Veamos primero lo que podemos decir sobre el c´alculo de potencias de car- dinales partiendo exclusivamente de los axiomas de NBG. En las secciones si- guientes veremos qu´e m´as podemos a˜nadir si suponemos axiomas adicionales como la hip´otesis del continuo generalizada.
Sabemos que la exponenciaci´on de n´umeros naturales se reduce a la usual, por lo que podemos centrarnos en el caso en que al menos uno de los cardinales es infinito. M´as concretamente, el caso realmente interesante se da cuando el exponente es infinito, ya que si es finito la potencia se reduce a las propiedades del producto de cardinales por inducci´on. De hecho, en virtud del teorema
4.29, el teorema siguiente (enunciado para cardinales no necesariamente bien ordenables) es una forma equivalente del axioma de elecci´on:
Teorema 5.1 Si κ es un cardinal infinito y n un n´umero natural no nulo, entonces κn = κ.
Si la base es finita (mayor que 1, o si no el c´alculo es trivial), el problema se reduce al caso en que es igual a 2. M´as en general:
Teorema 5.2 Sean κ y µ cardinales tales que 2 ≤ κ ≤ µ y ℵ0 ≤ µ. Entonces
κµ= 2µ.
Demostraci´on: κµ≤ (2κ)µ= 2µ ≤ κµ.
Si la base es infinita podemos centrarnos en el caso en que sea un cardinal l´ımite, en virtud de la f´ormula que probamos a continuaci´on. En la prueba hacemos uso de un argumento general que conviene destacar porque nos va a aparecer m´as veces:
Si µ < cf κ, entonces
µκ = S α<κ
µα.
En efecto, esto es una forma de expresar que toda funci´on f : µ −→ κ est´a acotada.
Teorema 5.3 (F´ormula de Hausdorff) Se cumple: V
αβ ℵℵβ
α+1= ℵℵ
β
α ℵα+1.
Demostraci´on: Si α + 1 ≤ β, entonces ℵα+1≤ ℵβ< 2ℵβ, luego
ℵℵβ
α ℵα+1= 2ℵβℵα+1= 2ℵβ = ℵℵα+1β .
Si, por el contrario, β < α + 1, entonces, como ℵα+1es regular, ωβω α+1= S δ<ωα+1 ωβδ, luego ℵℵβ α+1= |ωβωα+1| = Ø Ø Ø S δ<ωα+1 ωβδ Ø Ø Ø ≤ P δ<ωα+1 |δ|ℵβ≤ P δ<ωα+1 ℵℵβ α = ℵℵαβℵα+1. La otra desigualdad es obvia.
Al igual que 5.2, muchos de los resultados sobre exponenciaci´on cardinal in- volucran la funci´on 2κ, la cual, ciertamente, es el esqueleto de la exponenciaci´on cardinal. Por ello es conveniente darle un nombre:
Definici´on 5.4 Se llama funci´on del continuo a la funci´on κ 7→ 2κ definida sobre los cardinales infinitos.
As´ı, la hip´otesis del continuo generalizada no es m´as que una determinaci´on de la funci´on del continuo, en virtud de la cual 2κ= κ+. Ya hemos comentado que esta hip´otesis no puede ser demostrada ni refutada, lo que significa que hay otras alternativas igualmente consistentes con los axiomas de NBG (supuesto, claro, que ´estos sean consistentes). De todos modos, no sirve cualquier deter- minaci´on total o parcial de la funci´on del continuo. Por ejemplo, es obvio que ser´ıa contradictorio suponer que
2ℵ0 = ℵ
5∧ 2ℵ1= ℵ3.
M´as en general, la funci´on del continuo ha de respetar la monoton´ıa:
κ ≤ µ → 2κ≤ 2µ.
Otra restricci´on a la funci´on del continuo es el teorema de Cantor: ser´ıa con- tradictorio suponer que 2κ= κ para todo cardinal κ, a pesar de que esta funci´on del continuo s´ı que es mon´otona. En realidad, la funci´on del continuo est´a so- metida a una desigualdad m´as fina que el teorema de Cantor, consecuencia del teorema de K¨onig 4.54 y, m´as concretamente, del teorema siguiente:
Teorema 5.5 (Teorema de K¨onig) Para todo cardinal infinito κ se cumple
κ < κcf κ.
Demostraci´on: Sea {µα}α<cf κ una familia de cardinales menores que κ tales que κ = P
α<cf κ
µα. Por el teorema 4.54 resulta que
κ = P
α<cf κ
µα< Q α<cf κ
κ = κcf κ.
Ciertamente, este teorema refina al teorema de Cantor, pues en virtud del teorema 5.2 ´este puede expresarse como κ < κκ, y en el teorema anterior el exponente es menor o igual que κ. De todos modos, podemos expresar esta restricci´on en t´erminos de la funci´on del continuo:
Teorema 5.6 (Teorema de K¨onig) Si κ es un cardinal infinito, entonces
κ < cf 2κ.
Demostraci´on: Si cf 2κ ≤ κ, entonces (2κ)cf 2κ
≤ (2κ)κ = 2κ, en contra- dicci´on con el teorema anterior.
As´ı pues, 2ℵ0 puede ser ℵ
1, ℵ2, ℵω+1 o ℵω3, pero no ℵω. Cuando decimos
“puede ser” queremos decir que es consistente suponer que lo es. En efecto, aunque no lo vamos a probar aqu´ı, este teorema y la monoton´ıa es todo lo que puede probarse sobre la funci´on del continuo sobre cardinales regulares, en el sentido de que cualquier axioma que determine la funci´on del continuo sobre cardinales regulares que sea compatible con estos dos requisitos es consistente con los axiomas de NBG (supuesto que ´estos sean consistentes).
Notemos que no exigimos que la funci´on 2κsea estrictamente mon´otona, de modo que, por ejemplo, es consistente suponer que 2ℵ0 = 2ℵ1 = ℵ
Debemos resaltar la restricci´on a cardinales regulares. Si no fuera as´ı podr´ıa- mos decir que comprendemos completamente la funci´on del continuo, en cuanto que sabr´ıamos decir exactamente qu´e posibilidades son consistentes y cu´ales no. Sin embargo, la situaci´on en los cardinales l´ımite es muy confusa. Por ejemplo, es contradictorio suponer que
V
α 2ℵα= ℵ
α+ω+2,
a pesar de que esta (presunta) funci´on del continuo respeta tanto la monoton´ıa como el teorema de K¨onig. Seg´un lo dicho, no hay inconveniente en postular este axioma ´unicamente para cardinales regulares, pero no puede cumplirse para todos los cardinales singulares, como muestra el teorema siguiente:
Teorema 5.7 Si un ordinal β cumpleVα 2ℵα = ℵ
α+β, entonces β < ω. Demostraci´on: Supongamos que β es infinito y sea α el m´ınimo ordinal tal que β < α + β. Claramente 0 < α ≤ β. Necesariamente α es un ordinal l´ımite, pues si α = γ + 1 entonces
β < α + β = γ + 1 + β = γ + β,
luego γ cumple lo mismo que α, en contra de la minimalidad de α.
ℵα+α+β = 2ℵα+α= 2 P δ<α ℵα+δ = Q δ<α 2ℵα+δ = Q δ<αℵα+δ+β = Q δ<αℵα+β = Q δ<α 2ℵα= (2ℵα)|α|= 2ℵα = ℵ α+β.
Por consiguiente, α + α + β = α + β, y de aqu´ı α + β = β, en contra de la elecci´on de α.
Para continuar nuestro estudio conviene introducir una operaci´on muy rela- cionada con la exponenciaci´on de cardinales:
Definici´on 5.8 Si β es un ordinal y A es un conjunto, definimos
A<β =<βA = S
α<β
Aα,
es decir, A<β es el conjunto de las aplicaciones de un ordinal menor que β en A. Usaremos la segunda notaci´on cuando pueda haber confusi´on con el cardinal
κ<µ= |<µκ|.
El teorema siguiente, que generaliza a 4.35, nos da varias caracterizaciones interesantes de esta operaci´on:
Teorema 5.9 Si µ es infinito y κ ≥ 2, entonces
κ<µ= sup ν<µκ
ν = P
ν<µ
κν,
Demostraci´on: Si µ es un cardinal l´ımite, µ = sup
ν<µν ≤ supν<µκ ν.
Si µ = ν+ entonces ν < κν, pues si ν < κ es obvio y si κ ≤ ν entonces
ν < 2ν= κν, luego ν < sup ν<µκ ν y as´ı µ = ν+≤ sup ν<µκ ν. En cualquier caso P ν<µ κν = sup ν<µκ ν. Por consiguiente κ<µ=ØØØ S α<µ ακØØ Ø = P α<µ κ|α|≤ P α<µ sup ν<µκ ν = sup ν<µκ ν.
Si ν < µ, entoncesνκ ⊂<µκ, luego κν ≤ |<µκ| = κ<µ. As´ı pues, tomando el supremo, sup
ν<µκ
ν ≤ κ<µy tenemos la igualdad.
A partir de este teorema es inmediato que si µ es infinito entonces
κ<µ+ = κµ,
luego κ<µ s´olo tiene inter´es cuando µ es un cardinal l´ımite.
Volviendo a la funci´on del continuo, ahora podemos expresar la condici´on de monoton´ıa como que 2<κ ≤ 2κ. El teorema siguiente es un refinamiento de esta relaci´on que para cardinales sucesores es trivial, pero no as´ı para cardinales l´ımite:
Teorema 5.10 Si κ es un cardinal infinito, entonces 2κ= (2<κ)cf κ. Demostraci´on: Sea κ = P
α<cf κ να, donde V α < cf κ να< κ. Entonces 2κ= 2 P α<cf κ να = Q α<cf κ 2να ≤ Q α<cf κ 2<κ= (2<κ)cf κ≤ (2κ)cf κ= 2κ.
Notemos que si κ = µ+ entonces la igualdad se reduce a 2µ+
= 2µ+
, luego es trivial, tal y como advert´ıamos, pero para cardinales l´ımite puede no serlo. Por ejemplo, siVn ∈ ω 2ℵn= 2ℵ0 (lo cual es consistente), entonces 2<ℵω= 2ℵ0
y necesariamente 2ℵω = 2ℵ0.
Por otra parte, este teorema tampoco es definitivo pues, si tenemos, por ejemplo,Vn ∈ ω 2ℵn = ℵ
ω+n+1, entonces 2<ℵω = ℵω+ω y s´olo concluimos que 2ℵω= ℵℵ0
ω+ω, pero no sabemos qu´e valores puede tomar esta expresi´on.
Esto est´a relacionado con el problema de la relaci´on que hay entre la funci´on del continuo y la exponenciaci´on en general κµ (una muestra es el teorema 5.2). Comprenderemos mejor esta relaci´on en la secci´on siguiente. De momento aca- bamos ´esta con algunos resultados t´ecnicos de inter´es:
Demostraci´on: Si µ = ξ+ es inmediato, as´ı que podemos suponer que µ es un cardinal l´ımite. Al ser regular, los subconjuntos no acotados en µ tienen cardinal µ. En particular, hay µ cardinales ν < µ, de donde
µ ≤ P
ν<µ
κν= κ<µ. Sea π < µ. Como µ es regular se cumple que
πsup ν<µκ
ν ⊂ S ν<µ
π(κν).
En efecto, dada f en el miembro izquierdo, la aplicaci´on π −→ µ que a cada
α < π le asigna el m´ınimo ν < µ tal que f (α) < κν no puede ser cofinal, luego ha de existir un ν < µ tal que f [π] ⊂ κν y f est´a en el miembro derecho.
As´ı pues, tomando cardinales, (κ<µ)π≤ P
ν<µ
κνπ≤ P ν<µ
κ<µ= µ κ<µ= κ<µ.
Tomando el supremo en π obtenemos (κ<µ)<µ≤ κ<µ, y la otra desigualdad es obvia.
Definici´on 5.12 Dado un conjunto A y un cardinal κ, llamaremos [A]κ = {x | x ⊂ A ∧ |x| = κ},
[A]<κ = {x | x ⊂ A ∧ |x| < κ}.
La exponenciaci´on cardinal permite calcular los cardinales de estos conjun- tos. El teorema siguiente generaliza a 4.36:
Teorema 5.13 Sea A un conjunto infinito y κ un cardinal κ ≤ |A|, Entonces
|[A]κ| = |A|κ, |[A]<κ| = |A|<κ.
En particular A tiene |A| subconjuntos finitos.
Demostraci´on: Podemos suponer κ > 0. Sea µ = |A| = κµ = |κ × µ|. Para la primera igualdad basta probar que |[κ × µ]κ| = µκ, pero es inmediato que κµ ⊂ [κ × µ]κ, de donde µκ ≤ |[κ × µ]κ| y, por otra parte, para cada
x ∈ [κ × µ]κ podemos escoger una biyecci´on f
x : κ −→ x, de modo que la aplicaci´on g : [κ × µ]κ −→κ(κ × µ) dada por g(x) = f
x es inyectiva, de donde
|[κ × µ]κ| ≤ |κ(κ × µ)| = |κ × µ|κ= µκ. Respecto a la segunda igualdad,
|[A]<κ| =ØØØS µ<κ [A]µØØØ = P µ<κ|[A] µ| = P µ<κ|A| µ= |A|<κ.