7.1 Definiciones y estimación
7.2.1 Constancia del número de Maxwell
Teorema 5 (Teorema de Maxwell) Para toda Estructura de Maxwell que resuelve un mismo problema de Maxwell, el número de MaxwellM =R
N dses función de las fuerzas aplicadas y de sus puntos de aplicación, e independiente de la forma de la estructura, siendo el mismo para todas ellas.
Nótese que la afirmación se hace para toda estructura de Maxwell, no nece- sariamente de dimensionado estricto, que resuelve idéntico problema.
Para demostrar dicho teorema basta aplicar el teorema de los trabajos vir- tuales a una de dichas estructuras.
Por este último, si sometemos a una estructura en equilibrio a un movimien- to o deformación arbitrario, el trabajo total realizado por fuerzas externas e internas es nulo.
Supongamos pues una deformación consistente en expandir uniformemente la estructura en torno al origen de coordenadas que permanece fijo, ampliando las dimensiones lineales l en un factor (1 +e). Denotaremos por ei al vector
desplazamiento de todo punto ien tales circunstancias. Tales vectores forman una radiación de centro en el origen y de magnitud proporcional a la distancia de cada punto al mismo.
En esta situación el trabajo realizado por las fuerzas exteriores seráP Fiei,
suma de los productos escalares fuerza por desplazamiento. Si desglosamos en componentes:
X Fiei=
X
FxiXie+XFyiYie+XFziZie
Por otro lado la deformación interior en cada componente de la estructura será
e, constante en toda ella. El trabajo de deformación interno a la estructura será:
U = Z σe dV =e Z σ dV =e Z NdV A =e Z N ds
y por lo tanto si el trabajo total debe ser nulo resulta
M =
Z
CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 166
Nótese que σpuede ser variable sin que ello afecte al razonamiento.
En las anteriores expresiones, suponiendo una estructura dada a la que se aplica la expansión uniformee, es evidente observar queU, y por lo tantoP
Fiei
no dependen del sistema de ejes de referencia elegido. Como a su vez P Fiei
no depende de la estructura elegida, resulta serM independiente de ésta, por lo que es una constante del problema, que no depende de su solución. A la cantidad
M la denominamos, como hemos visto,número de Maxwelldel problema. De dicho teorema se derivan importantes corolarios:
1. Una estructura de Maxwell que sea estricta, sólo traccionada o sólo ex- tendida es ya una estructura mínima, y todas las diferentes estructuras que puedan proponerse en estas condiciones para el problema de Maxwell dado son equivalentes. En este caso el número de Maxwell coincide con la cantidad de estructura.
Es fácil ver asimismo que, en estas condiciones, y si admitimos pequeños desplazamientos en las fuerzas para acomodarse a la deformación, todas las estructuras estrictas posibles tienen igual deformación, y por lo tanto no existen siquiera problemas de compatibilidad en soluciones hiperestáticas, en la medida en que sometiendo a todas las secciones a idéntica σ se asegura que estén sometidas a idéntica deformaciónε, y por lo tanto todo el esquema estructural experimenta una expansión —contracción— uniforme —y por lo tanto compatible— igual para todos los esquemas.
En tales casos sencillos, las soluciones son obvias:
Soluciones a la unión de dos puntos en el espacio como en la figura 7.2, donde representamos en grueso las barras comprimidas. Pue- den obtenerse las solicitaciones por semejanza de triángulos o cortes, comprobándose que la segunda solución necesita más estructura que la primera: la diferencia es exactamente el doble de la estructura de tracción añadida:
1 : W = Z |N|ds=N h, 2 : ( W−= 4N 2 cosα h 2 cosα =N h+ N a2 h ; W+=N a2 h
- Soluciones estructurales a cuatro fuerzas iguales y opuestas dos a dos, con orígenes equidistantes de un punto central: figura 7.3 Am- bas soluciones, con barras traccionadas, requieren igual cantidad de estructura:
1:W = 4lN√2
2 ; 2:W = 2N l
√
2 Figura 7.3: Soluciones equivalentes en tracción
Figura 7.4: Soluciones equivalentes frente a cargas radiales
- Soluciones estructurales a una fuerza uniforme constante con puntos de origen sobre una circunferencia de radio a: figura 7.4 Las tres
soluciones, con anillo traccionado, mediante diámetros traccionados, o mediante malla traccionada precisan igual cantidad de estructura. Lo mismo vale para otras combinaciones posibles de dichos tipos de estructura, como se sugiere en la cuarta figura2.
En estructuras comprimidas, en la práctica, tendrá menos penaliza- ción la solución con menor número de barras o barras más cortas, como es el caso del anillo del ejemplo anterior. En las soluciones de la figura 7.3, por ejemplo, la estructura 2 será preferible si el mo- vimiento perpendicular al plano del dibujo está impedido, y la 1 en caso contrario.
2Hay que hacer notar que la equivalencia estructural expresada en la figura 7.4 constituye
una de las más poderosas reglas de transformación formal que pueda emplearse en la explora- ción de tipos estructurales, regla que emplearemos profusamente en la exploración de formas de cubiertas.
CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 168
2. En un problema de Maxwell, la diferencia entre la cantidad de estructura utilizada en tracción y compresión permanece constante, por lo que re- ducir la parte de estructura que trabaja en compresión implica reducir simultáneamente la parte en tracción, y viceversa.
En efecto, desglosando la cantidad de estructura W en dos partes, una W+ en tracción y otraW− en compresión resulta:
W =W++W−;
M =W+−W− (constante);
Reducir uno de los términos en la segunda expresión exige reducir el pri- mero al efecto de que se mantenga la diferencia. Por ello:
3. Si se minimiza una de las dos partes de compresión o de tracción de una estructura se minimiza la estructura.
En los casos en que no puede resolverse el problema con sólo tracciones o compresiones, la búsqueda es más compleja, si bien en ella ayuda conocer que la diferencia entre parte traccionada y comprimida es constante. Más adelante veremos otras propiedades específicas de las estructuras mínimas que ayudan igualmente a su localización.
Podemos ver ahora que en el caso de una estructura dimensionada estric- tamente y formada, bien por materiales diferentes en compresión o tracción, bien por un material de comportamiento no simétrico en ambos estados, siendo
σt yσc las tensiones máximas admisibles en tracción y compresión en valores absolutos, el Volumen de la EstructuraV es una sencilla función lineal deW, de modo que la estructura de mínimo volumen es también la de menor cantidad de estructura.
En efecto el volumen será
V = Z |N| σ ds= Z dW σ y por lo tanto V = 1 σt Z t dW + 1 σc Z c dW V =W + σt + W− σc
Figura 7.5: Problemas de Tracción–Compresión, y problemas de Flexión Como
M =W+
resulta
(σt−σc)M = (σt−σc)W+−(σt−σc)W−
y como
2σtσcV = 2σcW++ 2σtW− resulta, sumando ambas expresiones
2σtσcV + (σt−σc)M = (σt+σc)(W++W−) = (σt+σc)W y de este modo V =σt+σc 2σtσc W− σt−σc 2σtσc M (7.6)
Es fácil ver finalmente que, así como en problemas de sólo tracción o sólo com- presiónW y M coinciden, salvo signos, en los problemas de sólo flexión M es nulo (figura 7.5).
Cuando se comparen soluciones hay que cerciorarse que de hecho se esté resolviendo el mismo problema. El ejemplo de la figura 7.6 puede aclarar esta advertencia. En él aparentemente puede resolverse el problema con sólo com- presiones con múltiples valores paraW =M.
Fb= F
2 cosα, s= h
cosα para cada barra W−= F h cos2α=F a a h+ h a =F a k+1 k dW dk = 0 =⇒ 1 k2 = 1; k=±1 Figura 7.6: ¿Número de Maxwell variable?
Aparentemente, habiendo distintas soluciones que necesitan distinta canti- dad de estructura, puede hallarse la óptima. Si llamamos λ = h/2apodemos expresarW =W(λ)y optimizar, obteniendoλ dW/dλ= 0. Las soluciones son 0,5 (arco) y−0,5(catenaria) paraWmínimo= 2F a. Sin embargo, en la evalua- ción hemos olvidado considerar el empuje lateral, que supone diferente sistema de reacciones en cada uno de los problemas considerados.
La introducción de un tirante que asuma dicho empuje implica consumo de material, por lo que el problema ya no es igual al inicial. Los sistemas de fuerzas inherentes a cada caso son distintos en función del empuje: no estábamos resolviendo el mismoProblema de Maxwell.
CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 170
Al agregar el tirante al arco estamos ante un sistema de fuerzas fijo, y a la cantidad de estructura comprimidaW− se añade la cantidad traccionadaW+.
En este caso derivando nuevamente podemos obtener Wmínimo = 2√2F a para
λ=±√2/2. H= F 2 tanα =⇒ W +=F atanα=F aa h W =W++W−=F a 2k+1 k
Figura 7.7: Nuevamente parecería queM es no constante.
Aquí parecen contradecirse nuevamente los principios enunciados, ya que el valor mínimo para el tirante , y por lo tanto la cantidad mínima en tracción, no corresponde a la altura deducida, sino parah=∞, en que su tracción se haría nula. En este caso la longitud infinita de los elementos en compresión haría infinito su consumo. La contradicción surge debido a que, aunque las fuerzas son ahora las mismas para cualquier solución, su posición en el espacio no lo es, de modo que, nuevamente, estamos resolviendo problemas distintos. Aplicar el teorema de Maxwell exige que el sistema de fuerzas exterior esté totalmente determinado en cuanto módulo, dirección, sentido y posición.
Si el enunciado del problema incluye la posición de las fuerzas en el espacio, cualquier solución del tipo de 2 en la figura 7.8 tiene mayor tracción —en el tirante vertical—, y por lo tanto mayor cantidad de material. Planteado el pro- blema en esta forma, la diferencia entre estructura traccionada o comprimida de cualquier solución será la misma.