Integrales dobles

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES F

C

Integrales dobles

Objetivos

 Definir la integral doble.

 Calcular la integral doble mediante coordenadas cartesianas.

 Calcular la integral doble mediante cambio de

orden de integración.

Definición de integral doble

Sea 𝑓 una función continua de dos variables definida sobre el rectángulo 𝑅 dado por:

𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 = 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅² ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 Sean las particiones

𝑃₁ = 𝑥₀; 𝑥₁; ⋯ ; 𝑥_𝑚 de 𝑎; 𝑏 𝑃₂ = 𝑦₀; 𝑦₁; ⋯ ; 𝑦_𝑛 de 𝑐; 𝑑

Que definen una partición 𝑃 en el rectángulo 𝑅

𝒙_𝟎 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑 𝒙_𝟒 𝒙_𝟓 𝒙_𝟔 𝒚_𝟎

𝒚_𝟏 𝒚_𝟐 𝒚_𝟑 𝒚_𝟒 𝒚_𝟓 𝒚_𝟔 𝒚_𝟕

Definición de integral doble

Para cada subrectángulo 𝑅_𝑖𝑗 = 𝑥_𝑖−1 − 𝑥_𝑖 × 𝑦_𝑗−1; 𝑦_𝑗 definimos la norma de la partición 𝑃 como

𝑃 = max 𝑥_𝑖−1 ; 𝑥_𝑖 ; 𝑦_𝑗−1 ; 𝑦_𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 La integral doble de 𝑓 sobre el rectángulo 𝑅 es

𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨

𝑹

= 𝐥𝐢𝐦

𝑷 →𝟎 𝒇 𝒙 ; 𝒚_𝒊 ∆𝑨_𝒋

𝒏 𝒋=𝟏 𝒎

𝒊=𝟏

si el límite existe.

Donde ∆𝐴 = 𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1 𝑦_𝑗 − 𝑦_𝑗−1 y 𝑥 ; 𝑦_𝑖 es un punto _𝑗 cualquiera del subrectángulo 𝑅_𝑖𝑗 = 𝑥_𝑖−1 − 𝑥_𝑖 × 𝑦_𝑗−1; 𝑦_𝑗

A la suma anterior se le llama suma (doble) de Riemann

Suma de Riemann

𝒙 𝒚

𝒚 𝒙

𝒛

Partición de un rectángulo Suma doble de Riemann

𝒙 ; 𝒚_{𝒊 𝒋}

Integral doble como un volumen

La interpretación anterior permite interpretar la integral doble como un volumen:

Sea 𝑓 una función continua, entonces el volumen del sólido

𝑺 = 𝒙; 𝒚; 𝒛 ∈ ℝ^𝟑; 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹 ∧ 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒇 𝒙; 𝒚 ,

que se encuentra encima del rectángulo 𝑅 y debajo de la superficie 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) está dado por:

𝑽 𝑺 = 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝑨

𝑹

Propiedades de la integral doble

1.- Si 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ² → ℝ es una función continua en la región cerrada 𝐷 entonces 𝑓 es integrable en 𝐷.

2.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en 𝐷 ⊂ ℝ², entonces 𝑓 𝑥; 𝑦 ± 𝑔(𝑥; 𝑦) 𝑑𝐴 =

𝐷

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 ±

𝐷

𝑔(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

3.- Si 𝑓 es integrables en 𝐷 ⊂ ℝ², entonces 𝑐𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑐 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

donde 𝑐 es una constante 4.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en 𝐷 y 𝑓 𝑥; 𝑦 ≥ 𝑔 𝑥; 𝑦 , ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 entonces

𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴 ≥

𝐷

𝑔(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴

𝐷

Integrales dobles iteradas

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple

considerando las diferenciales 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦.

Sea 𝑓 función continua definida sobre el rectángulo 𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑 entonces

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙^𝒅

𝒄

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚^𝒅

𝒄

𝒅𝒙

𝒃 𝒂 𝒃

𝒂

Integrar respecto a 𝑥 Integrar respecto a 𝑦 (constante 𝑥)

Ejemplo

Integrales iteradas

1

Calcule

𝑓 𝑥; 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

si 𝑅 = −1; 2 × 0; 3 y 𝑓 𝑥; 𝑦 = 16 − 𝑥² − 𝑥𝑦²

Solución:

Integrales iteradas

Sea 𝑓(𝑥; 𝑦) continua sobre el rectángulo 𝑅 = 𝑎; 𝑏 × 𝑐; 𝑑

entonces

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒃 𝒂

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙

𝒃 𝒂

𝒅𝒚

𝒅 𝒄 𝒅

𝒄

Integrar respecto a 𝑦 Integrar respecto a 𝑥 (constante 𝑦)

Ejemplo

Integrales iteradas

1

Calcule cada una de las integrales:

𝒂) 𝒙^𝟐𝒚

𝟐

𝟏

𝒅𝒚𝒅𝒙

𝟑

𝟎

Solución

𝒃) 𝒙^𝟐𝒚

𝟑

−𝟐

𝒅𝒙𝒅𝒚

𝟐

−𝟏

Teorema de Fubini (primera forma)

Sea 𝑓 una función continua definida sobre el rectángulo 𝑹 = 𝒙; 𝒚 ∈ 𝑹^𝟐 \𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ; 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

entonces,

𝒇(𝒙; 𝒚)𝒅𝑨 =

𝐑

𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒅

𝒄

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒃

𝒂 𝒅

𝒄 𝒃

𝒂

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

Calcule las siguientes integrales dobles

a) 𝑥 − 3𝑦² 𝑑𝐴

𝑅

y 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ²; −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; 1 ≤ 𝑦 ≤ 3

b) 1 + 𝑥² 1 + 𝑦² 𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ²; −3 ≤ 𝑥 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2

c) 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 = 0;𝜋

6 × 0;𝜋 3

d) 𝑥𝑒^𝑥𝑦𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 = −1; 1 × −2; −1

Solución

Teorema de Fubini (segunda forma)

Sea 𝑓 una función continua definida en una región 𝐷 del plano

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ^𝟐 / 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 ∧ 𝒈_𝟏(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒈_𝟐(𝒙) donde 𝑔₁ y 𝑔₂ son continuas en 𝑎; 𝑏 entonces,

𝒇(𝒙; 𝒚)𝒅𝑨

𝑫

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

𝒈_𝟐(𝒙) 𝒈_𝟏(𝒙) 𝒃

𝒂

= 𝒇 𝒙; 𝒚 𝒅𝒚

𝒈_𝟐(𝒙) 𝒈_𝟏(𝒙)

𝒅𝒙

𝒃 𝒂

𝒙

Descripción analítica de 𝐷 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏;

𝑔₁ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔₂ (𝑥)

Orden de integración: 𝑑𝑦𝑑𝑥

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

Calcule la integral (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴_𝐷 donde 𝐷 es la región limitada por las parábolas 𝑦 = 2𝑥² y 𝑦 = 1 + 𝑥².

Solución

𝐷 = 𝑥; 𝑦 ; −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 2𝑥² ≤ 𝑦 ≤ 1 + 𝑥²

Entonces:

(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

1+𝑥²

2𝑥² 1

−1

(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝐴 =

𝐷

−3𝑥⁴ − 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 + 1 𝑑𝑥

1

−1

= 32 15

Teorema de Fubini (segunda forma)

Sea 𝑓 una función continua definida en una región 𝐷 del plano

𝑫 = 𝒙; 𝒚 ∈ ℝ^𝟐 / 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅 ∧ 𝒉_𝟏(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒉_𝟐(𝒚) donde 𝑕₁ y 𝑕₂ son continuas en 𝑐; 𝑑 entonces,

𝒇(𝐱; 𝐲)𝒅𝑨

𝐃

= 𝒇 𝐱; 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒉_𝟐(𝐲) 𝒉_𝟏(𝐲) 𝒅

𝒄

= 𝒇 𝐱; 𝒚 𝒅𝒙

𝒉_𝟐(𝐲) 𝒉_𝟏(𝐲)

𝒅𝒚

𝒅 𝐜

Descripción analítica de 𝐷 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑;

𝑕₁ 𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑕₂ (𝑥)

Orden de integración: 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝒚

Ejemplo

Teorema de Fubini

1

Calcule la integral

𝑥𝑦𝑑𝐴

𝐷

donde 𝐷 es la región limitada por la recta 𝑦 = 𝑥 − 1 y la parábola 𝑦² = 2𝑥 + 6

Solución

Ejercicio 1

Calcule las siguientes integrales a.- ^2𝑦−1

𝑥+1 𝑑𝐴

𝐷 donde 𝐷 es la región limitada por las rectas𝑥 = 0; 𝑦 = 0; y 2𝑥 − 𝑦 = 4

c.- 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝐴_𝐷 donde 𝐷 es la región acotada por las curvas 𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 𝑥² y 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥² + 𝑦²

Solución

Ejercicio 2

Sea la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 cos 𝑦, con 𝑦 > 0, definida sobre la región 𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝜖ℝ²/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; 𝑥² ≤ 𝑦 ≤ 4 .

a.- Grafique la región 𝐷.

b.- Calcule la integral 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴._𝐷

Solución

Cambio en el orden de integración

A veces es muy difícil o hasta imposible de evaluar una integral doble iterada. Sin embargo, invirtiendo o

cambiando el orden de integración de 𝑑𝑥𝑑𝑦 a 𝑑𝑦𝑑𝑥 o viceversa se puede obtener una integral doble iterada más simple.

Por ejemplo, intente calcular la integral iterada siguiente

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥 1

0

Ejemplo

Cambio en el orden de integración

1

Cambie el orden de integración para calcular la integral 𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥 1

0

Solución

Describimos la región como:

D: 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦

𝒚

Entonces tenemos:

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥

= 𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑦

0 1

0 1

0

= 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦

1

0

𝑠𝑒𝑛 𝑦² 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

𝑥

= 1

2(1 − 𝑐𝑜𝑠1)

1

0

Ejercicio 1

Aplique un cambio en el orden de integración y calcule las siguientes integrales

a.- 𝑡𝑎𝑛 𝑥₀¹ _𝑦^{1 2} 𝑑𝑥𝑑𝑦 b.- 2₀² _𝑦⁴₂ ^𝑥3𝑑𝑥𝑑𝑦 c.- 𝑒₀¹ _𝑥 ^{𝑥 𝑥/𝑦}𝑑𝑦𝑑𝑥

Solución

Ejercicio 2

Dada la integral doble

𝑠𝑒𝑛 𝑦

𝑦 𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 es la región triangular de vértices 0,0 , 0, 𝜋/2 y 1, 𝜋/2 .

a.- Represente gráficamente la región de integración.

b.- Modele la integral doble como una integral iterada en sus dos formas 𝑑𝑥𝑑𝑦 y 𝑑𝑦𝑑𝑥.

c.- Determine el valor de la integral doble.

Solución

BIBLIOGRAFÍA

• [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)

Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning

• [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning

• [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México:

Limusa Wiley.

• [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación.

• [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed.

México: Pearson