DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ECUACIONES DIFERENCIALES
MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 4
Tema: Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Contenido:
Trayectorias Ortogonales.
Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Objetivos:
Encuentra trayectorias ortogonales a familias de soluciones.
Reconoce modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Resuelve problemas de aplicación modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden.
Metodología:
Realizar una lectura de la guía con los temas dados. Estudiar los temas presentados en la guía.
Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean ampliados.
Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas presentados.
Realizar un trabajo más detallado al proceso de modelamiento con ecuaciones de primer orden. Graficación e un mismo plano de familias de soluciones de una ecuación diferencial.
Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.
Introducción: Muchos procesos complejos pueden descomponerse en varias etapas y todo sistema se puede modelar describiendo las interacciones entre las distintas etapas. Tales sistemas se llaman sistemas por comportamientos y se exhiben en forma gráfica como diagramas de bloque. En esta guía miraremos algunos modelos con ecuaciones diferenciales de primer orden, y analizaremos algunos procesos sencillos que pueden controlarse mediante tal modelo. De igual manera que se estudiaran las trayectorias ortogonales a familia de funciones.
Cuando todas las curvas de una familia de curvas cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia , se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. En otras palabras, una trayectoria ortogonal es una curva cualquiera que corta el ángulo recto a toda curva de otra familia.
Método para determinar trayectorias ortogonales: Para encontrar trayectorias ortogonales de una familia de curvas dadas, se halla en primer lugar la ecuación diferencial que describe a la familia. La ecuación diferencial de la segunda familia, ortogonal a la familia dada es .
Ejemplo: Halle las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas rectangulares
Solución
La derivada de es y despejamos a , se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada:
En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es.
Se resuelve esta última ecuación separable entonces se obtiene familia de curvas ortogonales
A continuación presentamos algunas curvas ortogonales al ejercicio anterior:
Modelos Con Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1. Ley de Enfriamiento de Newton: En general, la temperatura de un cuerpo en proceso de enfriamiento cambia a una razón proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente.
Temperatura ambiente.
Modelo Matemático: constante de proporcionalidad Solucionando la ecuación separable se tiene
Ejemplo: Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de , después de 3 minutos . ¿En cuánto tiempo se enfriara hasta la temperatura de ? Si la temperatura ambiente es de .
Y luego aplicando el modelo de la ley de enfriamiento
Cuando ahora determinamos el valor de
El pastel se enfriara a hasta una temperatura de pasado aproximadamente .
2. Se cometió un homicidio y la policía descubrió el cuerpo de la victima a las . En ese momento la temperatura del cadáver era de , después de consultar con la oficina de meteorología, se determina que la temperatura del cuerpo en el lugar del crimen era entre las y las . ¿A qué horas ocurrió el homicidio?
, cuando
Cuando
Hallando el valor de , con el valor inicial se tiene que
Luego, se determina el valor con el segundo valor dado
3. Modelo de Población: ¿Cómo predecir crecimiento ó decrecimiento de una población? El crecimiento o decaimiento de una población es proporcional a la cantidad presente.
La cantidad de la población en el instante . Es proporcional a la cantidad de población
El Modelo es: : constante de proporcionalidad.
Resolviendo la ecuación separable, integrando se obtiene
Ejemplo: La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población, en cualquier momento su población inicial es de y aumenta en 10 años ¿Cuál será la población en 30 años?
Cuando
Despejado se tiene , luego es decir cuando ,la cantidad de población pasado 30 años es de 6756 personas.
4. Función Logística: La función logística es modelada mediante la ecuación cuando y .
Ejemplo: Supóngase que el número máximo de socios en un club nuevo será de 800 personas, hace un año el número el número inicial de socios era de 50 pero ahora es de 200. Si el número de socios crece como una función logística. Cuántos socios habrá dentro de 3 años.
Solución:
Reemplazando en la ecuación de la función logística se tiene: Cuando
el valor de corresponde a
Ejemplo: Supóngase que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 300 galones de salmuera, otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por minuto, la concentración de la sal en este flujo de entrada es 2 libras por galón. Cuando la solución en el tanque está bien agitada. Se bomba a la misma rapidez que la solución entrante. Si al inicio se disolvieran 50 libras de sal en los 300 galones, cuánta sal se encuentra en el tanque después de un tiempo largo.
Entonces la rapidez neta está dada como:
Condición inicial, resolviendo la ecuación diferencial se obtiene
Se observa que cuando .
6. Vida Media del Plutonio: Un reactor autorregenarador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.
Solución: Sea la cantidad de plutonio presente en el tiempo . El modelo correspondiente es el de crecimiento y decaimiento
Si 0,043% de los átomos de se ha desintegrado, entonces aún queda 99,957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento , se utiliza 0,99957 es decir,
Por consiguiente, ahora la vida media es
años
Ejercicios
Resuelva los siguientes problemas
2. La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias que hay en ese instante, después de 2 horas se observa que hay 700 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 4000 ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
3. A un circuito RC en serie se le aplica una tensión de 200 voltios, la resistencia es de 1000 , la capacitancia de Faradios, halle la carga en el capacitor si determine la carga y la corriente para segundos y la carga cuando t tiende a infinito.
4. La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes presentes en dicho instante, su población inicial de 900 aumenta 25 % en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? ¿Y después de cuantos años habrá 270000 habitantes?
5. La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias que haya en dicho instante después de 3 horas se observa que hay 600 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 2.800 ¿Cual es el número inicial de bacterias?
6. La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano es de , ¿Cuál es la concentración del medicamente en el órgano en el instante , si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? ¿En qué momento llegará la concentración del medicamento en el órgano a .
7. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a y se deja respirar en un cuarto con temperatura de . Si se necesitan para que el vino llegue a los ¿En qué momento llegará la temperatura del vino a los .
8. El número de personas en una comunidad que están expuestas a un anuncio particular se rige mediante la ecuación logística. Al inicio, y se observa que . Determine si se predice que el número límite de personas en la comunidad que verán el anuncio es 50000.
9. Determine las trayectorias ortogonales a la familia de funciones
a. b. c. d.
BIBLIOGRAFÍA
2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.
3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.
4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.
5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa.
