de grado : a
Si Q(x) es de grado : b tal que: a > b
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
2. En la multiplicación los grados se suman. Ejemplo :
x4 x y5 7 x y
7 x y4 52
Resolución : Grado : 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan.
Ejemplo : 8 3 3 7 4 3 3 3 xy x y x x z y x y Resolución : Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente.
Ejemplo :
x y3 x y2 6z9
10 Resolución : Grado : 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical.
Ejemplo : 3xy7 2x y3 6 7x12
Resolución :
Grado: 12 4 3
Polinomios Especiales
1. Polinomio Homogéneo: es aquel polinomio en el cual todos sus términos tienen el mismo grado.
Ejemplo: Dado el polinomio:
5 3 4 4 6 2 P x; y 6x y 3x y 6x y Monomio de grado: 6 + 2 = 8 Monomio de grado: 4 + 4 = 8 Monomio de grado: 5 + 3 = 8 ¡Atención!En el ejemplo dado, el polinomio es de grado 8, también se suele decir que el grado de homogeneidad del polinomio es 8.
El polinomio P(x; y) es homogéneo de grado 8
2. Polinomio Ordenado: un polinomio es ordenado respecto a una variable, si los exponentes de ella van aumentando (ascendente) o disminuyendo (descendente) Ejemplo: Dado el polinomio:
4 3 2 5 8P x; y x y 2x y 3xy
i. Es ordenado respecto a la variable "x" en forma descendente
ii. Es ordenado respecto a la variable "y" en forma ascendente.
¡Atención!
Para que un polinomio esté ordenado no necesariamente los exponentes de las variables del polinomio aumentan o disminuyen en forma consecutiva
3. Polinomio Completo: un polinomio es completo respecto a una variable si tienen todos sus exponentes desde el mayor en forma sucesiva hasta el exponente cero. Ejemplo: Dado el polinomio:
3 2 2P x; y x 3xy 4x y5
En primer lugar ordenamos el polinomio con respecto a la variable "x" , obteniendose:
3 2 2P x; y x 4xy 3xy 5
En segundo lugar observamos que el polinomio es completo respecto a la variable "x"
Observación:
En todo polinomio completo de una sola variable se cumple que el número de términos es igual al grado del polinomio aumentado en la unidad.
Número de
terminos = Grado del polinomio + 1
Ejemplos: Dado los polinomios: * P(x)= x27x ; tiene :2
2 + 1 = 3 términos
* Q(x)= 8x4 3x3 x2 6x ; tiene:9 4 + 1 = 5 términos.
4. Polinomios Idénticos: dos polinomios reducidos son idénticos si los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo:
2 2
ax bx c mx nx p identidad Debe cumplirse que:
am ; bn ; cp
¡Atención!
Dos o más polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor numérico asignado a sus variables.
Ejemplo: (x + 3) (x + 6) = x2 9x18
Se cumple para cualquier valor de "x" , verifícalo.
5. Polinomio idénticamente nulo: un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero. Ejemplo: ax2 bx c 0
Debe cumplirse que:
a 0 ; b 0 ; c
0
Además un polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor asignado a sus variables obtendremos cero,
¡Atención!
En un polinomio idénticamente nulo su grado no está definido por ser cada uno de sus coeficientes iguales a cero, o sea puede ser de la forma:
i. 0x40x3 0x2 0x 0 0
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
01. Si el grado absoluto del monomio
2 a 1 a 2 a x;y M 5 . x . y es igual a :16. Hallar su coeficiente a) 25 b) 125 c) 625 d) 325 e) 47502. Calcular «a + b» si el monomio:
x;y 3a b a 3b M 10x . y tiene : G.A. = 20 y GR(x) = 11 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 03. En el polinomio
6n 4 3n 4n 6 3 2 x;y P 15x . y x . y 8 x y ; se cumple: GR(y) = 24 Hallar el GR(x) a) 18 b) 24 c) 36 d) 48 e) 52 04. Sea el polinomio: x a 5 a 6 a 8P 3ax 5ax 2ax ; un polinomio de grado 17.
Señale la suma de sus coeficientes:
a) 50 b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogéneo:
x ;y 2n 6 5 n 2 9 n
P 8x 3x . y 5y
a) 10 b) 8 c) 9
d) 7 e) 4
06. El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3: x a b a b P x 4x 7x 5 Hallar: a2 b2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 07. Si los polinomios: x
2 P 2A B x Cx B x 2 Q 8x 5x 4son idénticos. Hallar: A + B + C
a) - 4 b) -3 c) -5 d) -6 e) -8 08. Sabiendo que: x x 1 A y 2 2 x B x x 1 Hallar: A B 2
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 09. Sea: x 90 88 2 P 3x 27x 3x 4x Hallar: P(3) a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 1810. Sea : F(x) un polinomio lineal donde: F(2) = 5 ; F(1) = 4 Hallar: F (7)
a) 5 b) 10 c) 20
d) 25 e) 30
Diaria
01. Hallar el valor de "n" para que el grado absoluto del monomio
5 n 4 2
5x y sea : 40
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
02. Calcular «a + b» si el monomio:
x;y 2a b b 2a M 2x . y tiene : G.A. = 18 y GR(x) = 10 a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 03. En el polinomio
7 3 2k 3k 5k k 2k x;y P 7x . y 3x . y 9 x y se cumple: GR(y) = 28 Hallar el GR(x) a) 7 b) 4 c) 28 d) 9 e) 16 04. Sea : x m m 1 m 2 Q 2mx 4mx 6mx un polinomio de quinto grado. Señale la suma de sus coeficientes:a) 50 b) 40 c) 35
d) 60 e) 72
05. Indicar el GR(y) en el polinomio homogéneo:
x ; y 3n 8 3n 4 n 1 20 n
P 3x 7x y y
a) 4 b) 8 c) 17
d) 20 e) 15
Semanal
06. El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3: x m n m n P 2x 5x 3x 6 Hallar: m2 n2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 07. Si los polinomios: x
2 P 3A B x Cx B x 2 Q 7x 9x 2son idénticos. Hallar: A + B + C
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 08. Sabiendo que:
x 1 f x 2 g x
x2 x 1 Calcular: f g 3 a) 4 b) 5 c) 3 d) 7 e) 2 09. Sea: P x 2x50 4x49 5x22x Hallar: P(2) a) 6 b) 9 c) 15 d) 8 e) 1610. Sea : R(x) un polinomio lineal donde: R(-3) = 8 ; R(-2) = 6 Hallar: R(-4)
a) 6 b) 8 c) 10
4
Donde: coef (M) = 11 ; G.A. (M) = 23 Rpta: ... 07. Si se tiene el polinomio: a b 3 c 4 a b 1 c 8 a b 2 c 6 (x;y) P 2x y 5x y x y , sabiendo que: GR (x) = 15 ; GR (y) = 13 Hallar el grado absoluto de P(x;y) Rpta:
...
08. Hallar la suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:
n 3 2n 1 n 10 2 a b
(x;y)
P x y (a b)x y (n 1)x y Rpta: ... 09. Dado la siguiente identidad:
3 2 2 x 2x 1 (x1) Ax B(x1) Calcular: 2 2 3 3 A B A B E 2 2 Rpta: ... 10. Si el polinomio
5
2
( x) P 3a x b2 x c7 xse anula para cualquier valor de sus variables. Hallar: (a + b + c)2 Rpta: ... 01. Sea el polinomio: ( x) f x(x5) 3(x3) 8 Calcular: f( 7 1) f( 15 1) M f( 11 1) Rpta: ... 02. Sea: P(x)(m 1)x 2mxm 1
Además: P(2) . Calcular el valor de “m”.4 Rpta: 03. Siendo: F(z1)3z27z9 Determine: F (x) Rpta: ... 04. Si: f x 1
x2 1 Calcular:
f 1 f 0 M f 1 05. Sabiendo que: n 1 P(x; y)(5x3y) 5n Es tal que la suma de coeficientes es igual al término independiente aumentado en 1024. Hallar “n”Rpta:
06. Calcular: GR(y) en el monomio: 2a 3b a b M(x; y)(a3b)x y ..
Diaria 01. Sea el polinomio:P( x ) x(x6) 4(x1) 5 Calcular: P( 5 1) P( 3 1) M P( 2 1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si: P(x)(m 1)x 22mxm2 Si: P(2) . Calcular el valor de “m”.4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 03. Siendo: 2 F(z2) 2z 3z1 Calcular: F (x) a) x2 – 5x + 5 d) x2 – 5x + 9 b) x2 – 5x e) 2x211x 15 c) 5x – 5 04. Si: f x
2
x2 2 Calcular:
f 3 f 0 R f 1 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1 05. Sabiendo que:
n 1 P x; y 7x4y 2nEs tal que la suma de sus coeficientes es igual al término independiente aumentando en 81. Calcular: n
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
Semanal
06. Hallar el coeficiente en: 2 3a 4b 4a 3b M(x; y) ab x y Si su G.A.(M) = 49 ; GR(x) = 23 a) 100 b) 60 c) 20 d) 50 e) 32 07. En el polinomio m 1 n m 2 n 1 m 1 n 3 m 4 n 2 ( x;y ) P x y 3x y x y 2x y GA (P) = 20 ; GR (y) = 16. Hallar el GR(x) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
08. Indicar el valor de " " y " " para que el siguiente polinomio sea homogéneo:
2 2 1 3
( x;y)
P x y 5xy xy Dar como respuesta : a + b
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
09. Dada la siguiente identidad:
3 2 2 x 2x 1 (x1) mx n(x1) Calcular: m + n2 3 a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) – 2 10. Si el polinomio: 5 3 ( x) P (3b)x (a4)x (7c)x
Se anula para cualquier valor de sus variables. Calcular: a + b + c
a) 5 b) 6 c) 8
PRODUCTOS NOTABLES I
5
Una vez que Ud. haya entendido, repasado y practicado este tema estará en la
capacidad de:
* Efectuar y desarrollar con fluidez los distintos casos a estudiar.
* Reconocer las identidades para luego emplearlos en el capítulo de factorización.
* Utilizar artificios que hacen posible el desarrollo de sus habilidades.
3. Efectuar: (3x +2)2
2 2 2
( 3 x + 2 ) = ( 3 x ) + 2 ( 3 x ) ( 2 ) + 2
IMPORTANTE: Observe que en los desarrollos de:
2ab = a2 2ab b2
2ab = a2 2abb2
El término central (doble producto) es positivo si la base es el binomio suma y negativo si es el binomio diferencia
Es importante aclarar que:
2
2a - b = b - a
Ud. lo puede comprobar desarrollando en ambos
miembros, más adelante veremos que se cumple
también para cualquier potencia par.
Corolario:
Identidades de Legendre
Son dos igualdades que resultan de combinar2 2
(ab) y (ab) a través de la suma o diferencia. * Primera identidad de Legendre:
2 2 2 2
(a + b) + (a - b) = 2(a + b )
* Segunda identidad de Legendre:
2 2
(ab) (ab) 4ab
Comentario: Este capítulo es considerado como la "médula espinal del álgebra" ya que sirve de soporte para otros temas estratégicos, tales como: Factorización, Fracciones, Radicación, Ecuaciones, Inecuaciones, Logaritmos, etc. Los productos notables son multiplicaciones conocidas cuyo desarrollo se puede recordar fácilmente, sin necesidad de efectuar la operación:
I.
Binomio al cuadrado
2 2 2
(a + b) = (a + b)(a + b) = a + 2ab + b
2 2 2
(a - b ) = (a - b )(a - b ) = a - 2 a b + b
Al desarrollo de un binomio al cuadrado se denomina trinomio cuadrado perfecto. En cada caso, el primero y el último término son los cuadrados de a y b, respectivamente y el término central o medio es el doble del producto de dichos números.
Ejemplo(1) efectuar: (x3)2 2 2 2 2 (x + 3) = x + 2(x)(3) + 3 = x + 6x + 9 Ejemplo(1) efectuar: (a5)2 2 2 2 2 (a - 5) = a - 2(a)(5) + 5 = a -10a + 25
Ejemplos aplicativos:
1. ( x + 5) + ( x - 5 ) = 2( x + 5 )2 2 2 2
2 2
= 2(x + 25) = 2x +50 (Se ha aplicado la 1ra. identidad)
2. (m+ 3)2 - (m - 3) = 4 (m) (3) = 12 m2 [Se ha aplicado la 2da identidad]
3. (2x + 1) + (2x -1) = 2[(2x ) +1 ]2 2 2 2
2 2
= 2 [4x +1] = 8x +2
II. Suma por diferencia
a b
a b
a2 b2 Diferencia de cuadrados Ejemplos: * (x5)(x5)x252 x225 * (a + 3)(a - 3) = a - 3 = a - 92 2 2 * (2x + 7)(2x - 7) = (2x) - 7 = 4x2 2 2 - 49 * ( 3 + 5)( 3 - 5) = ( 3 ) - 5 =3 - 25 = - 222 2III. Identidad de Steven:
Producto de unbinomio con un término en común
2 (
x +a
) (x+ b
)=x +
(a + b
)x + a . b
Término Suma de los Productos de común al términos los términos cuadrado independientes independientes Ejemplo (1) efectúe: E = (x + 2) ( x + 3) Resolución: Primer término: x . x = x2 Coeficiente del 2do término: 2 + 3 = 5 Último término: (2) (3) = 6 Finalmente: 2 Ex 5x6 Ejemplo (2) efectúe: F = (y + 5) (y - 8) Resolución: F = y2 + (+ 5 -8)y + (+5)(-8) 2 F = y - 3y - 40 IV.
Trinomio al cuadrado:
Forma desarrollada 2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Forma abreviada: 2 2 2 2 (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + ac + bc)Observa, el desarrollo presenta en sus tres primeros términos la suma de los cuadrados de los tres términos que conforman el trinomio y luego van los dobles productos que se pueden formar con los tres términos tomados de dos en dos. Ejemplo(1) Efectúa 2 (a b 7) 2 2 2 (a + b + 7) =a + b + 49 + 2(a)(b)+2(a)(7)+2(b)(7) 2 2 = a + b + 49 + 2ab + 14a + 14b Ejemplo(2) Efectúa (m + 2n + 3p)2 2 (m2n3p) 2 2 2 = m + 4n + 9p + 4m n + 6m p + 12np
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
V. Binomio al cubo:
* Forma desarrollada:
3 3 2 2 3 ab a 3a b3ab b Forma abreviada: 3 3 3 (ab) a b 3ab(ab) * Forma desarrollada: 3 3 2 2 3 (ab) a 3a b3ab b Forma abreviada:
3 3 3 (a b) a b 3ab a bEn el primero de ellos, la base es el binomio suma, su desarrollo es "El cubo del primer término de la base, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo y más el cubo del segundo".
Nótese que en este desarrollo todos los términos del desarrollo son positivos.
En el segundo de ellos la base es el binomio diferencia, los términos del desarrollo son los mismos, solo que varían los signos en forma alternada.
Teniendo la siguiente secuencia: + +
-División Algebraica
Dados dos polinomios D(x) y d(x), donde el grado de D(x) es mayor o igual que el de d(x).
La división denotada por D(x)÷ d(x) ó D(x)d(x) ,
es la operación algebraica que consiste en hallar otros dos únicos polinomios q(x) y r(x), tal que:
D(x) d(x) . q(x) + r x
(Identidad fundamental de la división)
de donde: D(x) : polinomio dividendo d(x) : polinomio divisor q(x) : polinomio cociente r(x) : polinomio residuo
Clases de División
División exacta: es cuando r(x) 0Luego: D(x) d(x) . q(x)
División inexacta: es cuando r(x) 0Luego: D(x) d(x) . q(x) r(x)
A) Ley de signos:
El cociente de signosiguales es siempre positivo, y el de signos diferentes es negativo. Así:
( + ) : ( + ) = + ( - ) : ( - ) = +
( + ) : ( ) = ( ) : ( + ) =
-B) Ley de Exponentes: Para dividir
potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor.m m – n n a = a ; donde a 0 a Ejemplo: 10 10 - 5 5 5 x = x = x x
Casos que presentan:
A) División de monomios:
Para dividirmonomios primero se dividen los coeficientes de acuerdo a la ley de signos, luego las partes literales de acuerdo a la ley de exponentes.
Ejemplos Efectúa: a) 5 3 3 2 2 9x y = - 3x y -3x y b) 3 8 7 3 3 2 5 4 -14a b c =7ab c -2a b c
B) División de un polinomio entre un
monomio: (Ley distributiva de la división).
Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado.Ejemplo Efectúa: 6 5 7 9 5 4 4 3 18x a - 9x a + 27x a 3x a Resolución: = 6 5 7 9 5 4 4 3 4 3 4 3 18x a 9x a 27x a - + 3x a 3x a 3x a = 6x a - 3x a + 9xa2 2 3 6
C) División entre polinomios
Método Clásico: Para dividir polinomios
se debe tener en cuenta las siguientes reglas: 1ero- Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma descendente), en caso falte uno o más términos, estos se completan con ceros. 2do . Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor obteniendose el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo3ero. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio identicamente nulo.
Ejemplo Efectúa:
3 2
(3x 8x4x 8) (3x2)
Resolución:
Verificando, se observa que el dividendo está desordenado, luego, ordenando el dividen-do, se tendrá:
Observa: Que al multiplicar el término halla-do como cociente por el divisor, el resultahalla-do pasa al lado del dividendo con signo cambia-do.
Ejemplo: x (3x + 2) = 3x + 2x2 3 2
Pasa al dividendo como: -3x3 - 2x2
Propiedades
a) El grado del cociente es igual a la diferencia de los grados del dividendo y divisor respectivamente.
Gdo(q) = Gdo(D) – Gdo(d)
En el ejemplo anterior:
Gdo(D)3 ; Gdo(d)1
Gdo (q) = 3 - 1 = 2
¡Correcto!
b) El término independiente (T. I) del dividendo estará determinado por el producto de los términos independientes del divisor y el cociente más el término independiente del resto.
T.I.(D) = T.I.(d) T.I.(q) + T.I.(r)
En el ejemplo anterior:
T.I.(D) = 7 ; T.I.(d) = 2
T.I.(q) = 4 ; T.I.(r) = -1 7 = (2) (4) - 1 ¡Correcto!
c) El grado máximo del residuo será una unidad menos que el grado del divisor. En el ejemplo: el residuo es de grado cero y este es de grado máximo por que el divisor es de grado 1.
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
Método de Horner: se recomienda
emplearlo para dividir polinomios que sean de grado dos o más tendiendo en cuenta para ello las siguientes reglas:
1ero.Se completan y ordenan los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola letra o variable (llamada letra ordenatriz). En el caso que existan dos o más variables se asume a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. 2do Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo y en forma vertical los coeficientes del divisor, todos cambiamos de signo a excepción del primero.
3ero Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor obteniéndose el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo y el resultado se coloca en la segunda fila corriendose un lugar hacia la derecha. 4to Se reduce la siguiente columna, y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reducen las columnas que falten separando respectivamente los coeficientes del cociente y el resto.
5to El número de columnas que se separan para el resto lo determina el grado del divisor, contándose de derecha a izquierda y las demás le pertenecen al cociente.
D I V I D E N D O
C O C I E N T E resto
cambian de signo
Veamos la aplicación de este método en el siguiente ejemplo:
Dividir por el método de Horner:
4 3 2 2
12x - 14x + 15x - 6x + 4 4x - 2x + 1
Resolución:
Después de verificar que los polinomios estan ordenados y completos, procedemos de la siguiente manera: 4 12 -14 15 -6 4 2 6 -3 -1 3 Entonces: 4 12 -14 15 -6 4 2 6 -3 -1 -4 2 3 - 2 2 0 2 4 -2
El primer coeficientes del cociente se obtiene al dividir:12 4 = 3
se observan en la segunda columna que: - 14 + 6 = - 8 4 = - 2 (segundo coeficiente en la tercera columna) 15 - 3 - 4 = 8 4 = 2 (tercer coeficiente del cociente) de donde: 2 q(x) = 3x - 2x + 2 r(x) = 0x + 2 = 2
Método de Rufinni:
Se emplea (se sugiereemplearlo) para dividir polinomios entre divisores binomios de la forma: ax ó cualquier otrab expresión transformable a ella.
Pasos a seguir:
1º Se verifica si el polinomio dividendo está completo y ordenado. En caso falte uno o más términos estos se completarán con ceros. 2º En caso existan dos o más variables, se
asume a una de ellas como tal y las demás hacen el papel de números o constantes.
3º Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y está se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico.
4º Se baja el primer coeficiente del dividendo, siendo este el primero del cociente. Luego este valor se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.
5º Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tantas veces, hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo.
6º Se reduce la columna y el resultado será el valor delresto, y este siempre será un valor numérico.
7º Sólo si el primero coeficiente del divisor es diferente de la unidad, se dividen los coeficientes obtenidos por el cociente entre el coeficiente del divisor.
Esquema gráfico:
0
ax b
b
x
a
Coeficiente de D(x) + + + + + ….. ++ Coeficiente de q(x) Restoa
Verdadero coeficiente de q(x)NOTA: En el esquema de Ruffini, el resto obtenido siempre es una constante.
01. Simplificar:
2 2 M x1 (x2) 2x(x3) 02. Simplificar:
2 2 2 2 5a 3b 5a 3b 4ab M 2a b 2a b 03. Efectuar: 3 M (7 75 5 )(7 75 5 )2 04. Simplificar: 2 4 M(x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 1 05. Resolver: (x 7)(x 9) (x 6)(x 10) P (x 4)(x 5) (x 3)(x 6) 06. Reducir:
2
F x9 x8 x10 3 07. Simplificar: 3 3 2 (x 1) (x 1) E 3x 1 08. Si: a b 2 ab 3 Hallar : Ma3 b3 09. Hallar: x + y ; si : x3y328 además: xy (x + y) = 12 10. Simplificar: 2 2 E(x5)(x 5x25) (x 2)(x 2x4)PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 5
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares Diaria 01. Simplificar: 2 2 M(x2) (x3) 2x(x5) a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 13 02. Simplificar:
2
2
2 2a 3b 2a b 2 a b a b M a a) 19 b) 14 c) 11 d) 10 e) 21 03. Efectuar: M (4 2 3 )(4 2 3 )4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 10 04. Simplificar: 2 4 8 E(x2)(x2)(x 4)(x 16)x a) 8 b) 2 c) 16 d) 256 e) N. A. 05. Efectuar: (x 8)(x 2) (x 3)(x 7) P (x 10)(x 1) (x 9)(x 2) a) 8/7 b) 1/4 c) 5/8 d) 5/6 e) 4/7 Semanal 06. Reducir:
2
R x8 x10 x6 5 a) 3 b) -4 c) 5 d) 7 e) 9 07. Simplificar: 3 3 2 (x 2) (x 2) N 3x 4 a) 1 b) 4 c) 6 d) 1/4 e) 1/6 08. Si: a b 4 ab 3 Hallar : a3 b3 a) 36 b) 30 c) 28 d) 12 e) 6409. Hallar: a + b ; tal que: a3 b3 6 además: ab (a + b) = 7 a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9 10. Simplificar: 2 2 P(x3)(x 3x9) (x 2)(x 2x4) a) 19 b) 20 c) 25 d) 35 e) 42
6
01. Sabiendo que: a b 6 7 2 ab 3 7 4 calcular: 2 2 a b E 5 Rpta.: ... 02. Calcular: 8 16 32 M 1 (3)(5)(17)(2 1)(2 1) Rpta.: ... 03. Sea: m2 + 2m = 13 Calcular: (m 5)(m 6)(m 3)(m 4) E 2 Rpta.: ... 04. Si: ab = 1 y 3 3 a b 1 a b Calcular : Ea2 b2 Rpta.: ... 05. Si: x 1 4 x Calcular: R x3 13 x Rpta.: ... 06. Si la división es exacta: 4 3 2 2 6x 13x 4x mx n 3x 5x 1 Hallar: m + n Rpta.: ... 07. Calcular: (A - B), si la división: 4 3 2 2 12x 12x 13x Ax B 2x 3x 5 deja como resto: 4x + 5
Rpta.: ...
08. Hallar "a" si la división:
4 3 2 x 2x 3x 2x a x 3 es exacta. Rpta.: ... 09. Hallar el resto en:
3 2 3x 2 3x 2x 9 x 3 Rpta.: ...
10. Sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es : 10 3 2 8x 4x 6ax 15 2x 1 Hallar: "a" Rpta.: ...
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
Semanal
06. Determinar el valor de "p" para que la división
4 3 2 2 2x x 3x 10x p x x 2 sea exactaa a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 07. Si la siguiente división: 4 3 2 2 2x 7x 16x Ax B 2x 3x 4
deja como resto: 13x + 3. Determine : A B a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3 08. Si la división : 3 2 4x 3x nx 10 x 5 es exacta. Hallar "n" a) 113 b) 2 c) -7 d) -117 e) 77
09. Hallar el residuo en:
4 3 2 2x 3 2x 12x 3 2x 2 x 2 a) 0 b) 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 4 2
10. Indique la suma de los coeficientes del cociente: 4 3 2 3x 5x x x 2 3x 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Diaria 0 1 . Sabiendo que: a b 8 7 2 ab 4 7 5 calcular: 2 2 a b E 2 a) 6 b) 12 c) 7 d) 2 7 e) 0
02. Dar el valor más simple de:
2 4 8 16 16 T 26(5 1)(5 1)(5 1)(5 1) 1 a) 5 b) 10 c) 25 d) 5 e) 15 03. Si: a2 + 3a = 7
Calcular: Q (a 6)(a 5)(a 3)(a 2) 3 a) 5 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12 04. Si: xy = 1 y 3 3 x y 3 x y Calcular: x2 y2 a) 8 b) 5 c) 4 d) 7 e) 6 05. Si: x 1 5 x Calcular: x3 13 x a) 70 b) 90 c) 80 d) 95 e) N.A.
7
Al finalizar el presente tema Ud. estará en la capacidad de:
* Reconocer los diferentes casos de cocientes notables
* Obtener en forma directa el desarrollo de un cociente notable
* Emplear fórmulas y técnicas para calcular un término cualquiera en el desarrollo
de un cociente notable
Ciciente notable
es aquel cociente que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de división.Son de la forma: m m
x
a
x
a
Donde:* "x" y "a" son los términos del divisor. * m , m 2 (m: Números de términos)
Según la combinación de signos se pueden analizar 4 casos, dando en cada caso ya sea entero completo.
m m x a q x R(x) 0 x a
m m x a R(x) q x R x 0 x a x a COCIENTES NOTABLES I
m m x a x a m m x a x a m m x a x a m m x a x a m 1 m 2 m 3 2 m 1 x x ax a ... a ; m m m 1 m 2 m 3 2 m 1 2a x x a x a ... a ; m x a m 1 m 2 m 3 2 m 1 x x a x a ... a m Impar m m 1 m 2 m 3 2 m 1 2a x x a x a ... a ; x a m par m 1 m 2 m 3 2 m 1 x x a x a ... a m par m m 1 m 2 m 3 2 m 1 2a x x a x a ... a ; x a m Impar m m k k 1 k 1 x a
m m m k k 1 k 1 2a x a x a
m k 1 m k k 1 k 1 1 x a
m m k 1 m k k 1 k 1 2a 1 x a x a
m k 1 m k k 1 k 1 1 x a
m m k 1 m k k 1 k 1 2a 1 x a x a
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares Además: k-1 m-k k t = ( ) x a k
t = término de lugar k contado del término final Ejemplo explicativo: 153 102 3 2 x + a de : x + a .
Calcular: a) Número de términos del C.N. b) Hallar: el
t
23y t
44Resolución
a) Número de términos del C.N. : 153 102 = =51 términos 3 2 b)
t
23=+ x
3 51-23a
22
t =+ x a
23 84 44
51-44 43 3 2 21 86 44 44t
=+ x
a
t =- x a
Desarrollar los siguientes cocientes notables: 01. 5 5 x a E x a 5 5 m n F m n 02. R a6 b6 a b 6 6 x y T x y 03. 12 16 3 4 a b K a b 24 48 6 12 x y L x y 04. Si el cociente:
;
n 5n-18 2 9x -y
es notable.
x -y
Hallar el valor de "n"05. Hallar el valor de "m" para que el cociente sea notable: 16 m 1 8m 20 m 1 2m x y x y
06. ¿Cuál debe ser el valor de "n" para que la siguiente expresión sea un cociente notable?
2n n 20 2 3 x y x y
07. Calcular el número de términos siguiente cociente notable: 5 n 6 5n 3 n 1 n 2 x y x y 08. El cociente: 4n 12 4n 3 n 8 n 9 x y x y ; es notable .
Hallar el número de términos.
Fórmula del término general
Para la división
:
m mx
a
x
a
El témino de lugar "k" del cociente q(x) viene dado por:
m - k k - 1 k
t = ( ) x a
signo
Donde: x : es el 1er término del divisor a : 2do término del divisor
m : número de términos del cociente
Regla para determinar el signo
a) Si: d(x) = x - a ; todos los términos del C.N.son positivos
b) Si d(x) = x + a ; se tiene
i) Términos de lugar impar son positivos ii) Términos de lugar par son negativos
Diaria
01. Desarrollar el siguiente cociente notable :
4 4 m n E m n
02. Desarrollar el siguiente cociente notable :
5 5 x y R x y
03. Desarrollar el siguiente cociente notable:
12 18 2 3 a b Q a b
04. Si el cociente es notabledetermine "a":
6a 24 2a 3 2 x y x y a) 1 b) 8 c) 5 d)10 e) 15
05. Hallar el valor de "m" para que el cociente: 15m+50 15m-10 m+1 m-2
x
- y
x
- y
, sea notable a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 6 Semanal06. Hallar el valor de "k" para que el cociente sea notable: k 1 2k 10 2n 2n p y p y a) 5 b) 8 c) 11 d) 18 e) 21
07. Calcular "m" en el siguiente cociente notable : 2m 3 3m 3 2m 1 3m 5 x y x y a) -1 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6
08. Desarrollar el siguiente cociente notable: 4n-1 2n+ 4 2n-5 n-1
x
- z
x
- z
a) 2 b) 3 c) 10 d) 5 e) 709. Hallar el cociente notable del siguiente desarrollo: 6 36 33 30 3
x + x + x +....+ x + x +1
a) 39 3 x 1 x 1 b) 37 x 1 x 1 c) 39 x 1 x 1 d) 2 x 1 x 1 e) 36 x 1 x 1 10. Hallar el C.N. que dió origen al siguiente desarrollo: 10n 8n 6n 4n 2n
x
+ x
+ x
+ x + x
+ 1
a) 13n 2 x x 2 b) 10n x 2 x 2 c) 12n 1 x x 1 d) 12n 1 2n x x 1 e) 12n 2n x 1 x 1 09. Hallar el cociente notable de los siguientesdesarrollos:
F = x14x12x10 ... x4 x21
G = x39x36 x33 ... x6 x31
10. Cuál es el cociente notable que dió origen a los siguientes desarrollos:
T = x6n x4n x2n1
12 m 10 m 8m 6m 4m 2m
8
TEOREMA DEL RESTO COCIENTES NOTABLES
01. Calcular el residuo al dividir:
15 12 9 6 3 3 x 15x 12x 9x 6x 3 x 1 Rpta.:
02. Calcular el resto de la división:
2 52 2 25 2 2 (x 4x 5) (x 4x 3) (x 2) (x 2) Rpta.:
03. Determine el resto al dividir:
2 (x 2)(x 1)(x 3)(x 4) 5 x 2x 7 Rpta.:
04. Calcular el resto al dividir:
10 5 5 2
(
4)
(
8)
(
2)(
6)
8
8
x
x x
x
x
x
x
Rpta.:05. Obtener el valor de “m”, luego de dividir:
6 3 2 mx (4m 3)x m(x 1) 2 x 1 , sabiendo que el resto es 8 Rpta.:
06. Hallar el número de términos del cociente notable: 4n 12 4n 3 n 8 n 9 x y x y Rpta.:
07. Hallar “n”
nZ
, en el cociente notable:2 9n 12 2n 3 2 x y x y Rpta.:
08. Hallar el término de lugar 14 del desarrollo de:
31 31 x y x y Rpta.:
09. Dado el cociente notable: 96 72 8 6 P m P m
Calcular el término de lugar 11.
Rpta.:
10. Calcular: a + b; sabiendo que el t17 del
cociente notable: a b 5 7 x y x y es: x115 y 112 Rpta.:
Semanal 06. Si: 5n 3 5n 30 n 1 n 2 x y x y
Es un cociente notable. Indicar el número de términos en su desarrollo.
a) 3 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
07. Hallar "n"
n en el cociente notable
2 4n 16 3n 2 3 x y x y a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. Hallar el término de lugar 15 en el desarrollo de : 21 21 x y x y a) x y6 14 b) x y3 8 c) x y9 6 d) x y4 9 e) x10 2y
09. Dado el cociente notable: 12 20 3 5 x a x a
Calcular el término de lugar 3. a) xa10 b) x3a c) x2a4
d) xa e) x3a10
10. Calcular: "m + n" , sabiendo que el t17 del cociente notable: m n 5 7 x y x y es : x115. y112 a) 470 b) 480 c) 400 d) 950 e) 380 Diaria
01. Hallar el resto de:
60 45 30 15 5 5 3x 5x 3x 2x x 7 x 1 a) 3 b) 5 c) 2 d) 6 e) 19 02. Al dividir: 2 39 2 41 2 (x 5x 7) 3(x 5x 5) (x 1)(x 4) 7 x 5x 6
Se obtiene como resto:
a) – 6 b) 7 c) 1
d) 4 e) 9
03. Calcule el resto de la siguiente división:
2 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) x 5x 5 a) – 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
04. Calcular el resto al dividir:
40 20 20 2 (x 2) x (x 4) (x 1)(x 3) x 4x 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
05. Obtener el valor de "k" luego de dividir:
2 4 2 x 5k 2 x k x 1 1 x 1 ;sabiendo que el resto es : 7
a) 3 b) 4 c) 9
9
FACTORIZACIÓN
1. Conceptos Previos.
a) Polinomios sobr e un conjunto numérico: un polinomio está definido sobre un conjunto numérico cuando sus coeficientes están en dicho conjunto numérico.
Ejemplos:
f(x) = 5x33x24x está definido en9 g(x) =7x4 5 x3 3x2 está definido en 5
b) Polinomios irreductible (o primo) sobre un conjunto numérico: es aquel polinomio que no acepta transformaciones o multiplicación indicada de dos o más polinomios no constantes, pertenecientes a dicho conjunto numérico.
Todo polinomio primo presenta como únicos divisores a el mismo y a cualquier constante no nula.
Ejemplo: f(x) = x + 3
g(x , y) = x + y - 5
En cualquiera de los dos casos anteriores no es posible transformarlos a una multiplicación de polinomios no constantes, por lo tanto, f(x) y g(x , y) son primos en o .
Postulado.
Todo polinomio de la forma (ax + b) es irreductible en cualquier conjunto numérico. Veamos ahora los siguientes casos:
* f(x) = x2 25 no es primo en , ya que: =
x 5 x 5 * g(x) = x2 es primo en7 ; ya que :
2 2 x 7 x 7 x 7 c) Factor algebr aico o divisor algebraico: Un polinomio no constante, es factor algebraico de otro polinomio, cuando lo divide exactamente, es decir si f(x) es un factor de g(x) es divisible por f(x). Ejemplo: * a + 5 es factor de a27a 10 , ya que 2 a 7a 10 a 2 es exacta a 5 * x - 3 no es factor de x3 7, ya que 3 x 7 x 3 no es exacta.
2. Factorización
La factorización es un proceso de transformaciones sucesivas de un polinomio en una multiplicación indicada de polinomios primos, denominados factores primos, dentro de un conjunto numérico. Veamos: f x
x49 * Factorización en el conjunto
2 2 2
2
2
primo en f x x 3 x 3 x 3 * Factorización en el conjunto , tenemos:
2 2 2 2 2 2 primo en f x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 Observaciones:1. Generalmente el conjunto en el que se ha de trabajar es el delos RACIONALES ( ) salvo se indique lo contrario. 2. El número de factores primos, como lo
hemos visto anteriormente depende del conjunto numérico en el que se trabaje. En el conjunto numérico de los racionales, el números de factores primos se calcula contando los factores basales (que figuran como bases y que contengan a las variables, denominados también factores algebraicos). Así por ejemplo:
f(x) =
x3
2 x5
tiene 2 factores primos
g(h) = h(h + 1)
h2
2
h3
3 tiene 4 factores primos.p(x ; y) = x y2 2
x2y
3 x3y
4tiene 4 factores primos.
3. Si se cambia de signo a un número par de factores, la expresión no se altera. Sea:
F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (5 - x) Si se cambia de signo al factor (2 - x) y (5 - x), se tendrá.
F(x) = (x - 4) (2 - x) (x + 3) (x - 5)
4. Sea: a b y c
Donde: a , b y c son primos entre sí:
# factores 1 1 1
Ejemplo
Determinar el número de factores de x2 y2
Resolución
Desagregando a la expresión en cada uno de sus factores, se tendrá:
2 2 x y 2 2 2 2 2 2 1 x y xy x y x y x y x y
Como se observará existen 9 factores, los cuales se obtendrán directamente, a través de la relación anteriormente mostrada.
# factores = (2 + 1) (2 + 1) = 9 De donde se debe tener en cuenta que:
# factores algebraicos 1 1 1 1
ya que aquí se descarta al 1 porque es un polinomio de grado cero.
3. Factorización por el Método del
Factor Común.
Se recomienda utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen uno o más factores comunes. Estos factores pueden ser monomios o polinomios.
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
a) Factor Común Monomio
Cuando los términos de un polinomio tienen uno o varios factores numéricos o literales que aparecen en todos ellos, se dice que tales factores forman un factor común. Así, por ejemplo, el polinomio 3x2 12x tiene los factores 3 y x comunes a los dos términos, formándose así el monomio "3x" como factor común.
Los polinomios que tienen un factor común pueden factorizarse como una aplicación de la propiedad distributiva, así:
2 3x 12x 3 x . x 3 x . 4 3x x 4 Factor común monomio
El Factor Común Monomio sobre los enteros, se determina fácilmente hallando el M.C.D de los coeficientes de todos los términos del polinomio dado, el cual será el coeficiente del factor común y escribiendo a continuación de él las variables comunes con el menor exponente con que aparecen en el polinomio.. Luego, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio común. Los resultados se escriben dentro de un signo de agrupación. O sea paréntesis, corchetes o llaves.
Ejemplo 1: Factorizar : 6x3 15x2 Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 6 y 15. Así:
6 - 15 3
2 - 5 M.C.D 6 y 15 3
2º El menor exponente con que aparece la variable "x" es 2, osea x por lo tanto, el factor común es: 3x2
Luego: 3 2 Divi dimos 6x 3x 2x 2 2 Divi dimos 15x 3x 5
3 2 2 6x 15x 3x Factor común monomio
3 2 2
6x 15x 3x 2x 5
Ejemplo 2 Factorizar: 2x y2 6xy28x y2 2 Resolución:
1º Hallamos el M.C.D de los coeficientes 2 ; 6 y 8. Así: 2 6 8 2 1 3 4
M.C.D 2 ; 6 y 8 2 2º El menor exponente con que aparece la variable "x" es 1 y el menor exponente con que aparece la variable "y" es 1.
Por lo tanto, el factor común es : 2xy
2 2 2 2
Divi dim os 2x y 2xy x Divi dim os 6x y 2xy 3y Divi dim os 8x y 2xy 4xy
2 2 2 2
2x y 6xy 8x y 2xy x 3y 4xy
b) Factor Común Polinomio
En el caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, osea aplicando la propiedad distributiva.
Ejemplo 1
Factorizar: 5a (x - y) + 10b2 (x - y)
Resolución:
1º Hallamos el M.C.D. de los coeficientes 5 y 10. Así: 5 10 5 1 5 M.C.D. 5 y 10
5 2º El menor exponente del polinomio común(x - y) es 1. Luego:
Factor común monomio
Dividimos 5a x y 5 x y a
2
5a x y 10b x y 5 x y
2 2 Dividimos10b x y 5 x y 2b
2
2
5a x y 10b x y 5 x y a 2b 4. Factorización por
Agrupación de términos
Se agrupan los términos de 2 en 2 ó en 3 en 3, etc. de acuerdo con el número exacto de grupos que se puedan formar de modo que resulte un factor común polinomio. Luego se procede a factorizar, según la regla del caso anterior.
Ejemplo 1.
Factorizar: x22x cx 2c
Resolución
Agrupamos el primero con el segundo y el tercero con el cuarto.
2 2
x 2 x c x 2 c x 2 x c x 2 c
Sacamos factor común “x” Sacamos factor común “c”
x x 2 c x 2
Sacamos factor común "(x - 2)" = (x - 2) (x + c)
2 x 2x cx 2x x 2 x c Ejemplo 2 Factorizar: 2yz + 7y - 2z - 7 Resolución:Agrupamos el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, obtenemos:
Sacamos factor común “2z” Sacamos factor común “7”
2yx 7y 2x 7 2yz 2z 7y 7
2z y 1 7 y 1
Sacamos factor común "(y - 1)" = (y - 1) (2z + 7)
2yx 7y 2z 7 y 1 2z 7
Nivel: Seleccion Secundaria - I Semestre - 2015 I.E.P. San Agustín de Antares
5. Factorización por el criterio de
identidades
Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa
a) Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P)
22 2
A 2ABB AB
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
2 3 6 3 2 Binomio alcuadrado 2 3 3 2 (4x) 2(4x) 5y (5y ) 16x 40xy 25y (4x 5y ) b) Diferencia de Cuadrados: 2 2 A B (AB)(AB) Ejemplo(1) factorizar: x44b2 Resolución: Se tiene :
x2 2
2b 2
x22b x
22b
Ejemplo(2) factorizar: x22xyy2z6Resolución:
Se escribe así la expresión :
2
32x y z
x y z3
x y z3
c) Suma o Diferencia de Cubos
3 3 2 2 A B (AB)(A AB B ) Ejemplo factorizar : 27x38 Resolución: 3 3 2 (3x) 2 (3x2)(9x 6x4)
6. Criterio del aspa simple:
se aplica para factorizar polinomios de la formaP(x;y) = Ax2nBx yn n Cy2n
Para ello debemos indicar lo siguiente:
Se adecua la expresión a la forma indicada anteriormente, luego se descompone convenientemente los términos extremos incluyendo signos.
Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si éste coincide con el término central de la expresión, se concluye que los factores serán las sumas horizontales, así.Ax + Bx y + Cy2n n n 2n Dx Fy Ex Gy n n n n EFx y + DGx y n n n n Bxn yn
Son factores primos:
n n n n (Dx Fy ) (Ex Gy ) Ejemplo(1) factorizar: 6a2 + 5ab - 4b2 3a 4b 2a - b 8ab + - 3ab 5ab
Son factores primos.
(3a + 4b) (2a - b) Ejemplo(2) factorizar: x8 - x4y4 - 6y8 x - 3y x 2y 4 4 4 4 -3x y + 2x y 4 4 4 4 - x y4 4
Son factores primos:
4 4 4 4
( x 3y ) ( x 2y )
7. Método del Aspa Doble:
Se emplea para factorizar polinomios de 6 términos, cuya forma general es:
2 2 1º 2º 3º 4º 5º 6º
P x; y Ax Bxy Cy Dx Ey F
Donde x, y: son las variables Procedimiento:
1. Se ordena el polinomio de acuerdo a la forma general, defaltar algun término se completa con ceros
2. Se trazan dos aspas simples entre el 1er, 2do , 3er término y 3er, 5to y 6to término. 3. Aspa de comprobación entre 1er, 4to y
6to término
5. Se verifican las aspas, simples y el aspa grande.
6. Se toman los factores en forma horizontal Ejemplo: Factorizar:
20x2 + 22 xy + 6y - 33x - 17y + 72
5x 3y - 7 4x 2y - 1 P(x;y) =
la expresión factorizada es:
P(x;y) = (5x + 3y - 7) (4x + 2y - 1)
08. Mé todo
de
los
divisor es
binomicos:
este método se aplica para factorizar polinomios de cualquier grado, que admiten factores de primer grado.* Valor crítico de un polinomio (V.C.): Son todos los valores que puede tomar la variable de un polinomio y reemplazando en el polinomio hacen que su valor numérico sea igual a cero.
Ejemplo: P x
x3 6x2 3x 10 Resolución:Para: x = 1 P(1) = 13 6 1
23 1
10 P(1) = 0Como: P(1) = 0 1 es un valor crítico de un polinomio
* Determinación de los valores críticos de un polinomio
1. Cuando el primer coeficiente es la unidad, se toman todos los divisores del término independiente con su doble signo.
Ejemplo: P x
x3 6x23x 10 V.C. 1 , 2 , 5 , 10
2. Cuando el primer coeficiente es diferente a la unidad, además de lo anterior, se toman los valores fraccionarios que se obtienen de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del primer coeficiente.
Ejemplo: P x
5x3 5x2 2 Divisores de :2 1 , 2 V.C Divisores de:5 1 , 5 V.C = 1, 2 , 1 , 2 5 5 Procedimiento para factorizar:
i). Se halla, por lo menos un valor crítico del polinomio, calculando así un factor.
ii). El otro factor se determina por RUFINNI, el polinomio a factorizar entre el divisor obtenido iii). Se calcula tantos valores críticos como sea
necesario.
iv) Para obtener los demás factores se divide por Ruffini cada valor crítico, en forma sucesiva, hasta obtener un cociente de segundo grado que nos permita aplicar aspa simple.
v) Cuando los términos del polinomio son positivos sólo se prueban valores negativos.
