Continuamos ahora con el prop´osito principal de este cap´ıtulo, que es pre- sentar el lenguaje b´asico de la teor´ıa de conjuntos. Ya hemos introducido el vocabulario relacionado con las funciones, y ahora vamos a hacer lo propio con las relaciones. La definici´on conjuntista de “relaci´on” es muy simple:
Definici´on 1.22 Una relaci´on (binaria) en una clase A es una clase R ⊂ A×A.
Si R es una relaci´on en A y a, b ∈ A, escribiremos
a R b ≡ (a, b) ∈ R,
y en tal caso diremos que a est´a relacionado con b respecto de la relaci´on R. Observemos que, trivialmente, toda relaci´on en un conjunto es un conjunto. Diremos que una relaci´on R en una clase A es:
a) Reflexiva siVx ∈ A x R x, b) Irreflexiva siVx ∈ A ¬x R x, c) Sim´etrica siVxy ∈ A (x R y → y R x), d) Antisim´etrica siVxy ∈ A (x R y ∧ y R x → x = y) e) Asim´etrica si Vxy ∈ A (x R y → ¬y R x) f) Transitiva siVxyz ∈ A (x R y ∧ y R z → x R z) g) Conexa siVxy ∈ A (x R y ∨ y R x)
h) D´ebilmente conexa siVxy ∈ A(x R y ∨ y R x ∨ x = y)
5Por ejemplo, el axioma del par puede reformularse diciendo que para todo par de con- juntos x, y existe otro conjunto z cuyos ´unicos elementos son x e y. El ´unico axioma cuya reformulaci´on no es trivial es el de reemplazo.
Relaciones de equivalencia Una relaci´on de equivalencia en una clase A es
una relaci´on reflexiva, sim´etrica y transitiva en A.
Si R es una relaci´on de equivalencia en A y a ∈ A, definimos la clase de
equivalencia de a respecto de R como
[a]R≡ {b ∈ A | a R b},
es decir, como la clase de todos los elementos de A relacionados con a. El resultado fundamental sobre clases de equivalencia es el siguiente, cuya prueba dejamos a cargo del lector:
Teorema 1.23 Sea R una relaci´on de equivalencia en una clase A y conside- remos a, b ∈ A. Entonces:
a) a R b ↔ [a]R= [b]R,
b) ¬a R b ↔ [a]R∩ [b]R=∅.
En particular, dos clases de equivalencia en A son iguales o disjuntas.
Diremos que una relaci´on de equivalencia en una clase A es conjuntista si todas las clases de equivalencia que determina son conjuntos. Esto sucede en particular si A es un conjunto, pues en general las clases de equivalencia son subclases de A, luego si A es un conjunto todas ellas lo son tambi´en.
Si una relaci´on de equivalencia R en una clase A es conjuntista, podemos definir la clase cociente como6
A/R ≡ {[a]R| a ∈ A}.
Naturalmente, tambi´en podemos considerar la clase cociente para una relaci´on no conjuntista, pero entonces puede ocurrir perfectamente que A/R = ∅, lo cual no significa que no haya clases de equivalencia, sino que ninguna de ellas es un conjunto.
En el caso en que R es conjuntista podemos definir la aplicaci´on can´onica p : A −→ A/R dada por p(a) = [a]R.
Obviamente es suprayectiva, luego el axioma de reemplazo nos da que si A es un conjunto, A/R tambi´en lo es, y hablamos entonces del conjunto cociente, en lugar de clase cociente (aunque en este caso se sigue hablando de clases de equivalencia).
6T´ecnicamente, la existencia de la clase cociente viene dada por el axioma de comprensi´on, teniendo en cuenta que A/R ≡ {y |Wa ∈ A y = [a]R}.
Relaciones de orden Una relaci´on de orden parcial en una clase A es una
relaci´on reflexiva, antisim´etrica y transitiva en A. Si adem´as es conexa se dice que es una relaci´on de orden total.
Es costumbre usar el signo ≤ para representar relaciones de orden arbitrarias (de modo que si decimos que ≤ es una relaci´on de orden en una clase A hay que entender que ≤ es una clase y que ≤ ⊂ A × A). En estos t´erminos, las propiedades que definen una relaci´on de orden se escriben as´ı:
V
a ∈ A a ≤ a, Vab ∈ A(a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b),
V
abc ∈ A(a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c).
La relaci´on es de orden total si adem´asVab ∈ A(a ≤ b ∨ b ≤ a).
Una relaci´on de orden estricto en una clase A es una relaci´on asim´etrica y transitiva en A. Si adem´as es d´ebilmente conexa entonces es una relaci´on de orden total estricto.
Notemos que, pese a la nomenclatura, una relaci´on de orden estricto no es una relaci´on de orden. La relaci´on entre ambos conceptos es que si ≤ es una relaci´on de orden en A, entonces la relaci´on dada por
a < b ↔ a ≤ b ∧ a 6= b
es una relaci´on de orden estricto en A y, rec´ıprocamente, si < es una relaci´on de orden estricto en A, entonces la relaci´on dada por
a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b
es una relaci´on de orden en A. Estas dos construcciones son mutuamente inver- sas, en el sentido de que si aplicamos una y luego la otra volvemos a la relaci´on de partida. As´ı pues, es indistinto definir una relaci´on de orden o una relaci´on de orden estricto en una clase dada, pues de una se pasa trivialmente a la otra. Usaremos tambi´en la notaci´on a ≥ b ≡ b ≤ a y a > b ≡ b < a.
Cuando digamos que (A, ≤) es una clase total o parcialmente ordenada que- rremos decir7que ≤ es una relaci´on de orden (total o parcial) en A.
Sea A una clase ordenada por la relaci´on ≤ y sea B ⊂ A. Entonces: a) M ∈ A es una cota superior de B siVx ∈ B x ≤ M,
b) m ∈ A es una cota inferior de B siVx ∈ B m ≤ x,
c) M ∈ A es un maximal de B si M ∈ B yVx ∈ B(M ≤ x → M = x).
d) m ∈ A es un minimal de B si m ∈ B yVx ∈ B(x ≤ m → x = m).
7Si A es un conjunto podemos entender esto como una afirmaci´on sobre el par ordenado (A, ≤), pero usaremos esta misma expresi´on incluso si A es una clase propia, aunque ahora la afirmaci´on “(A, ≤) es una clase total o parcialmente ordenada” no puede interpretarse como una afirmaci´on sobre el par ordenado (A, ≤) = {{∅}}, sino literalmente como hemos indicado: como una forma c´omoda de expresar que ≤ es una relaci´on de orden en la clase A.
e) M ∈ A es el supremo de B si M es una cota superior de B yV
x ∈ A(x es una cota superior de B → M ≤ x).
f) m ∈ A es el ´ınfimo de B si m es una cota inferior de B yV
x ∈ A(x es una cota inferior de B → x ≤ m).
g) M ∈ A es el m´aximo de B si M ∈ B y M es una cota superior de B. h) m ∈ A es el m´ınimo de B si m ∈ B y m es una cota inferior de B. Ejemplo Si A es cualquier clase, la inclusi´on define una relaci´on de orden parcial en PA, es decir, podemos considerar en esta clase la relaci´on dada por
X ≤ Y ↔ X ⊂ Y.
Es inmediato comprobar que se trata de una relaci´on de orden parcial cuya relaci´on de orden estricto asociada es la inclusi´on estricta X √ Y .
Respecto de esta relaci´on, PA tiene como m´ınimo elemento a∅. Si A es un conjunto, entonces PA tiene como m´aximo elemento a A, pero si A no es un conjunto, entonces PA no tiene m´aximo elemento, pues dado cualquier X ∈ PA, ser´a X √ A, luego existe un x ∈ A \ X, luego X √ X ∪ {x} ∈ PA, luego X no es el m´aximo de PA.
Si A 6= ∅, la subclase B = PA \ {∅} tiene por minimales a los elementos de la forma {a}, con a ∈ A, pero no tiene m´ınimo, salvo en el caso en que
A = {a}, pues si A contiene al menos dos elementos a y b, entonces no se
cumple {a} ⊂ {b}, luego {a} no es m´ınimo de B, pero es minimal porque ning´un elemento de B es menor que {a}.
Si B es un subconjunto de A, entoncesSB es el supremo de B en PA, pues
todo x ∈ B cumple x ⊂SB, luegoSB es una cota superior de B, y si M ∈ PA
es una cota superior de B, esto significa queVx ∈ B x ⊂ M, de donde se sigue
queSB ⊂ M, luegoSB es la menor cota superior de B.
Similarmente, si B ⊂ A es no vac´ıo, entoncesTB es el ´ınfimo de B en PA.
As´ı pues, si A tiene m´as de un elemento, hemos visto que B = PA \ {∅} no tiene m´ınimo elemento, pero tiene por ´ınfimo a∅.
{a, b, c} ✟ ✟ ✟ ❍❍❍ {a, b} {b, c} {a, c} ❍ ❍ ❍ ❍❍❍ ✥✥✥✥✥✥ {a} {b} {c} ❍ ❍ ❍ ✟✟✟ ∅ M´as concretamente, si A = {a, b, c}, donde los conjuntos
a, b, c son distintos dos a dos, la relaci´on de orden dada por la inclusi´on es la que muestra la figura. Vemos en- tonces que PA tiene por m´ınimo a∅ y por m´aximo a A. En cambio, PA \ {A} no tiene m´aximo elemento, pero tiene tres elementos maximales, los tres conjuntos con dos elementos. Similarmente, PA\{∅} no tiene m´ınimo, pero tiene tres minimales, a saber, los conjuntos {a},
{b}, {c}, y tambi´en tiene´ınfimo, concretamente ∅. El conjunto B = {{a}, {b}, ∅}
Es f´acil ver que en un conjunto totalmente ordenado todo maximal es m´axi- mo y todo minimal es m´ınimo. Si un conjunto tiene m´aximo o m´ınimo, supremo o ´ınfimo, entonces ´estos son ´unicos. El supremo (´ınfimo) de una clase es m´aximo (m´ınimo) si y s´olo si pertenece a la clase.
Cuando tenemos una clase A ordenada por una relaci´on ≤ y una subclase
B ⊂ A, consideramos, aunque no se indique expl´ıcitamente, que B est´a ordenada
por la restricci´on de ≤ a B, es decir, con la intersecci´on de ≤ con B × B, de modo que si x, y ∈ B, se cumple x ≤ y como elementos de B si y s´olo si se cumple como elementos de A. Es inmediato comprobar que esta restricci´on es un orden en B. M´as a´un, B est´a totalmente ordenada si A lo est´a.
Diremos que F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) es mon´otona creciente o, simplemente,
creciente si ≤1y ≤2son relaciones de orden parcial en A y B respectivamente,
F : A −→ B y V
xy ∈ A(x ≤1y → F (x) ≤2F (y)).
Se dice que F es mon´otona decreciente o decreciente si cumple
V
xy ∈ A(x ≤1y → F (y) ≤2F (x)).
Se dice que F es estrictamente mon´otona creciente o decreciente si se cum- ple esto mismo cambiando las desigualdades no estrictas ≤ por desigualdades estrictas <.
Es f´acil comprobar que si F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) y G : (B, ≤2) −→ (C, ≤3) son ambas mon´otonas crecientes o decrecientes estrictas o no, lo mismo le sucede a la composici´on F ◦ G : (A, ≤1) −→ (C, ≤3).
Diremos que F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) es una semejanza si es biyectiva y tanto F como F−1 son crecientes. El car´acter creciente de F y F−1 equivale a
V
xy ∈ A(x ≤1y ↔ F (x) ≤2F (y)).
Observemos que si (A, ≤1) est´a totalmente ordenada, entonces toda apli- caci´on biyectiva y creciente F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) es una semejanza, pues si
F (x) ≤2F (y), entonces x ≤1y ∨ y ≤1x, pero si se da el segundo caso entonces
F (y) ≤2 F (x) por la monoton´ıa, luego F (x) = F (y), por la antisimetr´ıa, luego
x = y por la biyectividad, luego igualmente x1≤1y por la reflexividad. Las propiedades siguientes son inmediatas:
a) Para toda clase parcialmente ordenada (A, ≤), se cumple que la identidad
IA: (A, ≤) −→ (A, ≤) es una semejanza.
b) Si F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) es una semejanza, entonces la aplicaci´on inversa
F−1: (B, ≤2) −→ (A, ≤1) tambi´en lo es.
c) Si F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) y G : (B, ≤2) −→ (C, ≤3) son semejanzas, entonces la composici´on F ◦ G : (A, ≤1) −→ (C, ≤3) tambi´en lo es.
Diremos que dos clases parcialmente ordenadas (A, ≤1) y (B, ≤2) son se-
mejantes, y lo representaremos por (A, ≤1) ∼= (B,≤2), si existe una semejanza
F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2).
Las propiedades anteriores de las semejanzas se traducen inmediatamente en las propiedades siguientes de la semejanza entre clases parcialmente ordenadas: a) Para toda clase parcialmente ordenada (A, ≤), se cumple (A, ≤) ∼= (A,≤).
b) Si (A, ≤1) ∼= (B,≤2), entonces (B, ≤2) ∼= (A,≤1).
c) Si (A, ≤1) ∼= (B,≤2) y (B, ≤2) ∼= (C,≤3), entonces (A, ≤1) ∼= (C,≤3). La idea subyacente en estos conceptos es que, al conservar las relaciones de orden, una semejanza F : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) conserva todas las propiedades relacionadas con el orden. Por ejemplo, si X ⊂ A y m es el m´aximo, o el m´ınimo, o el supremo, o el ´ınfimo, o una cota superior/inferior de X, entonces
F (m) es lo mismo de F [X]. En general, toda propiedad que cumplan unos
elementos y subconjuntos de A la cumplir´an tambi´en las im´agenes por F de estos elementos o conjuntos, y esto hace que dos clases semejantes tengan las mismas propiedades de orden (una est´a totalmente ordenada si y s´olo si lo est´a la otra, una tiene m´aximo si y s´olo si lo tiene la otra, etc.).
Clases bien ordenadas Un buen orden en una clase A es una relaci´on de orden parcial respecto a la cual todas subclase8 no vac´ıa de A tiene m´ınimo elemento. Decimos que (A, ≤) es una clase bien ordenada si ≤ es un buen orden en A.
En el cap´ıtulo siguiente veremos que las buenas relaciones de orden de- sempe˜nan un papel central en la teor´ıa de conjuntos, pero de momento pre- sentaremos aqu´ı ´unicamente las consecuencias inmediatas de la definici´on.
Ante todo, aunque hemos definido un buen orden como una relaci´on de orden parcial, lo cierto es que la existencia de m´ınimos implica que es total, pues si (A, ≤) es una clase bien ordenada y x, y ∈ A, el conjunto {x, y} debe tener un m´ınimo elemento m, y entonces se cumple x ≤ y o bien y ≤ x seg´un que sea
m = x o m = y.
Tambi´en es evidente que toda subclase de una clase bien ordenada est´a bien ordenada.
En general, si (A ≤) es un conjunto bien ordenado y x ∈ A, usaremos la notaci´on
A≤x ≡ {a ∈ A | a ≤ x}, A<x ≡ {a ∈ A | a < x}.
Nos referiremos a ellos como la secci´on inicial no estricta (o estricta, respecti-
vamente) determinada por x, que no es sino la clase de todos los elementos de
A anteriores (o estrictamente anteriores) a x.
8Observemos que la propiedad “(A, ≤) es una clase bien ordenada” no es normal, porque contiene una cuantificaci´on sobre todas las subclases de A, pero “(A, ≤) es un conjunto bien ordenado” s´ı que lo es, porque ahora la existencia de m´ınimo se requiere para todos los subconjuntos no vac´ıos de A, luego el cuantificador est´a restringido a conjuntos.
Una de las razones por las que las clases bien ordenadas son importantes es porque permiten razonar por inducci´on en el sentido del teorema siguiente: Teorema 1.24 (Principio de inducci´on para clases bien ordenadas) Si (A, ≤) es una clase bien ordenada y B ⊂ A cumpleVx ∈ A(A<
x ⊂ B → x ∈ B),
entonces B = A.
Demostraci´on: Si B 6= A, entonces A \ B 6= ∅, luego por la buena orde- naci´on esta clase tiene un m´ınimo elemento x. Eso quiere decir que si a < x entonces a /∈ A \ B, luego a ∈ B. Equivalentemente, A<
x ⊂ B, y por hip´otesis, esto implica x ∈ B, con lo que tenemos una contradicci´on, pues hemos tomado
x ∈ A \ B.
En la pr´actica esto significa que si queremos probar que todo elemento de una clase bien ordenada (A, ≤) cumple una determinada propiedad normal φ(x), podemos fijar un x ∈ A arbitrario y tomar como hip´otesis de inducci´on que todos los elementos a < x cumplen φ(a), y demostrar a partir de ah´ı φ(x). Si logramos esto, el teorema anterior aplicado a la clase B = {a ∈ A | φ(a)} implica que
B = A, luego todo elemento de A cumple φ(x).
Veamos ahora una propiedad elemental que, no obstante, resulta de gran utilidad:
Teorema 1.25 Si F : (A, ≤) −→ (A, ≤) es una aplicaci´on estrictamente cre-
ciente en una clase bien ordenada, entoncesVa ∈ A a ≤ F (a).
Demostraci´on: Supongamos que existe un a ∈ A tal que F (a) < a. En- tonces la clase B = {a ∈ A | F (a) < a} no es vac´ıa, luego tiene un m´ınimo elemento m. En particular F (m) < m y, como F es estrictamente creciente,
F (F (m)) < F (m), pero entonces a = F (m) cumple a ∈ B y a < m, en contra-
dicci´on con que m era el m´ınimo de B.
De aqu´ı extraemos dos consecuencias de inter´es:
Teorema 1.26 Una clase bien ordenada no puede ser semejante a una de sus
secciones iniciales estrictas.
Demostraci´on: Sea (A, ≤) una clase bien ordenada, y supongamos que existe x ∈ A tal que existe una semejanza9 F : (A, ≤) −→ (A<
x, ≤). En par- ticular F : (A, ≤) −→ (A, ≤) es estrictamente creciente, pero F (x) ∈ A<
x, luego
F (x) < x, en contradicci´on con el teorema anterior.
Teorema 1.27 Si dos clases bien ordenadas son semejantes, entonces existe
una ´unica semejanza entre ellas.
9T´ecnicamente junto a A<
x no deber´ıamos escribir ≤, sino la restricci´on de ≤ a A<x, pero no pasa nada por relajar la notaci´on en estos contextos.
Demostraci´on: Supongamos que F, G : (A, ≤1) −→ (B, ≤2) son dos se- mejanzas entre las mismas clases bien ordenadas. Entonces la composici´on
F ◦ G−1 : (A, ≤1) −→ (A, ≤1) es tambi´en una semejanza, luego por 1.25 tene- mos queVa ∈ A a ≤1G−1(F (a)), y aplicando G resulta
V
a ∈ A G(a) ≤1F (a). Pero las hip´otesis son las mismas para F y G, luego igualmente podemos probar la desigualdad opuesta, y concluimos queVa ∈ A F (a) = G(a), luego F = G.
No vamos a probar aqu´ı m´as resultados sobre clases bien ordenadas porque en el cap´ıtulo siguiente estaremos en condiciones de razonar m´as c´omodamente sobre ellas.