Ya hemos probado que tiene sentido hablar del n´umero de elementos de conjuntos arbitrarios en el sentido de que podemos comparar dos conjuntos cualesquiera seg´un su n´umero de elementos. Ahora vamos a ver c´omo construir n´umeros que midan el n´umero de elementos de un conjunto arbitrario, es decir, que nos permitan “contar” cualquier conjunto.
M´as concretamente, nos gustar´ıa asociar a cada conjunto X un cardinal
X que nos permita considerar las relaciones de equipotencia X = Y como
aut´enticas igualdades, y las relaciones X ≤ Y como una relaci´on de orden ≤ (que tendr´ıamos que definir) actuando sobre los objetos X y Y (que de momento no tenemos definidos).
Vamos a presentar dos formas de hacerlo, una se apoya en los axiomas de partes y regularidad, mientras que la otra se apoya en el axioma de elecci´on.
En realidad hay una forma muy sencilla de definir el cardinal de un conjunto sin necesidad de recurrir a ninguno de los axiomas que acabamos de mencionar. Basta tener en cuenta que la relaci´on de equipotencia determina una relaci´on de equivalencia en V , la dada por
X R Y ↔ X = Y ,
luego podr´ıamos definir el cardinal de un conjunto X como su clase de equiva- lencia:
X ≡ [X]R= {Y | X = Y }.
As´ı se cumple ciertamente que X = Y (entendido como igualdad de clases de equivalencia) si y s´olo si X = Y (entendido como que X e Y son equipotentes). Sin embargo, no es una buena opci´on pues, salvo para X =∅, un cardinal as´ı
definido es siempre una clase propia. En efecto, la aplicaci´on V −→ X dada por Y 7→ X × {Y } es claramente inyectiva, luego su imagen es una clase propia contenida en X, luego ´este no puede ser un conjunto.
Esto no es del todo inviable, pero es t´ecnicamente desaconsejable pues, por ejemplo, nos impide definir la clase de todos los cardinales, ya que los cardinales son clases propias y no pueden definir a ninguna clase. Aunque podr´ıamos arregl´arnoslas para definir una suma de cardinales, dicha suma no podr´ıa verse como una ley de composici´on interna, porque eso requerir´ıa que los cardinales fueran conjuntos, etc.
Pero este “primer intento” se puede refinar. Para ello suponemos los axiomas de partes y regularidad, lo cual nos da la descomposici´on de la clase universal
V = S
α∈Ω
Vα,
donde cada Vαes un conjunto, as´ı como la aplicaci´on rang : V −→ Ω, que a cada conjunto x le asigna el menor ordinal α tal que x ⊂ Vα. De este modo podemos definir el cardinal de un conjunto X, no como la clase de todos los conjuntos equipotentes a X (que no es un conjunto), sino como el conjunto de todos los conjuntos equipotentes a X del menor rango posible. Esto es un conjunto porque si α es el menor rango de un conjunto equipotente a X, entonces el cardinal as´ı definido es un subconjunto del conjunto Vα+1. Concretamente:
Definici´on 4.6 Un cardinal es un conjunto no vac´ıo p tal que1 a) Vxy ∈ p( x = y ),
b) WαVx ∈ p rang x = α,
c) Vxy(x ∈ p ∧ x = y ∧ rang x = rang y → y ∈ p),
d) ¬Wxy(y ∈ p ∧ x = y ∧ rang x < rang y).
Llamaremos C a la clase de todos los cardinales.
La primera condici´on dice que todos los elementos de un cardinal p son equipotentes entre s´ı. La segunda afirma que todos tienen un mismo rango α. La tercera dice que todo conjunto equipotente a un conjunto de p que tenga el rango de los elementos de p est´a en p, y la ´ultima afirma que no existen conjuntos equipotentes a los de p de rango menor al rango de los elementos de p. En suma, un cardinal es un conjunto no vac´ıo de conjuntos equipotentes entre s´ı de rango m´ınimo.
Si X es un conjunto cualquiera, definimos su cardinal como
X ≡ {Y | X = Y ∧ ¬WZ(cto Z ∧ rang Z < rang Y ∧ X = Z )}.
1En lo sucesivo las letras g´oticas p, q, . . . denotar´an siempre cardinales, aunque no se indique expl´ıcitamente.
Es claro que X es realmente un cardinal. En efecto, puesto que existe al menos un conjunto equipotente a X (el propio X), la clase
{α ∈ Ω |WY (cto Y ∧ Y = X ∧ rang Y = α)}
no es vac´ıa, luego tiene un m´ınimo elemento α, lo cual significa que existe un conjunto Y0 equipotente a X de rango α y que si Z = X entonces rang Z ≥ α. Por lo tanto, Y0 ∈ X, luego X 6= ∅, y no ofrece ninguna dificultad comprobar que X no es sino el conjunto de todos los conjuntos equipotentes a X de rango
α, de donde se sigue a su vez que cumple las propiedades a) – d) de la definici´on de cardinal.
Aunque estas definiciones sean t´ecnicamente complejas, esto carece de im- portancia, pues podemos olvidarnos de ellas en cuanto nos convencemos de lo siguiente:
Teorema 4.7 Se cumple:
a) Para cada conjunto x tenemos definido x ∈ C y para todo p ∈ C existe un conjunto x tal que x = p.
b) Dados dos conjuntos x e y, se cumple x = y (entendido como igualdad de cardinales) si y s´olo si x e y son equipotentes.
Demostraci´on: Si p ∈ C, por definici´on no es vac´ıo, luego existe un x ∈ p, y es f´acil ver que p = x.
Si dos conjuntos x e y son equipotentes, entonces los conjuntos de rango m´ınimo equipotentes a uno de ellos coinciden con los conjuntos de rango m´ınimo equipotentes al otro, luego sus cardinales son iguales. Rec´ıprocamente, si ambos tienen el mismo cardinal x = y = p y z ∈ p, entonces z es equipotente a x y a
y, luego ambos son equipotentes entre s´ı.
As´ı pues, hemos conseguido nuestro prop´osito: las f´ormulas x = y tienen el mismo significado que les hemos dado en la definici´on 4.1, pero ahora son aut´enticas igualdades de cardinales.
Definici´on 4.8 Definimos la relaci´on en C dada por
p≤ q ≡Wxy(cto x ∧ cto y ∧ p = x ∧ q = y ∧ x es minuspontente a y).
Esta definici´on no depende de la elecci´on de x e y en virtud del ´ultimo apartado del teorema 4.2, de modo que, para todo par de conjuntos x e y, se cumple que
x ≤ y si y s´olo si x es minuspotente a y,
es decir, que la f´ormula x ≤ y (entendida en t´erminos de la relaci´on que acaba- mos de definir) tiene el mismo significado que ten´ıa en 4.1, pero ahora es una aut´entica desigualdad entre cardinales.
El teorema 4.2 implica inmediatamente que la relaci´on que acabamos de definir es ciertamente una relaci´on de orden (no necesariamente de orden total) sobre la clase C.
Ahora veamos otra forma alternativa de definir el cardinal de un conjunto que no requiere ni el axioma de regularidad ni el de partes, pero (para que sirva realmente para todo conjunto) s´ı el axioma de elecci´on. La idea es que, bajo AE, todo conjunto x puede biyectarse con un ordinal, luego podemos definir el cardinal de x como el menor ordinal equipotente a x. En lugar de suponer AE, restringiremos las definiciones a conjuntos biyectables con ordinales:
Definici´on 4.9 La clase de los cardinales de von Neumann es la clase2
K = {α ∈ Ω | ¬Wβ < α β = α}.
Usaremos las letras griegas κ, µ, ν, . . . para referirnos a cardinales de von Neumann, aunque no lo indiquemos expl´ıcitamente.
De este modo, un cardinal (de von Neumann) es un ordinal no equipotente a ning´un ordinal anterior. Por lo tanto, si κ y µ son cardinales de von Neumann, se tiene que ¯κ = ¯µ ↔ κ = µ, ya que si ¯κ = ¯µ pero κ < µ o µ < κ, entonces µ (en
el primer caso) o κ (en el segundo) no ser´ıa un cardinal, pues ser´ıa equipotente a un ordinal anterior.
Diremos que un conjunto es bien ordenable si admite una buena ordenaci´on o, equivalentemente, si es equipotente a un ordinal.
Para cada conjunto bien ordenable x, el menor ordinal equipotente a x no puede ser equipotente a ning´un ordinal anterior (pues dicho ordinal anterior ser´ıa tambi´en equipotente a x), luego es un cardinal de von Neumann. En definitiva, si definimos
|x| = κ | (κ ∈ K ∧ κ = x ),
tenemos que para todo conjunto bien ordenable x se cumple que |x| ∈ K y es un ordinal equipotente a x.
M´as a´un, si x e y son conjuntos bien ordenables entonces |x| = |y| si y s´olo si x es equipotente a y.
En efecto, tenemos que x es equipotente a |x| e y es equipotente a |y|, luego
x es equipotente a y si y s´olo si |x| es equipotente a |y| si y s´olo si |x| = |y|. As´ı pues, si aceptamos AE, todo conjunto tiene asociado un cardinal de von Neumann, luego podemos olvidarnos de la definici´on de C y trabajar ´unicamente con K.
Por otra parte, si no suponemos AE, la relaci´on entre ambas definiciones es que tenemos una inmersi´on K −→ C dada por κ 7→ κ, es decir, a cada cardinal
2Por seguir la tradici´on cantoriana, escribiremos α en lugar de α cuando α sea un ordinal. Recordemos que para Cantor una barra significaba “ordinal” y una barra sobre el ordinal (o sea, dos barras sobre un conjunto) significaba “cardinal”.
de von Neumann le asociamos su cardinal en el sentido de 4.6. La aplicaci´on es inyectiva, pues si κ = µ, entonces κ y µ son cardinales equipotentes, luego son iguales.
Si esta inmersi´on es suprayectiva, entonces para todo conjunto x tenemos que x = κ, para cierto κ ∈ K, luego x es equipotente a κ y, por consiguiente, bien ordenable. En suma, la suprayectividad de la inmersi´on de K en C equivale al axioma de elecci´on.
Por otra parte, si consideramos en K el orden de Ω, tenemos que la inmersi´on es una semejanza en la imagen, es decir, κ ≤ µ si y s´olo si κ ≤ µ.
En efecto, si κ ≤ µ, entonces κ ⊂ µ, luego es obvio que κ ≤ µ. Rec´ıproca- mente, si κ ≤ µ, no puede ser µ < κ, pues entonces µ ≤ κ, luego κ = µ, luego
κ = µ, contradicci´on. As´ı pues, κ ≤ µ.
En particular, si x e y son conjuntos bien ordenables, tenemos que |x| ≤ |y| si y s´olo si x es minuspotente a y.
Puede probarse que sin el axioma de elecci´on es imposible demostrar que la relaci´on de orden en C sea un orden total, mientras que con el axioma de elecci´on C es semejante a K y, por consiguiente, C resulta estar no s´olo totalmente ordenado, sino incluso bien ordenado.
En la pr´actica identificaremos K con su imagen en C, en el sentido de que si p ∈ C y afirmamos que p ∈ K deberemos entender que p = κ para un cierto
κ ∈ K. Por ejemplo, es obvio que si X ≤ Y e Y es bien ordenable, entonces X
tambi´en lo es. Alternativamente, podemos expresar esto diciendo que si p ≤ κ, entonces p ∈ K.
Veamos ahora algunos resultados b´asicos sobre los cardinales de von Neu- mann.
Teorema 4.10 ω ⊂ K.
Demostraci´on: Probamos por inducci´on que todo n´umero natural es un cardinal. Obviamente 0 no es equipotente a ning´un ordinal anterior, luego 0 ∈ K. Supongamos que n ∈ K pero que n + 1 /∈ K. Entonces existe un ordinal
anterior m < n + 1 y una biyecci´on f : n + 1 −→ m. Es claro que m no puede ser 0, luego m = r + 1. Veamos que podemos suponer que f (n) = r. En caso contrario, sea n0= f−1(r). Definimos
f0= (f \ {(n, f(n)), (n0, r)}) ∪ {(n, r), (n0, f (n))},
y es claro que f0 es una biyecci´on como f pero tal que f (n) = r. Ahora bien, r < n y f0|
n: n −→ r biyectiva, lo cual contradice que n sea un cardinal.
Demostraci´on: En caso contrario existir´ıa un n ∈ ω tal que n = ω, pero como n ⊂ n + 1 ⊂ ω es claro que n ≤ n + 1 ≤ ω = n, luego ser´ıa n = n + 1 y
n + 1 no ser´ıa un cardinal, en contra del teorema anterior.
El siguiente cardinal ya no es tan f´acil de encontrar. Ciertamente no puede ser ω + 1, como muestra el teorema siguiente:
Teorema 4.12 Vκ(ω ≤ κ → κ es un ordinal l´ımite).
Demostraci´on: Vamos a ver que no puede existir un ordinal α tal que
κ = α + 1. En efecto, en tal caso podr´ıamos definir una aplicaci´on f : κ −→ α biyectiva mediante f (β) = β si β ∈ α \ ω, β + 1 si β ∈ ω, 0 si β = α.
Por consiguiente κ no ser´ıa un cardinal.
La forma m´as natural de encontrar un cardinal mayor que ω es tomar un ordinal equipotente a Pω y aplicar el teorema de Cantor. No obstante, no po- demos encontrar dicho ordinal sin el axioma de elecci´on, pues sin ´el no puede probarse que Pω pueda ser bien ordenado. Pero es posible probar la existencia de cardinales arbitrariamente grandes sin necesidad del axioma de elecci´on. En cualquier caso, el axioma que necesitaremos inevitablemente es el axioma de partes, pues sin ´el no puede demostrarse la existencia de conjuntos no numera- bles (es decir, de conjuntos de cardinal mayor que ω). As´ı, el teorema siguiente es el segundo en el que usamos AP de forma esencial, despu´es del teorema de Cantor (que hasta ahora no hemos usado para nada):
Teorema 4.13 VαWκ α < κ.
Demostraci´on: Sea
A = {R ∈ P(α × α) | R es un buen orden en α},
es decir, A es el conjunto de todos los buenos ´ordenes posibles en α. Se cumple que es un conjunto por el axioma de partes.
Sea f : A −→ Ω la aplicaci´on dada por f(R) = ord(α, R). Por el axioma del reemplazo f [A] es un subconjunto de Ω, luego est´a acotado. Sea β ∈ Ω tal que V
δ ∈ f[A] δ < β.
Si R es la relaci´on de orden usual en α, tenemos que R ∈ A y f(R) = α, luego α < β. Si fuera α = β, entonces tendr´ıamos una biyecci´on g : α −→ β, la cual nos permitir´ıa definir la relaci´on en α dada por δ R ≤ si y s´olo si g(δ) < g(≤). Claramente R es un buen orden en α y g : (α, R) −→ β es una semejanza. Por consiguiente f (R) = β ∈ f[A], en contradicci´on con la elecci´on de β. As´ı pues, como obviamente α ≤ β, ha de ser α < β.
Llamemos κ al m´ınimo ordinal tal que α < κ. Claramente κ ∈ K, pues si existiera un γ < κ tal que γ = κ, tambi´en tendr´ıamos que α < γ, en contra de la definici´on de κ.
Adem´as α < κ, pues de lo contrario ser´ıa κ ≤ α, y esto contradice a α < κ, por el teorema de Cantor-Bernstein.
Definici´on 4.14 Dado un ordinal α llamaremos cardinal siguiente de α al m´ınimo cardinal mayor que α y lo representaremos por α+.
Seg´un hemos visto,Vn ∈ ω n+= n + 1, mientras que si α es infinito esto ya no es cierto, pues entonces α+ es un ordinal l´ımite.
Ahora ya tenemos demostrada la existencia de infinitos cardinales infinitos. M´as a´un, hemos probado que K no est´a acotado en Ω, lo que implica que la clase de todos los cardinales no es un conjunto. Otro hecho importante es el siguiente:
Teorema 4.15 El supremo de un conjunto de cardinales es un cardinal. Demostraci´on: Sea A ⊂ K un conjunto y sea κ = S
µ∈A
µ. Ciertamente κ ∈ Ω y hemos de probar que es un cardinal. Si existiera un α < κ tal que α = κ, entonces existe un µ ∈ A tal que α < µ ≤ κ. Entonces
α ≤ µ ≤ κ = α.
Por consiguiente α = µ, en contra de que µ sea un cardinal.
Definici´on 4.16 Llamaremos ℵ : Ω −→ Ω (funci´on ´alef) a la ´unica aplicaci´on que cumple ℵ0= ω ∧ V α ℵα+1= ℵ+α ∧ V λ ℵλ= S δ<λℵδ .
Es claro que se trata de una funci´on normal. Vamos a probar que recorre todos los cardinales infinitos.
Teorema 4.17 ℵ : Ω −→ K \ ω biyectiva.
Demostraci´on: Como ℵ es normal sabemos que es inyectiva, luego basta probar que es suprayectiva. Una simple inducci´on demuestra que Vα ℵα∈ K (el caso l´ımite es el teorema 4.15). Esto significa que ℵ[Ω] ⊂ K. Como ℵ es creciente y ℵ0 = ω, ciertamente ℵ[Ω] ⊂ K \ ω. S´olo nos falta probar que si
κ ∈ K \ ω existe un α tal que κ = ℵα.
Por la normalidad tenemos que κ ≤ ℵκ< ℵκ+1. Sea β el m´ınimo ordinal tal que κ < ℵβ. No puede ser β = 0, pues entonces κ ∈ ℵ0 = ω. Por la definici´on de ℵ tampoco puede ocurrir que β sea un ordinal l´ımite. Consecuentemente,
β = α + 1 y tenemos que ℵα ≤ κ < ℵα+1 = ℵ+α. Necesariamente entonces
κ = ℵα.
Seg´un esto, tenemos que ℵ0 = ω, aunque es costumbre no usar las dos notaciones indiscriminadamente, sino que se usa ℵ0 cuando lo consideramos
como un cardinal y ω cuando lo consideramos como un ordinal. Similarmente, es costumbre representar ℵαcomo ωαcuando lo consideramos como un ordinal. En estos t´erminos, es claro que un conjunto es finito (resp. numerable) en el sentido de la definici´on 3.22 si y s´olo si es bien ordenable y |x| < ℵ0 (resp.
|x| ≤ ℵ0). Las clases que no son finitas (y esto incluye obviamente a todas las clases propias) se llaman infinitas. Tenemos entonces que la sucesi´on de los cardinales (de von Neumann) infinitos empieza as´ı:
ℵ0, ℵ1, ℵ2, . . . ℵω, ℵω+1, ℵω+2, . . . ℵω1, ℵω1+1, . . . ℵω1+ω, . . .
Es claro que el axioma de elecci´on equivale a que todo cardinal infinito es un ´alef.