4.2 Introducción al método de los elementos finitos
5.1.1 Modelos de rotura
Si analizamos el proceso de rotura de un material dúctil para estados de carga uniaxiales, obtenemos usualmente gráficas que relacionan esfuerzos o ten- siones similares a la de la figura 5.1, en la que se aprecia una importante rama horizontal o casi horizontal, en la que la deformación aumenta indefinidamente sin que, sin embargo, se pierda capacidad resistente, hasta que la deformación se hace muy grande, en términos relativos a las pequeñas deformaciones elásticas de la fase inicial de la gráfica. La plastificación queda de manifiesto en el proceso de descarga, en el que la deformación se hace permanente pese a que se elimine totalmente la carga: la rama de descarga llega a ser paralela a la de carga, pero desplazada en el valor de la deformación plástica remanente.
Los procesos de carga cíclica en que se superan las tensiones de plastificación provocan estados que pueden caracterizarse por las curvas de histéresis sobre
1Para una introducción más extensa y general a las bases del comportamiento plásti-
co de los materiales y a las diversas teorías que tratan de modelarlo puede consultarse [Sánchez Gálvez, 1999].
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 94
la gráfica de tensión deformación. El área encerrada por éstas mide la energía disipada plásticamente.
Si la gráfica no es horizontal, el material presenta un endurecimiento que puede apreciarse en cada estado de carga en el que se supere el límite de tensiones alcanzado en alguna fase precedente: el límite elástico aparente se alcanza en cada fase con tensiones superiores.
Aunque la plastificación no aparece bruscamente como un vértice en la gráfi- ca, salvo en materiales metálicos y en el caso de problemas muy sencillos, es po- sible definir de forma convencional un punto en el que la deformación remanente alcanza un límite prefijado. Ha sido ésta la técnica empleada en definir el límite elástico convencional en los aceros estirados en frío, pero puede generalizarse. Dicha generalización puede incluso extenderse a situaciones de plastificación de- pendientes de un parámetro —un esfuerzo agregado— que involucren regiones amplias de una pieza, como puede ser el caso de la flexión por momento en una pieza, en el que la gráfica de momento–curvatura en la región más solicitada tiene propiedades que se aproximan a las anteriores, aunque la plastificación involucra de hecho regiones amplias de la pieza en torno a la sección de máxi- mo momento; incluso la gráfica carga–desplazamiento en estructuras sencillas suficientemente dúctiles presenta propiedades semejantes.
Si el material está sometido a estados de tensión que no pueden definirse por un solo parámetro, las gráficas pueden realizarse para cada pareja o conjunto de parámetros. En este caso es usual tratar de caracterizar las condiciones de plastificación en los valores combinados de tensión correspondientes a los estados planos o triples en los que la deformación remanente supera un límite dado.
Figura 5.1: Gráficas tensión deformación, y superficie de fluencia En el caso de las estructuras de edificación, en el que la mayor parte de los estados combinados de tensión más complejos suelen ser planos, bastará usualmente la representación cartesiana de las dos tensiones principales corres- pondientes a los distintos estados en que se produce la plastificación. Dicha combinación de estados delimita una curva que caracteriza la plastificación. Pa- ra estados que deban ser descritos por tres (o más) parámetros, la región que identifica los estados de plastificación pasa a ser una (hiper)superficie. A dicha curva o superficie se la denomina superficie límite, superficie de fluencia, o cri- terio de plastificación y se representa por la función que la define, ψ(σ) = 0. Modelos clásicos de ésta son los correspondientes a los criterios de Von Mi- ses —la rotura se produce al superarse un límite en la densidad de energía de distorsión— y de Tresca —la rotura se produce al superarse un límite en la tensión tangencial para el plano en el que ésta es máxima—. El mismo concepto
de superficie límite puede generalizarse, y aplicarse a la representación de los estados límite o de rotura definidos en términos de combinaciones de esfuerzos agregados2 Σen la forma Ψ(Σ) = 0. Para ello bastará
que el material empleado tenga definida una función de plastificaciónψ(σ) válida para las tensiones de punto σ —cuyas correspondientes deforma-
ciones se denotan conε— función para la que sea correcta la condición de ortogonalidad en la situación límite, oregla de flujoque analizaremos más adelante, y que se expresaría en la forma
∂ψ ∂σ =λε˙
que la caracterización del equilibrio para el comportamiento agregado pue- da hacerse a través de parámetros de esfuerzo —o incluso de carga— Σdeterminables a partir de los σ mediante expresiones lineales del tipo Σ = Σ(σ) =R
ΩL(σ)dΩ, siendoL(·)un operador lineal, tal vez diferencial, sobreσ.
que la caracterización cinemática del comportamiento agregado se ha- ga mediante parámetros cinemáticos E —o sus velocidades E˙— tales que las deformaciones ε puedan deducirse de ellos a través de la ex- presiónε = LT(E) donde LT(
·) es el operador adjunto de L(·)es decir R Ωa T ·L(b)dΩ =R ΩL T(a) ·bdΩ
que la funciónΨ(Σ)pueda construirse mediante alguna expresión del tipo Ψ(Σ) =R
ΩA(ψ(σ))dΩsiendoAconstante en el dominio, para lo que debe definirse alguna forma para la relaciónσ(Σ) —lo que equivaldría a definir algún tipo de pseudoinversa, no necesariamente una inversa matemática inexistente, de la relaciónΣ(σ)ya señalada antes—
La segunda y tercera condiciones aseguran que el cambio de representación de cualesquiera condiciones estáticas y cinemáticas σ, ε˙ a sus transformadas Σ, E˙ se producen respetando la invariancia en los trabajos según la expresión R
Ωε˙
T ·σdΩ = ˙ET·Σ.
Todas ellas aseguran paraΨel cumplimiento de la condición básica de or- togonalidad en la situación de flujo plástico, expresada por
∂Ψ ∂Σ = Λ ˙E Pues efectivamente ∂Ψ ∂Σ = Z Ω ∂A ∂ψ· ∂ψ ∂σ · ∂σ ∂ΣdΩ =A ′ ψ Z Ω λε˙∂σ ∂ΣdΩ =A′ψλ Z Ω LT( ˙E)∂σ ∂ΣdΩ =A ′ ψλE˙ Z Ω ∂L(σ) ∂Σ dΩ =A′ψλE˙ ∂ ∂Σ Z Ω L(σ)dΩ =A′ψλE˙ ∂Σ ∂Σ = Λ ˙E 2
Nótese que tanto en apartados anteriores, como en los que seguirán, solemos considerar dos grupos deagregadosseparados, usando en la notación habitualfyupara los esfuerzos y las correspondientes deformaciones internas en un conjunto finito de secciones estructurales, yF yUpara el conjunto finito de cargas y movimientosgeneralizados de la estructura. Los
esfuerzos o deformaciones denotados aquí porΣyEpueden representar cualquiera de dichos casos.
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Un ejemplo típico de esa función límite es el de la figura 5.2, que representa las condiciones de rotura de una rebanada de una pieza sometida a flexocom- presión en un material sin resistencia a tracción como puede ser el hormigón o los materiales de fábrica3.
Figura 5.2: Superficie de fluencia en rebanada de material sin tracciones Una propiedad de dicha clase de figuras en la mayoría de las condiciones, básica para un adecuado tratamiento matemático de los problemas ligados a las correspondientes condiciones de rotura, es su convexidad.
El endurecimiento del material, si existe, puede representarse en estos casos mediante una familia de funciones límite. Su empleo requerirá definir un pa- rámetro de endurecimiento que permita seleccionar la función correspondiente al valor del endurecimiento alcanzado. Un parámetro clásico es la densidad de energía disipada en el punto considerado.
En lo que sigue supondremos horizontal la rama plástica, ignorando el rema- nente de resistencia que puede aportar el fenómeno del endurecimiento. Como
3Cabe señalar que puede aproximarse la doble parábola dibujada por el hexágono que las
envuelve trazando las tangentes en los puntos de máximo y mínimo normal y momento. Cabe hacer notar que en dicho trazado, las tangentes oblicuas tienen una pendiente que es igual que el brazo plásticozpl=h/2de la versióndúctilde la sección, lo que puede comprobarse
sin más que verificar que el momento máximo es igual al producto de la resistencia de media sección por medio brazo, tal como resulta de las propiedades de la parábola:Mm=Nmzpl/4.
De este modo las seis comprobaciones representadas en el hexágono, considerando negativas a las compresiones, serán
Nm≤N+ M zpl ≤ 0 Nm≤N− M zpl ≤ 0 Nm≤4M zpl ≤ − Nm
ecuaciones que pueden reescribirse también en la forma m n −m −n m −n −m n 0 1 0 −1 hN M i ≤ 0 n 0 n 1/4 1/4 |Nm|zpl en las quen= 1/p1 +z2 pl,m=zpl/ p 1 +z2
pl, resultando por tanto expresiones que corres-
podrá entenderse en los apartados siguientes este planteamiento permite el aná- lisis del comportamiento de la estructura en sus estadios finales, en oposición al resultado del enfoque elástico que, en puridad, representa muy adecuadamente su comportamiento en los estadios iniciales.
Al no considerarse endurecimiento y suponer horizontal la rama plástica, estamos adoptando un modelo de comportamientoelasto-plástico, y la superfi- cie límite que representa los posibles estados de rotura será única. Un estado de esfuerzos representado por un punto en el interior de dicha superficie, con
ψ(σ)<0, corresponde a un estado de esfuerzos posible y en régimen elástico. Un punto en dicha superficie representa un posible estado de plastificación, un estado en el que se produce movimiento de colapso generalizado, con di- sipación de energía a través de los procesos de flujo plástico con deformación plástica irreversible e importante disipación de calor, y los puntos exteriores a dicha superficie, conψ(σ)>0, representan estados o combinaciones de esfuerzo
imposibles de alcanzar.