tural
Hasta aquí hemos visto que podemos construir para todo modelo estructural las condiciones de equilibrio o admisibilidad estáticaF =BTf,
las condiciones de compatibilidad o admisibilidad cinemáticau=BU, las condiciones de rigidez o admisibilidad materialf =ku.
Hemos visto además que el problema queda usualmente formulado en términos deobtener los desplazamientos U que corresponden a unas ciertas cargasF, y para las condiciones en que se cumplen las tres condiciones de admisibilidad. En
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efecto, conocidos los desplazamientos generales, la ecuación de compatibilidad permite obtener las deformaciones, y la de rigidez los esfuerzos, de modo que el estado completo de la estructura queda determinado.
En general habremos construido un modelo en el que tantoU comoF repre- sentan valores en los puntos libres de la estructura, aunque puede haber casos en que sea de mayor comodidad incluir tanto los puntos libres como los de la sustentación, caso que consideraremos posteriormente.
Puesto que el estado buscado es equilibrado y compatible debe cumplirse el principio de los trabajos virtuales, tanto considerando desplazamientos compati- bles respecto de la situación buscada, como considerando variaciones tensionales equilibradas. Supondremos, por tanto que u¯= BU¯ representa uno de dichos estados elegido arbitrariamente. Planteando la equivalencia de trabajo interno y externo, y sustituyendo ¯ uTf =U¯TF ¯ UTBTku=U¯TF ¯ UTBTkBU =U¯TF.
La última expresión debe ser cierta para cualquierU¯ arbitrario, por lo que resulta de inmediato que
F =KU siendoK=BTkB. (2.18)
De este modo puede construirse la matrizKque expresa las relaciones entre las cargas y los desplazamientos de la estructura constituyendo un sistema de ecuaciones cuya solución determina los movimientosU.
2.11.1.
Sustentaciones
En el caso en que el modelo construido incluya los puntos de sustentación, resultaría que para movimientos rígidos del modelo no habría deformación. La matriz sería singular, siendo el trabajo interno nulo, e igualmente el externo, al ser iguales y contrarios los trabajos desarrollados por cargas y reacciones en dicho movimiento, por lo que el sistema no puede ser resuelto planteado de esta manera.
En ese caso, y tal como se ha planteado en el apartado sobre acciones y reacciones, bastará ordenar los parámetros deU yF agrupando separadamente movimientos libres y sustentaciones, de modo que pueda expresarse la ecuación que los liga en la forma
Fl Fs = Kll Kls Ksl Kss Ul Us
De este modo pueden obtenerse separadamente los dos sistemas de ecuaciones Fl−KlsUs=KllUl
Fs=KslUl+KssUs.
En el primero de ellos, los movimientos de la sustentación, usualmente nulos, estarán prescritos pudiendo ser considerados como cargas equivalentes en caso de no serlo, de acuerdo a la expresión. El segundo permitiría determinar las reacciones una vez resuelto el primero en la forma habitual.
CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 44
2.11.2.
Subestructuras: condensación estática
Un caso próximo aunque inverso al anterior, en el que hemos eliminado del problema los puntos de la sustentación, lo constituye el problema de las subes- tructuras. Las subestructuras serían regiones amplias de la estructura que se aíslan para el análisis de aquélla. En este caso existe un conjunto de puntos, internos a la subestructura, que no tienen contacto con el resto de la estructu- ra, mientras que otro conjunto corresponderá a lasconexiones con el conjunto estructural restante.
Ahora bien, el resto de la estructura no ejerce acción directa ninguna sobre los puntos internos. Para éstos podemos imaginar que el habitual proceso de carga desdoblado en dos fases a saber, una primera fase de empotramiento perfecto sin desplazamientos, para las cargas aplicadas a la subestructura, y una segunda fase de desplazamiento sin carga, se resuelve ahora en tres fases, dos internas y una conjunta de la estructura, que serán, sucesivamente:
empotramiento perfecto sin desplazamientos de las barras o regiones in- ternas de la subestructura,
desplazamiento de los puntos internos de la subestructura sin desplaza- miento de los puntos de conexión, para las cargas que anulan las reacciones de empotramiento perfecto del análisis anterior, y
desplazamiento generalizado de la estructura para las cargas que anulan las reacciones en los puntos de conexión.
Los dos primeros estados consisten en el análisis de la subestructura como una estructura aislada, en el que las cargas se resuelven en acciones sobre los puntos de conexión con el resto de la estructura, resultando el interior de la subestructura en equilibrio. El tercer estado analizado consiste en un estado de desplazamiento generalizado de la estructura en virtud de las acciones no equilibradas en las conexiones entre sus distintos elementos.
Podemos hacer con la subestructura la misma operación que en el anterior caso: agrupar las ecuaciones separando unos puntos de otros. Los puntos internos son los puntos libres de la subestructura, y las conexiones son las sustentaciones en el segundo análisis de la lista precedente. Para cada subestructura resultan las relaciones Fi Fc = Kii Kic Kci Kcc Ui Uc
En la primera y segunda fases, cada subestructura queda sometida a las cargas internas, y resulta equilibrada por las reacciones que el resto de la estructura ejerce sobre los puntos de conexiónFc2. El análisis de las subestructuras permite
obtener dichas fuerzas. Para el análisis general a realizar en la tercera fase, las fuerzas −Fc2 serán las cargas a aplicar procedentes de cada una de las subestructuras.
Ahora bien, en la tercera de las fases del análisis planteado, resultará que las cargas internas a considerar son nulas —han quedado equilibradas en las dos primeras fases en las que se ha descompuesto el problema en aplicación del principio de superposición— por lo que la ecuación desde la perspectiva de cada subestructura es 0 Fc3 = Kii Kic Kci Kcc Ui3 Uc3
de donde —y eliminando el subíndice 3 por sencillez— KiiUi+KicUc=0
Ui=−K−ii1KicUc
Fc=KciUi+KccUc
Fc= −KciKii−1Kic+KccUc
que constituye una expresión que relaciona esfuerzos y movimientos en los pun- tos de conexión, y que por lo tanto constituye una expresión completa de rigidez para la incorporación de la subestructura en la estructura completa, en la forma f =kuconk=−KciK−ii1Kic+Kcc, para los movimientos y esfuerzos de las
conexionesUc, Fc.
Las cargas sobre las conexiones obtenida en la segunda fase de análisis serán cargas sobre la estructura en la tercera. Obtenidos los movimientos generalizados de las conexionesUc en la tercera fase de análisis, pueden determinarse los de
los puntos internos de la subestructura Ui, y por tanto pueden determinarse
todos los esfuerzos internos.