6 1 Vectores

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(1)Tema V. Aproximación a la Ciencia.. 1º Bachillerato. Cuestiones Previas. • Desarrollo del tema:. 1. Álgebra vectorial.. I.. ÁLGEBRA VECTORIAL. Las magnitudes pueden ser de tres tipos: •. Escalares: Quedan perfectamente definidas por un número. Ejemplo: masa, tiempo.... •. Vectoriales: Quedan perfectamente por un vector. Un vector es un segmento orientado y queda definido dando su punto origen (punto de aplicación), su módulo (longitud), su dirección (recta sobre la que se apoya) y su sentido (hacia donde apunta). Ejemplo: aceleración, fuerza. ...etc. •. Tensoriales: No las emplearemos a lo largo del curso. Ejemplo: Momento de inercia.. Cualquiera de los tres tipos de magnitudes tienen en común ser independientes del sistema de coordenadas, aunque en el caso del vector si lo es su representación (componentes). Las componentes de un vector no son escalares ya que dependen del sistema de coordenadas, son números. Los vectores se pueden clasificar en: Fijos: Cuando su punto de aplicación es fijo. Ejemplo: vector posición de un punto. Deslizantes: su punto de aplicación se puede deslizar a lo largo de una recta. Ejemplo: fuerza aplicada a un sólido para el estudio de su movimiento de traslación. Concurrentes: Dos vectores fijos son concurrentes si tienen igual punto de aplicación. Libres: Su punto de aplicación es cualquier punto del espacio (del cuerpo) Ejemplo: A lo largo de este curso siempre trabajaremos con vectores libres ya que sólo se trabajará con el punto material. Álgebra de los vectores libres gráficamente: •. Igualdad: Dos vectores serán iguales si tienen igual módulo, dirección (rectas paralelas) y sentido.. •. Adición: Para sumar vectores se pone uno a continuación del otro, el vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo, usualmente se hace mediante la regla del B paralelogramo, colocan los dos vectores con igual origen y con ellos A se construye un paralelogramo, S A A siendo el vector suma la diagonal del B B paralelogramo, siendo su origen el Regla del paralelogramo origen de ambos vectores.. 6 Vectores. Página 1 de 5.

(2) Tema V. Aproximación a la Ciencia.. •. 1º Bachillerato. Asociativa: Gráficamente se comprueba que: G G G G G G A + B + C = A + B+ C. (. ). (. ). B. C. C. A A+B. A B. •. •. B+C A+B+C. B. Existencia del opuesto: El opuesto a un vector dado es otro vector con igual módulo G G G dirección pero de sentido contrario (opuesto), cumpliéndose que A + (− A) = 0 . Se G representa por − A . G G G G Sustracción: Se suma a un vector el opuesto del otro. A − B = A + (−B) . Cuando se emplea la regla del paralelogramo el vector diferencia es la otra D=A-B diagonal del paralelogramo. A A B. •. -B. B. Producto por un escalar: El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del módulo del vector por el escalar, cuya dirección coincide con la del vector y cuyo sentido será el mismo del vector si el escalar es positivo y opuesto si el escalar es negativo.. Vectores en un sistema de coordenadas.. Para representar un vector en el plano o el espacio se elige un sistema de coordenadas, que está constituido por dos (en plano) o tres ejes coordenados perpendiculares entre si y que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. Un vector se representa, como una dos o tres de números, a través de sus componentes, que son la proyección de dicho vector sobre cada uno de los G ejes coordenados, A = (A x , A y , A z ) Cada una de las componentes puede ser considerada como un vector, de tal forma que al sumar los tres vectores se obtiene el vector original. Cada una de las componentes puede ser considerada como el producto de un número por un vector de módulo uno y orientado según cada uno de los ejes. En el plano el vector A se puede expresar como:. Y+. A=(x, y). Ay. A. Ax 6 Vectores. X+ Página 2 de 5.

(3) Tema V. Aproximación a la Ciencia.. 1º Bachillerato. iˆ = (1,0) ˆj = (0,1) G G G A = ( x, y ) = Ax + Ay G A = x(1,0) + y (0,1) = Ax iˆ + Ay ˆj. G G G G En el espacio: A = Ax + Ay + Az G ⎧ i = (1,0,0) ⇒ A x = A x i ⎪⎪ G G ⎨ j = (0,1,0) ⇒ A y = A y j ⇒ A = A x i + A y j + A z k G ⎪ ⎪⎩ k = (0,0,1) ⇒ A z = A z k. A está última expresión se le conoce con el nombre de expresión analítica de un vector y se cumple: Z+. Az. Ax. ⎧ Ax = A ⋅ cos α ⎪ ⎨ Ay = A ⋅ cos β ⎪ ⎩ Az = A ⋅ cos γ. A. Ay. ⎫ ⎪ ⎬⇒ ⎪ ⎭. ⎧⎪ A = A 2 + A 2 + A 2 x y z ⎨ 2 ⎪⎩cos α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Y+. A α, β, y γ se les llama cosenos directores del vector.. X+. Álgebra vectorial en notación analítica.. •. Igualdad: Dos vectores serán iguales cuando tengan iguales componentes.. •. Adición: Para sumar dos vectores en su notación analítica se suman por componentes. G A = A x i + A y j + A z k ⎫⎪ G G G G ⇒ A + B = A = A x i + A y j + A z k + B = Bx i + By j + Bz k G ⎬ B = Bx i + By j + Bz k ⎪⎭ G G A + B = ( A x + B x ) i + A y + B y j + ( A z + B z ) k. (. ) (. (. ). ). •. Existencia del opuesto: El opuesto a un vector dado es otro vector de iguales componentes pero de signo cambiado.. •. Sustracción: Para restar dos vectores se restan sus componentes.. 6 Vectores. Página 3 de 5.

(4) Tema V. Aproximación a la Ciencia.. 1º Bachillerato. G A = A x i + A y j + A z k ⎫⎪ G G G G ⇒ A + B = A = A x i + A y j + A z k − B = Bx i + By j + Bz k G ⎬ B = Bx i + By j + Bz k ⎭⎪ G A = ( A x − Bx ) i + A y − By j + ( A z − Bz ) k. (. ) (. (. •. ). ). Producto por un escalar: El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando el escalar por cada una de las componentes del vector. G A = A x i + A y j + A z k y λ∈R G G P = λA = λ A x i + A y j + A z k = λA x i + λA y j + λA z k. (. ). Un caso particular del producto de un escalar por un vector es el caso de los vectores unitarios. Dado un vector G siempre es posible construir un vector unitario en la dirección y sentido G G A de dicho vector Û A = G ⇒ A = A ⋅ Û A A Cualquier vector unitario puede ser expresado en función de los vectores unitarios î , ĵ, k̂. Producto escalar.. El producto escalar de dos vectores es un número que se obtiene al multiplicar los módulos G G de los vectores por el coseno del ángulo formado por ambos vectores. A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cosθ El producto escalar de dos vectores se puede interpretar como el módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre el primero. G G A ⋅ B = A ⋅ ( B ⋅ cos θ) = A ⋅ Proy A B G G A B A ⋅ B = B ⋅ ( A ⋅ cos θ) = B ⋅ Proy B A Propiedades:. • •. G G G G Conmutativa: A ⋅ B = B ⋅ A ya que cos θ = cos (2π-θ) G G G G Si A es perpendicular a B entonces A ⋅ B = 0 ya que cos π/2=0. A·Cos α. Una consecuencia de esta propiedad es el producto de vectores unitarios perpendiculares es nulo î ⋅ ĵ = î ⋅ k̂ = ĵ ⋅ k̂ = 0 y sus conmutativos. G G G G G G • Si A es paralelo a B entonces A ⋅ B = A ⋅ B ya que cos0=cosπ=0 Una consecuencia de esta propiedad sería el producto escalar de un vector por si mismo. 2 A⋅A = A .. para el caso de vectores unitarios quedaría: î ⋅ î = ĵ ⋅ ĵ = k̂ ⋅ k̂ = 1 G G G G G G G Distributiva respecto de la suma: A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C. (. ). Expresión analítica del producto escalar de dos vectores. 6 Vectores. Página 4 de 5.

(5) Tema V. Aproximación a la Ciencia.. 1º Bachillerato. G A = A x i + A y j + A z k ⎫⎪ G G G G ⇒ A ⋅ B = A = A x i + A y j + A z k ⋅ B = Bx i + By j + Bz k G ⎬ B = Bx i + By j + Bz k ⎪⎭ G G G G A ⋅ B = A x B x î ⋅ î + A y B y ĵ ⋅ ĵ + A z B z k̂ ⋅ k̂ ⇒ A ⋅ B = A x Bx + A y B y + A z Bz. (. )(. ) teniendo. en cuenta el producto escalar de vectores unitarios.. 6 Vectores. Página 5 de 5.

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