6.3 Teoría de proyecto y optimización
6.3.1 Problemas de minimización
Aun cuando el objeto de este texto no es establecer métodos para obtener soluciones estructurales óptimas4 a un problema dado, sino establecer herra- mientas de proyecto que permitan evaluar la bondad de los diseños desde las primeras fases de éstos, es evidente que en determinadas ocasiones las soluciones podrán formularse como problemas de optimización, y los métodos aplicables a los mismos pueden por ello constituir una herramienta auxiliar de indudable interés. En esta sección se catalogan por ello de forma somera diversos métodos que pueden aplicarse a los problemas de minimización, tanto de funciones de una o varias variables —en número finito—, como de funcionales dependientes de una o varias funciones cuya expresión minimizadora se busca. El objeto de la descripción será considerar la posibilidad de aplicación de alguno o varios de los métodos revisados en la evaluación de diseños que nos interesa formalizar de cara a la construcción de una teoría de proyecto de estructuras.
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Se impone aquí una breve reflexión sobre los términos empleados. El sentido que la Real Academia asigna a la palabraminimizar: disminuir el valor de una cosa, o frivolizarla, no aconsejaría emplear este neologismo en el sentido matemático de hacer mínima una expresión. Y puesto que la raíz presenta analogías con la del términoúltimo, para el que existe ultimar
como verbo que expresa la correspondiente acción, parecería correcto emplear minimar y minimación en las expresiones utilizadas para hablar de la acción de establecer un mínimo, y de la misma manera las expresionesoptimaryoptimaciónpara referirse a las de establecer un óptimo. Habría una ciertaproximidadcon los términos aproximar y aproximación, estimar y estimación. . . . Dado que la literatura reciente no ha aceptado estos términos mantengo los más usuales pese a su mayor fealdad
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En [Farkas, 1984] pgs.(29–50) puede verse una sucinta exposición de gran parte de los métodos citados. Una excelente obra para el estudio teórico y prác- tico de buena parte de los métodos de optimización en problemas lineales y no lineales, exceptuando los que explotan analogías de naturaleza estocástica tanto de procesos físicos como biológicos, es [Nash and Sofer, 1996]. En todo caso, el campo de la optimización5 es un campo en rápida evolución, dada la impor- tancia de los recursos involucrados en el mundo de las grandes corporaciones industriales y financieras, y la ventaja comparativa que puede aportarles una eficente aplicación de los mismos.
En cualquier problema de minimización —o de optimización—, se dispone de un objeto definido inicialmente, que debe poder modificarse de alguna manera, y se trata de buscar la modificación que produzca un mínimo en un cierto valor significativo. De este modo existirán
una descripción paramétrica del objeto a investigar, que consiste, bien en describir el objeto en función de un conjunto finito de parámetros que pueden variarse (por ejemplo, un pórtico de longitud total dada y número de vanos conocido podría describirse en función de los valores arbitrarios —o variables— de las luces de los vanos), bien, en casos más generales, a través de un conjunto de funciones de campo que describen sus caracte- rísticas (por ejemplo, la lámina de hormigón que cubre un recinto plano dado contenido en el plano horizontalOXY podría describirse a través de
dos funciones z(x, y) ye(x, y)que asignarían a cada punto de coordena- das(x, y)del recinto la posiciónzy el espesorede la lámina sobre dicho punto).
Figura 6.2: Descripción paramétrica de soluciones
un método —a veces muy complejo— para describir el campo de validez de las soluciones que pueden admitirse para el objeto —en el primer ejemplo, las luces han de sumar la longitud total, y en el segundo, los esfuerzos combinados en la lámina han de ser menores a un cierto valor admisible— un método para obtener un valor —un escalar— que representa en un solo número alguna cualidad importante del objeto —la energía de defor- mación, el coste, el consumo de recursos no renovables, . . . — Es evidente que debe poder obtenerse tal valor en cualquiera de las soluciones admi- sibles como función de los valores que se asignen a los parámetros que
5también denominado deprogramación lineal y no lineal, donde el término programación
no se refiere a la creación de programas informáticos, sino al campo técnico–empresarial en el que surgen la mayor parte de los problemas de optimización, que es el ligado a la programación de actividades, procesos o recursos de las grandes corporaciones.
definen el objeto, —función de tantas variables como parámetros—. En el caso de que los objetos se hallen descritos no por parámetros variables, sino por funciones arbitrarias, dicho valor será función de las funciones establecidas, y por lo tanto estaremos hablando de un funcional.
Es con dichos elementos con los que se formula el problema de minimización, que consistirá en obtener el valor de las variables —o de las expresiones para las funciones— que describen el objeto para el que se alcanza el mínimo valor en el escalar elegido.
En su forma más general un problema de minimización puede plantearse rigurosamente de la siguiente manera (figura entre paréntesis la definición apli- cable a la minimización de funcionales): Se trata de hallar el conjunto de valores (de expresiones) que han de adoptar una serie de variables (de funciones)xpara minimizar una cierta función (un cierto funcional) de dichas variables (funcio- nes)f(x). Las variables (funciones) deben satisfacer un conjunto de restricciones
—o ligaduras— descritas por ecuacionesh(x) =0o por inecuacionesg(x)≥0. Se trata pues de hallar lasxtales que
m´ın x f(x) x= (x1, . . . , xn), con gj(x)≥0 j= 1, . . . , m hj(x) = 0 j =m+ 1, . . . , p
(en el caso de funcionales las ligaduras de las funciones pueden estar restringidas a puntos o subdominios definidos).
Lasnvariables (funciones) incógnita han de minimizar la función objetivo (el funcional objetivo)f sometidas a laspligadurasgyh. Según seanpequeño o grande, y dependiendo de cual sea la complejidad de las expresiones de f,g yh—y sus derivadas—, pueden ser de aplicación métodos bastante diversos.
Podemos suponer que cada solución posible puede representarse como un punto en un cierto espacio (véase la figura 6.3). En ese caso el problema im- plicará la búsqueda de un punto en el espacio de las soluciones, que en el caso de minimizar funciones corresponde al espacion–dimensional de las variables,
y en el caso de minimizar funcionales corresponderá al espacio de dimensiones infinitas que englobe a la clase de funciones a las que sea aplicable el funcional, restringiendo dicha búsqueda a la región de las soluciones aceptables o facti- bles es decir, a la región del citado espacio delimitado por las restricciones g, buscándose el punto que, cumpliendo lash, minimice el objetivof.
Los métodos aplicables pueden ser analíticos, numéricos, o pueden combinar ambos aspectos. En este último caso el método numérico se aplica a la resolución de una versión del problema original transformada por métodos analíticos.
Los métodos analíticos permiten en algunos casos obtener soluciones ge- nerales para problemas sencillos, soluciones que, por su forma, describen con claridad los aspectos implicados en la consecución del mínimo, al establecer la totalidad de las relaciones entre las diversas magnitudes en juego. Se trata de las soluciones preferibles en el caso de ser posibles.
Los métodos numéricos permiten obtener soluciones particulares para pro- blemas concretos, si bien en la mayoría de los casos tales soluciones no permiten la extrapolación de conclusiones a problemas nuevos o próximos al original. Las soluciones numéricas tienen siempre un cierto grado de oscuridad, tanto mayor cuanto mayor es la complejidad de las funciones implicadas.
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Una soluciónx= (x, y, z)para un problema de tres parámetros puede ser representada por un punto.
Figura 6.3: Espacio de las soluciones
En los casos en que pueden aunarse desarrollos analíticos con métodos nu- méricos, que son muchos, se combina el planteamiento analítico de ciertas condi- ciones abordando por esta vía el tratamiento de algunas de las planteadas en el problema, con el recurso a métodos numéricos para la obtención de una solución al conjunto de condiciones. Los llamadoscriterios de optimidad6 corresponden a situaciones de este tipo, pues combinan el desarrollo de las condiciones que ca- racterizan al óptimo —loscriterios de optimidad—, construidos usualmente por métodos variacionales, multiplicadores de Lagrange, etc., con métodos numéri- cos de aproximación —métodos de colocación como los de mínimos cuadrados, etc.—. En todo caso dichos métodos exigen finalmente el empleo de procedi- mientos numéricos para resolver los coeficientes que definen la aproximación.