Terminamos este cap´ıtulo con dos aplicaciones de la aritm´etica cardinal re- lacionadas con el axioma de elecci´on. La primera es un hecho sorprendente: La hip´otesis del continuo generalizada implica el axioma de elecci´on. Esto fue anunciado por Hausdorff, si bien la primera prueba publicada fue de Sierpi´nski. La demostraci´on que veremos aqu´ı es posterior. Necesitamos algunos resultados previos.
En primer lugar, sin el axioma de elecci´on hemos probado que, para todo ordinal infinito α, se cumple |α×α| = |α|. Ahora necesitamos construir, tambi´en sin el axioma de elecci´on,6una aplicaci´on que a cada ordinal infinito α le asigne una biyecci´on fα : α × α −→ α. Por ejemplo, la prueba de 4.25 muestra que si α es un cardinal entonces α × α con el orden can´onico es semejante a α, luego si nos bastara trabajar con cardinales podr´ıamos definir fαcomo la ´unica semejanza entre α × α y α. El problema es que necesitamos esto para cualquier ordinal α ≥ ω. Resolveremos esto en varios pasos.
a) Para cada par de ordinales α y β, podemos definir expl´ıcitamente una
biyecci´on fα,β : α + β −→ β + α.
Llamamos gα,β : α + β −→ α × {0} ∪ β × {1} a la ´unica semejanza entre ambos conjuntos cuando en el segundo consideramos el orden lexicogr´afico. Por otra parte podemos considerar la biyecci´on
hα,β: α × {0} ∪ β × {1} −→ β × {0} ∪ α × {1}
dada por hα,β(δ, n) = (δ, 1 − n). Basta tomar fα,β = gα,β◦ hα,β◦ gβ,α−1. b) Para cada sucesi´on de ordinales η = {ηi}i<n+1 podemos definir una bi-
yecci´on
gη : ωη0+ · · · + ωηn −→ ωηn+ · · · + ωη0. En efecto, para ello definimos recurrentemente biyecciones
giη: ωη0+ · · · + ωηi −→ ωηi+ · · · + ωη0.
6El lector que conozca la clase L de los conjuntos constructibles tiene una alternativa m´as sencilla a toda la construcci´on que sigue: basta definir fα como el m´ınimo f ∈ L (respecto del buen orden constructible) tal que f : α × α −→ α biyectiva.
Tomamos como g0
η la identidad en ωη0 y, supuesta definida giη, con i < n, definimos hiη: (ωη0+ · · · + ωηi) + ωηi+1 −→ (ωηi+ · · · + ωη0) + ωηi+1 mediante hiη(α) = Ω hi η(α) si α < ωη0+ · · · + ωηi, (ωηi+ · · · + ωη0) + δ si α = (ωη0+ · · · + ωηi) + δ.
Y entonces definimos gi+1
η = hiη◦ fωη0+···+ωηi,ωηi+1. De este modo, basta tomar gη= gn+1η .
c) Si α = ωη0k
0+ · · · + ωηnkn es la forma normal de Cantor del ordinal α,
podemos definir una biyecci´on c∗
α: α −→ ωη0k0. En efecto, llamamos η0
α = {ηi0}i<m a la ´unica sucesi´on decreciente de ordinales tal que α = ωη0
0+ · · · + ωη0m (donde cada ordinal ηi se repite ki
veces). Basta considerar
c∗α= gη0 α: ω
η0
0+ · · · + ωη0m −→ ωη0m+ · · · + ωη00,
pues por 2.52 todos los sumandos de la ´ultima suma se cancelan excepto los que son iguales a η0, que son los k0 ´ultimos, luego la ´ultima suma es
ωη0k 0.
d) En las condiciones del apartado anterior, si α ≥ ω (con lo que η0 > 0)
podemos definir una biyecci´on cα: α −→ ωη0.
En efecto, razonando como en el apartado a), pero para el producto en lugar de la suma, podemos definir una biyecci´on ωη0k
0−→ k0ωη0 = ωη0, y s´olo tenemos que componerla con la c∗
αdel apartado anterior.
As´ı pues, si llamamos ηα al exponente director de la forma normal de α, tenemos una biyecci´on cα: α −→ ωηα.
e) Para todo ordinal α se cumple que ηα= ηα+α.
En efecto, α + α = α · 2, por lo que la forma normal de α + α se diferencia de la de α en que sus coeficientes est´an multiplicados por 2 (pero los exponentes son id´enticos).
f) Para cada α ≥ ω, podemos definir una biyecci´on sα: α −→ α + α. Basta tomar sα= cα◦ c−1α+α, teniendo en cuenta que ωηα = ωηα+α. g) Podemos definir una biyecci´on eη: ωη−→ ωη+η.
Si η es infinito podemos considerar las semejanzas uη : ωη −→ ω(η) y
aplicaci´on vη : ω(η+η) −→ ω(η) dada por vη(s) = sη◦ s es claramente biyectiva, luego basta tomar eη= uη◦ vη−1◦ u−1η+η.
Si η es finito (no nulo), consideramos la semejanza f0 : ω × ω −→ ω determinada por el orden can´onico. Vamos a definir recurrentemente bi- yecciones tn : ω −→ ωn, para n ≥ 1. Tomamos como t1 la identidad en ω y, supuesto definido tn, definimos tn+1como la composici´on de:
• la semejanza ωn+1 = ωn · ω −→ ωn× ω, cuando en el producto consideramos el orden lexicogr´afico,
• la biyecci´on ωn× ω −→ ω × ω dada por (δ, n) 7→ (t
n(δ), n),
• la biyecci´on f0: ω × ω −→ ω. Ahora basta tomar eη = t−1η ◦ tη+η.
h) Para cada α ≥ ω, podemos definir una biyecci´on fα: α −→ α × α. Basta definir fα como la composici´on de la biyecci´on: cα: α −→ ωηα con
eηα : ω
ηα −→ ωηα+ηα= ωηα·ωηα, con la semejanza ωηα·ωηα −→ ωηα×ωηα
con la biyecci´on ωηα× ωηα−→ α × α dada por (δ, ≤) 7→ (c−1
α (δ), c−1α (≤)). El paso siguiente es probar lo que sin el axioma de elecci´on es una leve generalizaci´on del teorema de Cantor:
Teorema 4.72 Si p ≥ 5 entonces no 2p ≤ p2.
Demostraci´on: Para cardinales finitos se demuestra f´acilmente por in- ducci´on que n ≥ 5 → n2< 2n: Para n < 5 la implicaci´on es cierta trivialmente, para n = 5 se hace el c´alculo y, si vale para n ≥ 5, entonces
(n + 1)2= n2+ 2n + 1 < n2+ 3n ≤ n2+ n2= 2n2< 2 · 2n= 2n+1.
Supongamos ahora que p es un cardinal infinito y sea X = p. Por reducci´on al absurdo suponemos una aplicaci´on f : PX −→ X × X inyectiva y vamos a construir una aplicaci´on G : Ω −→ X inyectiva, con lo que tendremos una contradicci´on. En primer lugar veremos que podemos construir gω : ω −→ X inyectiva.
Por el teorema 4.36 tenemos que Pfω es numerable, luego podemos fijar un buen orden en ´el. Tomemos elementos distintos x0, x1, x2, x3, x4 ∈ X y definamos gω(i) = xi, para i < 5.
Supuesta definida gω|n : n −→ X inyectiva, para n ≥ 5, sea Cn = gω[n]. Como |PCn| = 2n > n2 = |Cn× Cn|, existe un subconjunto U de Cn tal que
f (U ) /∈ Cn × Cn. Elegimos el que cumple que g−1ω [U ] es m´ınimo respecto al buen orden que hemos fijado en Pfω. Si f (U ) = (x, y), definimos
gω(n + 1) = Ω
x si x /∈ Cn,
Con esto tenemos que gω|n+1: n+1 −→ X es inyectiva. El teorema de recursi´on nos garantiza la existencia de gω.
Pasemos ahora a la construcci´on de G : Ω −→ X. Para ello nos apoyaremos en las biyecciones fα : α −→ α × α que hemos definido para todo ordinal infinito α (sin el axioma de elecci´on). Suponemos definida G|α : α −→ X inyectiva. Sea Cα= G[α].
Definimos g : α −→ PX como sigue: dado β < α calculamos fα(β) = (γ, δ) y tomamos g(β) = f−1(G(γ), G(δ)) si el par (G(γ), G(δ)) tiene antiimagen por
f y g(β) =∅ en caso contrario.
Sea U = {G(β) | β < α ∧ G(β) /∈ g(β)} y sea f(U) = (x, y).
Si (x, y) ∈ Cα× Cα entonces (x, y) = (G(γ), G(δ)) para ciertos γ, δ < α. Sea β = f−1
α (γ, δ), de modo que g(β) = U y tenemos una contradicci´on tanto si G(β) ∈ U como en caso contrario. Por consiguiente (x, y) /∈ Cα× Cα, luego podemos definir G(α) = x si x /∈ Cα o G(α) = y en caso contrario. El teorema de recursi´on transfinita nos da entonces la existencia de G.
Nota Sin el axioma de elecci´on no puede probarse en general que p2≤ 2p. Teorema 4.73 La hip´otesis del continuo generalizada implica el axioma de elecci´on.
Demostraci´on: Por el teorema 4.29, basta probar que p2 = p para todo cardinal infinito p. En primer lugar probamos que p = p + 1.
Es f´acil ver que p ≤ p + 1 ≤ 2p, pero si fuera p + 1 = 2p, tendr´ıamos que 2p≤ p + 1 ≤ p + p ≤ pp, en contradicci´on con el teorema anterior. As´ı pues, la HCG implica que p = p + 1
Ahora veamos que p = 2p.
En efecto, p ≤ 2p ≤ 2 · 2p = 2p+1 = 2p, pero no puede ser 2p = 2p ya que entonces 2p = 2p ≤ pp, de nuevo en contra del teorema anterior. La HCG nos da, pues, la igualdad p = 2p.
As´ı, p ≤ p2 ≤ (2p)2 = 22p = 2p. El teorema anterior y la HCG nos dan la igualdad p2= p.
Hemos demostrado que el axioma de elecci´on equivale a que todo conjunto puede ser bien ordenado. En cambio, sin el axioma de elecci´on no es posible demostrar que Pω pueda ser bien ordenado. Nuestra segunda aplicaci´on de la aritm´etica cardinal ser´a demostrar el teorema siguiente:
Teorema 4.74 El axioma de elecci´on equivale a que Pα puede ser bien orde- nado, para todo ordinal α.
Demostraci´on: Suponemos que Pα puede ser bien ordenado, para todo ordinal α, y vamos a probar que Vαpuede ser bien ordenado, tambi´en para todo
ordinal α. Esto es suficiente, ya que (por el axioma de regularidad) todo con- junto est´a contenido en un conjunto Vα, luego todo conjunto admitir´a entonces un buen orden. Lo probamos por inducci´on sobre α. Si α = 0 es trivial.
Si suponemos que Vα es bien ordenable, existe f : Vα−→ β biyectiva, para cierto ordinal β. Claramente, f induce una biyecci´on F : Vα+1 = PVα−→ Pβ y, como estamos suponiendo que Pβ es bien ordenable, concluimos que Vα+1 tambi´en lo es.
Supongamos ahora que Vδ es bien ordenable, para todo ordinal δ < λ. ´Este es el caso m´as delicado, porque no podemos elegir un buen orden en cada Vδ sin m´as aclaraci´on, ya que entonces estar´ıamos usando el axioma de elecci´on.
Vamos a construir una sucesi´on {Eδ}δ≤λ de modo que cadaEδ es un buen orden en Vδ con la propiedad de que si δ < δ0< λ, entonces Vδ sea una secci´on inicial de Vδ0 respecto aEδ0.
Antes de ello, observamos que est´a definida la sucesi´on {|Vδ|}δ<λ, luego podemos considerar el cardinal κ = S
δ<λ|Vδ|
+. Fijamos un buen orden ≤ ∗ en el conjunto Pκ.
Ahora definimos E0=∅. Supuesto definido Eδ, consideramos la semejanza
sδ : (Vδ,Eδ) −→ αδ, donde |αδ| = |Vδ| < κ, luego αδ < κ, luego Pαδ ⊂ Pκ, luego el buen orden ≤∗ induce un buen orden en Pαδ, que a su vez induce un buen ordenE∗
δ+1en Vδ+1 a trav´es de la biyecci´on PVδ −→ Pαδ inducida por sδ. Por ´ultimo definimosEδ+1 mediante:
xEδ+1y ↔ (x, y ∈ Vδ ∧ x Eδ y) ∨ (x ∈ Vδ ∧ y ∈ Vδ+1\ Vδ)
∨ (x, y ∈ Vδ+1\ Vδ ∧ x E∗δ+1y).
Con este retoque nos aseguramos de que Vδ es una secci´on inicial de Vδ+1. Si tenemos definidos {Eδ}δ<λ0, para λ0 ≤ λ, la condici´on de que cada Vδ
sea una secci´on inicial de los siguientes conjuntos de la jerarqu´ıa implica que la uni´on de todos los buenos ´ordenes es un buen ordenEλ0 respecto del cual cada
Vδ es una secci´on inicial de Vλ0.
As´ı tenemos construida la sucesi´on de buenos ´ordenes y, en particular, tene- mos el buen ordenEλ, que prueba que Vλ es bien ordenable.
Observemos que el axioma de regularidad es esencial en el teorema anterior. Si no suponemos dicho axioma, lo que muestra la prueba es que si Pα puede ser bien ordenado, para todo ordinal α, entonces todo conjunto regular puede ser bien ordenado.
Sin el axioma de elecci´on, ni siquiera es demostrable que todo conjunto pueda ser totalmente ordenado, pero como complemento al teorema anterior conviene observar lo siguiente:
Teorema 4.75 Si A es un conjunto bien ordenable, entonces PA admite un
Demostraci´on: Basta probar que si α es un ordinal, entonces Pα admite un orden total, pero siempre podemos comparar dos subconjuntos x, y ⊂ α tales que x 6= y tomando el m´ınimo δxy∈ (x \ y) ∪ (y \ x) y estableciendo que
x < y ↔ δxy ∈ x.
Observemos que la relaci´on es transitiva, pues si x < y < z, entonces δxy6= δyz, pues δxy ∈ y ∧ δ/ yz ∈ y. Si δxy < δyz, entonces δxy ∈ x \ z, pues si δxy ∈ z cumplir´ıa tambi´en δxy ∈ y (por ser menor que el m´ınimo ordinal que distingue a y y a z) y de hecho δxy = δxz, pues si α ∈ (x \ z) ∪ (z \ x), o bien α ∈ y, en cuyo caso, o bien α ∈ y \ z, luego α ≥ δyz > δxy, o bien α ∈ y \ x, luego α ≥ δxy. Esto prueba que x < z.
Alternativamente, si δyz< δxy, tiene que ser δyz∈ x (pues est´a en y y es me- nor que el m´ınimo ordinal que distingue a x de y) y se comprueba an´alogamente que δxz= δyz, luego tambi´en x < z.
Cap´ıtulo V
La exponenciaci´on cardinal
Tal y como indicamos en el cap´ıtulo anterior, la exponenciaci´on de cardi- nales es muy diferente de la suma y el producto, en cuanto que ´estos est´an completamente determinados y pueden ser calculados con facilidad, de modo que podemos afirmar, por ejemplo, que ℵ5+ ℵ7 = ℵ5ℵ7 = ℵ7. En cambio, los axiomas de NBG no permiten determinar ni siquiera el valor de 2ℵ0, que es
el cardinal de un conjunto tan “relativamente simple” como Pω. De hecho, la exponenciaci´on cardinal sigue siendo hoy en d´ıa objeto de investigaci´on, pues no se sabe a ciencia cierta d´onde acaba lo que se puede decir sobre ella sin m´as base que los axiomas usuales de la teor´ıa de conjuntos y qu´e posibilidades son consistentes con ellos aunque indemostrables a partir de ellos.
Hasta ahora hemos presentado ´unicamente las propiedades m´as elementales de la exponenciaci´on de cardinales, que pueden probarse incluso sin el axioma de elecci´on. Aqu´ı vamos a obtener m´as resultados trabajando con la axiom´atica completa de NBG.
Nota En lo sucesivo usaremos la notaci´onβα para representar al conjunto de las aplicaciones de β en α cuando la notaci´on usual αβ pueda confundirse con la exponenciaci´on ordinal o cardinal.