El concepto de cofinalidad es esencial en el estudio de los cardinales infinitos, y en particular en el estudio de la exponenciaci´on cardinal que todav´ıa tenemos pendiente. En esta secci´on no usamos el axioma de elecci´on salvo en unos pocos casos, donde lo indicaremos expl´ıcitamente.
Definici´on 4.55 Diremos que una aplicaci´on f : α −→ β entre dos ordinales es cofinal si f [α] no est´a acotado estrictamente en β, es decir, si se cumple que V
γ < βWδ < α γ ≤ f(δ).
Llamaremos cofinalidad de β al menor ordinal α tal que existe una aplicaci´on cofinal f : α −→ β. Lo representaremos por cf β. Como la identidad en β es obviamente cofinal, vemos que cf β est´a bien definida y adem´as cf β ≤ β.
Informalmente, podemos decir que cf β es el m´ınimo n´umero de pasos que hay que dar para ascender completamente por β, es decir, para ascender rebasando (o, al menos, igualando) cualquier ordinal menor que β. Obviamente cf 0 = 0 y cf(α + 1) = 1. En efecto, la aplicaci´on f : 1 −→ α + 1 dada por f(0) = α es cofinal (α + 1 tiene un m´aximo elemento y basta un paso para llegar hasta ´el). As´ı pues, la cofinalidad s´olo tiene inter´es sobre los ordinales l´ımite, los cuales no se pueden recorrer en un paso. De hecho, siempre hacen falta infinitos pasos: Teorema 4.56 Vλ ω ≤ cf λ ≤ λ.
Demostraci´on: Ya sabemos que cf λ ≤ λ. Por otra parte cf λ no puede ser un n´umero natural n, ya que si f : n −→ λ, entonces f[n] es un conjunto finito, luego tiene un m´aximo α < λ, luego α + 1 < λ es una cota estricta de
f [n], luego f no es cofinal.
Decimos que cf α es el m´ınimo n´umero de pasos necesarios para ascender completamente por α. Este “n´umero de pasos” es ciertamente un cardinal: Teorema 4.57 Vα cf α ∈ K.
Demostraci´on: Si α = 0 o α = β + 1 sabemos que cf α es 0 o 1, luego es un cardinal. Basta probar entonces que Vλ cf λ ∈ K. Supongamos que | cf λ| < cf λ. Sea f : | cf λ| −→ cf λ biyectiva y sea g : cf λ −→ λ cofinal.
Entonces f ◦ g : | cf λ| −→ λ tiene la misma imagen que g, luego es cofinal, en contra de la minimalidad de cf λ.
A partir de aqu´ı trataremos ´unicamente con ordinales l´ımite. Notemos que
f : α −→ λ es cofinal si y s´olo si f[α] no est´a acotado en λ, es decir, si y s´olo si λ = sup f [α] = S
δ<α
f (δ).
La forma m´as econ´omica de ascender por un ordinal es no retrocediendo nunca. Veamos que esto siempre es posible:
Teorema 4.58 VλWf f : cf λ −→ λ cofinal y normal.
Demostraci´on: Sea g : cf λ −→ λ cofinal. Definimos f : cf λ −→ Ω como la ´unica aplicaci´on que cumple
f (0) = g(0), V α < cf λ f (α + 1) = m´ax{g(α), f(α) + 1}, V λ0 < cf λ f (λ0) = S δ<λ0 f (δ).
Claramente f es normal. Veamos por inducci´on que Vα < cf λ f (α) < λ.
En efecto, para α = 0 es obvio y si vale para α vale claramente para α + 1. Supongamos que λ0 < cf λ y que Vδ < λ0f (δ) < λ. Entonces es claro que
f (λ0) ≤ λ, pero no puede darse la igualdad porque entonces f|0
λ ser´ıa cofinal en
λ, en contradicci´on con que λ0 < cf λ. As´ı pues, tambi´en se cumple para λ0. Tenemos entonces que f : cf λ −→ λ normal y, comoVα < cf λ g(α) ≤ f(α),
es claro que f es cofinal.
Este teorema nos permite expresar la cofinalidad de un ordinal l´ımite en t´erminos ´unicamente de sus subconjuntos acotados:
Teorema 4.59 La cofinalidad de un ordinal l´ımite λ es el m´ınimo cardinal κ
tal que existe un subconjunto a ⊂ λ no acotado de cardinal κ.
Demostraci´on: Si f : cf λ −→ λ es cofinal y normal, entonces a = f[cf λ] es un subconjunto no acotado de λ y, como f es inyectiva, su cardinal es cf λ.
Rec´ıprocamente, si a ⊂ λ es un subconjunto no acotado, sea f : |a| −→ a una biyecci´on. Entonces es claro que f : |a| −→ λ cofinal, luego cf λ ≤ |a|.
En general, la composici´on de aplicaciones cofinales no es necesariamente cofinal (es f´acil encontrar ejemplos). El teorema siguiente nos da una condici´on suficiente:
Teorema 4.60 Si f : λ1 −→ λ2 y g : λ2 −→ λ3 son cofinales y adem´as g es
creciente, entonces f ◦ g : λ1−→ λ3 es cofinal.
Demostraci´on: Sea α < λ3. Como g es cofinal existe β < λ2 tal que
α ≤ g(β). Como f es cofinal existe γ < λ1 tal que β ≤ f(γ). Como g es creciente, α ≤ g(β) ≤ g(f(γ)) = (f ◦ g)(γ), luego f ◦ g es cofinal.
Esto tiene una consecuencia destacable:
Teorema 4.61 Si f : λ1−→ λ2 es cofinal y creciente, entonces cf λ1= cf λ2. Demostraci´on: Sea g : cf λ1 −→ λ1 cofinal. Por el teorema anterior
g ◦ f : cf λ1−→ λ2 es cofinal, luego cf λ2≤ cf λ1.
Sea ahora h : cf λ2−→ λ2 cofinal y definamos r : cf λ2−→ λ1 de modo que
r(α) sea el menor β < λ1 tal que h(α) < f (β), que existe porque f es cofinal. Entonces r es cofinal, pues si γ < λ1 entonces f (γ) < λ2, luego existe un
δ < cf λ2 tal que f (γ) ≤ h(δ). Por definici´on de r tenemos que h(δ) < f(r(δ)), y si fuera r(δ) ≤ γ ser´ıa f(r(δ)) ≤ f(γ) ≤ h(δ), contradicci´on, luego γ ≤ r(δ) y
r es cofinal. Por consiguiente cf λ1≤ cf λ2 y tenemos la igualdad.
Este teorema, adem´as de servir para calcular cofinalidades, tiene una lectura negativa: en la prueba del teorema 4.58 hemos partido de una aplicaci´on cofinal arbitraria y la hemos modificado para hacerla cofinal y normal, en particular creciente. Ahora vemos que esto no siempre puede hacerse: pueden darse casos en los que exista una aplicaci´on cofinal entre dos ordinales l´ımite y no exista ninguna aplicaci´on cofinal y creciente, pues una condici´on necesaria para que esto ocurra es que ambos ordinales tengan la misma cofinalidad.
Respecto al c´alculo de cofinalidades, el teorema siguiente es una consecuencia sencilla del anterior, pero m´as c´omodo en la pr´actica:
Teorema 4.62 Si f : λ1−→ Ω es normal y λ < λ1, entonces cf λ = cf f (λ). Demostraci´on: Es claro que f |λ: λ −→ f(λ) es cofinal y creciente. Basta aplicar el teorema anterior.
Por ejemplo, cf ℵω2 = cf ω2 = cf(ω · ω) = cf ω = ℵ0, donde hemos usado
la normalidad de las funciones ℵ y ω·. Una funci´on cofinal de ω en ℵω2 es f (n) = ℵω·n.
Veamos un ejemplo t´ıpico de la utilidad del concepto de cofinalidad. Definici´on 4.63 Sea f : λ −→ λ, donde λ cumple cf λ > ℵ0 o bien λ = Ω. Para cada α ∈ λ definimos
f0(α) = α,
fn+1(α) = f (fn(α)),
fω(α) = sup n∈ωf
n(α).
Una simple inducci´on prueba que Vn ∈ ω fn(α) ∈ λ, y la hip´otesis sobre λ asegura que el conjunto numerable {fn(α) | n ∈ ω} tiene que estar acotado en λ (teorema 4.59), luego fω(α) ∈ λ. As´ı pues, tenemos definida una funci´on
fω: λ −→ λ a la que llamaremos funci´on iterada de f.
Es inmediato a partir de esta construcci´on queVα ∈ λ α ≤ fω(α).
Informalmente, fω(α) resulta de aplicar infinitas veces f a α, lo cual hace que si aplicamos f una vez m´as no se nota:
Teorema 4.64 Sea f : λ −→ λ una funci´on normal, donde cf λ > ℵ0 o bien
λ = Ω. EntoncesVα ∈ λ f(fω(α)) = fω(α).
Demostraci´on: Como f es normal, se cumple que fω(α) ≤ f(fω(α)). Para probar la otra desigualdad distinguimos tres casos:
Si fω(α) = 0, entonces α = f (α) = 0, pues tanto α como f (α) est´an bajo
Si fω(α) = γ + 1, entonces γ < fω(α), luego γ < fn(α) para cierto n ∈ ω. As´ı,
f (fω(α)) = f (γ + 1) ≤ f(fn(α)) = fn+1(α) ≤ fω(α). Si fω(α) es un ordinal l´ımite, como f es normal,
f (fω(α)) = S δ<fω(α)f (δ) ≤ S n∈ω f (fn(α)) ≤ S n∈ω fn+1(α) ≤ fω(α).
En particular hemos demostrado:
Teorema 4.65 (Teorema de punto fijo para funciones normales) Sea
f : λ −→ λ una funci´on normal, donde cf λ > ℵ0 o bien λ = Ω. Entonces V
α ∈ λWβ ∈ λ(α ≤ β ∧ f(β) = β).
La funci´on (ω+) : ω2 −→ ω2 es un ejemplo de funci´on normal sin puntos fijos. Destaquemos el papel que desempe˜na la hip´otesis sobre la cofinalidad: para construir puntos fijos necesitamos ascender ℵ0 pasos, luego necesitamos que la cofinalidad de λ sea no numerable para garantizar que con el ascenso no nos salimos de λ.
As´ı, por ejemplo, existen cardinales κ arbitrariamente grandes tales que
κ = ℵκ.
Pasemos ahora al c´alculo de la cofinalidad de los cardinales infinitos. Ello requiere el axioma de elecci´on. En primer lugar damos una caracterizaci´on en t´erminos de la aritm´etica cardinal:
Teorema 4.66 (AE) Sea κ un cardinal infinito. Entonces cf κ es el menor
cardinal µ tal que existe una familia de cardinales {να}α<µ tales que V
α < µ να< κ y P α<µ
να= κ.
Demostraci´on: Sea f : cf κ −→ κ cofinal. Entonces κ = S α<cf κ f (α). Sea να= |f(α)| < κ. Entonces κ = |κ| =ØØØ S α<cf κ f (α)ØØØ ≤ P α<cf κ να≤ P α<cf κ κ = κ cf κ = κ. Por consiguiente κ = P α<cf κ
να. Ahora veamos que cf κ es el m´ınimo cardinal que cumple esto. Tomemos µ < cf κ y sea {να}α<µ una familia de cardinales tal queVα < µ να< κ.
La aplicaci´on f : µ −→ κ dada por f(α) = να no puede ser cofinal, luego existe un ordinal β < κ tal queVα < µ να< β y as´ı
P α<µ
να≤ P
α<µ|β| = µ |β| < κ,
luego, en efecto, cf κ es el m´ınimo cardinal con la propiedad del enunciado. As´ı pues, tenemos lo siguiente sobre las cofinalidades de los cardinales infi- nitos:
Teorema 4.67 (AE) Se cumple
a) cf ℵ0= ℵ0,
b) Vλ cf ℵλ= cf λ,
c) (AE) Vα cf ℵα+1= ℵα+1.
Demostraci´on: a) es consecuencia inmediata de 4.56, b) es un caso par- ticular de 4.62. Veamos c). En caso contrario, ser´ıa cf ℵα1≤ ℵαy por el teorema
anterior existir´ıan cardinales {νδ}δ<cf ℵα+1 tales que
V δ < cf ℵα+1 νδ ≤ ℵαy ℵα+1= P δ<cf ℵα+1 νδ≤ P δ<cf ℵα+1 ℵα= ℵα cf ℵα+1= ℵα, contradicci´on.
As´ı pues, el hecho de que cf ℵ0= ℵ0expresa que la uni´on finita de conjuntos finitos es finita e, igualmente, cf ℵ1= ℵ1 expresa que la uni´on de una cantidad numerable de conjuntos numerables es numerable. En cambio, podemos obte- ner un conjunto de cardinal ℵω uniendo tan s´olo una cantidad numerable de conjuntos de cardinal menor que ℵω, pues basta unir un conjunto de cardinal
ℵ0 con otro de cardinal ℵ1, con otro de cardinal ℵ2, etc. Por ello, cf ℵω= ℵ0. Definici´on 4.68 Un cardinal infinito κ es regular si cf κ = κ y es singular si cf κ < κ.
Un cardinal infinito κ es un cardinal sucesor si es de la forma µ+, para otro cardinal µ y es un cardinal l´ımite en caso contrario. Es claro que los cardinales l´ımite son ℵ0 y los de la forma ℵλ, mientras que los cardinales sucesores son los de la forma ℵα+1. Hemos probado que ℵ0 y todos los cardinales sucesores son regulares. En cambio, ℵω o ℵω3 son ejemplos de cardinales singulares (de
cofinalidades, respectivamente, ℵ0 y ℵ3).
De los teoremas 4.58 y 4.61 se sigue inmediatamente: Teorema 4.69 Vα cf α es un cardinal regular.
Todo cardinal sucesor es regular y conocemos ejemplos de cardinales l´ımite singulares. Queda abierta la cuesti´on de si existen cardinales l´ımite regulares aparte de ℵ0.
Definici´on 4.70 Un cardinal d´ebilmente inaccesible es un cardinal l´ımite regu- lar distinto de ℵ0.
Sucede que a partir de los axiomas que estamos considerando no es posi- ble demostrar la existencia de cardinales d´ebilmente inaccesibles. Terminamos probando una propiedad de estos cardinales:
Teorema 4.71 Un cardinal regular κ es d´ebilmente inaccesible si y s´olo si cum- ple κ = ℵκ.
Demostraci´on: Una implicaci´on es obvia. Si κ es d´ebilmente inaccesible, entonces κ = ℵλ, para cierto λ tal que
λ ≤ ℵλ= κ = cf κ = cf ℵλ= cf λ ≤ λ.
Naturalmente, la funci´on ℵ tiene infinitos puntos fijos que no son cardinales inaccesibles (porque son singulares).