Otro contexto en el que aparecen los conjuntos c.n.a. y estacionarios es en la formulaci´on de los llamados “principios combinatorios”. No existe una defi- nici´on precisa, pero se conoce con este nombre a una serie de afirmaciones de “aspecto similar” (aunque unas son m´as fuertes que otras) que tienen entre sus caracter´ısticas comunes el no ser demostrables en NBG, pero, al contrario de lo que sucede con los axiomas que postulan la existencia de cardinales grandes, cuya consistencia no puede ser demostrada, s´ı que es posible demostrar1 que si NBG es consistente, tambi´en lo es la teor´ıa que resulta de a˜nadir como axioma cualquiera de los principios combinatorios que vamos a considerar (o todos ellos a la vez). Por lo tanto, cualquier teorema que se demuestre suponiendo uno o varios principios combinatorios, no ser´a necesariamente un teorema de NBG, pero sabremos que su conclusi´on no puede ser refutada en NBG (si es que NBG es consistente).
En cierta medida, todos los principios combinatorios que vamos a considerar son generalizaciones o variantes del diamante de Jensen:
(♦) Existe una sucesi´on {Aα}α<ω1 tal que
V
α < ω1 Aα⊂ α y que verifica V
A ⊂ ω1 {α < ω1| A ∩ α = Aα} es estacionario en ω1.
A las sucesiones {Aα}α<ω1 que cumplen♦ se las llama sucesiones ♦ (diamante).
Veamos algunas de estas generalizaciones y variantes:
1M´as concretamente, todos son demostrables a partir del axioma de constructibilidad,
Definici´on 6.27 Sea κ un cardinal regular no numerable, para cada E ⊂ κ estacionario consideramos las sentencias:
(♦E) Existe una sucesi´on {Aα}α∈E tal que V
α ∈ E Aα⊂ α y que verifica V
A ⊂ κ {α ∈ E | A ∩ α = Aα} es estacionario en κ. (♦0
E) Existe una sucesi´on {Sα}α∈E tal que V α ∈ E (Sα⊂ Pα ∧ |Sα| < κ) y que verifica V A ⊂ κ {α ∈ E | A ∩ α ∈ Sα} es estacionario en κ. (♦∗
κ) Existe una sucesi´on {Sα}α∈κ tal que V α ∈ κ (Sα ⊂ Pα ∧ |Sα| < κ) y que verifica V A ⊂ κWC (C c.n.a. en κ ∧ C ⊂ {α ∈ κ | A ∩ α ∈ Sα}). (♦+
κ) Existe una sucesi´on {Sα}α∈κ tal que V
α ∈ κ (Sα ⊂ Pα ∧ |Sα| < κ) y que verifica
V
A ⊂ κWC (C c.n.a. en κ ∧ C ⊂ {α ∈ κ | A ∩ α ∈ Sα∧ C ∩ α ∈ Sα}). A las sucesiones que cumplen estas propiedades se las llama, respectivamente sucesiones♦E,♦0E,♦∗κ,♦κ+. En particular se llama♦, ♦0, etc. a♦ω1,♦0ω1, etc.
Podr´ıamos haber enunciado principios♦∗
Ey♦+E, para conjuntos estacionarios
E ⊂ κ, como hemos hecho con ♦E y♦0E, pero no los vamos a necesitar, as´ı que para ambos principios nos limitaremos a considerar el caso E = κ. Adem´as, aunque los hemos definido para cardinales regulares cualesquiera, limitaremos nuestro estudio principalmente al caso de los cardinales sucesores.
En el cap´ıtulo IX veremos varias aplicaciones de estos principios combinato- rios. Aqu´ı estudiaremos las relaciones entre ellos y la aritm´etica cardinal.
Los hemos presentado todos a la vez para que resulte m´as f´acil compararlos, pero vamos a estudiarlos uno a uno, empezando por ♦E. Notemos en primer lugar que si E ⊂ E0 son estacionarios en κ entonces ♦E → ♦E0, pues si com- pletamos una sucesi´on ♦E de cualquier modo, por ejemplo, haciendo Aα =∅ para α ∈ E0\ E, obtenemos una sucesi´on ♦E0, luego♦E es “m´as fuerte” cuanto menor es E y as´ı♦κ es el m´as d´ebil de todos los diamantes sobre κ.
Observamos que la condici´on Vα ∈ E Aα ⊂ α se puede suprimir de la definici´on de ♦E, pues si una sucesi´on cumple las condiciones de ♦E excepto ´esa, entonces {Aα∩ α}α∈E es una sucesi´on♦E, ya que en la condici´on principal da igual escribir Aαque Aα∩ α.
El teorema siguiente muestra que los diamantes no pueden demostrarse en NBG:
Demostraci´on: Sea {Aα}α<κ+ una sucesi´on♦κ+. Si A ⊂ κ, el conjunto {α < κ+ | A ∩ α = A
α} es estacionario, luego no est´a acotado, luego contiene un α > κ, de modo que A = A ∩ α = Aα. Esto prueba que Pκ ⊂ {Aα| α ∈ κ+}, luego |Pκ| ≤ κ+, luego 2κ= κ+.
Veamos ahora que, para κ > ω, la implicaci´on del teorema anterior es rever- sible:
Teorema 6.29 (Shelah) Sea κ un cardinal tal que 2κ = κ+. Entonces se cumple♦E para todo conjunto estacionario en κ+ tal que
E ⊂ {δ < κ+| cf δ 6= cf κ}.
En particular, para todo cardinal κ > ω, se cumple ♦κ+ ↔ 2κ= κ+.
Demostraci´on: La parte final se debe a que si κ > ω, por 6.13 sabemos que
E = {δ < κ+| cf δ = ℵ0}
es estacionario en κ+ y cumple las condiciones del teorema, luego si 2κ = κ+ tenemos♦E y en particular♦κ+.
Para probar la primera parte, observamos que el conjunto C0 de los ordi- nales l´ımite κ < λ < κ+ es cerrado no acotado en κ+, luego E
0 = E ∩ C0 es estacionario, y basta probar ♦E0. Equivalentemente, podemos suponer que E
est´a formado ´unicamente por ordinales l´ımite mayores que κ.
Sea µ = cf κ. Observemos que si δ ∈ E entonces cf δ < κ, por hip´otesis si
µ = κ o porque κ es singular si µ < κ y las cofinalidades son siempre regulares.
Fijemos f : µ −→ κ cofinal creciente, de modo que κ =S{f(i) | i < µ}. Para
cada δ ∈ E, sea g : δ −→ κ biyectiva y sea Aδ
i = g−1[f (i)], de modo que {Aδi}i<µ es una sucesi´on creciente en [δ]<κ cuya uni´on es δ.
Como cf δ < κ podemos a˜nadir a cada Aδ
i un conjunto cofinal en δ y as´ı todos los Aδ
i son cofinales en δ. Por otra parte,
|[µ × κ × κ+]<κ+| = (κ+)<κ+ = (κ+)κ= (2κ)κ= κ+, luego podemos tomar una enumeraci´on {Xβ}β<κ+ de [µ × κ × κ+]<κ
+
. Si X ⊂ µ × κ × κ+, llamamos (X)
i= {(α, α0) < κ × κ+| (i, α, α0) ∈ X}. Vamos a probar que existe un i < µ tal que, para todo Z ⊂ κ × κ+ el conjunto siguiente es estacionario:
Ei,Z= {δ ∈ E | sup{α ∈ Aδi | W
β ∈ Aδi(Z ∩ (κ × α) = (Xβ)i)} = δ}. En efecto, suponemos que no se cumple esto. Entonces, para cada i < µ existe un Zi ⊂ κ × κ+ y un c.n.a. Ci ⊂ κ+ tal que Ci∩ Ei,Zi =∅. Definimos
f : κ+−→ κ+ mediante
f (α) = m´ın{β < κ+| X β= S
Por el teorema 6.7, el conjunto C∗ = {δ ∈ κ+ | f[δ] ⊂ δ} es c.n.a. en κ+, y tambi´en lo es C = T
i<κ
Ci∩ C∗. As´ı, si δ ∈ C se cumple que
Aδ0= {α ∈ Aδ0| W
β < δVj < µ(Zi∩ (κ × α) = (Xβ)j)}. Como E es estacionario, podemos tomar δ ∈ E ∩ C. Para cada i < µ sea
Biδ = {α ∈ Aδ0| W β ∈ Aδi V j < µ(Zj∩ (κ × α) = (Xβ)j)}. Entonces Aδ0= S i<µ
Biδ. Si, para todo i < µ, se cumpliera que ξi= sup Biδ < δ, como Aδ
0no est´a acotado en δ, la sucesi´on {ξi}i<µ ser´ıa cofinal en δ y creciente (pues como la sucesi´on Aδ
i es creciente Biδ tambi´en lo es, as´ı como la sucesi´on de sus supremos), y concluimos que cf δ = µ, contradicci´on. As´ı pues, existe un
i < µ tal que sup Bδ
i = δ. En particular, como Aδ0⊂ Aδi, sup{α ∈ Aδ i | W β ∈ Aδ i V j < µ(Zj∩ (κ × α) = (Xβ)j)} = δ, pero esto quiere decir que δ ∈ Ei,Zi, en contradicci´on con que δ ∈ Ci.
As´ı pues, fijado el i < µ cuya existencia acabamos de probar, llamamos
Aδ = Aδi y Xβ ⊂ κ × κ+ al conjunto que hasta ahora llam´abamos (Xβ)i. De este modo tenemos una sucesi´on {Aδ}δ∈E con Aδ ⊂ δ y |Aδ| < κ y una sucesi´on {Xβ}β<κ+ que recorre todos los elementos de [κ × κ+]<κ
+
(tal vez con repeticiones) de modo que para todo Z ⊂ κ × κ+ el conjunto siguiente es estacionario:
EZ= {δ ∈ E | sup{α ∈ Aδ| W
β ∈ Aδ(Z ∩ (κ × α) = Xβ)} = δ}. Para cada τ < κ definimos (Xβ)τ= {σ | (τ, σ) ∈ Xβ}.
Ahora vamos a definir recurrentemente una sucesi´on {(Yτ, Cτ)}τ <κde pares de subconjuntos de κ+ de modo que la sucesi´on {C
τ}τ <κ es decreciente y sus elementos son subconjuntos c.n.a. en κ+.
Tomamos Y0 = C0 = κ+. Supongamos definida la sucesi´on {(Yτ, Cτ)}τ <γ, para γ < κ, no nulo. Para cada δ ∈ E definimos
Vδ
γ = {(α, β) ∈ Aδ× Aδ| V
τ < γ Yτ∩ α = (Xβ)τ}.
Notemos que si prolongamos la sucesi´on {Yτ}τ <γ con cualquier conjunto
Yγ ⊂ κ+, se va a cumplir, para todo δ ∈ E, que Vγ+1δ ⊂ Vγδ. Si se puede elegir
Yγ de modo que exista un c.n.a. Cγ ⊂ T τ <γ
Cτ tal que, para todo δ ∈ E ∩ Cγ que cumpla
sup{α < δ |Wβ < δ (α, β) ∈ Vγ+1δ } = δ, se tiene que Vδ
γ+1 √ Vγδ, entonces prolongamos la sucesi´on con (Yγ, Cγ). En caso contrario la sucesi´on termina.
Vamos a probar que la sucesi´on tiene que terminar en alg´un γ∗ < κ. En caso contrario habr´ıamos construido una sucesi´on {(Yτ, Cτ)}τ <κ de modo que
C = T
τ <κ
Cτ ser´ıa un c.n.a. en κ+. Definimos
Z = S
τ <κ{τ} × Yτ
.
Tomamos δ ∈ EZ∩ C. Por la definici´on de EZ se cumple que sup{α ∈ Aδ |
W
β ∈ Aδ(Z ∩ (κ × α) = Xβ)} = δ, que es lo mismo que
sup{α ∈ Aδ |Wβ ∈ AδVτ < κ Yτ∩ α = (Xβ)τ} = δ. Entonces, para todo γ < κ,
sup{α < δ |Wβ < δ (α, β) ∈ Vγ+1δ } = δ. Entonces, la construcci´on de la sucesi´on implica que {Yδ
γ}γ<κ es estrictamente decreciente en Aδ× Aδ, pero esto es imposible, pues |Aδ× Aδ| < κ.
Fijamos, pues γ∗ < κ tal que la sucesi´on {(Yτ, Cτ)}τ <γ∗ ya no puede pro- longarse m´as, sea C∗= T
τ <γ∗Cτ, que es c.n.a. en κ +, y para cada δ ∈ E ∩ C∗ sea Sδ = S (α,β)∈Vδ γ∗ (Xβ)γ∗.
Finalmente, veamos que {Sδ}δ∈E∩C∗es una sucesi´on♦E∩C∗, lo que implica♦E.
En caso contrario existe un Y ⊂ κ+ y un c.n.a. C ⊂ C∗ tal que V
δ ∈ C ∩ E Sδ 6= Y ∩ δ.
Para obtener una contradicci´on, basta probar que la sucesi´on se puede pro- longar tomando Yγ∗= Y , Cγ∗= C.
Para ello tomamos un δ ∈ E ∩ Cγ∗ que cumpla
sup{α < δ |Wβ < δ (α, β) ∈ Vγδ∗+1} = δ. Esto equivale a sup{α ∈ Aδ| W β ∈ Aδ V τ ≤ γ∗Yτ∩ α = (Xβ)τ} = δ. Por lo tanto, sup{α < δ |Wβ < δ(α, β) ∈ Vδ
γ∗} = δ, y por otra parte
Yγ∗∩ δ = S
(α,β)∈Vδ γ∗+1
(Xβ)γ∗.
Si Vδ
γ∗+1 = Vγδ∗, entonces la ´ultima expresi´on es Yγ∗∩ δ = Sδ. Pero esto no sucede, por la elecci´on de Y y de C, luego Vδ
γ∗+1 √ Vγδ∗, y ´esta es la condici´on
Sucede, en cambio, que♦ implica la hip´otesis del continuo 2ℵ0 = ℵ 1, pero no es equivalente a ella.
Ya hemos observado que si E ⊂ E0 entonces ♦E → ♦E0. Ahora vamos
a probar un rec´ıproco parcial, que nos permite deducir un diamante para un conjunto menor a partir de un diamante para un conjunto mayor:
Teorema 6.30 Sea κ un cardinal infinito, sea E ⊂ κ+un conjunto estacionario
y sea E = S
δ<κ
Eδ una partici´on de E en conjuntos disjuntos dos a dos. Si se
cumple ♦E, entonces existe un δ < κ tal que Eδ es estacionario en κ+ y se
cumple♦Eδ.
Demostraci´on: Sea j : κ+−→ κ × κ+la semejanza cuando en el producto consideramos el orden lexicogr´afico. El conjunto C∗ = {λ < κ+ | κλ = λ} (donde el producto es el de ordinales) es c.n.a. en κ+y, para cada λ ∈ C∗(como (κ × κ+)
(0,λ) = κ × λ y tiene ordinal κλ = λ), tenemos que j|λ : λ −→ κ × λ biyectiva.
Sea {Aα}α∈E una sucesi´on♦E y, para cada α ∈ E, definamos
Bα= Ω
j[Aα] si α ∈ C∗, ∅ si α /∈ C∗.
As´ı tenemos definida una sucesi´on {Bα}α∈E que cumple lo mismo que las su- cesiones ♦E, pero para subconjuntos de κ × κ+, es decir, Bα ⊂ κ × α y si
X ⊂ κ × κ+, entonces {α ∈ E | X ∩ (κ × α) = B
α} es estacionario en κ+, pues sabemos que lo es
C∗∩ {α ∈ E | j−1[X] ∩ α = Aα} ⊂ {α ∈ E | X ∩ (κ × α) = Bα}. Para cada δ < κ sea {Aδ
α}α∈Eδ la sucesi´on dada por
Aδα= {β ∈ α | (β, δ) ∈ Bα}.
Vamos a probar que existe un δ < κ tal que Eδ es estacionario y {Aδα}α∈Eδ
es una sucesi´on♦Eδ. En caso contrario, para cada δ < κ existe un Xδ ⊂ κ
+ y un c.n.a. Cδ ⊂ κ+ de modo que
V
α ∈ Cδ∩ Eδ Xδ∩ α 6= Aδα.
Notemos que si lo que falla es que Eδ no es estacionario esto se cumple con cualquier Cδ disjunto de Eδ. Definimos
X = S
δ<κ({δ} × Xδ
), C = T
δ<κ
Cδ.
Entonces C es c.n.a. en κ+, luego existe un α ∈ E ∩ C tal que X ∩ (κ × α) = B α, luego existe un δ < κ tal que α ∈ Eδ, y tambi´en α ∈ Cδ, luego
β ∈ Xδ∩ α ↔ (δ, β) ∈ X ∩ (κ × α) = Bα↔ β ∈ Aδα, en contradicci´on con que Xδ∩ α 6= Aδα.
Observemos ahora la relaci´on entre♦Ey♦0E: El primero nos asegura que si
A ⊂ κ es un conjunto arbitrario, muchas de sus secciones A∩α son “previsibles”,
en el sentido de que son t´erminos de una sucesi´on♦Efijada a priori. En cambio, ♦0
E es una versi´on m´as d´ebil que, en lugar de identificar exactamente (algunas de) estas secciones de A, nos dice ´unicamente que cada una de ellas ser´a alguno de los elementos de un conjunto prefijado Sα de cardinal < κ.
Es claro entonces que ♦E → ♦0E, pues si {Aα}α∈E es una sucesi´on ♦E, entonces basta definir Sα= {Aα} para tener una sucesi´on ♦0E. Pero, aunque no es tan evidente, sucede que el rec´ıproco tambi´en es cierto:
Teorema 6.31 Si κ es un cardinal infinito y E ⊂ κ+ es estacionario, entonces ♦E↔ ♦0E.
Demostraci´on: Como en la prueba del teorema anterior, consideramos la semejanza j : κ+−→ κ × κ+ la semejanza cuando en el producto consideramos el orden lexicogr´afico y el c.n.a. C∗ = {λ < κ+ | κλ = λ}, de modo que para cada λ ∈ C∗ se cumple que j|
λ: λ −→ κ × λ biyectiva.
Si {Sα}α∈Ees una sucesi´on♦0E, para cada α ∈ E definimos
Tα= Ω
{j[A] | A ∈ Sα} si α ∈ C,
{∅} si α /∈ C.
As´ı tenemos definida una sucesi´on {Tα}α∈Eque cumple lo mismo que las suce- siones♦0
E, pero para subconjuntos de κ × κ+, es decir, Tα⊂ P(κ × α), |Tα| ≤ κ y si X ⊂ κ × κ+, entonces {α ∈ E | X ∩ (κ × α) ∈ Tα} es estacionario.
Enumeremos (con repeticiones, si es preciso) Tα = {Tαδ | δ < κ}. As´ı, para cada X ⊂ κ × κ+ existe E
0⊂ E estacionario tal que V
α ∈ EWδ < κ X ∩ (κ × α) = Tαδ.
Veamos ahora que, dado X ⊂ κ × κ+, existe F ⊂ E estacionario tal que W
δ < κVα ∈ F X ∩ (κ × α) = Tαδ.
En efecto, definimos f : E0 −→ κ mediante f(α) = 0 si α < κ y, para
κ ≤ α < κ+, tomamos como f (α) el m´ınimo δ tal que X ∩ (κ × α) = Tδ α. Por el teorema 6.15 sabemos que existe un δ < κ tal que F = f−1[δ] es estacionario. Claramente F y δ cumplen lo requerido.
Por otra parte, para cada α ∈ E y δ < κ definimos
Aδα= {β ∈ α | (δ, β) ∈ Tαδ}, y afirmamos que existe un δ < κ tal que {Aδ
α}α∈Ees una sucesi´on♦E. En caso contrario, para cada δ < κ existe un Xδ ⊂ κ+y un c.n.a. Cδ ⊂ κ+ de modo que
V
Tomamos entonces X = S
δ<κ({δ} × Xδ
) y C = T
δ<κ
Cδ, que es c.n.a. en κ+. Seg´un hemos probado, existe un δ < κ, un conjunto estacionario F ⊂ E y un
α ∈ F ∩ C de modo que X ∩ (κ × α) = Tδ
α. Pero entonces
β ∈ Xδ∩ α ↔ (δ, β) ∈ X ∩ (κ × α) = Tαδ↔ β ∈ Aδα, en contradicci´on con que Xδ∩ α 6= Aδα.
Nota Es evidente que no tiene inter´es trabajar con ♦0
κ+, que es superficial-
mente m´as d´ebil que♦κ+ (aunque en el fondo sea equivalente). El inter´es de
♦0
κ+ es que admite una versi´on m´as fuerte, ♦∗κ+, que consiste en cambiar la
condici´on de que el conjunto {α ∈ κ+ | A ∩ α ∈ S
α} sea estacionario por la condici´on de que contenga un c.n.a.
Si tratamos de reforzar de este modo el principio♦κ+llegamos a un principio
contradictorio:
Existe una sucesi´on {Aα}α∈κ tal que V
α ∈ κ Aα⊂ α y que verifica V
A ⊂ κWC (C c.n.a. en κ ∧ C ⊂ {α ∈ κ | A ∩ α = Aα}).
En efecto, esto no puede suceder, porque si A y A0 son dos subconjuntos distintos de κ, entonces el conjunto
{α ∈ κ | A ∩ α = Aα} ∩ {α ∈ κ | A0∩ α = Aα} ⊂ {α ∈ κ | A ∩ α = A0∩ α} deber´ıa contener un c.n.a., pero claramente el conjunto de la derecha est´a aco- tado por cualquier β ∈ κ que est´e en A y no en A0 o viceversa. As´ı pues, si queremos cambiar “estacionario” por “cerrado no acotado” en♦κ+, necesitamos
partir de la forma equivalente♦0
κ+ para pasar a♦∗κ+
Observemos que ♦∗
κ no s´olo implica trivialmente ♦0κ, sino que de hecho se cumple:
Teorema 6.32 Si κ es un cardinal regular, E ⊂ κ es estacionario y se cumple
el principio ♦∗
κ, entonces tambi´en se cumple ♦0E. En particular, ♦∗κ+ implica todos los principios♦E, para todo conjunto estacionario E ⊂ κ+.
Demostraci´on: Sea {Sα}α∈κ una sucesi´on ♦κ. Entonces, dado A ⊂ κ, existe un c.n.a. C ⊂ κ tal que C ⊂ {α ∈ κ | A ∩ α ∈ Sα}, luego
C ∩ E ⊂ {α ∈ E | A ∩ α ∈ Sα},
lo que prueba que el conjunto de la derecha es estacionario, y que {Sα}α∈E es una sucesi´on♦0
E.
As´ı pues, tenemos la cadena de implicaciones ♦+
κ+→ ♦∗κ+ → ♦0E↔ ♦E→ 2κ= κ+.
Definici´on 6.33 Sea κ un cardinal infinito y E ⊂ κ+. Llamaremos cuadrado
de Jensen §κ(E) a la afirmaci´on siguiente: existe una sucesi´on {Cλ}λ<κ+ (lo
que significa que λ recorre los ordinales l´ımite menores que κ+) tal que: a) Cλ es c.n.a. en λ.
b) Si cf λ < κ, entonces |Cλ| < κ. c) Si λ0 < λ cumple que C
λ∩ λ0 no est´a acotado en λ0, entonces λ0 ∈ E y/
Cλ0 = Cλ∩ λ0.
Una sucesi´on que cumpla estas condiciones recibe el nombre de sucesi´on§κ(E). Llamaremos§κ≡ §κ(∅).
Observemos que si E ⊂ E0 ⊂ κ+, se cumple que §
κ(E0) → §κ(E), por lo que§κ es el m´as d´ebil de los cuadrados sobre κ.
Los principios §ω(E) se cumplen trivialmente, pues basta tomar como Cλ cualquier sucesi´on cofinal en λ, de modo que las hip´otesis de b) y c) no pueden darse nunca.
Si κ > ω, entonces una sucesi´on §κ(E) cumple adem´as que si cf λ = κ entonces ord Cλ= κ.
En efecto, si γ = ord Cλ, la semejanza f : γ −→ Cλ es cofinal creciente en
λ, luego cf γ = cf λ = κ ≤ γ. Si fuera κ < γ, entonces κ < κ + ω < γ (pues
cf γ = κ > ω) y Cλ∩ f(κ) no est´a acotado en f(κ), luego por c) tenemos que
Cf (κ)= Cλ∩f(κ) = f[κ] tiene ordinal κ. Similarmente, Cf (κ+ω)= Cλ∩f(κ+ω), luego Cf (κ) ⊂ Cf (κ+ω), luego κ = ord Cf (κ) ≤ ord Cf (κ+ω) < κ por b) ya que cf f (κ + ω) = ω < κ, y tenemos una contradicci´on.
El teorema siguiente es trivial salvo si cf κ = ℵ0, y en este caso prueba que, bajo ciertas hip´otesis sobre la funci´on del continuo,§κimplica el caso no trivial de♦E que no se sigue de la mera hip´otesis 2κ= κ+:
Teorema 6.34 Sea κ un cardinal no numerable tal que 2<κ = κ y 2κ = κ+.
Sea W = {λ < κ | cf λ = ℵ0}. Entonces §κ→ ♦W.
Demostraci´on: Si cf κ > ℵ0 entonces se cumple ♦W por 6.29, as´ı que podemos suponer que cf κ = ℵ0. Si µ ≤ κ tenemos que
(κ+)µ≤ κµκ+≤ κκκ+= κ+,
luego hay exactamente κ+ subconjuntos de κ+ de cardinal a lo sumo κ. Sea
{Xα}α<κ+ una enumeraci´on de todos ellos. Podemos exigir que Xα ⊂ α. En
efecto, definimos f : κ+−→ κ+ de modo que f (α) sea el menor ordinal ≥SXα que no est´e en f [α], lo cual siempre es posible, pues |f[α]| ≤ κ y hay κ+ordinales en κ+ mayores que uno dado. As´ı f es inyectiva por construcci´on y biyectiva porque si δ < κ+, existe un α tal que X
α = δ y, o bien f (α) = δ, o bien existe un β < α tal que f (β) = δ. Basta definir X0
α = Xf−1(α) y tenemos una enumeraci´on que cumple lo requerido.
Sea Γα= {Xδ | δ < α} y sea {Cλ}λ<κ+una sucesi´on§κ. Para cada λ < κ+
sea θλ = ord Cλ y sea {cλδ}δ<θλ la semejanza θλ −→ Cλ. Sea κ =
S β<κ
Aβ una partici´on de κ en subconjuntos de cardinal κ disjuntos dos a dos. Sea
fα
β : Γα−→ Aβ inyectiva. Para cada λ < κ+ definimos fλ : Γλ−→ κ mediante
fλ(x) = fc
λ δ
δ (x), donde δ < θλ es el menor ordinal tal que x ∈ Γcλ
δ. De este
modo fλ es inyectiva y cumple lo siguiente:
Si λ0 < λ y C
λ∩ λ0 no est´a acotado en λ0, entonces fλ|Γλ0 = fλ0.
En efecto, en estas circunstancias se cumple que Cλ0 = Cλ∩λ0, luego cλδ = cλδ0
para todo δ < θλ0 luego si x ∈ Γλ0 el δ con el que se definen fλy fλ0 es el mismo,
luego fλ(x) = fλ0(x).
Para cada λ ∈ W sea Sλ= {Sfλ−1[x] | x ⊂ κ ∧ |x| ≤ ℵ0∧ x acotado en κ}. As´ı Sλ ⊂ Pλ y, como (por hip´otesis) el n´umero de subconjuntos numerables acotados de κ es κ, tenemos que |Sλ| ≤ κ. Vamos a probar que {Sλ}λ∈W es una sucesi´on♦0
W.
Fijamos X ⊂ κ+y un c.n.a. C ⊂ κ+. Tenemos que encontrar un λ ∈ C ∩ W tal que X ∩ λ ∈ Sλ. Para ello definimos
A = {λ ∈ κ+|Vλ0< λ X ∩ λ0 ∈ Γλ}.
Se cumple que A es c.n.a. en κ+ pues claramente es cerrado y podemos definir h : κ+−→ κ+ de modo que h(0) = 0, h(α + 1) = 0 y h(λ0) es el m´ınimo ordinal λ < κ+ tal que X ∩ λ0∈ Γλ. As´ı, {λ < κ+| g[λ] ⊂ λ} ⊂ A y el conjunto de la izquierda es c.n.a., luego A no est´a acotado.
Tenemos que A ∩C es c.n.a. en κ+, y tambi´en lo es el conjunto de sus puntos de acumulaci´on (es decir, el conjunto de los λ tales que λ∩A∩C no est´a acotado en λ) y, como {λ ∈ κ+ | cf λ = ℵ
1} es estacionario, podemos tomar λ ∈ A ∩ C tal que λ ∩ A ∩ C no est´e acotado en λ y cf λ = ℵ1. Entonces λ ∩ A ∩ C es c.n.a. en λ y, como Cλ tambi´en lo es, resulta que A ∩ C ∩ Cλes c.n.a. en λ y podemos tomar una sucesi´on normal {bδ}δ<ω1 en A ∩ C ∩ Cλ cofinal en λ. Observemos
que X ∩ bδ ∈ Γbδ+1 para todo δ < ω1.
Sea {κn}n<ω cofinal creciente en κ. Sea h : ω1 −→ ω la funci´on dada por que h(δ) es el m´ınimo n tal que fλ(X ∩bδ) < κn. Como es una funci´on regresiva, existe un E ⊂ ω1estacionario sobre el que h toma el mismo valor n.
Sea γi el i-´esimo elemento de E, sea γ = S i∈ω
γi y sea λ0 = bγ. Entonces cf λ0 = cf γ = ω, luego λ0 ∈ W . Por otra parte, λ0 ∩ C ∩ Cλ no est´a acotado en λ0, ya que los bγi est´an en la intersecci´on, luego λ0∈ C ∩ Cλ.
Ahora observamos que X ∩ λ0= S
i∈ωX ∩ bγi
=Sfλ−1[x], donde
x = {fλ(X ∩ bγi) | i < ω}.
Pero por la elecci´on de E tenemos que x ⊂ κn < κ, luego x es un subconjunto numerable y acotado de κ. Adem´as sabemos que fλ|Γλ0 = fλ0, luego X ∩λ
0∈ S λ0
Por ´ultimo veamos que§κimplica una versi´on m´as fuerte de s´ı mismo: Teorema 6.35 Sea κ un cardinal no numerable y W = {λ < κ+ | cf λ = ℵ
0}.
Entonces, si se cumple§κ, existe E ⊂ W estacionario tal que §κ(E) y adem´as ♦W → ♦E.
Demostraci´on: Sea {Aλ}λ<κ+ una sucesi´on §κ. Para cada λ, sea Bλ el
conjunto de los puntos de acumulaci´on de Aλ (los λ0 tales que Aλ∩ λ0 no est´a acotado en λ). La sucesi´on {Bλ}λ<κ+ tiene las propiedades siguientes:
a) Bλ es cerrado en λ.
b) Si cf λ > ℵ0, entonces Bλ no est´a acotado en λ. c) Si λ0∈ B
λ, entonces Bλ0 = Bλ∩ λ0.
d) Si cf λ < κ entonces |Bλ| < κ.
En efecto, a) es inmediato. Para probar b) observamos que, dado α < λ, podemos formar una sucesi´on creciente α < λ0< λ1< · · · de elementos de Aλ, y entonces α < S
n<ω
λn∈ Bλ.
Para c) sabemos que Aλ0 = Aλ∩ λ0, y es claro entonces que los puntos de
acumulaci´on de Aλ0 son precisamente los puntos de acumulaci´on de Aλmenores
que λ0.
Por ´ultimo, si cf λ < κ tenemos que |Bλ| ≤ |Aλ| < κ, luego se cumple d). De las propiedades c) y d) se sigue que ord Bλ≤ κ.
En efecto, si cf λ = κ y γ = ord Bλ, sea f : γ −→ Bλ la semejanza, que es cofinal en λ por b). Si fuera κ < γ, entonces κ + ω < γ (pues cf γ = cf λ = κ), luego Bf (κ) = Bλ∩ f(κ) = f[κ] tiene ordinal κ y Bf (κ+ω) = Bλ∩ f(κ + ω), luego Bf (κ) ⊂ Bf (κ+ω), y as´ı, por d) llegamos a una contradicci´on:
κ = |Bf (κ)| ≤ |Bf (κ+ω)| < κ.
Llamamos Wδ = {λ ∈ W | ord Bλ= δ}, de modo que W = S δ≤κ
Wδ. Enton- ces existe un δ ≤ κ tal que Wδ es estacionario en κ+ (si para cada δ existiera un c.n.a. Cδ tal que Wδ∩ Cδ =∅, entonces T
δ≤κ
Cδ ser´ıa un c.n.a. disjunto con W ). M´as a´un, el teorema 6.30 implica que podemos elegir δ de modo que se d´e la implicaci´on♦W → ♦Wδ. Llamamos E = Wδ. Hemos de probar§κ(E).
Para cada λ < κ+, si θ
λ = ord Bλ ≤ δ definimos Dλ = Bλ, y en otro caso
Dλ es el conjunto que resulta de quitar a Bλ sus δ + 1 primeros elementos, es decir,
Dλ= Bλ\ fλ[δ + 1],
donde fλ: θλ−→ Bλ es la semejanza entre Bλ y su ordinal θλ.
Vamos a comprobar que la sucesi´on {Dλ}λ<κ+ cumple las mismas propie-
Veamos ´unicamente la c), pues las dem´as son inmediatas. Si λ0 ∈ D λ, en- tonces λ0 ∈ B
λ, luego Bλ0 = Bλ∩ λ0. Si δ < θλ0 entonces Dλ y Dλ0 resultan
de quitarles a Bλ y Bλ0 los mismos δ + 1 primeros elementos, luego sigue cum-
pli´endose que Dλ0 = Dλ∩ λ0. No puede ocurrir que θλ0 ≤ δ < θλ, pues entonces
λ0 ∈ D/ λ, y si θλ ≤ δ entonces Dλ0 = Bλ0 y Dλ = Bλ, luego la conclusi´on es trivial.
Por ´ultimo, si λ0 ∈ D
λ∩ E, entonces Bλ0 = Bλ∩ λ0, luego λ0es el δ + 1-´esimo
elemento de Bλ, luego λ0 ∈ D/ λ, contradicci´on.
Ahora definimos por recurrencia una sucesi´on {Cλ}λ<κ+:
Si Dλ no est´a acotado en λ, definimos Cλ = S λ0∈Dλ
Cλ0 y en caso contrario (lo
que implica que cf λ = ℵ0), definimos Cλ = S λ0∈Dλ
Cλ0 ∪ {αλn | n ∈ ω}, donde
{θλ
n}n∈ω es una sucesi´on cofinal creciente en λ tal que θλ0 = S λ0∈Dλ
Cλ0.
Vamos a probar que {Cλ}λ<κ+ es una sucesi´on§κ y que Dλ es el conjunto
de los puntos de acumulaci´on de Cλ (es decir, que λ0∩ Cλno est´a acotado en λ0 si y s´olo si λ0 ∈ D
λ). Esto implica que se trata de hecho de una sucesi´on§κ(E). Es claro que si Cλ0 no est´a acotado en λ0 para cada λ0 < λ, entonces Cλ no est´a acotado en λ, luego todos los Cλ son conjuntos no acotados en el λ correspondiente.
Veamos ahora, por inducci´on sobre λ, que si λ0 ∈ D
λentonces Cλ0 = Cλ∩λ0.
Si es cierto para todo λ0 < λ y λ0 ∈ D
λ, por construcci´on Cλ0 ⊂ Cλ, luego
Cλ0 ⊂ Cλ ∩ λ0. Tomemos ahora α ∈ Cλ ∩ λ0. Entonces, por construcci´on
α ∈ Cλ00∩ λ0, para cierto λ00∈ Dλ. Si λ00= λ0 entonces α ∈ Cλ0. Supongamos
ahora que λ00 < λ0. Entonces, como λ0 ∈ Dλ, sabemos que Dλ0 = Dλ∩ λ0, luego λ00∈ Dλ0, luego Cλ00 ⊂ Cλ0, luego α ∈ Cλ0. Supongamos por ´ultimo que
λ0 < λ00. Entonces λ00 ∈ Dλ∩ λ0 = Dλ0, luego por la hip´otesis de inducci´on aplicada a λ0 sabemos que Cλ00= Cλ0∩ λ00, luego α ∈ Cλ0.
Veamos ahora que Dλ es el conjunto de puntos de acumulaci´on de Cλ, tambi´en por inducci´on sobre λ.
Si λ0 ∈ D
λ, tenemos que Cλ0 ⊂ Cλ∩ λ0 y Cλ0 no est´a acotado en λ0, luego
ciertamente λ0es un punto de acumulaci´on de C
λ. Rec´ıprocamente, supongamos que Cλ∩ λ0 no est´a acotado en λ0. Supongamos en primer lugar que Dλ est´a acotado en λ. Entonces, por la construcci´on de Cλ, es claro que λ0 debe ser