Expresiones algebraicas (1º ESO)

Expresiones algebraicas

(1º ESO)

Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.

 El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje numérico.

EJEMPLOS

Lenguaje usual Lenguaje numérico Catorce dividido entre siete 14 : 7 Dos elevado al cuadrado 22

La tercera parte de dieciocho 3 18

 El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje algebraico.

EJEMPLOS

Lenguaje usual Lenguaje algebraico La suma de dos números a + b Un número menos tres unidades y – 3 El cuadrado de un número b2 La mitad de un número

2 x

1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda.

Lenguaje usual Lenguaje numérico La suma de once más nueve es veinte

Cien dividido entre veinte La cuarta parte de veinte es cinco Dos elevado al cubo es ocho

32 : 8 3 · 4 2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.

a) La mitad de un número (m + 2)2 b) El triple de un número menos cinco unidades n – 1 c) El anterior a un número entero 2·(a + b + c) d) El posterior a un número entero x + 1 e) El cuadrado de la suma de dos números

2

m f) El doble de la suma de tres números 3 · b – 5

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones matemáticas.

EJEMPLOS

Expresión escrita Expresión algebraica La suma de dos números menos dos x + y – 2

El triple de un número más cinco 3 · x + 5 El cuadrado de un número más la unidad x2 + 1

1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica. a) El doble de un número b.

b) El doble de la suma de dos números (m y n). c) El cuadrado de un número x más 4 unidades. d) El producto de tres números a, b. c.

e) El doble de un número p más tres unidades.

2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a) El doble de un número más dos unidades x – 5 b) Un número disminuido en cinco unidades

3 x c) La tercera parte de un número 2x + 2 d) El cubo de un número x + 10 e) El doble de un número 2x f) Un número aumentado en diez unidades x3 g) La diferencia de dos números x + 1 h) El número siguiente a un número entero x – y i) El producto de dos números

2

b a

j) Los dos quintos de la suma de dos números

a



b

k) La raíz cuadrada de la suma de dos números

_

_

b a 5 2

l) La mitad de la suma de dos números m · n

3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.

Expresión Lenguaje algebraico Los años que tenía el año pasado

Los años que tendrá dentro de dos años La edad que tenía hace 5 años

La edad que tendrá dentro de 7 años Los años que faltan para que cumpla 70 años La mitad de los años que tiene

El cubo de la edad que tendrá dentro de 3 años

4. Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas. a) n + 1 → b) a + b → c) _ 2 b d) 2 · (m – n) → e) x3 – 1 → f) 2 · x + 1 →

5. Contesta con expresiones algebraicas.

a) Luís tiene hoy t años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 5 años?

b) María pesa m kilos y su hermana Silvia 6 kilos menos. ¿Cuántos kilos pesa Silvia?

c) Marcos tiene x euros en su hucha y saca 12 euros. Unos días después, su abuela le da de propina el doble del dinero que le quedaba en la hucha. ¿Qué le ha dado su abuela?

d) Hace doce años la edad de Miguel era x años. ¿Cuántos años tiene ahora?

e) La base de un rectángulo mide x cm. Y su altura 3 cm. más que el doble de la base. ¿Cuánto mide la altura?

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

EJEMPLOS _{Monomio 3x – 5ab –7x}3

x 5 3 Coeficiente 3 – 5 – 7 5 3 Parte literal x ab x3 x

1. Completa las tablas.

Monomio Coeficiente Parte literal Monomio Coeficiente Parte literal

x 1 x a2b 3 2 – 3xy – 3 – 2xyz – x3 _{– 3b}2 c – 5xy2 6x2y y x2 3 1 2 7 5 xyz  Grado de un monomio

El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

EJEMPLOS Monomio Grado Explicación

– 3x 1 El exponente de x es 1 (x1)

4a2y 3 La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3 – 5x2

y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5 1. Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

– 3x – 3 x 1 – 2a3_b – 2ab xyz 7ab2c3 6y2z Monomios semejantes

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. EJEMPLOS

5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x) 3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2) x2y3 y xy2 no son monomios semejantes

1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado.

Monomio Monomios semejantes – 5x – ab – 2yx3 – 3y2 z3 b a2 3 2 5xy

Suma y resta de monomios

La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x

2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes

1. Realiza las siguientes operaciones.

a) b + b + b + b = d) 5x – 3x – x = b) 2x2 + x2 + x2 = e) –5x3 – 3x3 = c) 5mn – mn – 4mn = f) p – 2p + 5p = 2. Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.

a) 2x + ______ + _______ = d) 2x3 _{+ _______ =}

b) _______ – x2 = e) _______ + 2xy + ________ = c) _______ + 5p + ______ = f) 5pq – _______ =

3. Reduce a un solo monomio las siguientes expresiones.

a) 7x – 5x – x = d) 8a8 + a8 – 10a8= b) 0,3x – 0,2x + 0,5x = e) y2 + 7y2 -10y2 + 5y2 = c) _{m m m} 2 1 2 1 3 f) 2  2  2  5 4 3 t t t

4. Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles.

a) 3m + n – 4m + 2n = f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x = b) 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 = g) 5y2- 5y + 3y2 – y = c) – a + 2a – 8b + a + 9b = h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab = d) 2p2 – p2 + 3p – 2p = i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab = e) 5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 = j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x

Ecuaciones de 1

er

grado

Identidades y ecuaciones

 Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).

 Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras. EJEMPLO

x + x = 2x es una identidad

Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x: Para x = 1 → 1 + 1 = 2 · 1 → 2 = 2

Para x = –2 → (–2) + (–2) = 2 · (–2) → – 4 = – 4

 Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la igualdad.

EJEMPLO

x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x = 6 → 6 + 4 = 10

1. Indica que igualdades son identidades y cuáles ecuaciones.

a) x + 8 = 2x – 15 d) x2 _{· x}3 _{= x}5 b) 2(x + 2y) = 2x + 4y e) 2x + 1 = 11

c) x + x + x = 3x f) ₁₂ 2  x 2. Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.

a) x – 1 = 2 d) –x + 10 = 5 b) x + 7 = 15 e) x + 4 = 12 c) x – 3 = 6 f) –x – 6 = –10

Elementos de una ecuación

 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.

 Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los miembros.

 Los términos numéricos se denominan términos independientes.

 Las incógnitas de una ecuación son los valores que desconocemos y representamos con letras.

 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la ecuación.

 Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad. EJEMPLO

Ecuación Primer miembro Segundo miembro Términos Grado Solución 2x – 3 = x + 1 2x - 3 x + 1 2x, –3,x,1 1 x = 4 1. Completa la tabla. Ecuación 4x – x = x + 8 2 12 3 p  1 6 4 3t t     Primer miembro Segundo miembro Términos 2. Completa la tabla.

Ecuación Términos del 1er miembro Términos del 2º miembro Incógnita Grado 3 + x = 12 19 – y = 15 10 = 5z 2a – 4 = 1 + a 11 = 9 + b Ecuaciones equivalentes

Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

p + 4 = 10 y 2p = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución p = 6. 6 + 4 = 10 2 · 6 = 12

Las transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente son:  Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.

1. La ecuación 3x + 4 = 10 tiene como solución x = 2. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes a la ecuación 3x + 4 = 10. a) 3x + 10 = 20 e) _{x 2x 5 6x} 7 2 _{  } b)

₈

₅

2

3

_

_

_

x

f)

₉

2

1

8

2

x





x



x



c) 4x + 12 – x = 21 g) 12x – 3x + 10 = 5x + 18 d) _{12 8 18} 9 4 _{  } x x h) x3x 2 1 4 2 3 _ x

2. Encuentra, tanteando, la solución de las siguientes ecuaciones. Rodea de rojo, aquellas que sean equivalentes. a) x – 2 = 2 e) b – 4 = 1 i) 2p – 1 = 3 b) 4 + z = –2 f) –1 + n = –3 j) 3m = –15 c) x – 1 = –5 g) –2 – y = – 4 k) –2x – 4 = 10 d) ₄ 2  x _h) 6 18  x _l) 2 5 2  x

Resolución de ecuaciones de 1er grado

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita). Es hallar su solución.

 Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros.

 Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.

 Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).

PRIMER CASO

x + 7 = 9 → x + 7 – 7 = 9 – 7 Lo que está sumando pasa al otro x = 9 – 7 miembro restando.

SEGUNDO CASO

y – 5 = 8 → y – 5 + 5 = 8 + 5 Lo que está restando pasa al otra y = 8 + 5 miembro restando. TERCER CASO

3·

9

3·

9

3

3

p

p

 



Lo que está multiplicando pasa al otro

9

3

p



miembro dividiendo. CUARTO CASO 6 4 z _{ } ·4 6·4 4

z _{ Lo que está dividiendo pasa al otro}

z = 6 · 4 miembro multiplicando.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 5 = 7 j) 2m + 4 = 16 r) 3 1 2x b) x + 10 = 3 k) 2 3 1  x s) 10 1 5   x c) x – 4 = 2 l) 2 – t = 4 t) 2 – 3x = –1 d) 7y = 28 m) 2 3 3x u) 5x + 18 = 3 e) –2r = 5 n) 3 1 4  x _{v) –3p – 7 = 8}

f)

₁

6





x

_{ñ) 3x – 5 = 1 w)}

4

3

2

1

_

x

g) 3x = 15 o) 6z + 4 = 13 x) 3 + y = 0 h) q + 6 = 14 p) 2 5 2 1_{ } x y) 4b + 12 = 8 i) –10 = –n + 3 q)

5

3

1



x



z) –2a – 6 = 3 2. Resuelve. a) –x + 3 = 2x + 12 h) 4y – 8 = y + 16 ñ) 1 – 2n = 6 – 4n b) 5x + 2 = 3x – 2 i) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3 o) 6 + 5y + 2 = 4y – 2 + y c) –2x – x = 10 + 5 j) –2x + 1 = 3x + 2 - x p) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x d) m + 3m – 5 = 3 k) 3 + m = 5m – 1 + 6 q) x + 6 – 9x = 4x – 2 – 2x + 8 e) 2x – 4 = 5 – 2x l) q + 3 = 5q + 11 r) 13 – 3z – 9 = 8z + 4 – 11z f) 3x – x = 3x + 21 m) 5 + 6x = x + 7 s) 6x – 4 – 4x = 1 + 2x - 5 g) –3x + 5 = 2x – 10 n) 8 – 5t = 8 + 2t t) –10 – r + 3r = 2r + 4r + 2 Método general de resolución de ecuaciones

Resuelve la ecuación 2(z – 4) – (6 + z) = 3z – 4

Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar paréntesis. 2z – 8 – 6 – z = 3z – 4 2.º Reducir términos semejantes. z – 14 = 3z – 4 3.º Transponer términos.

Restamos z en ambos miembros (segundo caso) z – z – 14 = 3z – z - 4 – 14 = 2z – 4 Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) – 14 + 4 = 2z – 4 + 4 – 10 = 2z 4.º Despejar la incógnita.

Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso) 10 2

5

2 2

z

z  _{   }

1. Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x j) 5(m – 3) + 8m = 6m – 5 + m b) 5(y – 1) – 6y = 3y – 9 k) 2 – (3z – 5) = 4 – 2z + 3 - z c) 3(3x + 1) – (x – 1) = 6 (x + 10) l) 3(p + 4) – 6p = 8 – 3(p – 5) d) 2(a – 5) = 3(a + 1) – 3 m) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3) e) 4(b – 2) + 1 = 5(b + 1) – 3b n) 5(3x – 1) – 2(4x – 3) = 15 f) 3(x – 3) = 5(x – 1) – 6x ñ) 15 – 6(2x – 4) = 8 + 2(5x-1) g) 3(q + 2) + 4(2q + 1) = 11q – 2(q + 6) o) 5d – (1 – d) = 3(d – 1) + 2 h) 5(x – 4) + 30 = 4(x + 6) p) 2(1 – x) – 3 = 3(2x + 1) + 2 i) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x) q) 6 – 8(n + 1) – 5n = 2(3 + 2n) – 5(3 + n)