Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha
Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo
Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín
Integrales dobles y triples
1
Integrales Dobles
1.1
Aspectos geométricos
SeaRun rectángulo representado porR= [a; b] [c; d]yf una función continua de…nida sobreR, es decir
f :R R2!R Caso de funciones no negativas:
Supongamos quef(x; y) 0 y8(x; y)2R tal que la grá…ca dez=f(x; y)
está arriba del plano xy ,determinando una región V del espacio R3; bajo la
super…ciez=f(x; y)y sobre la regiónR:
Antes de dar una de…nición en el lenguaje de las Sumas de Riemann, podemos decir que; bajo las condiciones anteriores el volumen de la regiónV corresponde en este caso a lo que llamaremos integral doble def sobreRy que denotaremos:
Z Z
R
f(x; y)dAo
Z Z
R
f(x; y)dxdy
1.1.1 Ejemplo:
Seaf(x; y) =x2+y2 yR= [0;1] [0;2].
5 2.5
0 -2.5 -5 5 2.5 0 -2.5 -5
50 37.5 25 12.5 0
x y
z
x y
z
El volumen bajo el paraboloidez=x2+y2sobre el rectánguloRcorresponde a la integral doble def sobreRen este caso.
Z Z
Debemos estar claros eso si, que el concepto de integral doble es mucho más que esta interpretación geométrica
1.2
Integral doble sobre un rectángulo
Sea R= [a; b] [c; d] un rectángulo yf una función acotada de…nida sobre R
es decir existeM >0tal que
M f(x; y) M para(x; y)2R
Observación: Una función continua sobre un rectángulo cerrado siempre es acotada.
1.2.1 Partición
Sean P1=fx0; x1; :::; xng partición de[a; b]
P2=fy0; y1; :::; yng partición de[c; d]
Al conjuntoP=P1 P2=f(xi; yj)=0 i n; 0 j ng lo llamaremos
partición de R de valorn n.
Sea kP1k= maxf4xi =xi xi 1 = i= 1;2; :::; ng
kP2k= maxf4yi=yi yi 1= j= 1;2; :::; ng
1.2.2 Norma de la partición.
La norma deP denotadakPk se de…ne por
kPk= maxfkP1k;kP2kg
kPk= maxflij :diagonal de Rijg
(no es única forma de de…nir norma deP, pero ésta es la que usaremos)
1.2.3 Sumas superiores y sumas inferiores
Sean Rij rectángulo [xi 1; xi] [yj 1; yj] 1 i; j n y 4ij = área del
rectánguloRij = (xi xi 1) (yj yj 1)
De…nimos ahora, sumas inferiores y sumas superiores de Riemann def re-specto de la partición dada, por
sP(f) = n X
i;j=1
mij(f)4ij;
SP(f) = n X
i;j=1
Mij(f)4ij
i) SiP es una partición cualquiera deR sP(f) SP(f)
ii) Si P0 es partición mas …na que P ( P P0)entonces
sP(f) sP0(f)ySP0(f) SP(f)
iii)Si P1 yP2 son dos particiones cualquiera deR
sP1(f) SP2(f)
Con estas sumas formamos los respectivos conjuntos:
Conjunto de sumas inferiores.
fsP(f)=P es partición de Rg
Conjunto de sumas superiores.
fSP(f)=P es partición de Rg
SimyM son cortas inferior y superior respectivamente def enRentonces siA= (b a) (d c).
i) sP(f) m A para todoP partición deR
es decir el conjunto de sumas inferiores es acotado inferiormente
ii) SP(f) M A 8P partición deR;es decir, el conjunto de sumas
superiores es acotado superiormente.
Por lo tanto, haciendo uso del axioma del supremo (o del ín…mo) de la axiomática de los números reales podemos de…nir.
1.2.4 De…nición
SiR es un rectángulo deR2 yf una función acotada sobreR de…nimos:
a)Integral Inf eriordef sobreRpor
Z Z
R
f dA= supfsP(f) :P es partición de Rg
b)Integral Superior def sobreR por
Z Z
R
f dA= inffSP(f) :P es partición de Rg
Sumas e Integrales
Las de…niciones de estas respectivas integrales permiten a…rmar que para toda particiónP de R y toda función acotada de…nida sobreR
sP(f) Z Z
R
f dA
Z Z
R
f dA SP(f)
1.2.5 De…nición:
Una función f(x; y) de…nida y acotada sobre un rectángulo R se dice que es Riemann integrable sobreR si
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA
Si f es integrable sobre R, entonces la integral doble de…nida de f sobre R se denota porR RRf dAoR RRf dxdy y en tal caso
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA=
Z Z
R
f dA
Nota: Alternativamente en cursos de cálculo se de…ne:
Z Z
R
f dA= lim kpk!0
n X
i;j=1
f(xi; yj)Aij; (xi; yj)2Rij
lo que no es contradictorio sino que complementario y resultan planteamientos equivalentes. Esto es la de…nición utilizando el concepto de sumas intermedias de Riemann.
1.2.6 Teorema:
Cualquier función continua de…nida en un rectángulo cerradoRes integrable Demostración:
La demostración de este hecho no resulta de interés en este curso a pesar de su enorme importancia, dejemos las cosas aquí a la imaginación del estudiante.
1.2.7 Propiedades básicas de la Integral Doble
De la de…nición se desprende que:
1) Si f(x; y) = 1todo(x; y)2R;la integral resulta el área de la región
A=Área deR=
Z Z
R
dA
2) Si f es integrable enR
Z Z
R
cf dA=c
Z Z
R
f dA
3) Si f ygson funciones integrables enR
Z Z
(f+g)dA=
Z Z
f dA+
Z Z
4) Si f ygson funciones integrables enR yf(x; y) g(x; y)para todo
(x; y)2Rentonces Z Z
R
f dA
Z Z
R
gdA
5) Si f es integrable sobreR, entoncesjfjes integrable sobreRy
Z Z
R
f dA
Z Z
Rj
fjdA
1.2.8 Teorema del Valor Medio para Integrales Dobles
Si f(x; y) es continua sobre rectánguloR con área A(R), entonces existe un punto ("; ) en el interior deRtal que
Z Z
R
f(x; y)dA=f("; ) A(R)
Demostración Sea
m = minff(x; y) : (x; y)2Rg M = maxff(x; y) : (x; y)2Rg
y supongamos que m < M:Entonces m f(x; y) M;y sif no es identicamente igual a m o M, entonces
m A(R)<
Z Z
R
f(x; y)dA < M A(R)
El teorema del valor medio de las funciones continuas asegura que existe un punto ("; ) en el interiorR tal que
f("; ) =
Z Z
R
f(x; y)dA A(R)
=))f("; ) A(R) =
Z Z
R
f(x; y)dA
1.3
Integrales sobre conjuntos acotados de
R
2En este caso extenderemos la de…nición de integral doble a regiones que no son necesariamente rectángulos, sino que regiones acotadas en general.
Supongamos queS es una región cerrada y acotada de R2; por ejemplo un
1.3.1 De…nición:
Sea R rectángulo que contiene a región cerrada y acotadaS yf una función de…nida y acotada enS, extendemosf aRde la siguiente forma
fR(x; y) =
f(x; y); (x; y)2S
0; (x; y)2R S fR la consideraremos como la extensión de f a todoR:
1.3.2 De…nición.
SeaS una región acotada deR2 yf una función de…nida y acotada sobreS, si
Res en rectángulo tal queR SyfR la extensión de f aRdel tipo de…nido
aquí, entonces si existeR RRfRdA, de…nimos Z Z
S
f dA=
Z Z
R
fRdA
Importante.
Las propiedades enunciadas, de la integral doble en rectángulos siguen siendo válidas en conjuntos más generales lo que se puede justi…car por la de…nición anterior
1.3.3 Integrales Iteradas
Una integral de la forma
Z b
a
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dydx
se llama integral iterada y se interpreta comoRabF(x)dxdonde para cada x2
[a; b];conF(x) =Rgh((xx))f(x; y)dy:
Sif(x; y)es función continua sobref(x; y) :a x b; g(x) y h(x)g y
G(x; y)una primitiva en la segunda variable, de f(x; y); es decir ,
@G(x; y)
@y =f(x; y)para cadax2[a; b]y todo g(x) y h(x);el teorema
Fundamental del cálculo permite que
F(x) =
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dy=G(x; y)jyy==hg((xx))=G(x; h(x)) G(x; g(x))
de integración así
Z b
a
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dydx=
Z b
a
Z h(x)
g(x)
f(x; y)dy
!
dx
De manera similar se tiene
Z d
c
Z h(y)
g(y)
f(x; y)dxdy =
Z d
c
Z h(y)
g(y)
f(x; y)dx
!
dy
1.3.4 Ejemplo.
Z 1
0
Z x
0
(x2+ 4xy)dydx =
Z 1
0
Z x
0
(x2+ 4xy)dy dx
=
Z 1
0
x2y+ 2xy2 x0dx
=
Z 1
0
(x3+ 2x3)dx=
Z 1
0
3x3dx= 3 4x
4 1
0 =3
4
Otros ejemplos: Interprete y evalúe:
i) R04R02xpydxdy ii) R02R04xpydydx iii)R01R0xsin(x2)dydx
iv)R02Rp3
x x
2+y dydx
v) R05R2xx2(x+y)dydx
Algunas Respuestas
i) R04R02xpydxdy=R04hR02xpydxidy=R04hx22pyi
2 0dy= =R042pydy=h2 23y32
i4
0= 32
3
iii)R01R0xsin(x2)dydx=1 cos 1 2
iv) R02Rp3x x2+y dydx16h1 p2 7
i
A continuación examinaremos la evaluación de la integral doble por medio de integrales iteradas.
1.4
Teorema de Fubini
Seaf una función continua en una regiónR cerrada y acotada, entonces
continuas en[a; b]se tiene:
Z Z
R
f dA=
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f(x; y)dydx
b) Si R=f(x; y) c y d; h1(x) x h2(x)gyh1 yh2 son
funciones continuas en[c; d]se tiene
Z Z
R
f dA=
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
f(x; y)dxdy
1.4.1 Ejemplo
Este ejemplo ilustra como este teorema se adapta a la situación del problema, en este caso se pide calcular
Z Z
R
xydA
yRes la región triángular del plano con vértices en los puntos A(-6,-2), B(-1,3) y C(9,-7).
Solución.
La región se debe subdividir en dos subregiones del tipo (a):
Los segmentos de recta AB, BC Y AC tienen ecuaciones y=x+ 4; y= x+ 2 e y= 13x 4 respectivemente. Las regiones pueden escribirse.
I: 6 x 1; 13x 4 y x+ 4
II : 1 x 9; 13x 4 y x+ 2
Entonces aplicando T. de Fubini a ambas regiones se tiene
Z Z
R
xydA =
Z 1
6
Z x+4
1 3x 4
xydydx+
Z 9
1
Z x+2
1 3x 4
xydydx
= 1 2
Z 1
6
h
xy2ix+4
1 3x 4
dx+1 2
Z 9
1
h
xy2i x+2
1 3x 4
dx
= 1 9
Z 1
6
(4x3+ 24x2)dx+1 9
Z 9
1
(4x3 30x2 54x)dx
= 1025 27
Se observa que R también puede subdividirse en dos regiones del tipo(b)
1.4.2 Propiedad
Suponga que Ses una región acotada y sea C una curva la cual divide a S
en dos subregiones S1 y S2.
Si f es continua enS , lo es tambien enS1 y S2 , y
Z Z
S
f(x; y)dA=
Z Z
S1
f(x; y)dA+
Z Z
S2
f(x; y)dA
Demostración.- Directamente de la de…nición eligiendo un rectangulo su…-cientemente grande que contenga a S y extendiendo f de S a R, de
S1 a R, S2 a R.
Ejemplo. Calcular R RS(x2+y)dA; donde S es la región limitada por la
recta y=xy la curva y=x3 Solución.- En este caso
S1= (x; y)2R2: 1 x 0; x y x3
S2= (x; y)2R2: 0 x 1; x3 y x
Z Z
S
(x2+y)dA=
Z Z
S1
(x2+y)dA+
Z Z
S2
(x2+y)dA
Z Z
S1
(x2+y)dA =
Z 0
1
Z x3
x
(x2+y)dydx=
Z 0
1
x2y+y 2 2
x3
x
dx
=
Z 0
1
[(x5+x 6 2 ) (x
3+x2 2 )]dx
= x
6 6 +
x7 14
x4 4
x3 6
0
1 = ( 1)
6 6
( 1)7 14 +
( 1)4 4 +
( 1)3 6
= 1
Z Z
S2
(x2+y)dA =
Z 1
0
Z x
x3
(x2+y)dydx=
Z 1
0
x2y+y 2 2
x
x3
dx
=
Z 1
0
[(x3+x 2 2 ) (x
5+x6 2 )]dx = (x
4 4 +
x3
6 ) (
x6
6 +
x7
14) 1
0 = (1
4 4 +
13 6 ) (
16 6 +
17 14)
= 5 28
Por lo tanto Z Z
S
(x2+y)dA= 1 84+
5 28 =
1 6
1.5
Áreas y Volumenes
1.5.1 Área
Como se dijo en la introducción y de acuerdo a la idea geométrica si R es una región plana entonces elárea de R se calcula con la integral doble.
A(R) =
Z Z
R
dA
Ejemplo. Calcule el área de la región interior a la circunferencia x2+y2= 2ax
arriba de la parábolaay=x2,a >0: Solución.
…gura
SeaR=n(x; y)2IR2= 0 x a;x2
a y
p
2ax x2o
A =
Z Z
R
dA=
Z a
0
Z p
2ax x2
x2
a
dydx
=
Z a
0
(p2ax x2 x 2
a)dx
= a 2
1.5.2 Volumen
Si R es una región plana, z=f(x; y); z=g(x; y)son dos super…cies tal que
f(x; y) g(x; y) 8(x; y)2 R , el volumen entre ambas super…cies al interior de la región se puede calcular usando la siguiente integral doble
V =
Z Z
R
[f(x; y) g(x; y)]dA
1.5.3 Ejemplo
1) Use la integral doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano3x+ 6y+ 4z 12 = 0:
Solución.
Para determinar la regiónR hacemos z= 0y encontramos su intersección con el plano dado xy . Asíz= 0 =)3x+ 6y= 12 =)y= 1
2x+ 2
La región en el plano xy está acotada por el eje x, el eje y y la recta
y= 1
2x+ 2;por lo tanto
…gura
R= (x; y)2IR2= 0 x 4; 0 y 1 2x+ 2
z=f(x; y) = 12 3x 6y
4 = 3
3 4x
3
2y y z=g(x; y) = 0
El volumen del tetraedro es:
V =
Z Z
R
f(x; y)dA
=
Z Z
R
3 3 4x
3
2y dA=
Z 4
0
Z 1
2x+2
0
3 3 4x
3
2y dydx= =
Z 4
0
3 3 4x y
3y2 4
1 2x+2
0
dx=
Z 4
0 3 16x
2 3
2x+ 3 dx
= x
3 16
3x2 4 + 3x
4
0 = 4
Otros ejemplos:
1)Usando integral iterada calculeR Rs x2+ 2y dA; donde S: región
comprendida entrey=x2 ey=px
2)Calcule el volumen del sólido limitado por los cilindros x2+z2= 16y
y2+z2= 16.
1.6
Cambio de variable
Un cambio de variables adecuado puede no sólo simpli…car el integrando sino también la región donde se evalúa la integral.
Sea f una función continua de…nida sobre la region R cerrada y acotada. Considerese la integral doble
Z Z
R
f(x; y)dxdy
De…nimosT, transformación invertible
x = x(u; v); (u; v)2S y = y(u; v); (u; v)2S
tal que @(x; y)
@(u; v) 6= 0, la que produce una correspondencia biunívoca entreR
yS dondeRes una región enxyySes la nueva región en planouv. resultado de la transformación T.
SiPes una partición de…nida enRla transformación induce a su vez una cor-respondiente partición enSde tal modo que siRijes un subrectángulo generado
por la particiónP enR;denotaremos porSij el correspondiente subrectángulo
enS
Si 4Aij =Área deRij y 4A0ij =Área deSij
Se tiene la siguiente razón entre las áreas.
4Aij
4A0
ij
t @(x; y)
@(u; v) =) 4Aij t
@(x; y)
@(u; v) 4A 0
ij
Entonces
f(x; y)4Axytf(x; y)
@(x; y)
@(u; v) 4Auv
De esta relación y la de…nición de integral doble se tiene el siguiente teorema de cambio de variable.
1.6.1 Teorema
SeaR una región en el planoxyacotado por una curva simple cerrada y suave y queS es la imagen deRbajo la transformaciónT invertible, de…nida:
x = x(u; v); (u; v)2S y = y(u; v); (u; v)2S
dondex(u; v); y(u; v)son continuamente diferenciables en un dominio que con-tiene aS en cual
Sif(x; y)de…ne una función continua sobreRse tiene:
Z Z
R
f(x; y)dxdy=
Z Z
S
f(x(u; v); y(u; v)) @(x; y)
@(u; v) dudv
1.6.2 Ejemplo :
Calcular Z Z
R
3xydA
Sea R la región limitada por las rectasx 2y= 0; x 2y= 4; x+y= 4; x+y= 1:
Solución: …gura
Sea u=x+y; v=x 2y
Resolviendo el sistema lineal obtenemos
u=x+y v=x 2y
%
=) x= 1
3(2u+v)
y= 13(u v)
Además el jacobiano de la transformación es
@(x; y)
@(u; v) =
@x @u
@x @v @y @u
@y @v
= 2 3
1 3 1 3
1 3
= 2 9
1 9 =
1 3
Aplicando el teorema del cambio de variable , obtenemos
Z Z
R
3xydA =
Z Z
S
3(1
3(2u+v) 1
3(u v)) 1 3 dA = 1
9
Z Z
S
(2u+v) (u v)dA
= 1 9
Z 4
1
Z 0
4
(2u+v) (u v)dudv
= 104 9
1.6.3 Ejemplo :
Calcular Z Z
R p
x2+y2dA
Solución:
Sea el cambio de variable a polares
x=rcos
y=rsin =)
@(x; y)
@(r; ) =
@x @r
@x @ @y @r
@y @
= cos rsin sin rcos =r
Z Z
R p
x2+y2dA =
Z Z
S
r jrjdrd
=
Z 2
0
Z 3
2
r2drd
=
Z 2
0 19
3 d = 38
3
2
Aplicaciones de la integral doble
2.1
Masa de una región plana de densidad variable.
Sea (x; y)función positiva y de…nida sobre un conjunto cerrado y acotado
S con área no nula, que indica la densidad en cada punto(x; y) deS:
Lamasa deS es la integral de la función densidad.
M(S)=
Z Z
S
(x; y)dA
En el caso que la densidad es constante =k; la masa es el producto del área por la densidad: M(S) =k A(S):
2.1.1 Ejemplo.
Encuentre la masa de un círculo de radioa si su densidad es veces la distancia al centro.
Solución.
Con el uso de coordenadas polares el cálculo de la integral resultante es más sencillo.
M(S) =
Z Z
S p
x2+y2dydx=
Z 2
0
Z a
0
2.2
Momentos y centroide de una región plana
Para un conjunto S acotado y de área positiva , y una función densidad de…nida enS;tenemos las siguientesde…niciones.
Primer momento con respecto al eje y:
My= Z Z
S
(x; y)xdA
Primer momento con respecto al eje x:
Mx= Z Z
S
(x; y)ydA
Segundo momento con respecto al eje y:
Iy= Z Z
S
(x; y)x2dA
Segundo momento con respecto al eje x:
Ix= Z Z
S
(x; y)y2dA
Segundo momento Polar con respecto al origen:
I0=
Z Z
S
(x; y)(x2+y2)dA
Centroide:
(x; y) = My
M ; M x
M
Cuando la función densidad es variable y está asociada con la distribución de la masa, los segundos momentos se llaman tambiénmomentos de inercia y el centroide se le llama también centro de masas.
En una forma más general, el primer y segundo momento de un conjunto S
se puede de…nir con respecto a una linea recta cualquiera L.
ML = Z Z
S
(x; y)D(x; y)dA
IL = Z Z
S
(x; y) [D(x; y)]2dA
2.2.1 Ejemplo.
Una lámina triangular tiene los vértices (0;0);(1;0) y (1;2);y tiene densidad
(x; y) =x2y:Halle su centro de masa.
Solución:
En este casoR= (x; y)2IR2= 0 x 1;0 x 2x
Debemos calcular M =M(S); My y Mx:
M =
Z Z
S
x2ydA=
Z 1
0
Z 2x
0
x2ydydx=
Z 1
0
x2y2 2
2x
0
dx
=) M =
Z 1
0
2x4dx= 2x 5 5 1 0 = 2 5 Calculemos ahora
My =
Z Z
S
x2yxdA=
Z 1
0
Z 2x
0
x3ydydx
=
Z 1
0
2x5dx= 2x 6 6
1
0 =) My =
1 3
Por último
Mx =
Z Z
S
x2yydA
Z 1
0
Z 2x
0
x2y2dydx
=
Z 1
0
x2y3
3 2x 0 dx= Z 1 0 8x5
3 dx =) Mx=
8x6 18
1
0 = 4
9
Así tenemos que
(x; y) = My
M ; M x
M = (
5 6;
10 9 )
.
3
Integrales triples
3.1
Ideas preliminares
funciones de una variable y de dos variables. El tratamiento hecho en el caso de la integral doble se extiende en forma natural a las integrales triples en sus mecanismos conceptuales y métodos de cálculo involucrados solo hay un cambio en el escenario, el espacio R3.
Atendiendo a la declaración anterior no haremos el detalle de la generación del concepto porque como ya lo dijimos se trata de una generalización. Para mantener el marco de referencia, pensemos en sumas superiores, sumas inferi-ores, integral superior e integral inferior para funciones de…nidas sobre una caja rectangular de tipo:
h(x; y; z) :fa1 x b1; a2 y b2; a3 z b3g
Con este trasfondo se plantea el teorema de Fubini que permitirá el cálculo de la integral triple.
3.2
Teorema de Fubini
Sif(x; y; z)esta de…nida sobre una regiónR=fa1 x b1; a2 y b2; a3 z b3g;
entonces:
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
b1
Z
a1
b2
Z
a2
b3
Z
a2
f(x; y; z)dzdydx
siempre que estas integrales existan.
Observación: Hay otras cinco formas de calcular laintegral triple depen-diendo del orden de integración en la integral iterada.
.
3.2.1 Ejemplo:
Calcule
ZZZ
R
x2+yz dv, dondeR=f0 x 2; 1 y 2; 1 z 3g
ZZZ
R
x2+yz dv = 2
Z
0 2
Z
1 3
Z
1
x2+yz dzdydx
= 2
Z
0 2
Z
1
x2z+yz
2 2
3
j
1
dydx
= 2
Z
0 2
Z
1
3x2+9
2y x
2+y
2 dydx 2
Z
0 2
Z
1
4x2+ 4y dydx
= 2
Z
0
4x2y+ 2y2
2
j
1
dx
= 2
Z
0
12x2+ 6 dx
= 4x3+ 6x
2
j
0 = 44
3.3
Teorema de la integral triple (Para dominios más
gen-erales)
Si f(x; y; z) esta de…nida sobre un conjunto acotado R formado por todos los puntos tales que a1 x b1; y1(x) y y2(x) y z1(x; y) z
z2(x; y)entonces:
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
b1
Z
a1
y2Z(x)
y1(x)
z2(Zx;y)
z1(x;y)
f(x; y; z)dzdydx
siempre que ambas integrales existan.
Importante.
?Si S es un conjunto acotado el cual tiene área en el planoXY yf(x; y; z)
es una función de…nida, acotada y no negativa sobreS;y siRes el conjunto de todos los(x; y; z)tal que (x; y) 2 S y 0 z f(x; y), entonces la región R
tiene volumen si y solo sif(x; y)es integrable sobreS y en tal caso
V(R) =
ZZ
S
f(x; y)dA
? SiRes una rigión deR3 que tiene volumen, entonces
V(R) =
ZZZ
R
f(x; y; z)dv con f(x; y; z) = 1
3.3.1 Ejemplo
SeaR la región acotada por los paraboloidesz=x2+y2y 2z= 12 x2 y2.
Usando integral triple calcule el volumen deR:
Solución.
La representación grá…ca de estas super…cies es
5 2 .5
0 - 2 .5 - 5 5 2 .5 0 - 2 .5 - 5
5 0
3 7 .5
2 5
1 2 .5
0
x y
z
x y
z
z=x2+y2
5 2 .5
0 -2 .5 -5
5 2 .5 0 -2 .5
-5 5
0
-5
-1 0
-1 5
x
y
z
x
y
z= 12 x 2 y2 2
Solución
La curva de intersección es el círculox2+y2= 4; z= 4
Sif(x; y; z) = 1se tiene el volumen
v(R) =
ZZZ
R
f(x; y; z)dv
= 2
Z
2 p
4 x2
Z
p 4 x2
12 x2 y2
2
Z
x2+y2
dzdydx
= 6 2
Z
0 p
4 x2
Z
0
4 x2+y2 dydx
= 4 2
Z
0
4 x2
3 2
dx
= 12
3.3.2 Ejemplo
Calcular el volumen de la región del espacio limitada por las super…cies cílin-dricasx2+z2= 1; y2+z2= 1:
Solución.
Utilizaremos la simetría del problema y proyectaremos la región al plano xz ( también se podría proyectar al plano yz ).
La proyección nos da un círculo de radio 1 La región se puede expresar:
1 x 1
p
1 z2 y p1 z2
p
1 x2 z p1 x2
Expresando el cálculo del volumen como una integral triple tenemos
V =
Z Z Z
dxdydz
usando integrales iteradas V = 1 Z 1 p
1 x2
Z
p 1 x2
p 1 z2
Z
p 1 z2
dydzdx= 1
Z
1 p
1 x2
Z
p 1 x2
2p1 z2dzdx
Si seguimos por este camino llegamos a una expresión de dí…cil de resolver ( intentelo), recurriremos entonces al cambio de orden de integración que es un recurso siempre disponible
V = 1
Z
1 p
1 x2
Z
p 1 x2
2p1 z2dzdx= 1
Z
1 p
1 z2
Z
p 1 z2
2p1 z2dxdz
= 1
Z
1
4(1 z2)dxdz= (4z 4z 3 3 ) 1 j 1 = 16 3
El volumen calculado es
V = 16
3 (unidades de volumen)
3.4
Cambio de variable para integrales triples.
SeaT :U R3!R3una transformación de clase C1 de…nida por:
x=x(u; v; w)
y=y(u; v; w)
z=z(u; v; w)
Recordando el jacobiano de la transformación se tiene:
J = @(x; y; z)
@(u; v; w)=
@x @u @x @v @x @w @y @u @y @v @y @w @z @u @z @v @z @w
Como en el caso anterior de dos variables, el jacobiano mide como la curva la transformación distorsiona su dominio.
Formula de cambio de variable para integrales triples
Sea R una región en el espacio xyz yS una región en el espacio uvw que corresponde a R bajo la transformación T de…nida porx =x(u; v; w); y =
y(u; v; w)yz=z(u; v; w)siempre queT sea de claseC1y uno a uno, @(x;y;z)
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f(x(u; v; w); y(u; v; w); z(u; v; w))jJjdudvdw
Donde
J = @(x; y; z)
@(u; v; w)
Los cambios más usados en integrales triples es a coordenadas cilindricas y coordenadas esféricas dependiendo de la naturaleza del problema.
3.4.1 Coordenadas cilíndricas
El cambio de variable es:
x=rcos
y=rsin
z=z
Supongamos que: P es un punto del espacio de coordenadas xyz P1 proyección deP en planoxy
r radio vector deOa P1 y
el ángulo entre eje x y OP!1, medido del lado
positivo del ejex
entonces r=px2+y2 y = arctany
x
Tenemos
J = @(x; y; z)
@(r; ; z) =
cos rsin 0 sin rcos 0
0 0 1
= rcos2 +rsin2 =r
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f(rcos ; rsin ; z) r drd dz
3.4.2 Ejemplo:
Use coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloidez=x2+y2y el plano z= 4:
Solución:
En el espacio xyz, la …gura es al interior del elipsoide y limitado por arriba por el plano z= 4 que es un plano paralelo al plan xy
Aprovechando la simetría del sólido calculamos la cuarta parte de él (por conveniencia). En esta situación la región transformada viene descrita por:
0 r 2;0
2; r
2< z <4
La descripción de la región en las nuevas variables es fundamental para el acertado planteamiento de la integral doble como integral iterada, en este caso esta circunstancia es evidente
V
4 =
2
Z
0 2
Z
0 4
Z
r2
rdzdrd
=
2
Z
0 2
Z
0
4r r3 drd
=
2
Z
0
4d = 2
)V = 8
3.4.3 Coordenadas Esféricas
El cambio de variable es:
x= cos sin
y= sin sin
z= cos
Supongamos que P es un punto del espacio de coordenadas xyz P1proyección de P en planoxy
magnitud del radio vectorOP!
el ángulo entre ejexyOP!1, medido del lado positivo del ejex
angulo formado porOP!y el eje Z;medido del lado positivo del ejez:
J = @(x; y; z)
@( ; ; )=
cos sin sin sin cos sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin
3.5
Formula del cambio de variable
ZZZ
R
f(x; y; z)dv=
ZZZ
S
f( cos sin ; sin sin ; cos ) 2sin drd dz
Lascoordenadas esféricas se usan preferentemente en el caso en que uno o
ambas super…cies que acotan la región de integración es una esfera centrada en el origen, esto se observa en los siguientes ejemplos.
3.5.1 Ejemplo 1
Hallar el volumen de la región sólida limitada inferiormente por el semicono
z2=x2+y2; z 0 y superiormente por la esferax2+y2+z2= 9: Solución:
Haciendo la intersección de
x2+y2+z2= 9 yz=x2+y2
resulta que la intersección de estas super…cies es una circunferencia en el plano
z= p3
2 de…nida por las ecuaciones
)x2+y2=9 2; z=
3
p
2
esto permite visualizar que(0;p3 2;
3 p
2) es un punto de la intersección por lo
que 0 4;la esfera tiene radio 3 por lo cual 0 3; y 0 2 :
Como se está calculando el volumen de una región que es simétrica respecto del ejez;la cuarta parte de la región queda descrita por
0 3;0
2;0 4
=) ) V 4 =
ZZZ
R
f(x; y; z)dV =
2
Z
0
4
Z
0 3
Z
0
2sin d d d
V
4 =
2
Z
0
4
Z
0
9 sin d d
V
4 =
2
Z
0 9
p
2+ 9 d = 9 2
p
2 1
p
2
!
Por lo tanto
V = 18
p
2 1
p
2
3.5.2 Ejemplo
Utilice coordinadas esféricas para hallar el volumen del sólido que está arriba del cono z=px2+y2 y debajo de la esferax2+y2+z2=z
Solución.
x2+y2+z2=z()x2+y2+ (z 1
2) 2=1
4
es una esfera que pasa por el origen y tiene centro en(0;0;12):
La ecuación de la esfera en coordinadas esféricas es = cos ;a su vez de la ecuación del cono se in…ere que 0 4:
Por lo que la región en coordenadas esfericas esta descrita por
;0
4;0 2 ;0 cos
El volumen de la región es
V =
ZZZ
R
f(x; y; z)dV = 2
Z
0
4
Z
0 cosZ
0
2sin d d d
= 2
Z
0
4
Z
0 sin
3 3
cos
j
0
d d
= 2 3
4
Z
0
sin cos3 d =2 3
cos4 4
4
j
0 =
8
Por lo tanto
V = 8
3.6
Masa, Momentos, y Centroide de una Región del
Es-pacio
Como en el caso de dos dimensiones, si (x; y; z) función positiva y con-tinua, de…nida sobre una region compacta (conjunto cerrado y acotado)W con volumen, que indica la densidad en cada punto(x; y; z) de W:
Lamasa deW es dada por la integral de la función densidad.
M(W)=
Z Z Z
W
El primer momento de W se de…ne respecto de algun plano, y elsegundo
momento (o momento de inercia) con respecto a algún plano, línea o punto.
Daremos aqui solo las formulas típicas planos coordenados, ejes y el origen.
Primer momento con respecto al planoyz:
Myz = Z Z Z
W
(x; y; z)xdV
Segundo momento con repecto al plano yz:
Iyz= Z Z Z
W
(x; y; z)x2dV
Segundomomento con repecto al eje x
Ix= Z Z Z
W
(x; y; z)(y2+z2)dV
Segundomomento polar con respecto del origen
I0=
Z Z Z
W
(x; y; z)(x2+y2+z2)dV
Centroide: (x; y; z) = MyzM ;MzxM ;MxyM :
3.6.1 Ejemplo
Determinar el centroide de la porción de la esfera x2+y2+z2 a2;en el primer octante, asumiendo densidad constante.
Solución.
El problema no pierde generalidad si suponemos que = 1, y claramente
x=y=z:
Necesitamos calcular solamente
Mxy= Z Z Z
W
(x; y; z)zdV
y usando coordenadas esfericas esta integral queda
Mxy=
2
Z
0 2
Z
0
a Z
0
( cos ) 2sen d d d = a 4 16
3.6.2 Ejemplo
Encontrar el momento de inerciaIL de un cilindro circular recto co aradio de
la base, haltura y densidad proporcional a la distancia al eje del cilindro, con respecto a una rectaL paralela al eje del cilindro y a una distanciab de él.
Solución.
La rectaLse de…ne por: x=b; y= 0
El cilindro es descrito por: 0 r a;0 z h
La densidad es =kr
Entonces
IL =
Z Z Z
W
(x; y; z)((x b)2+y2)dV
= 2
Z
0
a Z
0
h Z
0
kr((x b)2+y2)rdzdrd
= 2
Z
0
a Z
0
h Z
0
kr2(r2+b2)dzdrd + 0
= 2 ka3h a2
5 +
b2
