Vamos a aplicar los resultados sobre conjuntos estacionarios y cerrados no acotados para probar un importante resultado sobre la hip´otesis de los cardinales singulares.
Diremos que un cardinal infinito κ cumple la HCG si 2κ= κ+. Diremos que
κ cumple la HCS si 2cf κ< κ → κcf κ= κ+.
Es claro que la HCG (resp. la HCS) equivale a que la HCG (la HCS) se cumpla en todos los cardinales.
Teorema 6.18 (Silver) Se cumple:
a) Si κ es un cardinal singular de cofinalidad no numerable y los cardinales (infinitos) menores que κ cumplen la HCG entonces κ cumple la HCG.
b) Si no se cumple la HCS, entonces el m´ınimo cardinal que no la cumple tiene cofinalidad numerable.
c) Si la HCS se cumple sobre los cardinales de cofinalidad numerable, enton- ces se cumple sobre todos los cardinales.
En adelante supondremos que ℵ0 < µ = cf κ < κ y que {κα}α<µ es una sucesi´on normal de cardinales cofinal en κ.
Definici´on 6.19 Dos funciones f y g de dominio µ son casi disjuntas si el conjunto {α < µ | f(α) = g(α)} est´a acotado en µ.
Una familia F de funciones de dominio µ es casi disjunta si est´a formada por funciones casi disjuntas dos a dos.
Teorema 6.20 Si Vν < κ νµ < κ, F ⊂ Q α<µ
Aα es una familia casi disjunta
de funciones y el conjunto {α < µ | |Aα| ≤ κα} es estacionario en µ, entonces
|F| ≤ κ.
Demostraci´on: No perdemos generalidad si suponemos que los conjuntos
Aα est´an formados por ordinales y que {α < µ | Aα⊂ κα} es estacionario en µ pues, biyectando cada Aαcon su cardinal podemos construir otra F equipotente a la dada y en las mismas condiciones.
Sea E0= {λ < µ | Aλ⊂ κλ}, que es estacionario en µ, pues es la intersecci´on del conjunto que estamos suponiendo que es estacionario con el conjunto de los ordinales l´ımite < µ, que es c.n.a.
Si f ∈ F, entonces para todo λ ∈ E0 tenemos que f (λ) ∈ Aλ ⊂ κλ y como
{κα}α<µ es normal existe un ordinal g(λ) < λ tal que f (λ) ∈ κg(λ).
Como E0es estacionario y g : E0−→ µ es regresiva, el teorema 6.15 nos da un conjunto estacionario Ef ⊂ E0 tal que g es constante en Ef: En particular
f esta acotada en Ef por un κα< κ.
La aplicaci´on que a cada f le asigna f |Ef es inyectiva, pues si f |Ef = g|Eg
entonces f = g por ser F casi disjunta (los conjuntos Ef y Eg son no acotados). El n´umero de funciones h : E −→ καcon E ⊂ µ fijo es a lo sumo (teniendo en cuenta la hip´otesis)
Ø Ø Ø S α<µ κE α Ø Ø Ø ≤ P α<µ κµ α≤ P α<µ κ = κ.
Como |Pµ| = 2µ< κ, el n´umero de funciones h : E −→ κ
αpara cualquier E es a lo sumo 2µ· κ = κ.
Como hemos asociado a cada f ∈ F una funci´on h = f|Ef distinta y a lo
sumo puede haber κ funciones h, ha de ser |F| ≤ κ.
En realidad vamos a necesitar una ligera variante de este teorema: Teorema 6.21 Si Vν < κ νµ < κ, F ⊂ Q
α<µ
Aα es una familia casi disjunta
de funciones y el conjunto {α < µ | |Aα| ≤ κ+α} es estacionario en µ, entonces
Demostraci´on: Como en el teorema anterior podemos suponer que los conjuntos Aα est´an formados por ordinales y que E0= {α < µ | Aα⊂ κ+α} es estacionario en µ.
Sea f ∈ F y E ⊂ E0estacionario. Definimos Ff,E= {g ∈ F |
V
α ∈ E g(α) ≤ f(α)}.
Claramente se trata de una familia casi disjunta contenida en Q α<µ Bα, donde Bα= n f (α) + 1 si α ∈ E, κ en caso contrario.
As´ı, si α ∈ E ⊂ E0, tenemos que f (α) ∈ κ+α, luego |Bα| = |f(α) + 1| ≤ κ. Por consiguiente el conjunto {α < µ | |Bα| ≤ κα} es estacionario (contiene a E) y podemos aplicar el teorema anterior, seg´un el cual |Ff,E| ≤ κ.
Ahora definimos Ff = {g ∈ F | W E ⊂ E0(E estacionario ∧ V α ∈ E g(α) ≤ f(α))} =S E Ff,E, donde E var´ıa en los subconjuntos estacionarios de E0. Claramente
|Ff| ≤P E κ ≤ 2
µκ = κ.
Veamos finalmente que |F| ≤ κ+. En otro caso tomemos {f
α}α<κ+funciones
distintas en F. Tenemos queØØØ S α<κ+ Fα Ø Ø Ø ≤ P α<κ+
κ = κ+, luego ha de existir una funci´on f ∈ F \ S
α<κ+
Fα.
En tal caso el conjunto {γ ∈ E0 | f(γ) ≤ fα(γ)} no es estacionario para ning´un α < κ+, luego su complementario {γ ∈ E
0 | fα(γ) ≤ f(γ)} s´ı lo es, y esto significa que cada fα∈ Ff, lo cual es imposible, dado que hay κ+funciones
fα y |Ff| ≤ κ.
El apartado a) del teorema de Silver es un caso particular del teorema si- guiente:
Teorema 6.22 Si el conjunto {α < µ | 2κα = κ+
α} es estacionario en µ, en-
tonces 2κ= κ+.
Demostraci´on: Veamos queVν < κ νµ< κ. En efecto, si ν < κ sea α tal que ν, µ < καy 2κα = κ+α. Entonces νµ≤ κακα= 2κα = κ+α ≤ κα+1< κ.
Para cada X ⊂ κ sea fX = {Xα}α<µ, donde Xα = X ∩ κα. Definimos F ={fX | X ⊂ κ}. Si X 6= Y entonces fX y fY son casi disjuntas, pues ha de existir un α tal que X ∩ κα6= Y ∩ καy entonces {δ < µ | fX(δ) = fY(δ)} ⊂ α. En particular, si X 6= Y entonces fX6= fY, luego |F| = 2κ.
Por otra parte F es una familia casi disjunta de funciones contenida en Q
α<µ
Pκα y el conjunto {α < µ | |Pκα| = κ+α} es estacionario en µ. El teorema anterior nos da, entonces, que 2κ= |F| ≤ κ+.
Teorema 6.23 Si Vν < κ νµ < κ y el conjunto {α < µ | κcf κα
α = κ+α} es
estacionario en µ, entonces κµ= κ+.
Demostraci´on: Para cada h : µ −→ κ sea fh = {hα}α<µ, donde las aplicaciones hα: µ −→ κ vienen dadas por
hα(β) =
nh(β) si h(β) < κ α, 0 en otro caso.
Sea F = {fh| h ∈µκ}. Si h 6= g, entonces fg y fh son casi disjuntas, pues si h(δ) 6= g(δ) y ambos son menores que κα, entonces
{δ < µ | fh(δ) = fg(δ)} ⊂ α + 1.
En particular si h 6= g se cumple fh6= fg, luego |F| = κµ. Adem´as F es casi disjunta y est´a contenida en Q
α<µ µκ
α.
Queremos aplicar el teorema 6.21 para concluir que κµ = |F| ≤ κ+. Necesi- tamos, pues, probar que el conjunto E = {α < µ | κµα= κ+α} es estacionario en
µ. Para ello consideramos el conjunto
C = {λ < µ |Vν < κλνµ< κλ}. Veamos que si λ ∈ C entonces κcf κλ
λ = κµλ. De aqu´ı se seguir´a que
{α < µ | κcf κα
α = κ+α} ∩ C ⊂ E
y, como el conjunto de la izquierda es estacionario por hip´otesis, si probamos tambi´en que C es c.n.a., concluiremos que E es estacionario, tal y como nos hace falta.
Sea, pues, λ ∈ C. Entonces cf κλ = cf λ ≤ λ < µ. Sea κλ = P α<cf κλ να, dondeVα < cf κλνα< κλ. As´ı κcf κλ λ ≤ κ µ λ= ≥ P α<cf κλ να ¥µ ≤ Q α<cf κλ νµ α≤ Q α<cf κλ κλ= κcf κλ λ.
Seg´un lo dicho, ahora s´olo queda probar que C es c.n.a. en µ. Para ello definimos l : µ −→ µ mediante
l(α) = m´ın{β < µ | κµ α< κβ}. Basta probar que
C = {λ | λ < µ} ∩ {α < µ | l[α] ⊂ α}.
En efecto, si λ ∈ C y α < λ, entonces κµ
α < κλ, existe un β < λ tal que
κµ
α< κβ, luego l(α) ≤ β < λ. Por lo tanto l[λ] ⊂ λ.
Rec´ıprocamente, si l[λ] ⊂ λ y ν < κλ, sea α < λ tal que ν < κα. Entonces
νµ ≤ κµ
Ahora estamos en condiciones de probar el apartado b) del teorema de Silver, y el apartado c) es una consecuencia inmediata. Sea κ el m´ınimo cardinal que incumple la HCS, es decir, κ > ℵ0, 2cf κ< κ, pero κcf κ> κ+. Supongamos que cf κ > ℵ0.
Sea µ = cf κ y {κα}α<µ como en los teoremas precedentes. Tenemos que la HCS se cumple bajo κ, luego el argumento del teorema 5.18 es v´alido en este contexto y nos permite probar que si ν < κ entonces νµ toma uno de los valores 2µ, µ o µ+, luego en particularVν < κ νµ< κ.
Sea E = {α < µ | cf κα = ℵ0∧ 2ℵ0 < κα}. Es claro que E es estacionario en µ, pues contiene a la intersecci´on del c.n.a. µ \ α0, donde α0 es el m´ınimo ordinal tal que 2ℵ0< κ
α0, con el conjunto {λ < µ | cf λ (= cf κλ) = ℵ0}, el cual
es estacionario por el teorema 6.13. Si α ∈ E, entonces 2cf κα < κ
α, con cf κα = ℵ0 y, como κα < κ cumple la HCS, κcf κα
α = κ+α, de modo que E ⊂ {α < µ | κcf κα α = κ+α}. Concluimos que este ´ultimo conjunto es estacionario y ello nos permite aplicar el teorema anterior, seg´un el cual κcf κ= κ+.
Tenemos as´ı un ejemplo no trivial de las numerosas restricciones que se conocen sobre la funci´on del continuo en cardinales singulares. Por ejemplo, si suponemos queVα < ω1 2ℵα = ℵα+1, entonces necesariamente 2ℵω1 = ℵω1+1.
En cambio, aunque supongamos V
n ∈ ω 2ℵn= ℵ
n+1
no podemos demostrar —aunque no es f´acil probar que as´ı es— que 2ℵω = ℵ
ω+1, es decir, la HCS no puede demostrarse ni siquiera para ℵω. Esto no significa que 2ℵω est´e libre de este tipo de restricciones. Por ejemplo, un profundo teorema
de S. Shelah de 1982 afirma que, para todo ordinal l´ımite λ:
ℵcf λλ < ℵ(|λ|cf λ)+.
En particular, siVn ∈ ω 2ℵn< ℵ
ω, entonces 2ℵω = ℵℵω0 < ℵ(2ℵ0)+.
M´as sorprendente a´un es otro teorema de Shelah de 1990, seg´un el cual, si 2ℵ0 < ℵ
ω entonces ℵℵω0 < ℵω4, con lo que, por 5.10, si
V
n ∈ ω 2ℵn < ℵ
ω, necesariamente 2ℵω < ℵ
ω4. Estos resultados son algunas consecuencias de la
llamada teor´ıa de las cofinalidades posibles, descubierta por Shelah y que tiene muchas m´as consecuencias en muchas ramas de la teor´ıa de conjuntos.