Como se dijo anteriormente, en el caso de utilizar un modelo distribuido se necesita disponer de los cuantiles de precipitación diaria distribuidos espacialmente en la cuenca por lo que, una vez realizada la interpolación, no es necesario obtener los valores areales. Estos datos de precipitación distribuidos se introducirán en el modelo en forma de capa raster o grid (retícula formada por píxeles o celdas con información asociada), lo que permitirá tener en cuenta su variación espacial. Como recomendación general para estos métodos, y si no existe ningún otro condicionante, el tamaño de la celda del grid se tomará menor o igual a 1/10 de la menor distancia entre pluviómetros, lo que dará lugar a un número de celdas j dentro de la cuenca considerada. No obstante, es conveniente que, al realizar una modelización distribuida, las distintas capas tengan una misma resolución espacial, por lo que se recomienda adoptar un tamaño de celda que, respetando la condición anterior, sea igual en todas las capas utilizadas.
Los valores de la precipitación en cada uno de los puntos del grid, p^j, se estimarán a partir de los valores
correspondientes a cada pluviómetro, pg, afectados por los pesos, wjg, mediante la siguiente expresión:
Para asegurar que la estimación de la precipitación es insesgada la mayoría de los métodos de interpolación cumplen la condición siguiente:
La diferencia fundamental entre los distintos métodos de ajuste de superficies de precipitación está en la forma en que se calculan los pesos, pudiendo clasificarse de las dos formas siguientes:
1ª Clasificación:
• Métodos de suavizado: en los que la superficie de precipitación resultante no pasa exactamente por los valores de las estaciones.
• Métodos de interpolación: en los que la superficie sí pasa por los valores de las estaciones.
2ª Clasificación:
• Métodos estocásticos o estadísticos: basados en la minimización de los errores de la interpolación, es decir, analizan el fenómeno en términos de incertidumbre o probabilidad de ocurrencia. • Métodos determinísticos: para los cuales las variables
introducidas son ciertas y se basan en criterios matemáticos para obtener las superficies de lluvia.
Método de las isoyetas
Este método consiste en el dibujo a mano alzada de las curvas de precipitación constante o isoyetas guiado por los valores conocidos en los pluviómetros y por el criterio del analista (Figura 59). La ventaja fundamental de este método consiste en la posibilidad de incorporar el conocimiento que se tenga sobre los patrones y comportamiento de la lluvia en la zona en estudio.
En caso de que se requiera conocer el valor areal de la precipitación en la cuenca, p^, a partir de la superficie de precipitación obtenida, se aplicará la siguiente expresión: 1
ˆ
j G jg.
g gp
w p
==∑
11
G jg gw
==
∑
Figura 59. Construcción de la superficie de precipitación mediante el método de la isoyetas (fuente: Lawrence, 2002).
1 1 ˆ I i.ˆi i p a p A = =
∑
con pˆ 0,5 (i = ⋅ pi−+ pi+)Donde I es el número de regiones delimitadas dentro de la cuenca entre dos isoyetas de valor consecutivo (pi- y pi+), ai la superficie de la región i y A el área
total de la cuenca.
Método de Thiessen modificado
Este método trata de evitar los inconvenientes que presenta el método de Thiessen al basarse únicamente en la distancia entre las estaciones para determinar la precipitación, ignorando otros factores relevantes como la topografía de la cuenca. El método combina la información obtenida mediante el trazado de isoyetas con el método de cálculo de Thiessen, aplicando un factor corrector, Kg, a la precipitación del pluviómetro a la hora de asignarla como precipitación del polígono. El factor corrector viene dado por la relación entre la precipitación media en el polígono obtenida a partir de las isoyetas y la precipitación del pluviómetro correspondiente a dicho polígono. De esta forma, se tiene:
siendo Pag las precipitaciones areales que les corresponden al polígono g según el método de las isoyetas; Pg la precipitación del pluviómetro
correspondiente al polígono g; Pa
g la precipitación del
polígono corregida; ag las áreas de los polígonos de
Thiessen y A el área total de la cuenca.
La aplicación de este método requiere asumir la hipótesis de que el patrón de distribución de la lluvia es relativamente constante, lo que permite determinar los factores correctores mediante el análisis de un único episodio de precipitación, un único cuantil o un único intervalo temporal (por ejemplo, la precipitación anual) y aplicarlos al cálculo de la precipitación areal de otros episodios, otros cuantiles u otros intervalos temporales (por ejemplo, las precipitaciones mensuales). Su aplicación requiere, por tanto, que efectivamente se verifique la existencia de cierta estabilidad en la distribución espacial de las lluvias.
Con este método se consiguen obtener resultados próximos a los proporcionados por el método de las isoyetas (teniendo en cuenta otros factores además de la distancia entre las estaciones), mediante la aplicación de un método de cálculo sencillo como el propuesto por Thiessen, y sin necesidad de realizar el trazado de isoyetas de manera intensiva.
Método de interpolación en función inversa de la distancia
Al estudiar la variable precipitación se observa que al aumentar la distancia entre dos puntos la precipitación tiende a diferenciarse, asumiéndose que el grado de
correlación entre la precipitación de dos puntos de una cuenca es función inversa de la distancia, disminuyendo a medida que aumenta la distancia entre ellos.
La ponderación lineal permite la utilización de funciones que dependen inversamente de las distancias entre dos puntos. Entre los esquemas que más éxito han tenido destacan los correspondientes a formulaciones del tipo:
Donde di(x,y) es la distancia en planta entre el
pluviómetro i y el punto de la cuenca con coordenadas
x e y, y N y b son los parámetros que definen la forma de la función interpolada:
- N es el número de pluviómetros más cercanos utilizados para obtener la precipitación en una celda, obteniéndose una superficie de lluvia más suavizada cuanto mayor sea el número de puntos. Este método tiene, por tanto, la ventaja de aprovechar la información proporcionada por varios pluviómetros. Sin embargo, aparecen problemas cuando se trabaja con aglomeraciones de puntos en redes irregularmente espaciadas. En estos casos es recomendable realizar una selección previa de las estaciones de cálculo. Hay que destacar que cuando N=1 el método coincide con el de Thiessen.
- b es el exponente positivo que pondera las distancias. Cuanto mayor sea este exponente mayor será la velocidad a la que se pierde la información a medida que aumenta la distancia entre la celda que se está calculando y el pluviómetro. Se recomienda tomar un valor de bigual a 2 para obtener la mejor correspondencia entre este método y el de la isoyetas.
Con este método se obtiene una superficie de precipitación cuasi continua, puesto que los datos seleccionados para obtener la precipitación de un punto pueden ser distintos de los seleccionados para obtener la del punto contiguo. La precipitación media sobre la cuenca, en caso de requerirse su cálculo, se obtiene mediante la siguiente expresión, donde Δx y Δy representan la resolución de la malla de cálculo en la dirección del eje X e Y, respectivamente, y siendo A, al igual que antes, el área de la cuenca:
La desventaja principal de este método consiste en que sólo utiliza información geométrica, por lo que no se
( , ) P x y x y P A ⋅ ∆ ⋅ ∆ =
∑
ag g g P K P = a g g g P =K P⋅ 1 1 ˆ G . a g g g P a P A = =∑
( , ) ( , ) 1 ( , ) N i b i i N b i i P d x y P x y d x y =∑
∑
pueden considerar patrones conocidos de la lluvia en la región de estudio ni otros factores como la topografía. Además, no elimina ni discrimina las aglomeraciones de estaciones que hacen redundante la información. Método de interpolación óptima o kriging
El krigeado es un método de interpolación lineal e insesgado, lineal porque las estimaciones se realizan a través de combinaciones lineales de los datos, e insesgado porque impone como condición que el error residual medio sea nulo asumiendo que no existen tendencias espaciales en la precipitación. La denominación de métodos de interpolación óptima o kriging, engloba a todos aquellos métodos en los que los factores de ponderación se obtienen minimizando la varianza del error de interpolación, S2(e
j), donde:
el valor estimado en el pluviómetro j, pj los valores de
precipitación medidos en los pluviómetros y wjg los
factores por los que se pondera cada pluviómetro. La función varianza del error se minimiza asumiendo que no existen tendencias espaciales en la precipitación por lo que, como se ha dicho anteriormente, se trata de un estimador insesgado, de lo que se deduce que la suma de pesos es igual a la unidad. Además se observa que las diferencias entre los valores de precipitación medidos en puntos cercanos son menores que entre puntos que se encuentran a mayor distancia. Esta circunstancia, junto con la condición de partida de minimizar la función
S2(e
j), conduce a un sistema de ecuaciones cuya solución
permite determinar los valores de los pesos.
Los factores de ponderación aplicados por el kriging, a diferencia del método expuesto en el apartado anterior, dependen no sólo de la distancia de los pluviómetros al punto de estimación, sino también de la forma en cómo se organiza espacialmente la información disponible, es decir, de la correlación espacial entre los datos. La herramienta a través de la cual se analiza la estructura espacial de la información es el semivariograma. De esta forma, el krigeado implica un proceso que tiene varios pasos, entre los que cabe destacar los siguientes: análisis geoestadístico de los datos a través del semivariograma para detectar interdependencias entre las series de datos, modelizado de los variogramas y creación de la superficie de precipitaciones interpoladas. El modelizado de la estructura de correlación espacial de los datos comienza con un gráfico del semivariograma empírico, calculado mediante la siguiente ecuación para todas las parejas de puntos de medida separadas entre sí una distancia h:
Siendo Pi el dato medido en el pluviómetro i, y m
el número de puntos de medida separados entre sí la distancia h.
El siguiente paso es ajustar un modelo a los puntos que forman el semivariograma empírico. El modelizado del semivariograma es un paso clave entre la descripción espacial de la información y la predicción de los valores en los puntos no medidos. El semivariograma empírico describe la autocorrelación espacial de los datos; sin embargo, no proporciona información para todas las direcciones y distancias posibles. Por este motivo, es necesario ajustar un modelo (es decir, una función o curva continua) al semivariograma empírico, siendo este proceso similar al análisis de regresión, en el que se ajusta una línea o curva continua a los datos. Generalmente, los modelos de semivariograma se pueden describir mediante las tres componentes siguientes: el rango, la meseta y la pepita (Figura 60). Si se analiza un modelo de semivariograma se puede observar que a una determinada distancia la curva empieza a ser prácticamente horizontal. La distancia a la que el modelo comienza a aplanarse se denomina rango. La información de puntos separados entre sí una distancia inferior al rango está autocorrelacionada espacialmente, mientras que la de puntos que se encuentran más alejados no lo está.
El valor de semivarianza para el cual se alcanza el rango se denomina meseta. En teoría, a una distancia de separación cero le debería corresponder un valor de semivarianza también cero. Sin embargo, es frecuente que los semivariogramas presenten para dicha distancia un valor mayor que cero, lo que se denomina efecto pepita. El valor de la pepita es igual a la
2( ) 2(ˆ ) j j j S e =S p −p 1 ˆj G jg. g g p w p = =
∑
siendo 2 1 1 ( ) ( ) 2 m i i h i h P P mγ
+ = = − ⋅∑
Figura 60.Componentes del semivariograma: rango, meseta y pepita (fuente: Manual de ayuda de ArcGIS).
semivarianza correspondiente a una separación nula entre los puntos. El efecto pepita puede atribuirse a errores de medición o a la variación espacial de la información a distancias menores que el intervalo de muestreo (o a ambas cosas). Por último, se denomina meseta parcial al valor de la meseta menos el de la pepita.
Para ajustar un modelo al semivariograma empírico es necesario seleccionar previamente una función que sirva como base para dicho ajuste. Existen varios tipos de modelos de uso habitual en el ajuste de los semivariogramas, entre los que se pueden destacar el circular, el esférico, el exponencial, el gaussiano y el lineal.
El modelo seleccionado influye en la predicción de los valores desconocidos. Por ejemplo, cuanto más pronunciada sea la curva cercana al origen, más influirán los puntos de medida más cercanos en la predicción. A continuación se muestran dos ejemplos de modelos de uso habitual, identificando las diferencias entre ellos:
• Modelo esférico: Este modelo describe una disminución progresiva de la autocorrelación espacial (y un consiguiente aumento en la semivarianza) hasta cierta distancia, después de la cual la autocorrelación es cero. El modelo esférico es uno de los que más se utilizan. • Modelo exponencial: Este modelo se aplica
cuando la autocorrelación espacial disminuye exponencialmente al aumentar la distancia. En este caso, la autocorrelación desaparece por completo sólo a una distancia infinita. El modelo exponencial también es un modelo comúnmente utilizado.
La elección de qué modelo es el más adecuado para cada caso debe estar basada en el análisis de la autocorrelación espacial de los datos y en el conocimiento previo que se tenga del fenómeno en estudio.
Una vez generado el modelo de semivariograma, se puede llevar a cabo la estimación de los valores de precipitación en los puntos de interés mediante ponderación de los valores medidos en los pluviómetros. El peso correspondiente a cada pluviómetro depende del punto de estimación y debe determinarse imponiendo las condiciones expuestas al principio de este apartado. Para crear una superficie continua de precipitaciones, se deben realizar predicciones en cada centro de celda del mapa raster. En cualquier caso, es necesario tener en cuenta que los cálculos matemáticos en este método son numéricamente complejos, por lo que es necesario recurrir al uso de ordenadores y software adecuado para su aplicación.
Cokriging
El cokrigeado es un método de interpolación basado en los mismos fundamentos que el método anterior y que permite incorporar en el proceso de estimación información sobre una variable secundaria, relacionada con la primera, y que es más fácil de medir o conocer que ésta. Si la variable principal es difícil o cara de medir, lo que limitará la cantidad de información disponible, puede recurrirse a una variable relacionada que sí pueda conocerse fácilmente de manera intensiva. En el caso de la precipitación, esta variable secundaria podría ser, por ejemplo, la altitud. De esta forma, el cokrigeado permite mejorar en gran medida las estimaciones, ya que en el proceso de estimación intervienen los valores de la variable principal, la variable secundaria y todos los patrones de correlación espacial entre variables.
Interpolación polinómica y splines
Otra manera de obtener una superficie de precipitación continua consiste en imponer un polinomio de grado k como patrón de la precipitación en función de las coordenadas x
Figura 62. Modelo exponencial de semivariograma (fuente: Manual de ayuda de ArcGIS).
Figura 61. Modelo esférico de semivariograma (fuente: Manual de ayuda de ArcGIS).
e y respecto a un origen de coordenadas. La precipitación de un punto con coordenadas (x,y) se expresará entonces como combinación lineal de
K+1 polinomios de orden i = 0, 1, 2, …, K.
Siendo fi(x,y) un polinomio de gradoi y Φi un factor.
El grado de los polinomios ha de ser bajo para evitar fluctuaciones en el ajuste. Por ejemplo, se puede plantear la siguiente expresión bidimensional lineal:
Donde a1, a2 y a3 son parámetros a determinar en función de los valores de precipitación en los pluviómetros.
Existen diferentes métodos o condiciones de ajuste para obtener la superficie interpolada de precipitación, entre los que cabe destacar la interpolación de Lagrange, la condición de mínimos cuadrados o la condición de suavizado mediante el uso de splines.