Combinaciones lineales
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(2) Sergio Yansen Núñez 2. Escriba, es caso de ser posible, el vector 2, 1, 4 como combinación lineal de 4, 1, −1 y −1, 3, 1.. Solución: 2, 1, 4 será combinación lineal de los vectores 4, 1, −1 y −1, 3, 1 si existen escalares α y β tales que. 2, 1, 4 = α 4, 1, −1 + β−1, 3, 1. 2, 1, 4 = 4α − β, α + 3β, −α + β 4α − β = 2 α + 3β = 1 −α + β = 4. A b =. 4. −1 2. 1. 3. 1. −1. 1. 4. donde A =. 4. −1. 1. 3. −1. 1. 2 , b=. 1 4. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 rangoA b = 3 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 1 1 0. rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0. rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema no tiene solución. el vector 2, 1, 4 no es combinación lineal de 4, 1, −1 y −1, 3, 1.. Combinaciones Lineales. es 2. es 3.
(3) Sergio Yansen Núñez 3.. Escriba, es caso de ser posible, el vector 4, 5, −7, 7 como combinación lineal de 2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1.. Solución: 4, 5, −7, 7 será combinación lineal de los vectores 2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1 si existen escalares α y β tales que 4, 5, −7, 7 = α 2, 1, −1, 3 + β1, −1, 2, 1 4, 5, −7, 7 = 2α + β, α − β, −α + 2β, 3α + β 2α + β = 4 α−β = 5 −α + 2β = −7 3α + β = 7. A b =. 2. 1. 4. 1. −1. 5. −1. 2. −7. 3. 1. 7. donde A =. 2. 1. 1. −1. −1. 2. 3. 1. 4 , b=. 5 −7 7. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0. 3. 0 1 −2 0 0. 0. 0 0. 0 1 0. rangoA b = 2 , pues el número de filas no nulas de. 3. 0 1 −2 0 0. 0. 0 0. 0. 1 0 rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 0. rangoA b = rangoA De la matriz se obtiene:. ⇒ α=3. el sistema tiene solución. ,. β = −2. 4, 5, −7, 7 = 3 2, 1, −1, 3 − 21, −1, 2, 1. Combinaciones Lineales. es 2. es 2.
(4) Sergio Yansen Núñez 4.. Escriba, es caso de ser posible, el vector 1, −1, 0, 5 como combinación lineal de 1, −1, 2, −3 y −1, 1, −3, 2.. Solución: 1, −1, 0, 5 es combinación lineal de los vectores 1, −1, 2, −3 y −1, 1, −3, 2 si existen escalares α y β tales que 1, −1, 0, 5 = α 1, −1, 2, −3 + β−1, 1, −3, 2 1, −1, 0, 5 = α − β, −α + β, 2α − 3β, −3α + 2β α−β = 1 −α + β = −1 2α − 3β = 0 −3α + 2β = 5. A b =. 1. −1. 1. −1. 1. −1. 2. −3. 0. −3. 2. 5. donde A =. 1. −1. −1. 1. 2. −3. −3. 2. 1 , b=. −1 0 5. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 rangoA b = 3 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0. rangoA = 2 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 0. rangoA b = 3 rangoA = 2. Combinaciones Lineales. es 2. es 3.
(5) Sergio Yansen Núñez rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema no tiene solución.. Luego, 4, 5, −7, 7 no es combinación lineal de los vectores 2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1.. Determine, en caso de existir, el valor de k ∈ IR tal que el vector −4, 1, k, −7 sea combinación lineal de 1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3.. 5.. Solución: −4, 1, k, −7 será combinación lineal de los vectores 1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3 si existen escalares α y β tales que −4, 1, k, −7 = α 1, 2, 1, 1 + β2, 1, −1, 3 −4, 1, k, −7 = α + 2β, 2α + β, α − β, α + 3β α + 2β = −4 2α + β = 1 α−β = k α + 3β = −7. A b =. 1. 2. −4. 2. 1. 1. 1 −1. k. 1. 3. donde A =. 1. 2. 2. 1. 1 −1. −7. 1. −4 , b=. 1 k −7. 3. Aplicando operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalonada: 1. 2. −4. 2. 1. 1. 1 −1. k −7. 1. 3. 1. 2. −4. 0. 1. −3. 0 −3 k + 4 0. 1. −3. f 21 −2 f 31 −1 f 41 −1. 2. −4. 0 −3. 9. 1. 0 −3 k + 4 0. 1. −3. 1 2. −4. f 32 3. 0 1. −3. f 42 −1. 0 0 k−5 0 0. 0. Combinaciones Lineales. f 2 − 13.
(6) Sergio Yansen Núñez Si k ≠ 5 rangoA b = 3 , pues el número de filas no nulas de. 1 2. −4. 0 1. −3. 0 0 k−5 0 0. es 3. 0. 1 2 rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0. es 2. 0 0 rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema no tiene solución.. Si k = 5 1 2 −4 rangoA b = 2 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 −3 0 0. 0. 0 0. 0. es 2. 1 2 rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0. es 2. 0 0 rangoA = rangoA b. ⇒. el sistema tiene solución. Por lo tanto, para k = 5 , el vector −4, 1, k, −7 es combinación lineal de los vectores 1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3.. Combinaciones Lineales.
(7) Sergio Yansen Núñez Determine, en caso de existir, el valor de k ∈ IR tal que el vector −4, 3k, k, −10. 6.. sea combinación lineal de 1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2. Solución: −4, 3k, k, −10 será combinación lineal de los vectores 1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2 si existen escalares α y β tales que. −4, 3k, k, −10 = α 1, −1, 2, 3 + β−1, 2, 3, −2. −4, 3k, k, −10 = α − β, −α + 2β, 2α + 3β, 3α − 2β α − β = −4 −α + 2β = 3k 2α + 3β = k 3α − 2β = −10. A b =. 1. −1. −4. −1. 2. 3k. 2. 3. k. 3. −2 −10. donde A =. 1. −1. −1. 2. 2. 3. 3. −2. −4 3k. , b=. k −10. Aplicando operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalonada: 1. −1. −4. −1. 2. 3k. 2. 3. k. 3. −2 −10. 1 2. −4. 0 1. 3k − 4. f 21 1 f 31 −2 f 41 −3. 1 2. −4. 0 1 3k − 4. f 32 −5. 0 5. k+8. f 42 −1. 0 1. 2. 0 0 −14k + 28 0 0. −3k + 6. Si − 14k + 28 ≠ 0. ∨. − 3k + 6 ≠ 0 , es decir para k ≠ 2. rangoA b = 4 , pues el número de filas no nulas de. 1 2. −4. 0 1. 3k − 4. 0 0 −14k + 28 0 0. Combinaciones Lineales. −3k + 6. es 4.
(8) Sergio Yansen Núñez 1 2 rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0. es 2. 0 0 rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema no tiene solución.. Si k = 2 1 2 −4 rangoA b = 2 , pues el número de filas no nulas de. 0 1. 2. 0 0. 0. 0 0. 0. es 2. 1 2 rangoA = 2. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0. es 2. 0 0 rangoA = rangoA b. ⇒. el sistema tiene solución. Por lo tanto, para k = 2 , el vector −4, 3k, k, −10 es combinación lineal de los vectores 1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2.. Combinaciones Lineales.
(9) Sergio Yansen Núñez 7.. ¿Es posible escribir el vector 3, 7, 0, 3 como combinación lineal de 1, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3?. Solución: 3, 7, 0, 3 será combinación lineal de los vectores 1, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3 si existen escalares α , β y γ tales que 3, 7, 0, 3 = α1, 1, 2, 1 + β2, 5, 3, 4 + γ1, 2, 4, 3 3, 7, 0, 3 = α + 2β + γ, α + 5β + 2γ, 2α + 3β + 4γ, α + 4β + 3γ α + 2β + γ = 3 α + 5β + 2γ = 7 2α + 3β + 4γ = 0 α + 4β + 3γ = 3 1 2 1 3 A b =. 1 5 2 7 2 3 4 0. 1 2 1 donde A =. 1 4 3 3. 3. 1 5 2. 7. , b=. 2 3 4. 0. 1 4 3. 3. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0. 1. 0 1 0. 2. 0 0 1 −2 0 0 0. 0. rangoA b = 3 , pues el número de filas no nulas de. 1 0 0. 1. 0 1 0. 2. 0 0 1 −2 0 0 0. es 3. 0. 1 0 0 rangoA = 3. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 1. es 3. 0 0 0 rangoA b = rangoA. ⇒. el sistema tiene solución.. Por lo tanto, el vector 3, 7, 0, 3 es combinación lineal de los vectores 1, 1, 2, 1,. Combinaciones Lineales.
(10) Sergio Yansen Núñez 2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3 De la matriz escalonada reducida, se obtiene: α = 1 , β = 2 , γ = −2 Luego, 3, 7, 0, 3 = 1, 1, 2, 1 + 22, 5, 3, 4 − 21, 2, 4, 3. 8.. ¿Es posible escribir el vector 4, 6, 2, 14 como combinación lineal de 1, 3, 1, 2,. 3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1? Solución: 4, 6, 2, 14 será combinación lineal de los vectores 1, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1 si existen escalares α , β y γ tales que 4, 6, 2, 14 = α1, 3, 1, 2 + β3, 4, 3, 5 + γ2, 3, 4, 1 4, 6, 2, 14 = α + 3β + 2γ, 3α + 4β + 3γ, α + 3β + 4γ, 2α + 5β + γ α + 3β + 2γ = 4 3α + 4β + 3γ = 6 α + 3β + 4γ = 2 2α + 5β + γ = 14. A b =. 1 3 2. 4. 3 4 3. 6. 1 3 4. 2. 2 5 1 14. 1 3 2 donde A =. 3 4 3 1 3 4. 4 , b=. 2 5 1. 6 2 14. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 rangoA b = 4 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1. Combinaciones Lineales. es 4.
(11) Sergio Yansen Núñez 1 0 0 rangoA = 3. 0 1 0. , pues el número de filas no nulas de. 0 0 1. es 3. 0 0 0 rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema no tiene solución.. Por lo tanto, el vector 4, 6, 2, 14 no es combinación lineal de los vectores 1, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1. 9.. Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4 un conjunto L.I de un espacio vectorial V. Considere los vectores w 1 = v 1 + 2v 2 + 3v 3 − v 4 ,. w 2 = v 1 + v 2 − v 3 + 2v 4 ,. w 3 = v 1 + 3v 2 − v 3 − v 4 ¿Es posible escribir el vector v = 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 como combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 ? Solución: v será combinación lineal de los vectores w 1 , w 2 y w 3 si existen escalares α , β y γ tales que v = α w 1 + βw 2 + γw 3 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 = α v 1 + 2v 2 + 3v 3 − v 4 + βv 1 + v 2 − v 3 + 2v 4 + γv 1 + 3v 2 − v 3 − v 4 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 = α + β + γv 1 + 2α + β + 3γv 2 + 3α − β − γv 3 + −α + 2β − γv 4 Por igualación de vectores: α+β+γ = 2 2α + β + 3γ = 1 3α − β − γ = 2 −α + 2β − γ = 4. A b =. 1. 1. 1. 2. 2. 1. 3. 1. 3. −1 −1 2. −1. 2. −1 4. donde A =. 1. 1. 1. 2. 1. 3. 3. −1 −1. −1. 2. Combinaciones Lineales. −1. 2 , b=. 1 2 4.
(12) Sergio Yansen Núñez Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0. 1. 0 1 0. 2. 0 0 1 −1 0 0 0. 0. rangoA b = 3 , pues el número de filas no nulas de. 1 0 0. 1. 0 1 0. 2. 0 0 1 −1 0 0 0. es 3. 0. 1 0 0 rangoA = 3. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 1. es 3. 0 0 0 rangoA b = rangoA. ⇒. el sistema tiene solución.. Por lo tanto, el vector v = 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 como combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 . De la matriz escalonada reducida, se obtiene: α = 1 , β = 2 , γ = −1 Luego, v = w 1 + 2w 2 − w 3. Combinaciones Lineales.
(13) Sergio Yansen Núñez 10.. Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4 un conjunto L.I de un espacio vectorial V. Considere los vectores w 1 = v 1 + 2v 2 + 2v 3 + v 4 ,. w 2 = v 1 + 3v 2 + v 3 + 3v 4 ,. w 3 = v 1 + 4v 2 + v 3 + 2v 4 ¿Es posible escribir el vector v = 4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4 como combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 ? Solución: v será combinación lineal de los vectores w 1 , w 2 y w 3 si existen escalares α , β y γ tales que v = α w 1 + βw 2 + γw 3 4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4 = α v 1 + 2v 2 + 2v 3 + v 4 + βv 1 + 3v 2 + v 3 + 3v 4 + γv 1 + 4v 2 + v 3 + 2v 4 4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4 = α + β + γv 1 + 2α + 3β + 4γv 2 + 2α + β + γv 3 + α + 3β + 2γv 4 Por igualación de vectores: α+β+γ = 4 2α + 3β + 4γ = 12 2α + β + γ = 5 α + 3β + 2γ = 8 1 1 1 A b =. 4. 2 3 4 12 2 1 1. 5. 1 3 2. 8. 1 1 1 donde A =. 2 3 4 2 1 1. 4 , b=. 1 3 2. 12 5 8. Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 rangoA b = 4 , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1. Combinaciones Lineales. es 4.
(14) Sergio Yansen Núñez 1 0 0 rangoA = 3. , pues el número de filas no nulas de. 0 1 0 0 0 1. es 3. 0 0 0 rangoA < rangoA b. ⇒. el sistema tiene solución.. Por lo tanto, el vector v no es combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 .. 11.. Sea 1, cos 2 x , sen 2 x , senx. ⊂ CIR.. Escriba cos 2 x como combinación lineal de los vectores de 1 , sen 2 x , senx . Solución: Se sabe que cos 2 x + sen 2 x = 1. . cos 2 x = 1 − sen 2 x.. Luego, cos 2 x = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ sen 2 x + 0 ⋅ senx. 12.. Sea 1, cosx , sen 2 x , cos2x. ⊂ CIR.. Escriba sen 2 x como combinación lineal de los vectores de 1, cosx , cos2x . Solución: Se sabe que sen 2 x =. 1 − cos2x 2. Luego, sen 2 x = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ cosx − 1 ⋅ cos2x 2 2. Combinaciones Lineales.
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