4.2 Introducción al método de los elementos finitos
5.1.3 Modelos de seguridad
Antes de abordar los teoremas fundamentales del análisis plástico merece la pena, por venir al caso, hacer una pequeña digresión sobre los modelos de seguridad al uso. Si observamos la representación de los estados de esfuerzo que supone la superficie de fluencia, obtener seguridad frente a rotura supone asegurar que los estados de esfuerzos derivados de las diversas condiciones de carga a que la estructura va a estar sometida se sitúen suficientemente alejados de dicha superficie, para asegurar que se evita alcanzar alguno de los casos de rotura (figura 5.4).
El procedimiento más clásico, asociado a los llamados coeficientes de seguri- dad, establece las situaciones de rotura, y trata de alejarse de ellas reduciendo las resistencias que representan el comportamiento del material, así como las cargas respecto de las que provocan la rotura en ese material reducido, median- te un factor que se aplica a todas ellas: la rotura se concibe sólo para situaciones de carga mayorada mediante un coeficiente de seguridad que podemos denomi- narmecánico. La comprobación, en el formato de las normas tradicionales era del tipo σd ≤ f
γ, y a éste formato pueden reducirse, en los casos lineales, las
comprobaciones prescritas en la actual normativa σd(Qγf) ≤ fγ m. El procedi- miento es inseguro en situaciones en las que, como en el equilibrio de los arcos de fábrica, la seguridad es más bien un problema geométrico. En el caso de los arcos sin resistencia a tracción se trata de que la resultante de las presiones correspondiente a los estados de carga previstos esté suficientemente dentro de la sección, como para asegurar que no se produce la rótula asociada al proceso de colapso. No se trata de un mero problema de carencia de resistencia en el
5Resulta igual expresión si consideramos el principio de los trabajos virtuales aplicado a los
campos de esfuerzos equilibrados definidos por∂fy de movimientos compatibles establecidos poru˙
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 100
material: el colapso podría producirse aun con material de resistencia infinita en compresión si la sección resulta insuficiente. En este caso lo que se está haciendo es configurar un coeficiente de seguridadgeométrico que opera en el sentido de reducir la geometría de la sección disponible. La comprobación ahora es que la geometría considerada para el cálculo permita el equilibrio, con gd ≤ γg. Pero dicha estrategia no es suficientemente segura en el problema reseñado en los ca- sos de cargas de pequeña magnitud si no se combina este modelo de seguridad adecuadamente con la previsión de hipótesis alternativas de carga, hipótesis en las que se tenga en cuenta la incertidumbre sobre su magnitud y posición real.
Los casos citados corresponden a situaciones en las que el origen de la gráfica de esfuerzos —o de cargas— está próximo a una de las posibles situaciones de colapso. En casos en los que el origen se sitúa relativamente centrado respec- to de las situaciones de colapso, las estrategias anteriores pueden considerarse intercambiables.
Una estrategia alternativa capaz de dar adecuada cuenta de la seguridad en todas las situaciones apuntadas consiste en establecer la seguridad mediante una reducción de la región ocupada por la superficie límite obtenida, no por la vía de la reducción de los esfuerzos máximos, o de la geometría disponible, sino por la vía de la reducción del potencial representado por la funciónψ(σ), adoptando por tanto como superficie límite para el cálculo la reducida ψ(σ)−γ = 0. Esta estrategia implica, en el caso que hemos citado del equilibrio de un arco sin resistencia a tracción, que obtener la seguridad requerida va a exigir la existencia en cualquier caso de un nivel de carga mínimo, sin el que la seguridad es inalcanzable. En la figura 5.5 podemos observar con claridad la muy diferente forma con que se aborda la corrección de una situación límite partiendo de cada una de las tres estrategias de seguridad reseñadas.
Figura 5.4: Superficie límite y criterios de seguridad en una junta de arco sin resistencia a tracción
Un modelo robusto de medir el margen de seguridad
Por lo visto en las anteriores figuras, si el punto de esfuerzo nulo coincide con el centro de la superficie de rotura, el coeficiente de seguridad no es más que un factor entre dos figuras homólogas, la de rotura, y la de rotura empleada para el cálculo, versión reducida en tamaño de aquella, siendo dicho centro el de la reducción. Si dicho punto de esfuerzo nulo no es el centro de la superficie
Figura 5.5: Corrección de una situación insegura dependiente del criterio em- pleado.
de rotura, debemos corregir el criterio de comprobación de seguridad; las líneas siguientes aportan una línea sencilla para hacerlo.
Seaσun estado de esfuerzo —o de carga— seguro, y seaψ(σ)≤0la super- ficie de rotura correspondiente a las variantes posibles para dicho estado cuyo centro —o posición de máximo alejamiento a dicha superficie— esté localiza- do en σ0. El estado σ correpondería a un estado de rotura en el caso de una reducción de la superficie a una homóloga menor, y la relación entre las dimen- siones lineales de dichas superficies puede dar la medida delmargen de seguridad correspondiente al estadoσ.
El gradiente de la función que define la superficie en el punto de rotura más próximo al punto considerado define un vector g ortogonal al plano tangente a ésta en dicha posición de rotura. Viendo la figura 5.6, podemos considerar como margen de seguridad, análogo al coeficiente de seguridad habitual para las cargas, al cociente entre las proyecciones sobre dicha dirección gdel vector que representa al de esfuerzos medido desde el punto de máximo alejamiento a la superficie de rotura, más su distancia hasta el punto de rotura, y del vector de esfuerzos mismo, es decir, el cociente entre los segmentos AC y AB de la figura.
Figura 5.6: Criterio robusto para medir el margen de seguridad. Nótese que si en la figura 5.6 se consideran puntos arbitrarios, por ejemplo
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 102
porque el procedimiento de análisis empleado compara el estado de esfuerzos con todos los planos que aproximan la superficie, tendremos que según se aleja el punto B que representa la proyección de los esfuerzos considerados del que representa la proyección de los esfuerzos de rotura C, el margen de seguridad crecerá hasta hacerse infinito cuando B coincida con A, e incluso cambiará de signo si pasa a estar situado en la proyección más allá de A, es decir, si el centro de la figura queda más cerca del plano de rotura considerado que el punto que se comprueba.
La distancia entre el estado seguro y el de rotura próximo se puede definir con el vector αg, por ser proporcional al gradiente señalado, y el margen de seguridad puede medirse, por tanto con
γ= g·(σ−σ0+αg) g·(σ−σ0)
Ahora bien, si consideramos el plano tangente como una aproximación de la superficie de rotura en el entorno considerado, la comprobación tendrá como forma general la expresióng·σ−d≤0o, en la condición de rotura,g·σp−d= 0,
expresiones en las que si g es unitario representará el versor del plano, y la comprobación dirá que la proyección sobre dicho versor del vector que representa el estado debe ser menor que la distancia del origen de carga a dicho plano. Para este plano, el punto de rotura más próximo al del estado analizado se representa con(σ+αg)y para dicho punto de rotura se dará la igualdad
g·(σ+αg)−d= 0 expresión en la que podemos determinarαfácilmente:
α= d−g·σ g·g
Como σ+αg es el esfuerzo en la condición de plastificación, y d puede entenderse como la resistencia en la dirección de colapso definida por g, la anterior ecuación representa una versión de las ecuaciones de resistencia que van a aparecer repetidamente en los apartados que siguen.
Resultará que
si α > 0, el estado es interior a la superficie, y por tanto seguro —con
grado de seguridad a determinar— siα= 0, el estado es de rotura
siα <0, el estado es exterior a la superficie de rotura y por tanto imposible
de alcanzar.
El magen de seguridad para el primero de los casos anteriores, siguiendo la ecuación descrita más arriba será
γ= g·(σ+αg)−g·σ0 g·(σ−σ0) = d−g·σ0 g·(σ−σ0) = g·(σp−σ0) g·(σ−σ0) (5.1) De este modo, si podemos determinar los gradientes a la superficie —los planos tangentes a ésta en las regiones de interés— y las distancias de los planos tangentes más cercanos a los estados a comprobar, la determinación del grado
de seguridad es sencilla, no presenta los inconvenientes derivados de la mayor o menor proximidad del punto de carga nula a la superficie límite, y la expresión propuesta es consistente con los modelos al uso en los casos en que el punto de carga nula y el centro de la superficie límite coinciden6. Es evidente que para que este enfoque resulte completamente adecuado, la métrica utilizada para cada una de las dimensiones en las que se sitúa la superficie límite debe ser tal que la incertidumbre sobre los valores correspondientes resulte similar en todas ellas. En ausencia de un criterio más fundamentado, preferentemente basado en el análisis del problema de resistencia como un problema de variables aleatorias (ver [G.Augusti et al., 1984]), resulta razonable representar cada una de las dimensiones en formato adimensional, como cocientes entre la solicitación en dicha dimensión frente a la resistencia máxima en ella (Sd/Rd), tal como es
habitual en las expresiones de interacción utilizadas en los Eurocódigos.