2.12 Las teorías de estructuras: esquema conceptual general
3.1.2 Estado de solicitación en una rebanada
En las estructuras de barras, la región de referencia básica para el análisis es la rebanada, región delimitada por dos secciones o cortes sucesivos y próximos en
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la barra, y ortogonales a su directriz. La pequeña región delimitada materializa el equilibrio entre esfuerzos opuestos en las dos secciones, o caras, y puede estar sometida a carga, que equilibra mediante leves diferencias entre los esfuerzos en ambas caras. Dicha región constituye un agregado de puntos materiales, cuyo análisis conjunto —podríamos llamarle colectivo— simplifica el estudio de las barras de forma muy apreciable.
Se denomina fibra a toda región infinitesimal paralela a la directriz entre ambas caras de la rebanada.
Figura 3.1: Sección y solicitaciones
Las resultantes de fuerza posibles sobre una de las caras determinan los esfuerzos posibles, que son las 6 resultantes posibles de fuerzas en el espacio: normal, fuerzas tangentes o cortantes, momento torsor, y momentos flectores (Nx, Ty, Tz, Mx, My, Mz). A dichas resultantes de fuerza deben acompañar, se- gún los criterios establecidos en el capítulo anterior, seis componentes de defor- mación que correspondan en términos energéticos a las anteriores componentes de esfuerzo, y que serán el alargamiento, y las distorsiones para los términos de fuerza, que suponen desplazamientos relativos de las caras consideradas, y las rotaciones relativas entre dichas caras, a saber, la torsional, y las de flexión — cambios de curvatura— que se corresponden cada una de ellas con los términos de momento (ǫ, γy, γz, ηx, cy, cz). Para asegurar medidas consistentes se conside- ran movimientos relativos entre caras, en ejes referidos a sus centros de gravedad, y en caras distantes en la unidad, por lo que los términos de deformación son términos unitarios, y por tanto adimensionales para las fuerzas: alargamiento unitario, o distorsiones angulares, pero tienen dimensiones inversas a las longi- tudes para los términos correspondientes a los momentos: curvatura, o rotación por unidad de longitud. De este modo, al obtener el producto entre esfuerzo y deformación —el trabajo— por unidad de longitud —para la rebanada de tamaño unidad— deben resultar magnitudes que dimensionalmente son fuerzas tanto en los desplazamientos como en las rotaciones, para que al integrarlas a lo largo de las longitudes reales resulten trabajos.
Si consideramos el estado de tensiones posibles de un punto situado en una cara de la rebanada, observamos que aparecen tres de las seis componentes del tensor de tensiones:f = (σx, τxy, τxz), mientras que las otras tres, (σy, σz, τyz),
resultan indefinidas en el corte. Las tres componentes que no aparecen en el corte pueden deducirse una vez establecidas las tensiones que sí quedan representadas en él, a través del equilibrio y considerando la forma en que se aplican las cargas al contorno de la rebanada, pero usualmente son de valores tan pequeños en relación con las otras tres que pueden despreciarse, suponiéndolas nulas.
El equilibrio exige que las fuerzas representadas en una cara de la rebanada sean precisamente resultantes de las tensiones existentes, por lo que consideran- do la cara positiva resulta inmediato que1
Nx= Z σxdA; Ty= Z τxydA; Tz= Z τxzdA; Mx= Z yτxzdA− Z zτxydA; My = Z zσxdA; Mz=− Z yσxdA (3.1)
Dado que en las barras reales, esbeltas, las deformaciones acumuladas como distorsiones —la energía de deformación acumulada en las distorsiones— son pequeñas en relación con las demás, suele prescindirse en el modelo de rebana- da de las distorsiones, lo que obliga en contrapartida a no emplear los cortantes como variables, y por lo tanto, a deducir los cortantes exclusivamente del equi- librio con el resto de esfuerzos —en particular, si la barra es recta, del equilibrio de momentos de la rebanada, por el que el cortante es directamente la derivada de los momentos— De este modo los esfuerzos básicos que representan el com- portamiento de la rebanada son F = (Nx, Mx, My, Mz) que se corresponden con las deformacionesU = (ǫ, ηx, cy, cz).
Puede observarse que, en las deformaciones consideradas relevantes, las de torsión responden a movimientos–esfuerzos tangenciales en las fibras, mientras que los alargamientos y los cambios de curvatura se derivan de movimientos lon- gitudinales en las fibras. Dicha diferencia sugiere dos aproximaciones separadas al comportamiento: torsiones por una parte, y esfuerzos normales y flexiones por la otra2.
Torsión uniforme en una sección hueca delgada
Sólo se analizan aquí someramente las secciones huecas de pequeño espe- sor, por su facilidad, dejándose el estudio riguroso de la torsión para textos especializados.
En la figura se representa una sección hueca delgada genérica sometida a torsión uniforme a lo largo de la longitud unidad. Las tensiones en la rebanada son sólo tangenciales τ que deben ser paralelas por equilibrio a la tangente al
tubo, y que suponemos constantes en el espesor, aunque puedan variar para cada posición sobre la sección del tubo. Un corte longitudinal en el tubo permite ver la tensión rasante correlativa de la que aparece en la sección, y el equilibrio
1Las relaciones que siguen pueden establecerse recurriendo al principio de los trabajos
virtuales, multiplicando directamente las fuerzas–esfuerzos por un estado arbitrario de defor- mación que por ejemplo, en el caso de esfuerzos asociados a las tensiones normales, podemos definir por el desplazamiento y rotación de una cara respecto de la otra en ejesy,zdefinidos en el centro de gravedad de la sección, por elongación de la barra, y su curvado: (¯ε,c¯y,c¯z).
Igualando trabajos externo e interno: ¯
εNx+ ¯cyMy+ ¯czMz= Z Z
(¯ε+ ¯cyz−¯czy)σ dy dz.
Como las relaciones deben ser válidas para cualquier deformación arbitraria, basta anular sucesivamente todas las componentes de deformación supuestas menos una para obtener las expresiones buscadas.
2Se trata del enfoque apropiado para la llamada torsión uniforme, de Saint Vénant, o
torsión sin alabeo, representativa del comportamiento de las piezas huecas o macizas, aunque insuficiente para describir el comportamiento en torsión de las secciones delgadas abiertas.
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longitudinal de un trozo de tubo obtenido con dos de dichos cortes permite ver que el productoτ ees constante (para cualesquiera posiciones, τ e=τ′e′).
Figura 3.2: Torsión uniforme en sección hueca
De este modo, si establecemos el equilibrio, el momento torsor deberá igua- larse al producido por las tensiones tangenciales descritas, por lo que
Mx=I τ er ds=I τ e2dA
y puesto queτ ees constante
Mx= 2τ e I
dA= 2τ eAe
de donde resulta la conocida relación que determina la tensión en cada punto
τ = Mx
2eAe (3.2)
dondeAe representa el área encerrada por la línea media del espesor del tubo. Si queremos obtener ahora la relación entre el momento torsor y la rotación por unidad de longitud de la barra, bastará igualar, para el modelo que elijamos para el comportamiento del material, la energía de deformación vista desde el interior de la barra, con la energía de deformación vista desde los esfuerzos en las caras de la rebanada, debiendo ser ambas iguales. En el caso de materiales de comportamiento regido por la ley de Hooke tenemos:
1 2Mxηx= 1 2 Z Z Z uTfdv Mxηx= Z Z τ γe ds dl
Puesto que se trata de la longitud unidad debe ser l = 1, y empleando γ=τ /Gresulta Mxηx= I τ2e G ds Mxηx= I M2 xe 4e2A2 eG ds ηx= 4Mx A2 eG I ds e
de modo que la relación momento a giro unitario es sencillamente Mx ηx = 4A2 eG H ds e =GIT (3.3)
Deformaciones de una rebanada recta debidas a tensión normal Supondremos en la rebanada un comportamiento deformacional que respon- da a la hipótesis de Navier, a saber, que la sección plana permanece plana tras la deformación.
Figura 3.3: Tensión normal y deformación de la rebanada
Establecemos como movimientos relativos de la cara positiva, referidos a su centro de gravedad3, el desplazamiento por elongación de la rebanada y las dos rotaciones debidas a la curvatura que adquiere ésta: (ε, cy, cz), en correspon-
dencia con los esfuerzos de tracción axial y momentosN, Mz, My considerados
al analizar las resultantes de solicitación al principio de este apartado. Se ob- tienen a continuación las correspondientes relaciones esfuerzo–deformación para relaciones tensión–deformación lineales en cualquier punto material. En tales circunstancias tenemos: N = Z σxdA= Z ǫxE dA
siendo en cada puntoǫx=ε+zcy−ycz con lo que N =EA ε
3Puede hacerse notar que el hecho de haber elegido el centro de gravedad de la sección
como punto de referencia para situar los esfuerzos y las deformaciones es una elección posible, alternativa a otras. Podríamos haber seleccionado un punto en la fibra inferior, y habríamos obtenido otras relaciones, válidas como alternativa. En éstas, la rotación supondría simultánea- mente elongaciones y cambios de curvatura, y, por lo tanto, las relaciones entre elongaciones y rotaciones con normales y momentos resultarían acopladas, no pudiendo aislarse unos pa- rámetros de otros. Es de hecho una elección que se realiza en ocasiones, como en el análisis de arcos con resistencia nula en tracción y resitencia infinita en compresión, porque en ese caso el extremo de la junta se comporta como una rótula, resultando igualados y anulados los efectos del normal por la elongación más el momento por la rotación. La ventaja de la elección realizada para el caso general radica en que, siendo el comportamiento elástico, la relación entre alargamiento y esfuerzo normal resulta independiente de la existente entre el cambio de curvatura y el momento.
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al estar referidos los ejes al centro de gravedad y resultar por tanto nulos los dos últimos sumandos de la integral por serlo sendos momentos estáticos. Para las rotaciones de las caras de la rebanada derivadas de las curvaturas en ambos sentidos tendremos: My= Z zσxdA= Z zǫxE dA= Z z(ε+zcy−ycz)E dA = Z z2cyE dA My =EIycy Mz=Z (−y)σxdA=Z (−y)ǫxE dA= Z (−y)(ε+zcy−ycz)E dA= Z y2czE dA Mz=EIzcz
dado que las integrales de los términos lineales eny o enz deben anularse por igual motivo que antes y siendo igualmente nulo el término enyzsi los ejes son los principales de inercia4.
Agrupando las relaciones obtenidas en estos dos últimos apartados resultan las que vimos recogidas en la sección referida a la rebanada en el apartado 2.6 sobre constitución material.