En esta secci´on probaremos un resultado an´alogo al teorema 2.49 tomando como base k = ω y que resulta ser v´alido para todos los ordinales. Trabajaremos en NBG∗+ AI. En primer lugar conviene que nos formemos una idea orientativa de c´omo son los primeros ordinales. Si no se cumple el axioma de infinitud, los ordinales coinciden con los n´umeros naturales:
0, 1, 2, 3, . . .
Con el axioma de infinitud, por encima de ellos tenemos ω y sus sucesores: 0, 1, 2, 3, . . . ω, ω + 1, ω + 2, . . .
Pero la sucesi´on de ordinales no acaba ah´ı, sino que por encima de todos estos est´a ω + ω = ω · 2 y sus sucesores:
pero por encima de los ordinales ω·2+n est´a ω·2+ω = ω·3, y as´ı sucesivamente: 0, 1, . . . ω, ω + 1, . . . ω · 2, ω · 2 + 1, . . . ω · 3, . . . ω · 4, . . .
pero por encima de ω · 1, ω · 2, ω · 3, ω · 4, . . . est´a ω · ω = ω2.
Pero por encima de ω2 est´an ω2+ 1, ω2+ 2, . . . y, en general, todos los ordinales de la forma ω2+ ω · n + m, con m, n ∈ ω. Y por encima de todos ellos est´a ω2+ ω2= ω2· 2, y as´ı podemos ir ascendiendo hasta ω2· 3, ω2· 4, . . . , y por encima de todos ellos est´a ω2·ω = ω3, y si vamos formando ω3, ω4, ω5, . . . , con ese patr´on tampoco agotamos los ordinales, pues por encima de todos ellos est´a
ωω, con lo que podemos volver a empezar con ωω+ 1, ωω+ 2, . . . hasta llegar a
ωω+ ωω= ωω· 2. Pero si vamos formando los ordinales ωω· 2, ωω· 3, ωω· 4, . . ., por encima de todos ellos est´a ωω· ω = ωω+1. As´ı podemos llegar hasta ωω2 y hasta ωω3, . . . hasta llegar a ωωω.
Quiz´a en este punto el lector deber´ıa reconsiderar el teorema 2.14 c): dado cualquier conjunto A de ordinales, como pueda ser la sucesi´on
ω, ωω, ωωω, ωωωω, . . .
existe su supremo en Ω, es decir, hay un ordinal σ por encima de todos los elementos de A (en particular, por encima de todos los elementos de la sucesi´on anterior), a partir del cual podemos empezar a sumar de nuevo σ, σ +1, σ +2, . . . En realidad, con todos los ordinales que hemos escrito aqu´ı, apenas he- mos ascendido nada en Ω. Con el teorema de Cantor que vamos a demostrar pondremos “un poco de orden” en esta “jungla” de los “primeros ordinales”. Necesitamos algunos resultados previos:
Teorema 2.51 Si αω ≤ β entonces α + β = β.
Demostraci´on: Sabemos que existe un γ tal que β = αω + γ, por lo que
α + β = α + αω + γ = α(1 + ω) + γ = αω + γ = β.
Informalmente, la hip´otesis del teorema anterior afirma que β empieza por “infinitas copias” de α, es decir, por α + α + α + · · ·, por lo que si a˜nadimos un
α m´as “no se nota”.
Ejercicio: Probar el rec´ıproco del teorema anterior. Teorema 2.52 Si α < β entonces ωα+ ωβ= ωβ.
Demostraci´on: Es un caso particular del teorema anterior, puesto que se cumple ωαω = ωα+1≤ ωβ.
Teorema 2.53 Si α 6= 0 existen unos ´unicos η y β tales que α = ωη+ β, con
Demostraci´on: Como la funci´on ω( ) es normal, α ≤ ωα < ωα+1, luego podemos tomar el m´ınimo γ tal que α < ωγ. No puede ser γ = 0 ni tampoco que sea un l´ımite, luego γ = η + 1 y tenemos ωη≤ α < ωη+1.
Es claro que η es ´unico. Existe un β ≤ α tal que α = ωη+ β, pero ha de ser
β < α, pues si se da la igualdad
α = ωη+ α = ωη+ ωη+ α = ωη+ ωη+ ωη+ α = · · ·
y, en general, ωη· n ≤ α, para todo n ∈ ω. Por consiguiente, ωηω = ωη+1≤ α, contradicci´on.
Rec´ıprocamente, si α = ωη+ β con β < α, ha de ser ωη ≤ α < ωη+1 o, de lo contrario, por 2.51 tendr´ıamos que α = ωη+ α = ωη+ β y ser´ıa β = α. De aqu´ı se sigue la unicidad de η, que a su vez implica la de β.
Teorema 2.54 Si α 6= 0 existe una ´unica sucesi´on finita decreciente de ordi-
nales η0≥ η1≥ · · · ≥ ηn tal que α = ωη0+ · · · + ωηn.
Demostraci´on: Aplicamos el teorema anterior repetidamente, con lo que expresamos α = ωη0 + α
1, con α1 < α, luego α1 = ωη1 + α2, con α2 < α1, etc. Como no podemos tener una sucesi´on decreciente de ordinales (no tendr´ıa m´ınimo), alg´un αn = 0, lo que nos da la expresi´on buscada.
Si fuera ηi< ηi+1 para alg´un i, entonces
αi= ωηi+ αi+1= ωηi+ ωηi+1+ αi+2= ωηi+1+ αi+2= αi+1, contradicci´on.
Para probar la unicidad observamos que si α = ωη0+ · · · + ωηn y los expo-
nentes son decrecientes, entonces
α = ωη0+ · · · + ωηn≤ ωη0+ · · · + ωη0= ωη0· n < ωη0ω = ωη0+1,
es decir, ωη0 ≤ α < ωη0+1, luego η
0 est´a un´ıvocamente determinado por α. Si tuvi´eramos dos expresiones distintas, ambas tendr´ıan el mismo primer t´ermino, luego podr´ıamos cancelarlo y de aqu´ı deducir´ıamos que tendr´ıan el mismo se- gundo t´ermino, y as´ı sucesivamente. En definitiva, ambas ser´ıan la misma.
El teorema de Cantor se sigue del que acabamos de probar sin m´as que agrupar los t´erminos con el mismo exponente (por la propiedad asociativa ge- neralizada):
Teorema 2.55 (Forma normal de Cantor) Si α 6= 0 existe una ´unica su-
cesi´on finita estrictamente decreciente de ordinales η0 > η1 > · · · > ηn y
una ´unica sucesi´on finita k0, . . . , kn de n´umeros naturales no nulos tal que
α = ωη0k
0+ · · · + ωηnkn.
La forma normal de Cantor es especialmente descriptiva para ordinales pe- que˜nos. Por ejemplo, si α < ωω entonces es claro que η
natural, luego tenemos que los ordinales menores que ωω se expresan de forma ´
unica como polinomios en ω con coeficientes naturales. Podemos ir algo m´as lejos, para lo cual conviene definir
ω(0)= 1, ω(n+1)= ωω(n), ≤0= S n∈ω
ω(n).
As´ı, ω(1) = ω, ω(2) = ωω, ω(3) = ωωω
, etc. y ≤0 es el supremo de esta sucesi´on.7
Si δ < ≤0, entonces se cumple δ < ω(n)para cierto n ∈ ω, luego tenemos que
ωδ ≤ ωω(n) = ω(n+1)≤ ≤
0. Tomando el supremo en δ concluimos que ω≤0≤ ≤0. El rec´ıproco es obvio, luego ω≤0 = ≤
0.
Definici´on 2.56 Un n´umero ´epsilon es un ordinal ≤ ∈ Ω tal que ω≤= ≤. Acabamos de probar que existen n´umeros ≤. De hecho, vamos a ver que el n´umero ≤0 que hemos construido es el menor n´umero ≤. Para ello, para cada
α < ≤0 no nulo, llamamos o(α) al ´unico n ∈ ω tal que ω(n)≤ α < ω(n+1). Es claro que entonces ω(n+1)≤ ωα< ω(n+2), es decir, tenemos que
o(ωα) = 1 + o(α). En particular ωα6= α, luego α no es un n´umero ≤.
Los n´umeros naturales (no nulos) son los ordinales de rango 0, los n´umeros entre ω y ωωson los ordinales de rango 1 (y son, como hemos visto, los polino- mios en ω con coeficientes naturales).
Observemos ahora lo siguiente:
Teorema 2.57 Si ξ es un ordinal, se cumple:
a) Vαβ < ξ α + β < ξ y s´olo si ξ = 0 ∨Wη ξ = ωη.
b) Vαβ < ξ α · β < ξ si y s´olo si ξ = 0, 1, 2 ∨Wη ξ = ωωη
.
c) Vαβ < ξ αβ< ξ si y s´olo si ξ = 0, 1, 2, ω ∨ ξ es un n´umero ´epsilon. Demostraci´on: a) Veamos por inducci´on sobre η que ωη cumple la propiedad indicada: para η = 0 es trivial. Si vale para η y α, β < ωη+1= ωη· ω, entonces existe un n < ω tal que α, β < ωη· n, luego
α + β < ωη(n + n) < ωη· ω = ωη+1.
Si vale para todo δ < λ y α, β < ωλ, entonces existe un δ < λ tal que α, β < ωδ, luego α + β < ωδ< ωλ.
Rec´ıprocamente, si ξ > 0 tiene la propiedad, consideramos la expresi´on
ξ = ωη + β dada por el teorema 2.53. Como β < ξ y ωη ≤ ξ, tiene que ser
ξ = ωη.
b) Claramente ωω0
= ω cumple lo pedido. Si α, β < ωωη
, con η > 0, entonces existe un δ < ωηtal que α, β < ωδ, luego αβ < ωδ+δ < ωωη
, donde hemos usado el apartado anterior.
Rec´ıprocamente, si ξ > 2 cumple la propiedad indicada, entonces tambi´en cumple la del apartado a), porque si α, β < ξ, tenemos que
α + β ≤ m´ax{α, β} · 2 < ξ.
Por lo tanto ξ = ωδ. Adem´as, si α, β < δ, entonces ωα, ωβ< ξ, luego se cumple tambi´en que ωα+β < ξ = ωδ, luego α + β < δ, luego δ = 0 ∨ δ = ωη por el apartado anterior. En el primer caso resulta el caso trivial ξ = 1.
c) Si ξ es un n´umero ´epsilon y α, β < ξ = ωξ, entonces existe un δ < ξ tal que α < ωδ, luego
αβ< (ωδ)β= ωδβ< ωξ = ξ, donde hemos usado que ξ = ωωξ
cumple el apartado b).
Rec´ıprocamente, si ξ > 2 cumple la propiedad indicada, entonces cumple la propiedad del apartado b), pues si α, β < ξ, entonces αβ ≤ m´ax{α, β}2 < ξ, luego en particular ξ = ωη. Si η = 0 queda ξ = 1, si η = 1 queda ξ = ω y si
η > 1, como ω < ξ ∧ η ≤ ωη = ξ, por la hip´otesis tiene que ser η = ωη = ξ, luego ξ = ωξ es un n´umero ´epsilon.
Notemos que un n´umero ´epsilon cumple de hecho los tres apartados del teorema anterior.
De este modo, ω2 es el menor ordinal que no puede expresarse en t´erminos de sumas de n´umeros naturales y ω. A su vez, ωω es el menor ordinal que no puede expresarse en t´erminos de sumas y productos de n´umeros naturales y de
ω, mientras que ≤0 es el menor ordinal que no puede expresarse en t´erminos de sumas, productos y potencias de n´umeros naturales y de ω. Dicho de otro modo, todos los ordinales que podemos construir mediante las tres operaciones aritm´eticas a partir de los n´umeros naturales y ω son necesariamente menores que ≤0.
Teorema 2.58 Si α, β < ≤0 son ordinales no nulos, entonces
o(α + β) = o(αβ) = m´ax{o(α), o(β)}.
Demostraci´on: Veamos por inducci´on sobre n que si α, β < ω(n)entonces
αβ < ω(n). Para n = 0 es trivial. Si vale para n y α, β < ω(n+1) = ωω(n), tenemos que existe un δ < ω(n)tal que α, β < ωδ, luego αβ < ωδ·2. Por hip´otesis de inducci´on (si n > 0, pues entonces 2 < ω(n), y trivialmente si n = 0, pues entonces δ = 0), tenemos que δ · 2 < ω(n), luego αβ < ωω(n)
As´ı pues, si o(α) = m, o(β) = n y r = m´ax{m, n}, tenemos que
ω(m)≤ α < ω(m+1), ω(n)≤ α < ω(n+1).
Entonces, por lo que acabamos de probar,
ω(r)≤ α + β ≤ m´ax{α, β} · 2 < ω(r+1), ω(r)≤ αβ < ω(r+1),
luego o(α + β) = o(αβ) = r.
Por otra parte, ya hemos visto que o(ωα) = 1 + o(α). Tambi´en es obvio que si α ≤ β < ≤0, entonces o(α) ≤ o(β). Teniendo todo esto en cuenta es claro que, en las condiciones del teorema 2.55,
o(ωηik
i) = o(ωηi) = 1 + o(ηi) ≤ 1 + o(η0), luego o(α) = 1 + o(η0).
Por consiguiente, si tomamos un ordinal 0 < α < ≤0 con o(α) = n y lo expresamos en forma normal de Cantor, sus exponentes tendr´an orden a lo sumo n − 1, luego pueden ponerse en forma normal de Cantor con exponentes de orden a lo sumo n − 2, y as´ı, tras n pasos, habremos expresado α en t´erminos de un n´umero finito de n´umeros naturales, sumas, productos y potencias de base ω.
En resumen: los ordinales menores que ≤0son exactamente los ordinales que pueden construirse a partir de los n´umeros naturales y ω mediante sumas, pro- ductos y potencias, y cada uno de ellos se puede expresar mediante un n´umero finito de sumas, productos y potencias de base ω. De hecho, la expresi´on es ´
unica si exigimos que corresponda a una forma normal de Cantor, con exponen- tes desarrollados a su vez en forma normal de Cantor, y as´ı sucesivamente.
Esto ya no es cierto para ordinales mayores. Por ejemplo, la forma normal de Cantor de ≤0 es ≤0= ω≤0, lo cual no dice mucho.
Supongamos que tenemos dos ordinales en forma normal de Cantor:
α = ωη0k 0+ · · · + ωηnkn, α0 = ωη 0 0k0 0+ · · · + ωη 0 n0kn00. Entonces ωη0 ≤ α < ωη0+1, ωη00 ≤ α0 < ωη00+1, luego si η0 < η0 0, y por consiguiente η0+ 1 ≤ η00, se cumple que α < α0. Supongamos, por el contrario, que η0= η00. Si k0< k00, entonces podemos descomponer α0 como
α0= ωη0k 0+ ωη 0 0(k0 0− k0) + · · · + ωη 0 n0k0 n0
y, como, seg´un acabamos de ver, η0< η10 implica que
ωη1k 1+ · · · + ωηnkn < ωη 0 0(k0 0− k0) + · · · + ωη 0 n0k0n0,
concluimos que α < α0 (aqu´ı suponemos n > 0, pero si n = 0 se llega trivial- mente a la misma conclusi´on). En el supuesto de que η0 = η00 y k0 = k00, se cumplir´a α < α0 si y s´olo si ωη1k 1+ · · · + ωηnkn < ωη 0 1k0 1+ · · · + ωη 0 n0k0 n0,
En definitiva: para determinar cu´al de dos ordinales en forma normal de Cantor es el menor, comparamos η0 y η00, y el ordinal para el que este valor sea menor ser´a el menor. En caso de empate comparamos k0 y k00, en caso de empate pasamos a comparar η1 y η10, y en caso de empate k1 y k10. Si se mantiene el empate hasta que una de las dos expresiones “se acaba”, dicha expresi´on corresponde al ordinal menor. Si las dos se acabaran a la vez (sin haber encontrado un desempate) es que las dos expresiones eran la misma, luego los ordinales eran iguales.
Ejercicio: Explicar c´omo puede calcularse la suma y el producto de dos ordinales en forma normal de Cantor en funci´on de los exponentes y coeficientes de los sumandos.
Cap´ıtulo III
La teor´ıa de conjuntos NBG
Presentamos ahora los dos axiomas que nos faltan para completar la teor´ıa de conjuntos NBG: el axioma de regularidad y el axioma de elecci´on. En gran medida, su papel consiste en estrechar la relaci´on entre la clase universal V y la clase Ω de todos los ordinales: el axioma de regularidad nos estructurar´a V en una jerarqu´ıa transfinita de conjuntos, mientras que el axioma de elecci´on nos permitir´a enumerar con ordinales un conjunto arbitrario. Como paso previo a la discusi´on del axioma de regularidad dedicaremos una secci´on a generalizar los teoremas de inducci´on y recursi´on que hemos probado para ordinales al caso de relaciones mucho m´as generales que los buenos ´ordenes.
3.1
Relaciones bien fundadas
Aunque podr´ıamos trabajar en NBG∗, por comodidad, en esta secci´on su- pondremos el axioma de infinitud. Las relaciones bien fundadas son la clase m´as general de relaciones sobre las que es posible justificar argumentos de inducci´on y recursi´on:
Definici´on 3.1 Una relaci´on R est´a bien fundada en una clase A si V
X(X ⊂ A ∧ X 6= ∅ →Wy ∈ XVz ∈ X ¬x R y).
En estas condiciones diremos que y es un elemento R-minimal de X.
Por ejemplo, si ≤ es un buen orden en una clase A, es claro que la relaci´on de orden estricto < est´a bien fundada en A, pues si x es un subconjunto no vac´ıo de A, el m´ınimo de x es un minimal para <.
Observemos tambi´en que A es una clase bien fundada en el sentido de la definici´on 2.1 si y s´olo si la relaci´on de pertenencia E est´a bien fundada en A, en el sentido que acabamos de introducir.
De la propia definici´on se sigue un sencillo teorema de inducci´on, aunque no es el m´as general que vamos a demostrar:
Teorema 3.2 (Teorema general de inducci´on transfinita) Sea R una re-
laci´on clausurable y bien fundada en una clase A y sea B una clase cualquiera.
Entonces V
x ∈ A(ARx ⊂ B → x ∈ B) → A ⊂ B.
Demostraci´on: Si no se cumple A ⊂ B, entonces A \ B es una subclase no vac´ıa de A, luego tiene un R-minimal x, de modo que AR
x ⊂ B, pero x /∈ B, contradicci´on.
Lo que afirma el teorema anterior es que para demostrar que todo elemento
x ∈ A tiene una propiedad (estar en B), podemos suponer como hip´otesis de
inducci´on que todos los elementos de u R x la tienen.
Para manejar relaciones bien fundadas sobre clases propias vamos a necesitar una propiedad adicional que se vuelve trivial si las clases son conjuntos: Definici´on 3.3 Una relaci´on R es conjuntista en una clase A si para todo x ∈ A la clase de los anteriores de x
ARx = {y ∈ A | y R x} es un conjunto.
Obviamente toda relaci´on es conjuntista en todo conjunto. La relaci´on de pertenencia E es conjuntista en cualquier clase, pues AE
x = x ∩ A.
Observemos que ya nos hemos encontrado con esta restricci´on en una ocasi´on: en el cap´ıtulo anterior hemos demostrado que una clase propia bien ordenada es semejante a Ω si y s´olo si su relaci´on de orden es conjuntista.
Definici´on 3.4 Sea R una relaci´on definida sobre una clase A. Diremos que una subclase B ⊂ A es R-A-transitiva si
V
xy ∈ A(x R y ∧ y ∈ B → x ∈ B).
Es decir, B es R-A-transitiva si cuando partimos de elementos de B y vamos tomando anteriores nunca salimos de B. Las clases transitivas en el sentido de la definici´on 2.1 son precisamente las clases E-V -transitivas.
Si R es una relaci´on definida sobre una clase A y x es un subconjunto de A, es claro que al considerar los anteriores de x y los anteriores de los anteriores, etc. obtenemos un conjunto R-A-transitivo. En realidad, para que la definici´on recurrente de este proceso sea correcta hemos de exigir que R sea conjuntista. Ve´amoslo con detalle:
Definici´on 3.5 Sea R una relaci´on conjuntista en una clase A y x ∈ A. El teorema de recursi´on nos da una aplicaci´on clRA(x)[ ] : ω −→ PA determinada por1 clRA(x)[0] = AR x ∧ V n ∈ ω clRA(x)[n + 1] = S u∈clR A(x)[n] AR u.
1Notemos que esta construcci´on requiere que la relaci´on sea conjuntista para que podamos asegurar que cada t´ermino de la sucesi´on es un conjunto. Si no, la sucesi´on no estar´ıa bien definida.
A su vez definimos la clausura de x respecto de R en A como el conjunto clRA(x) ≡ S n∈ω clRA(x)[n]. As´ı AR x ⊂ clRA(x) ⊂ A.
Cuando E es la relaci´on de pertenencia y A = V, la clausura clEA(x) se conoce como la clausura transitiva de x y se representa por ct x. Es claro que admite una definici´on m´as sencilla (puesto que ahora AE
x = x): ct0x = x, V n ∈ ω ctn+1x = S y∈ctnx y, ct x = S n∈ω ctnx.
As´ı, ct x est´a formada por los elementos de x, los elementos de los elementos de x, etc.
Nuestra intenci´on al definir la clausura de un elemento era formar un con- junto R-A-transitivo. Vamos a ver que, efectivamente, as´ı es. M´as concreta- mente, clRA(x) es el menor conjunto R-A-transitivo que contiene a AR
x:
Teorema 3.6 Sea R una relaci´on conjuntista en una clase A y sea x ∈ A. Se cumple
a) AR
x ⊂ clRA(x).
b) clRA(x) es un conjunto R-A-transitivo.
c) Si AR
x ⊂ T y T ⊂ A es una clase R-A-transitiva, entonces clRA(x) ⊂ T .
d) clRA(x) = AR x ∪ S y∈AR x clRA(y).
Demostraci´on: Demostraci´on: a) AR
x = clRA(x)[0] ⊂ clRA(x).
b) Supongamos que u, y ∈ A cumplen u R y ∧ y ∈ clRA(x). Entonces existe un n ∈ ω tal que y ∈ clRA(x)[n], con lo que u ∈ ARy ⊂ clRA(x)[n + 1] ⊂ clRA(x).
c) Una simple inducci´on prueba que clRA(x)[n] ⊂ T . En efecto, para 0 lo tenemos por hip´otesis y, si vale para n, entonces todo u ∈ clRA(x)[n + 1] cumple
u ∈ AR
y, para cierto y ∈ clRA(x)[n], con lo que u R y ∧ y ∈ T . Por transitividad
u ∈ T . Por definici´on de clausura concluimos que clRA(x) ⊂ T . d) Si y ∈ AR
x, entonces ARy ⊂ clRA(x)[1] ⊂ clRA(x), luego por b) y c) obtenemos que clRA(y) ⊂ clRA(x). Por consiguiente el conjunto T = ARx ∪
S y∈AR
x
clRA(y) est´a contenido en clRA(x).
Para demostrar la otra inclusi´on basta probar T es transitivo y aplicar c). Sean, pues, u, v ∈ A tales que u R v ∧ v ∈ T . Si v ∈ clRA(y) para un y ∈ ARx, entonces, por la transitividad de la clausura u ∈ clRA(y), luego u ∈ T .
Si v ∈ AR
x, entonces u ∈ clRA(v) ⊂ T .
Conviene observar la particularizaci´on de este teorema al caso de la relaci´on de pertenencia sobre la clase universal:
Teorema 3.7 Sea x un conjunto arbitrario. Entonces
a) x ⊂ ct x.
b) ct x es un conjunto transitivo.
c) Si x ⊂ T y T es una clase transitiva, entonces ct x ⊂ T . d) ct x = x ∪ S
y∈x ct y.
e) x es transitivo si y s´olo si x = ct x.
La ´ultima propiedad es consecuencia inmediata de las anteriores. Como primera aplicaci´on del concepto de clausura demostramos un resultado t´ecnico: Teorema 3.8 Sea R una relaci´on conjuntista en una clase A. Entonces R est´a bien fundada en A si y s´olo si todo subconjunto no vac´ıo de A tiene un R-minimal.
Demostraci´on: Una implicaci´on es obvia. Para la otra, suponemos que todo subconjunto no vac´ıo tiene un R-minimal y hemos de probar que lo mismo vale para toda subclase no vac´ıa B. Tomemos un x ∈ B. Si x no es ya un R- minimal de B, entonces existe un y ∈ B tal que y R x, luego y ∈ B ∩ clRA(x), que es un subconjunto no vac´ıo de A. Por hip´otesis tiene un R-minimal, digamos z. Vamos a ver que z es un R-minimal de B. En efecto, si existiera un v ∈ B tal que v R z, entonces, por la transitividad de la clausura, v ∈ B ∩ clRA(x), pero esto contradice la minimalidad de z.
Esto implica que el concepto de relaci´on bien fundada es, pese a lo que en principio podr´ıa parecer, una f´ormula normal (pues el cuantificador “para toda subclase no vac´ıa” puede sustituirse por “para todo subconjunto no vac´ıo”).
Con esto estamos en condiciones de demostrar el teorema de recursi´on. En esencia afirma que para definir una funci´on F : A −→ B, si en A tenemos defi- nida una relaci´on clausurable y bien fundada, podemos definir F (x) suponiendo que F est´a ya definida sobre los elementos de AR
x:
Teorema 3.9 (Teorema general de recursi´on transfinita) Sea R una relaci´on conjuntista y bien fundada en una clase A y sea G : V −→ B una aplicaci´on arbitraria. Entonces existe una ´unica funci´on F : A −→ B tal que
V
x ∈ A F (x) = G(x, F |AR x).
Demostraci´on: Por abreviar, a lo largo de esta prueba, “transitivo” sig- nificar´a R-A-transitivo.
Si d ⊂ A es un conjunto transitivo, diremos que h : d −→ B es una d-
aproximaci´on si V
x ∈ d h(x) = G(x, h|AR x).
Para cada x ∈ A, definimos ˆ
x = {x} ∪ clRA(x).
Es claro que ˆx es transitivo y x ∈ ˆx (de hecho, es el menor conjunto transitivo
que contiene a x). Dividimos la prueba en varios pasos:
1) Si h es una d-aproximaci´on y h0 es una d0-aproximaci´on, entonces se
cumple h|d∩d0 = h0|d∩d0. En particular, para cada conjunto transitivo d ⊂ A
existe a lo sumo una d-aproximaci´on.
Lo probamos por inducci´on en d ∩ d0, es decir, vamos a probar que todo elemento de d ∩ d0 est´a en {u ∈ d ∩ d0 | h(u) = h0(u)}. Para ello tomamos
x ∈ d ∩ d0 y suponemos que h(u) = h(u0) siempre que u ∈ (d ∩ d0)R
x. Ahora bien, es inmediato que d ∩ d0es transitivo, de donde se sigue que (d ∩ d0)R
x = ARx. Por consiguiente tenemos que h|AR
x = h 0| AR x, luego h(x) = G(x, h|AR x) = G(x, h 0| AR x) = h 0(x). 2) Para todo x ∈ A existe una ˆx-aproximaci´on.
Lo probamos por inducci´on sobre x, es decir, suponemos que para todo
u ∈ AR
x existe una ˆu-aproximaci´on. Por 1) es ´unica, luego podemos definir
hu ≡ h|h es una ˆu-aproximaci´on. Definimos h = S u∈AR
x
hu. De nuevo por 1) tenemos que h es una funci´on y su dominio es
S u∈AR x ˆ u = S u∈AR x ({u} ∪ clRA(u)) = ARx ∪ S u∈AR x clRA(u) = clRA(x), donde hemos aplicado el teorema 3.6.
Si v ∈ clRA(x), entonces h(v) = hu(v), para cierto u ∈ ARx tal que v ∈ ˆu. Puesto que hu⊂ h y ARv ⊂ ˆu (por ser ˆu transitivo) tenemos que hu|AR
v = h|ARv.
Como hues una ˆu-aproximaci´on,
h(v) = hu(v) = G(v, hu|AR
v) = G(v, h|ARv),
con lo que h resulta ser una clRA(x)-aproximaci´on.
Puede probarse que x /∈ clRA(x), pero no es necesario, en cualquier caso podemos definir
h0= h ∪ {(x, G(x, h|AR x))},
de modo que h : ˆx −→ V y es inmediato que para todo v ∈ ˆx se cumple h0|
AR
x = h|ARx, de donde se sigue claramente que h
0 es una ˆx-aproximaci´on. 3) Definimos F = S
x∈A
hx, donde hx≡ h|h es una ˆx-aproximaci´on.
La unicidad de 1) hace que F : A −→ B, y los mismos razonamientos que hemos aplicado a h en el paso anterior prueban que para todo x ∈ A se cumple
F (x) = G(x, F |AR x).
Como primera aplicaci´on de este teorema, dada una clase con una relaci´on conjuntista y bien fundada, vamos a asociar a cada uno de sus elementos un ordinal que exprese su “altura” en la relaci´on, entendiendo que un elemento es