M.C.D. y M.C.M. DE POLINOMIOS

(1)

M.C.D. y M.C.M. DE POLINOMIOS M.C.D. y M.C.M. DE POLINOMIOS

M.C.D. y M.C.M.

de Polinomios M.C.D. y M.C.M.

de Polinomios

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Máximo Común Divisor (M.C.D.) Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) PropiedadesPropiedades

M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido

en cada uno de los polinomios.

M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de estar contenido

en cada uno de los polinomios.

M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la

característica de contener a cada uno de los polinomios.

M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la

característica de contener a cada uno de los polinomios.

Dos o más polinomios son primeros entre sí, si su M.C.D.

es ± 1.

Dos o más polinomios son primeros entre sí, si su M.C.D.

es ± 1.

Obtiene factorizando los polinomios.

Obtiene factorizando los

polinomios. Obtiene factorizando los

polinomios.

Obtiene factorizando los polinomios.

Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple:

MCD(A; B).MCM(A; B)=A(x).B(x) Únicamente para dos polinomios

A(x), B(x) se cumple:

MCD(A; B).MCM(A; B)=A(x).B(x)

Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes afectados de sus menores exponentes.

Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores

exponentes.

Viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores

exponentes.

A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces:

1^ra posibilidad:

A(x) – B(x) = MCD 2^da posibilidad:

A(x) -B(x) = contiene al MCD A(x) y B(x) son polinomios no

primos entre si. Entonces:

1^ra posibilidad:

A(x) – B(x) = MCD 2^da posibilidad:

A(x) -B(x) = contiene al MCD

(2)

Resueltos

1. Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:

A(x) = x³ – 5x² + 4 = x³ – x² – 4x + 4 B(x) = (x + 2)³ (x + 5)

Solución:

Dado que A_(x) no esta factorizado procedemos a factorizarlo.

A(x) = x³ – 5x² + 4; por divisores binómicos entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el polinomio.

Aplicando Ruffini:

0 4 0 1

4 0 1 1

x

4 4 1 1



 





 A(x) = (x² – 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1)

Luego tenemos:

B(x) = (x + 2)³ (x + 5) A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1)

Luego el M.C.D. de los polinomios M.C.D. = (x + 2)

2. Hallar el M.C.D. de los polinomios:

A = x²y³z⁴

B = x⁵y²z³ M.C.D. = x²y²z² C = x³y⁵z²

3. Hallar el M.C.M. de los polinomios:

A = x⁵y²z³

B = x³y³z⁴ M.C.M. = x⁵y⁵z⁴ C = x⁴y⁵

4. Hallar el M.C.M. de los polinomios:

A = (x + 1)² (x + 3)⁵ (x + 2)³ B = (x + 1) (x + 2)⁴

C = (x + 1)³ (x + 3)⁴ (x + 2) (x + 4)

MCM(A; B; C) = (x + 1)³(x + 2)⁴ (x + 3)⁵ (x + 4)

5. Sea: P1(x) = Ax² + 2x – B P2(x) = Ax² – 4x + B

Si (x - 1) es el MCD de P1  P2, hallar el cociente B/A.

Solución:

(x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces: P1(1) = 0  P2(1) = 0.

Redundando en el teorema del resto:

P1(1) = A + 2 – B = 0 … () P2(1) = A – 4 + B = 0 … () Resolviendo el sistema:

A – B = -2 A + B = 4

 A = 1; B = 3

Piden: 3

1 3 A B  

6. El MCD y MCM de dos polinomios son respectivamente:

MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)

MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3) Si uno de los polinomios es:

(x + 1)(x + 2)(x + 3) hallar el otro polinomio.

Solución:

Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad:

MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x) Por el dato del problema y adecuando la igualdad tenemos:

x² -4

Diferencia de Cuadrados

Común a los 3 polinomios

No común

Mayores Exponentes

(3)

) x ( A

) MCM )(

MCD ) (

x (

B 

Reemplazando valores:

) 3 x )(

2 x )(

1 x (

) 3 x )(

2 x )(

1 x )(

5 x )(

1 x )(

2 x ) ( x (

B   



 

B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)

7. Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:

a^-1 . x^n-1; b^-1 . x^n-2; c^-1 . x^n-3

Solución:

MCD = x^n-3

MCM = a^-1 . b^-1 . c^-1 . x^n-1 piden:

abc x x

x . c . b . a MCD

MCM ²

3 n

1 n 1 1

1 

 ^ ^ _^ ^

8. Hallar el MCM de:

x² – 4x + 3 x² + 4x + 3 x⁴ – 10x² + 9 x³ – 9x + x² - 9

Solución:

Factorizando:

I. x² – 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …() II. x² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …() III. x⁴ – 10x² + 9 = (x² - 9)(x² - 1)

= (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …() IV. x³ – 9x + x² – 9 = x(x² – 9) + (x² – 9)

= (x² - 9) (x + 1)

= (x + 3)(x - 3)(x + 1) …()

De (), (), () y () se tiene:

MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)

= (x² - 9)(x² - 1)

1.

Hallar el MCD de los polinomios:

A(x) = (x + 6)² (x - 7)³ (x + 9)⁴ B(x) = (x + 10)³ (x - 7)² (x + 6)³

a) x + 9 d) (x - 7)² (x + 6)²

b) x + 10 e) (x - 7)³ (x + 6)³

c) (x - 7)³(x + 6)³

Hallar el MCM de los polinomios:

F(x) = (x + 5)⁴(x - 6)²(x + 9)³(x - 1)⁴ S(x) = (x + 5)²(x - 6)⁴(x + 7)²(x - 1)³ a) (x + 5)(x - 6)(x - 1)

b) (x + 5)²(x - 6)²(x - 1)³

c) (x + 5)⁴(x - 6)⁴(x - 1)⁴(x + 9)³(x + 7)² d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)

e) (x - 1)³(x - 6)⁴

2.

A(x) = (x + 2)⁶(x - 1)⁴(x - 2)⁶(x + 3)⁴ B(x) = (x + 3)⁶(x - 1)²(x + 2)²(x + 7)² C(x) = (x - 3)⁴(x + 7)²(x - 1)³(x + 2)²

a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)² b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)² c) (x - 1)²(x + 2)²

3.

P(x) = (x + 4)³(x - 7)²(x + 6)⁸(x + 7)³ F(x) = (x + 6)²(x - 7)³(x + 7)⁴(x - 6)² S(x) = (x + 2)³(x + 6)⁴(x + 4)⁸(x + 7)² a) (x + 7)⁴(x + 6)⁸(x + 4)⁸

b) (x + 7)⁴(x + 6)⁸

c) (x + 7)⁴(x + 6)⁸(x + 4)⁸(x - 7)³(x - 6)²(x + 2)³

d) (x + 7)⁴(x + 6)⁸(x + 4)⁸(x - 7)³(x - 6)² e) (x + 7)⁴(x + 4)⁸(x - 7)³(x - 6)²(x + 2)³

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

(4)

4.

Dados los polinomios:

A(x; y; z) = x⁴y³z⁶ B(x; y; z) = x⁵y⁴z¹⁰ C(x; y; z) = x⁶y²z⁵

Indicar: MCD(A;B; C) ) C

; B

; A ( S  MCM

a) x²y⁴z⁶ b) x²y⁴z³ c) x²y²z⁵

d) xyz⁴ e) xyz

5.

Señale el MCD de los polinomios:

A(x) = x⁴ – 1 B(x) = x² – 3x + 2

a) x – 2 b) x – 1 c) x

+ 1

d) x² – 1 e) x² + 1

6.

Hallar el MCM de:

P(x; y) = x² – y² F(x; y) = x² – 2xy + y² S(x; y) = x² + 2xy + y²

a) x – y b) (x + y)³ c)

(x² – y²)²

d) (x² – y²)³ e) (x - y)³

7.

Indique el MCD de:

P(x; y) = x³ + x²y + xy² + y³ Q(x; y) = x³ – x²y + xy² – y³ R(x; y) = x⁴ – y⁴

a) x² + y² b) x² – y² c) x² + 1

d) y² + 1 e) x + y

8.

Indique el MCD de:

P(x) = 3x³ + x² – 8x + 4 Q(x) = 3x³ + 7x² - 4

a) 3x² + 4x – 4 b) 3x² – 4x + 4 c) 3x² + x - 4

d) x² – 4x + 4 e) x + 2

9.

P(x; y) = x³ – xy² + x²y – y³ F(x; y) = x³ – xy² – x²y + y³ C(x; y) = x⁴ – 2x²y² + y⁴

a) x + y b) x – y c)

x² – y²

d) (x + y)(x – 3y) e) x² – y⁴

10.

Si el MCD de:

P(x) = x³ – 6x² + 11x – m Q(x ) = x³ + 2x² – x - n es (x - 1). Hallar: “m + n”

a) -8 b) 8 c) 4

d) 6 e) 2

(5)

11.

Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:

x² + 2x - 3 si uno de los polinomios es:

P(x) = 2x⁴ + 3x³ – 2x² + Ax + B entonces “A + B” es:

a) 33 b) -3 c)

12

d) -6 e) 1

12.

El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es:

2x³(x + y)²

entonces uno de los polinomios es:

a) x² + xy b) xy + y² c) (x + y)²

d) x + y e) 2x + 2y

13.

El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el producto de su MCM por su MCD es:

x⁶ – 2x⁴ + x²

Halle la suma de factores primos del MCM.

a) 2x b) 4x – 1 c)

3x

d) 2x + x² e) 3x + 1

14.

El producto de dos polinomios es (x² - 1)² y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)².

Calcular el MCD.

a) x + 1 b) x² + 1 c)

(x + 1)²

d) (x - 1)² e) x - 1

15.

Si el MCM de los polinomios:

x² + x – 2 x⁴ + 5x² + 4 x² – x - 2

es equivalente a: x⁸ + Ax⁶ + Bx⁴ + Cx² + D

Determinar: “A + B + C + D”

a) 0 b) 1 c)

-1

d) 2 e) -2

1.

El producto de dos polinomios es: (x⁶ + 1)² – 4x⁶

y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es: (x² + 1)² – 4x²

Luego el MCD es:

a) (x + 1)(x³ - 1) b) (x - 1)(x³ + 1)

c) (x² + x + 1)(x + 1) d) (x² – x + 1)(x² + x + 1) e) (x² + x + 1)(x² - 1)

2.

Si el MCM de “A” y “B” es x^ay⁴ y el MCD de los mismos es x⁵y^b. Calcular:

n m

m

E a^b _b











 

(6)

Siendo: A = 12x^n-1 . y^m+1 B = 16xⁿ⁺¹ . y^m-1

a) 35

43 b)

17

44 c)

36 43 d) 43

35 e)

41 43

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

1.

P(x) = (x + 2)²(x - 3)⁴(x + 1) Q(x) = (x + 2)⁵(x - 3)⁵(x + 6)

a) (x + 2) d) (x + 1)(x -

3)

b) (x + 2)(x - 3) e) N.A.

c) (x + 2)²(x - 3)⁴

2.

P(x) = (x + 2)²(x - 3)⁴(x + 1) Q(x) = (x + 2)⁵(x - 3)⁵(x + 6)

a) (x + 2)⁵(x - 3)⁵(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)⁴(x - 3)⁴(x - 2) c) (x + 1)⁶(x - 1)⁶ d) (x + 2)²(x - 3)⁴ e) (x + 1)(x - 2)

3.

P(x) = (x + 3)⁴(x² + 1)⁶(x - 2)²(x + 7)⁶ Q(x) = (x + 7)²(x² + 1)³(x - 2)⁴(x + 5)⁶ R(x) = (x + 5)⁴(x² + 1)²(x - 2)³(x + 3)³

a) (x² + 1)(x - 2) d) (x² + 1)⁴(x - 2)³

b) (x² + 1)²(x - 2)² e) N.A.

c) (x + 1)(x + 3)

4.

P(x) = (x + 3)⁴(x² + 1)⁶(x - 2)²(x + 7)⁶ Q(x) = (x + 7)²(x² + 1)³(x - 2)⁴(x + 5)⁶ R(x) = (x + 5)⁴(x² + 1)²(x - 2)³(x + 3)³

a) (x² + 1)⁶(x - 2)⁴(x + 3)⁴(x + 7)⁶(x + 5)⁶

b) (x² + 1)³(x - 2)²(x + 3)⁸(x + 7)⁵ c) (x + 1)(x - 2)(x + 5)

d) (x² + 1)(x - 2)(x + 3) e) N.A.

5.

P(x, y) = x³ – xy² + x²y – y³ F(x, y) = x³ – xy² – x²y + y³ C(x, y) = x⁴ – 2x²y² + y⁴

a) x + y b) x – y c)

x² – y²

d) (x + y)(x – 3y) e) N.A.

6.

Calcular el MCM de:

A(a, b) = a² – b² B(a, b) = a² – 2ab + b² C(a, b) = a² + 2ab + b²

a) a – b b) (a + b)³ c)

(a² – b²)²

d) (a² – b²)³ e) (a - b)³

7.

A(x) = 5x³ – 5x² + 2x – 2 B(x) = 2x³ + 2x² – 2x – 2 C(x) = x⁴ + x³ – x² – x

a) x² – 1 b) x – 2 c) x

- 3

d) x – 1 e) x² + 1

(7)

8.

Determinar el grado del MCM de los polinomios:

A(x) = x² – 15x + 36 B(x) = x² – 9

C(x) = x³ + 6x² – 63x + 108

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9.

Si el MCD de los polinomios:

M(x; y) = 48x^n-2y^m+1zⁿ N(x; y) = 36xⁿy^m P(x; y) = 72x^n-1y^m-1

es x²y³; entonces “m² – n²” es:

a) 0 b) 2 c) 3

d) -4 e) 5

10.

Sean:

M(x) = Ax² + 2x – B T(x) = Ax² – 4x + B

Si (x - 1) es el MCD de M(x) y T(x), hallar:

A B

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11.

Si los polinomios:

A(x) = 6x⁴ + 4x³ + 5x² + mx + n B(x) = 2mx³ + 2nx² + px - q

admite como MCD a:

2x² + 2x + 1 Hallar un divisor de B(x).

a) x² + 2x – 1 b) x – 3 c) 2x² + x + 1

d) 3x – 1 e) 2x + 1

12.

Si el MCD de:

P(x) = x³ – 7x² + 16x – m F(x) = x³ – 8x² + 21x - n es (x² – 5x + 6). Hallar: “m + n”

a) 30 b) 20 c)

-30

d) 40 e) -40

13.

Indicar el MCD de los polinomios:

A(a, b) = a² + ab – 6b² B(a, b) = a² – ab – 2b² C(a, b) = a² – 4ab + 4b²

a) a + b b) a – b c) a

– 2b

d) a + 2b e) ab

14.

Si: A(x, y) = 12x^n-1y^m+1 B(x, y) = 16xⁿ⁺¹y^m-1 cumple:

MCM = x^ay⁴; MCD = x⁵y^b Calcular:

m a

n R b











 

a) 1 b) -1 c) 0

d) 2 e) 4

15.

P(x) = (x + 2)²(x - 3)⁴(x + 1) Q(x) = (x + 2)⁵(x - 3)⁵(x + 6)

a) (x + 2)⁵(x - 3)⁵(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)⁴(x - 3)⁴(x - 2) c) (x + 1)⁶(x - 1)⁶ d) (x + 2)²(x - 3)⁴ e) (x + 1)(x - 2)