M.C.D. y M.C.M. DE POLINOMIOS
M.C.D. y M.C.M. de Polinomios
Máximo Común Divisor (M.C.D.) Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) Propiedades
M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido
en cada uno de los polinomios.
M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la
característica de contener a cada uno de los polinomios.
Dos o más polinomios son primeros entre sí, si su M.C.D.
es ± 1.
Obtiene factorizando los polinomios.
Obtiene factorizando los polinomios.
Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple:
MCD(A; B).MCM(A; B)=A(x).B(x)
Viene expresado por la multiplicación de los factores
primos comunes afectados de sus menores exponentes.
Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores
exponentes.
A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces:
1ra posibilidad:
A(x) – B(x) = MCD 2da posibilidad:
A(x) -B(x) = contiene al MCD
Resueltos
1. Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:
A(x) = x3 – 5x2 + 4 = x3 – x2 – 4x + 4 B(x) = (x + 2)3 (x + 5)
Solución:
Dado que A(x) no esta factorizado procedemos a factorizarlo.
A(x) = x3 – 5x2 + 4; por divisores binómicos entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el polinomio.
Aplicando Ruffini:
0 4 0 1
4 0 1 1
x
4 4 1 1
A(x) = (x2 – 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1)
Luego tenemos:
B(x) = (x + 2)3 (x + 5) A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1)
Luego el M.C.D. de los polinomios M.C.D. = (x + 2)
2. Hallar el M.C.D. de los polinomios:
A = x2y3z4
B = x5y2z3 M.C.D. = x2y2z2 C = x3y5z2
3. Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A = x5y2z3
B = x3y3z4 M.C.M. = x5y5z4 C = x4y5
4. Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A = (x + 1)2 (x + 3)5 (x + 2)3 B = (x + 1) (x + 2)4
C = (x + 1)3 (x + 3)4 (x + 2) (x + 4)
MCM(A; B; C) = (x + 1)3(x + 2)4 (x + 3)5 (x + 4)
5. Sea: P1(x) = Ax2 + 2x – B P2(x) = Ax2 – 4x + B
Si (x - 1) es el MCD de P1 P2, hallar el cociente B/A.
Solución:
(x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces: P1(1) = 0 P2(1) = 0.
Redundando en el teorema del resto:
P1(1) = A + 2 – B = 0 … () P2(1) = A – 4 + B = 0 … () Resolviendo el sistema:
A – B = -2 A + B = 4
A = 1; B = 3
Piden: 3
1 3 A
B
6. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente:
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)
MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3) hallar el otro polinomio.
Solución:
Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad:
MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:
) x ( A
) MCM )(
MCD ) ( x (
B
Reemplazando valores:
) 3 x )(
2 x )(
1 x (
) 3 x )(
2 x )(
1 x )(
5 x )(
1 x )(
2 x ) ( x (
B
B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5) x2 -4
Diferencia de Cuadrados
Común a los 3
polinomios No común
Mayores Exponentes
7. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:
a-1 . xn-1; b-1 . xn-2; c-1 . xn-3
Solución:
MCD = xn-3
MCM = a-1 . b-1 . c-1 . xn-1 piden:
abc x x
x . c . b . a MCD
MCM 2
3 n
1 n 1 1
1
8. Hallar el MCM de:
x2 – 4x + 3 x2 + 4x + 3 x4 – 10x2 + 9 x3 – 9x + x2 - 9
Solución:
Factorizando:
I. x2 – 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …() II. x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …() III. x4 – 10x2 + 9 = (x2 - 9)(x2 - 1)
= (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …() IV. x3 – 9x + x2 – 9 = x(x2 – 9) + (x2 – 9)
= (x2 - 9) (x + 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) …()
De (), (), () y () se tiene:
MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)
= (x2 - 9)(x2 - 1)
1. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4 B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3
a) x + 9 d) (x - 7)2 (x + 6)2 b) x + 10 e) (x - 7)3 (x + 6)3 c) (x - 7)3(x + 6)3
Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4(x - 6)2(x + 9)3(x - 1)4 S(x) = (x + 5)2(x - 6)4(x + 7)2(x - 1)3 a) (x + 5)(x - 6)(x - 1)
b) (x + 5)2(x - 6)2(x - 1)3
c) (x + 5)4(x - 6)4(x - 1)4(x + 9)3(x + 7)2 d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)
e) (x - 1)3(x - 6)4
2. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2
a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2 b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2 c) (x - 1)2(x + 2)2
3. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2
a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8
c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 4. Dados los polinomios:
A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10 C(x; y; z) = x6y2z5 Indicar:
) C
; B
; A ( MCD
) C
; B
; A ( SMCM
a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5
d) xyz4 e) xyz
5. Señale el MCD de los polinomios:
A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2
a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1 d) x2 – 1 e) x2 + 1
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
6. Hallar el MCM de:
P(x; y) = x2 – y2 F(x; y) = x2 – 2xy + y2 S(x; y) = x2 + 2xy + y2
a) x – y b) (x + y)3 c) (x2 – y2)2 d) (x2 – y2)3 e) (x - y)3
7. Indique el MCD de:
P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 Q(x; y) = x3 – x2y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 – y4
a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) x2 + 1 d) y2 + 1 e) x + y
8. Indique el MCD de:
P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4
a) 3x2 + 4x – 4 b) 3x2 – 4x + 4 c) 3x2 + x - 4 d) x2 – 4x + 4 e) x + 2
9. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4
a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) x2 – y4
10. Si el MCD de:
P(x) = x3 – 6x2 + 11x – m Q(x ) = x3 + 2x2 – x - n es (x - 1). Hallar: “m + n”
a) -8 b) 8 c) 4
d) 6 e) 2
11. Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:
x2 + 2x - 3 si uno de los polinomios es:
P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces “A + B” es:
a) 33 b) -3 c) 12
d) -6 e) 1
12. El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es: 2x3(x + y)2 entonces uno de los polinomios es:
a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2 d) x + y e) 2x + 2y
13. El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:
x6 – 2x4 + x2
Halle la suma de factores primos del MCM.
a) 2x b) 4x – 1 c) 3x
d) 2x + x2 e) 3x + 1
14. El producto de dos polinomios es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2.
Calcular el MCD.
a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 1)2 e) x - 1
15. Si el MCM de los polinomios:
x2 + x – 2 x4 + 5x2 + 4 x2 – x - 2
es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar: “A + B + C + D”
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
1. El producto de dos polinomios es: (x6 + 1)2 – 4x6 y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x2 + 1)2 – 4x2
Luego el MCD es:
a) (x + 1)(x3 - 1) b) (x - 1)(x3 + 1) c) (x2 + x + 1)(x + 1) d) (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) e) (x2 + x + 1)(x2 - 1)
2. Si el MCM de “A” y “B” es xay4 y el MCD de los mismos es x5yb. Calcular:
n m
m E ab b
Siendo: A = 12xn-1 . ym+1 B = 16xn+1 . ym-1
a) 3543 b)
44 17 c) 3643 d) 4335 e)
4143
TAREA DOMICILIARIA Nº 1
1. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)
a) (x + 2) d) (x + 1)(x - 3) b) (x + 2)(x - 3) e) N.A.
c) (x + 2)2(x - 3)4
2. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)
a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2) c) (x + 1)6(x - 1)6 d) (x + 2)2(x - 3)4 e) (x + 1)(x - 2)
3. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3
a) (x2 + 1)(x - 2) d) (x2 + 1)4(x - 2)3 b) (x2 + 1)2(x - 2)2 e) N.A.
c) (x + 1)(x + 3)
4. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3
a) (x2 + 1)6(x - 2)4(x + 3)4(x + 7)6(x + 5)6 b) (x2 + 1)3(x - 2)2(x + 3)8(x + 7)5 c) (x + 1)(x - 2)(x + 5)
d) (x2 + 1)(x - 2)(x + 3) e) N.A.
5. Hallar el MCD de los polinomios:
P(x, y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x, y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x, y) = x4 – 2x2y2 + y4
a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) N.A.
6. Calcular el MCM de:
A(a, b) = a2 – b2 B(a, b) = a2 – 2ab + b2 C(a, b) = a2 + 2ab + b2
a) a – b b) (a + b)3 c) (a2 – b2)2 d) (a2 – b2)3 e) (a - b)3
7. Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = 5x3 – 5x2 + 2x – 2 B(x) = 2x3 + 2x2 – 2x – 2 C(x) = x4 + x3 – x2 – x
a) x2 – 1 b) x – 2 c) x - 3 d) x – 1 e) x2 + 1
8. Determinar el grado del MCM de los polinomios:
A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9
C(x) = x3 + 6x2 – 63x + 108
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
9. Si el MCD de los polinomios:
M(x; y) = 48xn-2ym+1zn N(x; y) = 36xnym P(x; y) = 72xn-1ym-1
es x2y3; entonces “m2 – n2” es:
a) 0 b) 2 c) 3
d) -4 e) 5
10. Sean:
M(x) = Ax2 + 2x – B T(x) = Ax2 – 4x + B
Si (x - 1) es el MCD de M(x) y T(x), hallar:
AB
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Si los polinomios:
A(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n B(x) = 2mx3 + 2nx2 + px - q
admite como MCD a:
2x2 + 2x + 1 Hallar un divisor de B(x).
a) x2 + 2x – 1 b) x – 3 c) 2x2 + x + 1 d) 3x – 1 e) 2x + 1
12. Si el MCD de:
P(x) = x3 – 7x2 + 16x – m F(x) = x3 – 8x2 + 21x - n es (x2 – 5x + 6). Hallar: “m + n”
a) 30 b) 20 c) -30
d) 40 e) -40
13. Indicar el MCD de los polinomios:
A(a, b) = a2 + ab – 6b2 B(a, b) = a2 – ab – 2b2 C(a, b) = a2 – 4ab + 4b2
a) a + b b) a – b c) a – 2b d) a + 2b e) ab
14. Si: A(x, y) = 12xn-1ym+1 B(x, y) = 16xn+1ym-1 cumple:
MCM = xay4; MCD = x5yb Calcular:
m a
n R b
a) 1 b) -1 c) 0
d) 2 e) 4
15. Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6)
a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2) c) (x + 1)6(x - 1)6 d) (x + 2)2(x - 3)4 e) (x + 1)(x - 2)