ur-logo 1 Origen de las Incertezas
2 Errores y Representaci ´on de N ´umeros Representaci ´on de n ´umeros enteros Representaci ´on de n ´umeros reales Aritm ´etica de Punto Flotante Medida de errores
3 Condicionamiento de los Problemas
ur-logo 1 Origen de las Incertezas
2 Errores y Representaci ´on de N ´umeros
Representaci ´on de n ´umeros enteros Representaci ´on de n ´umeros reales Aritm ´etica de Punto Flotante Medida de errores
3 Condicionamiento de los Problemas
ur-logo 1 Origen de las Incertezas
2 Errores y Representaci ´on de N ´umeros
Representaci ´on de n ´umeros enteros Representaci ´on de n ´umeros reales Aritm ´etica de Punto Flotante Medida de errores
3 Condicionamiento de los Problemas
ur-logo 1 Origen de las Incertezas
2 Errores y Representaci ´on de N ´umeros
Representaci ´on de n ´umeros enteros Representaci ´on de n ´umeros reales Aritm ´etica de Punto Flotante Medida de errores
3 Condicionamiento de los Problemas
ur-logo
Palabras claves
Origen de las Incertezas
El uso de simuladores matem ´aticos o num ´ericos requieren la ejecuci ´on de una sucesi ´on de etapas.
Una vez establecidas las ecuaciones que describen matem ´aticamente el objeto de estudio, el paso siguiente es resolverlo.
ur-logo
Palabras claves
Origen de las Incertezas
Todo m ´etodo num ´erico debe ser implementable para obtener datos palpables.
ur-logo
Palabras claves
Errores y Representaci ´on de N ´umeros
El error inicial es la suma de las incertezas introducidas en la ecuaci ´on del problema, medici ´on en los par ´ametros, en las condiciones iniciales, etc.
La influencia de estas perturbaciones en el resultado final va depender de LA ESTABILIDAD DEL PROBLEMA.
ur-logo
Error de Truncamiento
Otro ejemplo es la aproximaci ´on:
f0(x)≈ f(x+h)−f(x−h)
2h .
Veremos m ´as adelante que el error de truncamiento de la f ´ormula de diferencias centradas es
h2f”(α),
ur-logo
Error de Truncamiento
En la representaci ´on de un n ´umero, el error de truncamiento sucede por ejemplo cuando queremos expresar:
2.3465981735242
con una aproximaci ´on de 5 d´ıgitos.
La representaci ´on usando truncamiento ser ´a:
ur-logo
Error de Redondeo
LLamamos error de redondeo a la suma de las incertezas asociadas a la representaci ´on del sistema de numeraci ´on en la computadora. En la representaci ´on de un n ´umero, el error de redondeo sucede por ejemplo cuando queremos expresar:
2.3465981735242
con una aproximaci ´on de 5 d´ıgitos.
La representaci ´on usando redondeo ser ´a:
ur-logo
Representaci ´on de n ´umeros enteros
N=an×2n+an−1×2n−1+...+a1×21+a0×20.
Un n ´umero entero es representado por los coeficientes de su expresi ´on bin ´aria.
As´ı,
ur-logo
Palabras claves
Representaci ´on de n ´umeros enteros
Por ejemplo,
12=1×23+1×22+0×21+0×20,
este n ´umero ser ´a representado en la m ´aquina por
ur-logo
Palabras Claves
N ´umeros Reales
Representaci ´on de los n ´umeros reales
x =xe+xf,
dondexees la parte entera yxf es la parte fraccionararia, i.e,
xf =b1×2−1+b2×2−2+b3×2−3+...
Entonces,
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Aritm ´etica de Punto Flotante
Dadox ∈R,
fl(x) =±(.d1d2...dn)×βe
donde
βes la base;
(.d1d2...dn)llamada mantisa es la representaci ´on fraccionaria
connd´ıgitos en la baseβ;
d16=0 ´od1=0,∀i;
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Ejemplo
.25312×10−1representa el n ´umero 0.025312 en la base
10.
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Observaci ´on
1 Las limitaciones en el exponente y en la mantisa
introducen errores de redondeo.
2 Si el l´ımite permitido es excedido para el exponente
tendremos:
Underflow: si el n ´umero es muy peque ˜no Overflow: si el n ´umero es muy grande
3 En los c ´alculos que exigen m ´as precisi ´on se puede
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Adici ´on
x =0.31426×103yy =0.92577×105.
Con una aproximaci ´on de 5 d´ıgitos tenemos Sumafl(x +y)
0. 0 0 3 1 4 ×105 +
0. 9 2 5 7 7 ×105
0. 9 2 8 9 1 ×105
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Diferencia
x =0.31426×103yy =0.92577×105.
Con una aproximaci ´on de 5 d´ıgitos tenemos Diferencia: fl(x−y)
− 0. 9 2 5 7 7 ×105 +
0. 0 0 3 1 4 ×105
− 0. 9 2 2 6 3 ×105.
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Producto
x =0.31426×103yy =0.92577×105.
0. 3 1 4 2 6 ×103
0. 9 2 5 7 7 ×105
2 1 9 9 8 2
2 1 9 9 8 2
1 5 7 1 5 0
0 6 2 8 5 2
2 8 2 8 3 4
0. 2 9 0 9 3 2 6 8 0 2 ×108
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Divisi ´on
Dados
x =0.31426×103yy =0.92577×105.
fl(x÷y) =0.33946×10−2 La divisi ´on exacta es
ur-logo
Palabras claves
errores
Error Absoluto y Relativo
Siv es una aproximaci ´on del valor exactou,definimos el error
absoluto y relativo de la aproximaci ´on como:
EA=|u−v|
ER =
ur-logo
Palabras claves
errores
Si el error relativo es peque ˜no, este es pr ´oximo de
|u−v| |v| ,
el cual puede ser calculado si tuvieramos una limitaci ´on para el error absoluto. En efecto, siα= u−uv entonces,
u−v
v =
αu
(1−α)u =
α
ur-logo
Palabras claves
errores
ur-logo
Palabras claves
errores
Observaci ´on
En n ´umeros grandes el error puede ser grande en t ´erminos absolutos pero el resultado puede ser preciso. Considere
vexacto=2123544.5 y vaproximado=2123542.7
Entonces
ur-logo
Palabras claves
errores
Observaci ´on
Puede ser que el error absoluto sea peque ˜no pero el resultado puede ser impreciso.
vexacto=0.128 y vaproximado=0.234
Entonces
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Condicionamiento de los Problemas
La noci ´on de problemas bien puestos fue formalizado por Hadamard, 1902.
Noci ´on de estabilidad: si la soluci ´on es ´unica y peque ˜nas perturbaciones en los datos probocan peque ˜nas
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Condicionamiento de Algoritmos
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Observaci ´on
Puede suceder que el problema sea estable, en el c ´alculo de la soluci ´on aproximada, pero el m ´etodo sea inestable. As´ı
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Ejemplo
Considere la ecuaci ´on
ax2−bx+c =0,
dondea,b>0.Entonces las ra´ıces son:
x1=
b+√b2−4ac
2a y x2=
b−√b2−4ac
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Sib2>>4ac,el c ´alculo dex
2envolver ´a la diferencia de 2
n ´umeros pr ´oximos:
x2≈0.
As´ı este m ´etodo de calcular las ra´ıces de un polin ´omio de segundo grado es inestable.
Una alternativa puede ser calcularx1y usar las
propiedades de ra´ıces de ecuacones de segundo grado:
x1x2=
ur-logo
Palabras claves
algoritmos
Considere el caso particular:
x2−100.22x+1.2371=0,
entonces,
a=1
b=100.22=.10022×103
c=1.2371= +.12371×101
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
Producto
Hallemosb2
0. 1 0 0 2 2 ×103
0. 1 0 0 2 2 ×103
0 2 0 0 4 4
0 2 0 0 4 4
0 1 0 0 2 2 0 0
0. 0 1 0 0 4 4 0 4 8 4 ×106
Luegob2=0.100440484×105y as´ı
ur-logo
Palabras claves
punto flotante
ac=0.12371×101
4ac =0.49484×101.
Luego,
b2−4ac =0.10044×105−0.00004×105=0.10039×105.
p
ur-logo
Palabras claves
Temas del Curso
Hallando las ra´ıces tenemos:
x1=
b+√b2−4ac
2a =100.20
x2=
b−√b2−4ac
2a =0.015
Por otro lado, usando el segundo procedimiento tenemos:
x2=
c ax1
= 1.2371
ur-logo
Palabras claves
En una calculadora con m ´as de 6 d´ıgitos se tiene:
ur-logo
Palabras claves
Para cuantificar los dos procedimientos, el error relativo de la
aproximaci ´onx2usando el primer procedimiento es:
ER =
|0.0123−0.015|
0.0123 =21.5%
Usando el segundo procedimiento:
ER =
|0.012345−0.012346|
