UOII2G1T
Geometría - Tema 1
TRIÁNGULO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el gráfi co AB=BC, calcule x α α xA B C A) 60° B) 75° C) 76° D) 90° E) 74°2. Según el gráfi co AC=BC. Calcule x B θ x A 70° θ C A) 50 B) 60° C) 70° D) 30° E) 40°
3. Según el gráfi co calcule x+y
10° θ x θ 50° y A) 240° B) 200° C) 150° D) 300° E) 220°
4. Según el gráfi co MN // AB. Calcule x A 20° M x C N x 2x B A) 40° B) 50° C) 30° D) 45° E) 37°
5. En un triángulo ABC cuyo períme-tro es 20 cm, calcular el máximo valor entero de AC
A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 5
6. Del gráfi co los triángulos ABC y CDE son isósceles de bases AC y CE respectivamente. Calcule x θθ E C A 70° x D B α α A) 125° B) 120° C) 115° D) 127° E) 135°
7. Calcular el perímetro del triángulo ABC si AB = (2x–1)m, BC = (6–x)m y AC = (3x–1)m. Siendo “x” un número entero. A) 24 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 8. Calcular x x θ α α θ 5x A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B sobre AB, BC y AC se toman los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente de modo que m∠BCA = 5m∠PRA, QR = RC además PR = AP. Calcular m∠PRQ.
A) 75° B) 60° C) 135° D) 140° E) 155°
10. En un triángulo ABC los ángulos A y B se diferencian en 40°, se tra-za la bisectriz CD (“D” en AB), del vértice “A” se traza la perpendicu-lar AG a la bisectriz CD. Calcuperpendicu-lar m∠DAG. A) 10° B) 18° C) 15° D) 20° E) 25° 11. Hallar x si: AB = BC y BM = BN B 4° A M N x C A) 1° B) 2° C) 5° D) 4° E) 10°
12. En un triángulo isósceles ABC se ubican los puntos “M” y “N” so-bre AB y BC respectivamente de modo que AM = MN = BN si m∠C = 70°. Calcular m∠NAC.
A) 35° B) 45° C) 40° D) 20° E) 50°
13. Determinar el número de valores enteros que puede tomar AC en el gráfi co. B A C I 4 13 3 9 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
14. Los ángulos A y B de un triángulo ABC miden 60° y 100° respecti-vamente en los lados BC y AC se ubican los puntos “M” y “N” res-pectivamente tal que AB = BM = AN. Calcular m∠MNC.
TRIÁNGULO
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 1
A) 20° B) 30° C) 40° D) 45° E) 50°
15. En un triángulo ABC sobre los la-dos AC y BC se ubican los pun-tos “D” y “E” de modo que AB = BD = DE = EC, además el ángulo exterior en B mide 108°. Calcular m∠A. A) 27° B) 54° C) 72° D) 36° E) 81° 16. Hallar α si AB = AE = CE. B A C E 8α 2α α A) 5° B) 8° C) 10° D) 12° E) 15° 17. En un ∆ isósceles (AB = BC = 8m) en el lado AC se toma un punto “D” de modo que AD = 2(CD). Calcular BD si toma el menor valor entero posible.
A) 1 m B) 5 m C) 7 m D) 2 m E) 3 m
18. En un triángulo rectángulo ABC se prolonga CA hasta “D” y en AC se ubica el punto “F” de modo que BD = BF si m∠ABD + m∠CBF = 22°. Calcular m∠C.
A) 11° B) 22° C) 44° D) 34° E) 30°
19. En un triángulo ABC se prolonga la bisectriz AE hasta “F” de modo que EC = CF si m∠B = 70°. Cal-cular m∠ACF. A) 70° B) 20° C) 35° D) 50° E) 40° 20. Hallar EF si AB = 8m y BC = 15m. αα ββ A E H F C B A) 5 m B) 4 m C) 3 m D) 7 m E) 6 m
Respuestas
1. D 2. E 3. A 4. A 5. D 6. A 7. B 8. E 9. D 10. D 11. B 12. D 13. A 14. E 15. E 16. C 17. E 18. D 19. A 20. EUOII2G3T
Geometría - Tema 2
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular θ; AB // DE; AC=DE
B D 70° A E C θ A) 40 B) 70 C) 50 D) 80 E) 35
2. iABC y iDEC son equilátero. Calcular θ A C E θ D B A) 35 B) 45 C) 60 D) 20 E) 30 3. En la fi gura: Calcular “α” A 2α α C B F E A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25 4. Calcular; la m∠PBQ. Si AP = PQ = QC B α x β A β P Q α C A) 45º B) 30º C) 60º D) 37º E) 53º
5. Si, AB = BD y BC = BE, calcular α
A D C α α 3α B E A) 20º B) 30º C) 15º D) 45º E) 37º 6. Calcular DE, si AC = 5 53° 53° A C E B D A) 6 B) 4 C) 5 D) 12 E) 13 7. Calcular θ 10° 40° 80° 80° θ A) 30 B) 40 C) 75 D) 50 E) 80
8. Calcular θ, si: AB = ED; AE = CD C B A 70° E 70°D θ A) 70 B) 55 C) 60 D) 80 E) 45 9. Calcular AD, si AC = 3 A α B θ C 2θ+α D α A) 8 B) 10 C) 6 D) 4 E) 5 10. Calcular “x” θ α+θ α x A) α B) 2α C) 3α D) α/2 E) α+θ
11. Se tiene un triángulo rectángulo ABC Recto en “B”, en el cual se traza la ceviana BE (AB = BE), Luego CD ⊥ BE y AH ⊥ BE. Calcu-lar AB si: AH = 6 y ED=8 A) 3 B) 4 C) 7 D) 10 E) 14
12. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B; en AC se ubica el punto P tal que AB = PC, las me-diatrices de AP y BC concurren en E. Calcular la m∠ECA, si: m∠ACB = 25
A) 25 B) 30 C) 32,5 D) 35 E) 40
13. En un triángulo ABC (AB = BC) se traza la bisectriz interior AD (“D”) y en la prolongación de AC se ubi-ca punto “M”, tal que m∠ADM = 90°, AC = a y DC = b calcular CM A) 2a + b B) 2b – a C) b – 3a D) b – 2a E) 2a – b
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 2
14. En un triángulo rectángulo ABC Recto en “B” se traza la bisectriz interior BD y por el punto medio “M” de CD se traza una paralela a AB que corta en “F” a la prolonga-ción de BD. Hallar BC si FM = 1 m A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 5 m
15. En un triángulo ABC se traza la bisectriz AM y la ceviana BN, tal que MN = 4 m y además m∠AMN = 22°, m∠AMB = 37° y m∠BAC = 16° calcular MB. A) 2m B) 2 2m C) 3m D) 3 2m E) 4m.
16. En un triángulo ABC se trazan las cevianas AN y BM tal que la me-diatriz de AN contiene al punto M.
Si AB=MC, NC=BM y m∠MBN=α, calcular la m∠BNA en función de α A) 2α B) α/2 C) 90–α/2 D) α E) 90–α
17. Se tiene un triángulo ABC donde: m∠A = 2m∠C. Por B se traza BF perpendicular a BC y BH perpen-dicular a AC (F y H en AC). Si AC=19 y FH=1. Calcular AB A) 5 B) 4 C) 7 D) 10 E) 3
18. En el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en “B” (AB = BC) se traza la altura BH y la ceviana exterior AE (“E” en la Prolongación de CB), se traza AP perpendicular a la bi-sectriz del ∠AEB. Hallar PH si AE = 7 , AB = 6 y EB = 9 .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
19. En un triángulo ABC Recto en “B”. La altura BH y la bisectriz AS se intersectan en el punto “M”, si MH = 3 .Calcular la longitud del seg-mento perpendicular trazado del punto “S” a Recta Paralela a AC que pasa por B.
A) 1cm B) 2cm C) 3cm D) 5cm E) 6cm
20. En un triángulo ABC la bisectriz exterior en B y la mediatriz de AC se intersecan en P se traza PE ⊥ BC. Si BE = 2 y EC = 8. Calcular AB. A) 10 B) 6 C) 5 D) 8,5 E) 4
Respuestas
1. A 2. E 3. D 4. C 5. D 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. D 12. C 13. B 14. B 15. B 16. C 17. C 18. D 19. C 20. B1. En el rectángulo ABCD (AB > BC) se toma un punto P de AB y se tra-zan las perpendiculares PM y PN a las diagonales (“N” en AC, “M” en BD) luego se traza BH perpendicu-lar a AC. Si PM = a, PN = b. Halperpendicu-lar la mediana del trapecio HBPN. A) a + b2 B) a – b2 C) a + 3b 2 D) a + 2b 2 E) 2a + b2
2. Las diagonales de un trapecio ABCD cuyo perímetro es “k” me-tros, son perpendiculares y se cortan en el punto “O”. Hallar el perímetro del triángulo MON, si MN es mediana del trapecio. A) k/2 B) k/3 C) 3k/4 D) 3k/5 E) 2k/3
3. En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan las bisectrices interiores de los ángulos C y D que se cortan en el punto S, si la distancia de S al lado CD es “a”. Hallar la altura del trapecio.
A) 2a B) a C) 3/2a
D) 4/3a E) 5/4a
4. Hallar el menor ángulo, que for-man las diagonales de un trapecio isósceles, cuya base mayor es el doble de la base menor o igual a la suma de los lados no paralelos. A) 50º B) 45º C) 60º D) 30º E) 40º
5. En un trapecio ABCD (BC // AD) en que relación están el ángulo formado por las bisectrices inte-riores de los ángulos B y C; y el ángulo formado por las bisectrices exteriores de los mismos ángulos. Si: AD = 2(AB) = 2(BC) = 2(CD)
A) 1 : 2 B) 2 : 1 C) 1 : 3 D) 3 : 1 E) 1 : 1
6. En un trapecio ABCD los lados AB, BC y CD son de la misma longitud. Si el lado AD, paralelo de BC es el doble de este lado (BC). ¿Cuánto mide el ángulo interno en B?. A) 135º B) 120º C) 110º D) 108º E) 105º
7. Si el segmento que une los pun-tos medios de las diagonales de un trapecio mide 6 metros y el segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intercepción de las diagonales mide 9 metros ¿Cuánto mide la base mayor?. A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
8. En un trapecio ABCD, AB // CD (AB < CD). Si P y Q son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente. Hallar el seg-mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma de las bases es de 24 metros.
A) 12 B) 6 C) 8
D) 3 E) 10
9. De lo contrario se puede afi rmar. – Un paralelogramo es un romboide. – El losange es un paralelogramo. – El cuadrilongo es un losange
con un ángulo recto. A) FVF B) VFV C) VVF D) VVV E) FVV
10. Dado un triángulo escaleno ABC, sobre los lados AB y BC se cons-truyen los cuadrados de centro O1 y O2 . Diga Ud. que tipo de trián-gulo es O1EO2 , siendo “E” punto medio de AC.
A) Equilátero. B) Isósceles.
C) Triángulo rectángulo. D) Triángulo rectángulo isósceles. E) Escaleno.
11. En un triángulo ABC, se tiene que: AC – AB = 6 m, luego del vértice “B” se traza BF perpendicular a la bisectriz interior de “A”, de “F” se traza una paralela de AC se inter-cepta a BC en “N”. Calcular la me-diana del trapecio QFNC, siendo “Q” el punto de intercepción de la prolongación de BF con AC. A) 1.5 m B) 2.5 m C) 3.5 m D) 4.5 m E) 5.5 m
12. Se tiene un cuadrilátero ABCD. Hallar la medida del ángulo DBC. Si AB = BC ,m∠BCD = 90º, m∠CAD = 30º, m∠CDA = 75º. A) 20º B) 30º C) 45º D) 50º E) 60º 13. En un paralelogramo ABCD, la mediana AP del triángulo ABC cor-ta a BD en R. Si BR = 2. Hallar BD.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
14. El ángulo A de un paralelogramo ABCD mide 30º se trazan las bisec-trices interiores de los ángulos B y C que se cortan en el punto “O”. Si el triángulo BOC, la mediana OM mide 2 m. ¿Cuál es la medida AD?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 5
15. En un paralelogramo ABCD la diago-nal BD mide 6m. Hallar el segmento RO si AP es mediana del triángulo ABC que corta a BD en R, siendo “O” punto de intercepción de las diagonales.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1.5 UOII2G3T
CUADRILÁTERO
Geometría - Tema 3
8. En un trapecio ABCD, AB // CD (AB < CD). Si P y Q son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente. Hallar el seg-8. En un trapecio ABCD, AB // CD(AB < CD). Si P y Q son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente. Hallar el seg-8. En un trapecio ABCD, AB // CD
respectivamente. Hallar el
13. En un paralelogramo ABCD, la 8. En un trapecio ABCD, AB // CD
(AB < CD). Si P y Q son puntos medios de las diagonales AC y BD respectivamente. Hallar el seg-3. En un trapecio ABCD (BC // AD),
se trazan las bisectrices interiores de los ángulos C y D que se cortan en el punto S, si la distancia de S
8. En un trapecio ABCD, AB // CD
mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma mento que une los puntos medios de AQ y PB sabiendo que la suma
¿Cuánto mide la base mayor?.
A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 D) 18 E) 24 A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 A) 10 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
EJERCICIOS PROPUESTOS
16. En un cuadrilátero ABCD se sabe que: BC = CD, m∠(ADB) = 30º m∠(ABC) = 90º; m∠(CBD) = 15º Hallar la m∠ACB. A) 5º B) 20º C)30º D) 22.5º E) 45º
17. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz del segmento BA intercepta en un punto “E” al lado BC y en el punto “D” a la bisectriz exterior del án-gulo B, si m∠BDE = 25º. Hallar la medida del ángulo CED.
A) 100º B) 110º C) 120º D) 130º E) 140º
18. En un cuadrilátero ABCD:
AB = BC = CD, m∠ACB = 36º, m∠ACD = 96º. Hallar m∠ADC. A) 27º B) 57º C) 49º D) 54º E) 60º
19. En un trapecio escaleno ABCD ( BC // AD ) se traza DH perpendi-cular a AB; SI:
m∠ADH = m∠CDH = m∠BHC. Calcular AH si BC = 6 y HC = 8.
A) 14 B) 12 C) 10
D) 9 E) 7
20. Las mediatrices de los lados AD y CD se interceptan en un punto “M” que pertenece al lado BC de un romboide ABCD. Calcular el menor ángulo de dicho cuadrilátero si AM es bisectriz del ángulo BAD. A) 36º B) 54º C) 60º D) 72º E) 45°
CUADRILÁTERO
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 3
RESPUESTAS
1. D 2. D 3. A 4. C 5. A 6. B 7. D 8. B 9. B 10. D 11. D 12. C 13. C 14. B 15. A 16. E 17. E 18. C 19. C 20. D1 De acuerdo al gráfi co PQ es diá-metro de la semicircunferencia. Si PQ = 2AB = 2DE, calcule x.
A P Q E D C x B A) 90º B) 105º C) 120º D) 135º E) 150º
2. Un triángulo ABC esta inscrito en una circunferencia de diámetro MN, que es perpendicular a BC y corta a AC es D. Si DC = AB y mAN = 80º, calcule m∠ABC. (M∈BC). A) 140º B) 150º C) 165º D) 170º E) 105º
3. En la fi gura, indique el valor de x (B, D: puntos de tangencia) A D x θ θ C B A) 40º B) 45º C) 50º D) 60º E) 65º 4. En la fi gura calcule x, si mDE = 140°. (A, B, C: puntos de tangencia)
x C D E B A A) 20° B) 25° C) 35° D) 40° E) 50°
5. En la fi gura mostrada calcule x (A, B, C: puntos de tangencia) B A E D C 2x θ θ x A) 18º B) 24º C) 30º D) 32º E) 36º 6. En la fi gura calcule x, si mAM = mMB (N: punto de tangencia) C B A 3x N M A) 30º B) 36º C) 45º D) 54º E) 60º 7. Calcular “x”. Si mPB + mQB = 130º P x Q B A C A) 100º B) 120º C) 130º D)140º E) 150º 8. En la fi gura mostrada BE // AC y FD = FE. Calcule x. B F E D C A x 24° A) 28º B) 32º C) 40º D) 44º E) 48º
9. Dado un triángulo ABC inscrito en una circunferencia en AC se ubica el punto D y en el arco AC, el punto E. Si, m∠ABD = m∠CBE, AD = CE y BD // CE, calcule m∠BDC.
A) 40º B) 50º
C) 60º D) 70º
E) 80º
10. En la fi gura calcule la razón entre AB y BC. (C, D: puntos de tangencia) D A B C A) 2 1– B) 22 C) 2 1 2+ D) 2 1 4+ E) 1 2
11. Dado un cuadrado ABCD, se traza una circunferencia de centro O, que es tangente a CD y a la pro-longación de AD. Si la tangente trazada desde C a la circunferen-cia mencionada mide 6cm, enton-ces la distancia entre los puntos medios de AO y CD es: A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 2 2cm E) 3 2cm UOII2G4
CIRCUNFERENCIA
Geometría - Tema 4
3x N 3. En la fi gura, indique el valor de xA) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º A) 30º B) 36º (N: punto de tangencia) M M M M M
EJERCICIOS PROPUESTOS
CIRCUNFERENCIA
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 4
12. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la perpen-dicular PH al diámetro AB y luego se traza la tangente PQ. Calcule m∠PHQ, si AB = 6u y PQ = 4u.
A) 23° B) 37°
C) 53° D) 67°
E) 74°
13. En una semicircunferencia de diá-metro AD se ubican los puntos B y C, tal que la bisectriz del ángulo ABC es perpendicular a AD en H. Calcule CD, si AH = 9u y HD = 4u. A) 2 u B) 3 u C) 4 u D) 5 u E) 6 u 14. En la fi gura mostrada AB = 13 cm, BC = 15 cm y AC = 14 cm. Calcule PQ (P, Q: puntos de tan-gencia) B A C P Q A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm
15. En un paralelogramo ABCD se tra-za la altura BH (H en ). Si el inra-dio del triángulo ABH es igual a r y el cuadriatero HBCD es circunscrip-tible a una circunferencia de radio R, calcule HD.
A) R – 2r B) 2R – 3r C) R + r D) 2R – r E) 2(R – r)
16. Desde un punto A, exterior a una circunferencia se trazan las tan-gentes AB y AC. La cuerda BD, es paralela a AC. Se traza BP ⊥ AC, tal que BP = BD. La razón entre CP y AP es: A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/5 E) 3/5 17. Si: PQ = 2QH y mQB = 50º. Calcule: mAP H A P Q B A) 25º B) 30º C) 40º D) 35º E) 50º 18. En la fi gura mostrada AD = CE y el arco AB mide 100°. Calcule mAE
A D C E B θ θ A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E) 160°
19. Desde un punto B exterior a una circunferencia se trazan las tan-gentes BA y BC y la secante BPQ. Si: mAP = mCQ = x. Calcule x A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) 36° 20. En un cuadrilátero ABCD:
m∠BAC = m∠CAD, m∠ADC = 90° y m∠BCA = 40°. Se traza la per-pendicular BH a AC. Calcule m∠HDC.
A) 20° B) 40° C) 50° D) 70° E) 80°
RESPUESTAS
1. C 2. E 3. D 4. C 5. E 6. B 7. C 8. D 9. C 10. A 11. E 12. B 13. D 14. D 15. D 16. B 17. B 18. E 19. C 20. C1. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AD y CQ, que se interceptan en P, calcula la medida del ángulo QPD, si la me-dida del ángulo ABC = 60°. A) 90° B) 100° C) 120° D) 150° E) 160°
2. Del grafi co, calcula “θ”.
A C B Q 2θ θ2θ θ A) 10° B) 18° C) 13° D) 15° E) 14° 3. Calcula “x” A D E x40° C B 30° 40° A) 40° B) 30° C) 20° D) 10° E) 50°
4. En el triángulo ABC, O es el cir-cuncentro. Halla “x”. A O C x° 30° 20° B A) 30° B) 45° C) 80° D) 75° E) 90°
5. En la fi gura calcula “x” si “I” es incentro del triángulo ABC.
A C x° 50° 70° B I E D A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
6. Calcula el máximo valor entero que puede tomar “x”, si “G” es baricentro de la región triángular ABC; AG = 8 y GC = 10 A C x B M N G A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 11
7. Del gráfi co calcula “x” si “E” es ex-centro del triángulo ABC.
A x° B 20° 30° C E A) 70 B) 40 C) 90 D) 100 E) 120
8. En la fi gura calcula “x” si “I” es incentro del triángulo ABC.
A l B x° C 7x° A) 10 B) 20 C) 15 D) 20 E) 26 9. Del gráfi co calcula “x” si “G” es baricentro de la región triángular ABC. A C x B 3 G 4 A) 4 B) 5 C) 3 D) 1,5 E) 2
10. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica su circuncentro “O”, tal que la m∠OCA = 10°, m∠OCB = 20° y OC = 12, Halla la distancia del punto “O” hacia AB.
A) 6 B) 8 C) 9
D) 6 3 E) 4 3
11. En un triángulo ABC de excentros E1, E2 y E3 relativos a los lados AB, BC y AC respectivamente, si E1E3 = E1E2, mACB = 74º y AB
= 6μ; calcular BC.
A) 2μ B) 3μ C) 4μ D) 5μ E) 6μ
12. Del gráfi co: M, Q y N son puntos de tangencia. ¿Qué punto notable es O del triangulo PQF? M Q L N F P O A) Ortocentro B) Baricentro C) Ex–centro D) Circuncentro E) Incentro UOII2G5
PUNTOS NOTABLES
Geometría - Tema 5
A) 9 B) 8 C) 7 7. Del gráfi co calcula “x” si “E” esex-A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 11
7. Del gráfi co calcula “x” si “E” es 7. Del gráfi co calcula “x” si “E” es
ex-A) 9 B) 8 C) 7 D) 10 E) 11
7. Del gráfi co calcula “x” si “E” es ex-centro del triángulo ABC.
centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC. centro del triángulo ABC.
G
PROBLEMAS PROPUESTOS
PUNTOS NOTABLES
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 5
13. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en C; se traza la semicir-cunferencia de diámetro MC (M: punto medio de AC) y la tangente AG a dicha semicircunferencia (G: punto de tangencia y baricentro de la región triangular ABC). Si BC
= 8μ, calcular BM.
A) 2 3 µ B) 3 2 µ C) 4 6 µ D) 6 6 µ E) 2 6 µ
14. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior CM en el triángulo MBC se ubica el incentro (I) y ex-centro (E) relativo a MC. Si mBIC – mIAC = 90º y mBCA = 50º. Calcular mMEC.
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º
15. Dado un triángulo isósceles ABC (AC = AB) se ubica el punto inte-rior P tal que mPAB = 3mPAC y mPBA = 2mPCA. Calcular la mCBP.
A) 25º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º
16. En el lado AC de un triángulo acu-tángulo ABC se ubica el punto P y se traza la semicircunferencia de diámetro PC para la cual se tra-za la tangente AO, O es punto de tangencia y circuncentro del trián-gulo ABC. Calcular la mABC. A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º
17. En un triángulo ABC, mABC = 60º, calcular el menor ángulo que deter-mina la recta de Euler con BC. A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
18. Se tiene un rombo ABCD, en la re-gión exterior relativa a BC se traza el cuadrado BCEF de centro O, si M y N son puntos medios de BD y DE respectivamente, que punto notable es C para la región trian-gular MON.
A) Baricentro B) Ortocentro C) Incentro D) Ex–centro E) Circuncentro
19. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12cm. Calcular EJ.
D C F J E A B A) 7 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 8 cm E) 2 cm 20. Calcular la mNB si mTMB = 45º, O es centro y T punto de tangencia.
A O T N P M B A) 60º B) 90º C) 30º D) 40º E) 50º
RESPUESTAS
1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B 10. D 11. D 12. C 13. C 14. E 15. B 16. C 17. E 18. E 19. C 20. B1. En un triángulo ABC la altura BH mide 15. Calcular la distancia del baricentro del triángulo ABC al lado AC.
A) 4 B) 5 C) 7,5
D) 8 E) 10
2. Las bases de un trapecio miden 6 y 12. Si la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersec-ción de las diagonales a la base mayor
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7,2
3. En un triángulo PQR se trazan las alturas si PA y QB si QA = 8; AR = 4 y BR = 6. Calcular PB
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 3 E) 2
4. Las bases de un trapecio rectán-gulo ABCD son: BC = 9; AD = 25. Calcular AB si las diagonales son perpendiculares.
A) 12,5 B) 15 C) 16,5 D) 18 E) 20
5. La bisectriz interior del ángulo B de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia circunscrita en E y al lado AC en D. Calcular AE. Si DE = 4; BE = 9.
A) 4,5 B) 5 C) 6
D) 7,5 E) 8
6. En un triángulo ABC: AB = 8; AC = 10. Si la distancia del incentro al vér-tice A mide 5. Calcular la medida de la distancia del incentro al ex-centro relativo al lado BC
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
potenusa. Calcular la medida del lado del cuadrado
A) 4 B) 4,8 C) 4,5 D) 6 E) 4,2 14. Según el gráfi co HP = 2, PG = 5, AD = 7, calcular BC. A H B C G P D A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5
15. En un rectángulo ABCD, se pro-longan BC hasta P; y BA hasta Q; PC = AB; AQ = BC; AP y CQ cor-tan a CD y AD en M y N respecti-vamente. calcular mMND A) 60 B) 53 C) 37 D) 75 E) 45
16. En un triángulo ABC; se traza la altura BH y las cevianas AN y CM que concurren en un punto de la altura, Calcular mBMN si: mBAC = 60; mBHN = 14; mMNH = 104.
A) 45 B) 60 C) 75 D) 84 E) 88
17. Se tiene un rectángulo ABCD y AD=CD, se construye una semicir-cunferencia exteriormente de diá-metro BC, desde un punto del arco se une con A y D cortando a BC en M y N; BM = 4, NC = 9. Calcular MN
A) 6 B) 3 C) 3 2
D) 6 2 E) 36 7. En un romboide ABCD en la
pro-longación de DC se ubica el punto N y se traza AN que intersecta a BC en M y a BD en P. Si PM=2; MN=16; calcular AP
A) 5,5 B) 6 C) 8
D) 9 E) 12
8. En un cuadrilátero ABCD, el ángu-lo exterior de D mide la mitad del ángulo interior de B y la diagonal BD biseca al ABC. Calcular BD; si AB = 16 y BC = 9
A) 11 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
9. Dado el romboide ABCD : AB = 9 y AD = 12 sobre AC se ubica el punto P cuya distancia a AB es 6. Calcular la distancia de P a AD.
A) 4,5 B) 5 C) 3
D) 8 E) 7,5
10. En un triángulo ABC; mA = 2mC. AB = 4; AC = 5. Calcular BC
A) 6 B) 7 C) 5,5
D) 6,5 E) 8
11. En un triángulo ABC; AC = 27 por el baricentro G se traza EF parale-lo a AC(E en AB y F en BC). Calcular EF.
A) 13,5 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
12. En un triángulo ABC; AB = 3; BC = 6 se traza la bisectriz interior BD; (D en AC) si: mABC=120. Calcular BD.
A) 2,2 B) 2,4 C) 2,7 D) 2 E) 1,8
13. En un triángulo ABC; (recto en B); AB = 12; BC = 8. Se inscribe un cuadrado con uno de sus vértices en B y el vértice opuesto en la
UOII2G6
PROPORCIONALIDAD Y
SEMEJANZA
Geometría - Tema 6
A = 2mC. AB = 4; AC = 5. Calcular BC A) 6 B) 7 C) 5,5 10. En un triángulo ABC; m AB = 4; AC = 5. Calcular BC A) 6 B) 7 C) 5,5 10. En un triángulo ABC; mA = 2mAB = 4; AC = 5. Calcular BC A) 6 B) 7 C) 5,5 4. Las bases de un trapecio
rectán-gulo ABCD son: BC = 9; AD = 25. Calcular AB si las diagonales son
10. En un triángulo ABC; m D) 6,5 E) 8 D) 6,5 E) 8 D) 6,5 E) 8 D) 6,5 E) 8 D) 6,5 E) 8 Calcular la distancia de P a AD A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5 A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5 A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5 D) 8 E) 7,5 A) 4,5 B) 5 C) 3 A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5 D) 8 E) 7,5 A) 4,5 B) 5 C) 3 D) 8 E) 7,5
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
UNI 2015-II
2
GEOMETRÍA | TEMA 6
18. En un triángulo escaleno ABC, se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABP, BCQ y ACM de baricentros D , E y F res-pectivamente. Calcular mFDE A) 90 B) 45 C) 30 D) 60 E) 76
19. En un triángulo ABC, se ubica los puntos M y N en AB y BC
respec-tivamente tal MN que corta en P a la simediana BD; MP = 3; mBMN = mACB. Cuánto mide PN (sime-diana: isogonal de una mediana).
A) 3 B) 3 C) 4
D) 4 E) 3
20. Se tiene un cuadrado ABCD cir-cunscrito a una circunferencia, se traza la recta tangente que corta
a la prolongación de AB y AD en P y S y a BC y CD en Q y R, QR=a; RS= b. Calcular PQ A) (a + b) B) (b – a) C) a(a + b) (b – a) D) ab E) b(a + b) (b – a)
RESPUESTAS
1. B 2. D 3. E 4. B 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10. A 11. C 12. D 13. B 14. C 15. E 16. E 17. D 18. D 19. E 20. CUOII2G7T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 7
1. Se tiene un rectángulo ABCD, en BC se ubi-ca el punto P y en AD el punto Q tal que PQ contiene al centro del rectángulo, si AQ = 3 y QD = 2; calcular (PD)2 – (PQ)2.
A) 10 B) 9 C) 8
D) 6 E) 4
2. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y en las regiones exteriores rela-tivas a AB y BC se ubican los puntos M y N tal que: MB = BN y m mAB m NCB 90
y (NC)2 – (AM)2 = 20 calcular: (AH)2 – (HC)2 A) 15 B) 10 C) 25 D) 20 E) 30 3. Si AB = 13, BC = 15 y AC = 14; calcular el diámetro MC. M A C B A) 38 B) 24 C) 32 D) 12,5 E) 25
4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior CP y a partir del punto medio M de AC se traza MQ perpen-dicular a CP (QCP), calcular QC, si: (AP)(PB) = 5 y PQ = 2. A) 1,5 B) 2,5 C) 4 D) 4,5 E) 3 5. Calcular OM, si PB = 5 y TM = MP = 1. A O B T M P A) 2 10 B) 2 5 C) 4 D) 3 E) 46 / 2
6. Se tiene un paralelogramo ABCD; las bisectrices exteriores de los ángulos de vér-tices C y D se cortan en M, tal que BC = 4, CD = 10 y AM = 12, calcular BM.
A) 15 B) 13 C) 17 D) 2 13 E) 2 17
7. Según el gráfico: calcular (BO) (HO) , sien-do AP = 9 y AR = 5. O P B A H R A) 28 B) 24 C) 27 D) 50 E) 80
2
TE MA 7 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
8. Calcular (OA)2 – (OB)2 – (BA)2. Si BH = 3 y T es punto de tangencia. A) 6 B) 9 C) 18 D) 5 3 E) 27 O A T H B 9. En la figura, AM = MB; AB = 4 y BD = 5. Calcule CM. A ) 33 / 3 B) 66 / 2 C) 55 / 2 D) 5 6 / 2 E) 3 6 / 2 A M B D C
10. Si ABPM y CNQB son cuadrados, BC = a, AC = b y AB = c; calcular PQ. A C N Q M P B A) 2c22a22b2 B) c + a – b C) a2b2c2 D) 2c22a2b2 E) a2c2b2 11. Si AO = 2 y mOM
mCM
. Calcular AM. A O B M C A) 2 5 2 3 B) 3 C) 62 2 D) 7 3 E) 9 2 212. Se tiene un triángulo ABC, AB = 6, BC = 5 y AC = 7; la circunferencia ex-inscrita relativa a BC es tangente a este lado en R y a las prolongaciones de AB y AC en T y Q res-pectivamente, calcular TR. A ) 108 5 B) 21 C) 29 3 D) 115 3 E) 4 13. Si DM = DB; BC = CN = 6; AB = 8 y AC = 7, calcular BP. A) 7 B) 2 5 C) 3 2 D) 6 E) 5 3 A M N B D C P
G E O ME T RÍ A
14. ABCD es un trapecio isósceles de bases BC
y AD, en CD se ubica el punto medio M y se traza la altura BH; si HD2 + MD2 = 6. Calcule:
BM2 + MA2 A) 6 B) 3 C) 12 D) 18 E) 24 15. En la figura, OA = O1B = 1 y PH = 12, calcule R. A) 14 B) 15 C) 13 D) 16 E) 17 O HO1 P R A B
16. Halle la distancia del ortocentro al circuncentro de un triángulo acu-tángulo, sabiendo que el circunradio mide 17 u y que el producto de los segmentos determinados por el ortocentro sobre una altura es igual a 120 u2.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
17. En un triángulo ABC, recto en B se traza la altura BH, luego se ubican los puntos me-dios, M de BC y N de BH tal que AM = 2AN.
Halle la m C .
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35
18. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se ubica H punto medio de AC. Luego se traza
HTBC. Si M es punto medio de HT en-tonces la medida del ángulo que forman AT
y BM es:
A) 80 B) 86 C) 90 D) 93 E) 120
19. En un triángulo rectángulo la hipo-tenusa y la altura relativa a ella miden 25 u y 12 u respectivamente. Calcule la suma de las dis-tancias del pie de la altura mencionada a los catetos.
A) 15,6 B) 15,8 C) 16,2 D) 16,4 E) 16,8
20. Un cuadrilátero ABCD esta inscrito en una circunferencia de centro O, ACBD; si la distancia de O a AB miden 10 u y CD24 u. Calcule el radio de la circunfe-rencia (en u).
A) 12 B) 10 C) 14 D) 15 E) 26
C
L
A
V
E
S
1. C 2. D 3. E 4. E 5. E 6. D 7. A 8. C 9. B 10. D 11. A 12. A 13. D 14. D 15. C 16. B 17. D 18. C 19. E 20. E1 TE MA 8 UOII2G8T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 8
UNI 2015-II1. Los radios de dos circunferencias miden 7 y 5 y la distancia entre sus centros es 14. Si un punto exterior dista de las dos circunferencias ocho, calcular la dis-tancia de dicho punto a la línea que une los centros. A ) 10 B) 106 C) 12 D) 132 E) 13,2 2. En el cuadrante AOB EF = 6 m y FB = 4 m. Calcular OF. A ) 7 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m E) 12 m
3. En un un trapecio isósceles cir-cu nscr ipt ible AB CD, (BC / /AD)se verifica la siguiente expresión: (AD)2
+ (BC)2 + 6 AD. BC = 36 u2. Entonces,
la longitud (en u) de la diagonal AC es: A ) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9 4. En la figura BM es mediana BC2 – AB2 = 36 m2. Hallar BM. A ) 3 2 m B) 2 2 m C) 6 m D) 4 2 m E) 3 3 m
5. En una circunferencia se traza las cuerdas AB y CD, las cuales se intersecan en P. Si los arcos AC y CB son congruentes, AP = 2, PC = 5 y
m CPB 53, calcular "PD". A ) 2,8 B) 4,2 C) 3,6 D) 3,2 E) 2,6
6. En la figura adjunta: A, P y T son pun-tos de tangencia y AB = 10. Calcular "PT". 37° A B T P A ) 2 6 B) 4 C) 2,5 D) 3 m E) 2 5
G E O ME T RÍ A
7. En la figura mostrada: O es centro, OPQR es un cuadrado, AP. PB = 144. Calcular el perímetro del cuadrado.
O R C Q B P A A ) 44 B) 48 C) 52 D) 40 E) 56
8. Se tiene un rectángulo ABCD de centro O; en la prolongación de DA
se ubica el punto P, con diámetro PD
se traza una semicircunferencia que contiene al punto O; si AD = 5 y CD = 12; calcular la longitud del segmento BT siendo T punto de tangencia.
A ) 6 B) 9
C) 13 2 /2 D) 5 3 /3
E) 2 2
9. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD si: AB = 2, BC / /AD y BD = AD; A y C son puntos de tangencia. A B D C A ) 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 2 E) 6
10. Se tiene un triángulo equilátero ABC; AB = 4; en la prolongación de CA se ubica el punto P; calcular la distancia de P al punto de AB, si PC = 8. A ) 2 7 B) 5 C) 2 6
D) 2 5 E) 4
11. Si los arcos AP y PC tienen igual medida; AC = 8 y AB = 17, calcule PC. A B C P A ) 4 B) 6 C) 5 D) 15 E) 17
12. Desde un punto A, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes ABC y ADE, tal que m ACE 90, la medida del arco BD es el doble de la
m BAD y AE = 8. Calcule la longitud del segmento tangente trazado de "A". A ) 4 B) 6 C) 4 2
D) 8 E) 6 2
13. En la figura ABCD es un cuadrado "A" y "D" son centros. Si AE = 3 y EF = 2, calcule "FD". B C D A F E
3 TE MA 8 UNI 2015-II G E O ME T RÍ A A ) 1 B) 2 C) 3 /2 D) 1,5 E) 2 2
14. En el cuadrado ABCD con centros en "D" y radio el lado del cuadrado, se traza el arco AC que interseca a la circunferencia inscrita en los puntos "P" y "Q". Si el lado del cuadrado mide
2 6 , calcular "BP". A ) 2 2 B) 2 3
C) 2 6 D) 3 2
E) 4
15. Dado un triángulo ABC, si AB = 10; AC = 9 y BC = 17, calcule la medida de la proyección de BC sobre AC. A ) 14 B) 15 C) 13 D) 17 E) 18 16. En la figura si: AB = 5; ED = 1; FE = 2; L / /L1 2; E, C y A son puntos de tangencia. Calcule BF. A B C D E F L1 L2 A ) 79 B) 59 C) 69 D) 57 E) 55
17. En el cuadrilátero ABCD: m ABC 2
(m BDC),m ADC 90 y las diago-nales se intersecan en "E".
Si AB=AC=6 y EC=1, calcular "CD". A ) 2,5 B) 4
C) 2 3 D) 3 2 /2
E) 6
18. En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y la mediana BD, tal que BD=DM. Si (AB)(BC)=16, calcular AC. A ) 4 2 B) 6
C) 8 2 D) 8 E) 16
19. En la figura mostrada, calcular AP, si: AB=5 cm, BC=6 cm y AC=7 cm (en cm). B P A C A ) 30 B) 32 C) 33 D) 34 E) 37
G E O ME T RÍ A
20. En la figura mostrada las circunferen-cias se encuentran inscritas; AB = 13; BC = 15 y AC = 14, P y Q son puntos de tangencia. Calcule PQ.
B A H C Q P A ) 6 B) 4 2 C) 5 2 D) 5 E) 2,5
C
L
A
V
E
S
1. C 2. D 3. C 4. A 5. D 6. E 7. B 8. C 9. C 10. A 11. E 12. C 13. A 14. B 15. B 16. C 17. D 18. D 19. C 20. D1 TE MA 9 UOII2G9T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 9
UNI 2015-II 1. En la figura AB = 4, BC = 3 2, m ABC 45 .Calcule el radio de la circunferencia.
A B C A) 2 B) 2 C) 3 D) 2 2 E) 5
2. Calcular el circunradio de un triángulo ABC sabiendo que AB = 4 m; BC = 3 3 m y la m B 30 .
A) 3 B) 5 C) 2 2
D) 7 E) 3 2
3. En un triángulo ABC, se traza la altura BH = 6 cm si: m HBC 2(m ABH) y AH = 3 cm Halle: BC. A) 8 cm B) 9 cm C) 10 cm D) 11 cm E) 12 cm 4. En un triángulo ABC: AB = R y BC = R 3. Calcular la medida del ángulo ABC, siendo R el circunradio.
A) 45º B) 53º C) 60º D) 90º E) 120º
5. La apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia mide 3 m. Calcular la apotema del cuadrado inscrito en la misma circunferencia.
A) 3 6 B) 2 6
C) 4 D) 6
E) 3
6. PQRS es un cuadrilátero en el cuál los ángu-los Q y S son ánguángu-los rectos. Si m P 45 . Calcular: PR/QS.
A) 2 B) 2 / 2
C) 2 D) 3
E) 1
7. Calcular el circunradio de un triángulo ABC si: AB = 4, BC = 6 2 y m ABC 45 . A) 2 7 B) 3 5
C) 5 D) 2 5
E) 7
8. ABCDEFG es un heptágono regular. Se sabe que: (1/AE) + (1/DF) = 1/2. Calcule AB.
A) 1 B) 2 C) 5
D) 4 E) 3
9. Sea P un punto del arco AB de la circunfe-rencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC. Si PA = 6 y PB = 9, calcule PC.
G E O ME T RÍ A
A) 5 B) 10
C) 25 D) 18
E) 15
10. ABCD es un cuadrado inscrito en una circun-ferencia, sea P un punto del arco AB, si PA = 2 y PB = 2. Halle: PC.
A) 2 2 B) 3 2
C) 4 D) 6
E) 8
11. Las bases de un trapecio isósceles circuns-criptible miden 2 y 6. Calcule la longitud de su diagonal.
A) 5 B) 3 2
C) 2 7 D) 11 E) 13
12. Un segmento de longitud ( 5 3 ) cm es divi-dido en media y extrema razón, calcule la longitud de la parte menor.
A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 0,5 cm
13. En un triángulo isósceles ABC; AB = BC y AC = 2 3 m. Si m A 75 . Calcule el circun-radio del triángulo.
A) 3 B) 2 3
C) 1 D) 2
E) 3/3
14. En la figura: se tiene una circunferencia de radio R. Calcular el menor ángulo que for-man al cortarse BD y AC, si: CD = R 2 y AB = R 3 .
A) 80° B) 90° C) 65° D) 75° E) 45°
15. Se tiene un hexágono regular el cual está inscrito en una circunferencia de radio 2. Calcular la longitud del lado del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos del hexágono.
A) 3 B) 4
C) 6 D) 2 3
E) 3
16. En una circunferencia está inscrito el trián-gulo ABC tal que AB = L6 y BC = L5. Calcular la medida del ángulo ABC.
A) 100º B) 114º C) 105º D) 120º E) 90º
17. En una circunferencia cuyo radio mide 2 3 m, se inscribe un triángulo equilátero ABC. Cal-cular la distancia entre el punto medio de la cuerda AC y el punto medio del arco BC.
3 TE MA 9 UNI 2015-II G E O ME T RÍ A A) 13 m B) 6 5 m C) 6 3 m D) 21 m E) 3 7 m
18. En un sector circular AOB, con ángulo cen-tral de 60°, se inscribe una circunferencia. Si AB = 18, entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita es:
A) 4 B) 8 C) 6
D) 12 E) 15
19. En una circunferencia, se traza una cuerda AB de longitud 2a 3 y la flecha respectiva mide "a". Halle la longitud del radio de la cir-cunferencia.
A) a B) 2a C) 3a D) 4a E) 2a 3
20. Calcule el perímetro de un pentágono regu-lar sabiendo que su diagonal mide 5 1 . A) 5 B) 7,5 C) 10 D) 15 E) 20
C
L
A
V
E
S
1. E 2. D 3. C 4. D 5. D 6. C 7. D 8. B 9. E 10. C 11. C 12. B 13. B 14. D 15. A 16. B 17. D 18. C 19. B 20. CUOII2G10T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 10
1. En un triángulo rectángulo ABC, rec-to en B, se traza la bisectriz interior AD. La recta mediatriz de AC interseca en P a AD. Halle el área de la región triangular APC, si AC = 30 y DC = 12. A ) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100
2. Se considera el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, donde M es punto medio de AC. Si H es la proyección de M sobre BC, BH = 2, HC = 7 y AB = 13. Calcule el área de la región ABC. A ) 40 B) 45 C) 50 D) 54 E) 60
3. AOB es un cuadrante de centro O, P y Q son puntos del radio OA y del arco AB, respectivamente. Si el ángulo PBQ mide 45° y (OA)(AP)=18m2. Calcule
el área de la región triangular PQB. A ) 18 m2 B) 8 m2
C) 9 m2 D) 10 m2 E) 12 m2
4. Se tiene un triángulo ABC en el cual se ha trazado la ceviana AP. Calcule el área de la región PAB es 72 m2 (M es
punto medio de AC). A ) 18 m2 B) 24 m2
C) 30 m2 D) 40 m2
E) 36 m2
5. El perímetro de un triángulo rectán-gulo es igual a 56 cm, si su hipotenusa mide 25 cm, calcular el área de su re-gión.
A ) 56 cm2 B) 112 cm2
C) 84 cm2 D) 114 cm2
E) 81 cm2
6. En la figura: O es cento, PB = 3 y FB = 4. Halle el área de la región triangu-lar ABC.
A ) 9 B) 6 C) 12 D) 15 E) 18
7. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 60° y la circunferencia inscrita es tan-gente en F a AC tal que AF = 4 y FC = 9. Calcule el área de la región trian-gular ABC.
A ) 36 B) 24 C) 32 3 D) 36 3
E) 24 3
8. En un triángulo sus alturas miden 12 u, 15 u y 20 u, entonces el área (en u2) de la región triangular es:
2
TE MA 10 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
A ) 120 B) 130 C) 140 D) 150 E) 160
9. Sea ABCD un cuadrado de lado L, so-bre los lados AB y AD se construyen triángulos equiláteros EAD y FAB res-pectivamente. Calcule el área de la región triangular FEA.
A ) L2/10 B) L2/8 C) L2/6 D) L2/4 E) L2/2
10. Tres puntos A, B y C forman un trián-gulo equilátero. Considerando P un pun-to interior a dicho triángulo, tal que las alturas PD (del CPB ), PE (del APB ) y PF (del APC) miden 1, 2 y 3 respecti-vamente. Calcule el área de la región limitada por el triángulo equilátero. A ) 36 B) 27 C) 36 3
D) 12 3 E) 15 3
11. El área de la región limitada por un triángulo rectángulo ABC, recto en B, es 32 u2. Exteriormente se
constru-yen los triángulos equiláteros AEB y BFC. Si el área de la región triangular EBF es K veces el área de la región triangular ABC, calcule el valor de K. A ) 5/6 B) 4/5 C) 3/4 D) 2/3 E) 1/2
12. En la figura: O, O1 y O2 son centros de las circunferencias M, N y P son puntos de tangencia. Si los radios
miden 7, 3 y 2 m, calcular el área de la región triangular formada al unir sus centros.
A ) 5 21 m B)2 2 21 m2 C) 21 m2 D)3 21 m2 E) 21 m2
13. En el interior a un cuadrado ABCD se construye una semicircunferencia de diámetro AB, siendo Q un punto del lado BC tal que DQ es tangente a la semicircunferencia en T. Calcule el área de la región triangular TQC si AB = 4 m.
A ) 1,8 m2 B) 2,4 m2 C) 1,6 m2 D) 1,4 m2 E) 1,2 m2
14. En la figura los triángulos ABC y CFG son equiláteros. Calcular el área de la región triangular CMF si AC = 2 3 y CG = 4. A B C G M F A ) 6 B) 2 3 C) 3 D) 2 3 / 3 E) 3 3
G E O ME T RÍ A
15. Se considera el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa, de centro O, es tangente en T a AC. Si AT = 2 y TC = 3, calcule el área de la región triangular AOC.
A ) 18 B) 15 C) 12 D) 15 E) 10
16. La circunferencia exinscrita a un trián-gulo ABC y relativa a AB es tangente en P y T a las prolongaciones de CB y CA respectivamente, calcule el área de la región ABC, si AB = 5, la medida del mayor arco PT es de 217° y la suma de las longitudes de los lados BC y AC es 17.
A ) 18 B) 16 C) 20 D) 21 E) 22
17. El área de una región triangular es 84 u2. Si las medidas de sus lados son tres
números enteros consecutivos, calcu-le el mayor de dichos lados.
A ) 14 u B) 16 u C) 18 u D) 15 u E) 12 u
18. Las medidas de los lados de un triángulo ABC son AB = 6, BC = 7 y AC = 11. Calcule la medida del radio de la semicircunferencia inscrita en dicho trián-gulo tal que su diámetro esté contenido en el lado AB.
A ) 2 10 /3 B) 10 /3 C) 2 21/3 D) 2 10/5 E) 2 10
19. Dado el triángulo ABC, cuya área es 36, se consideran los puntos medios M de AB y N de BC, tal que por dichos puntos se trazan paralelas entre sí que intersecan al lado AC en los puntos P y Q respectivamente. Si el área trian-gular APM es 5, calcule el área de la región triangular QNC.
A ) 6 B) 5 C) 8 D) 4 E) 3
20. En un triángulo escaleno ABC, sobre los lados AB y BC se ubican los puntos M y N, respectivamente, tales que: 4MB = 3AB = 3BN = BC. ¿Qué tanto por ciento del área del triángulo ABC, es el área del triángulo MBN? A ) 15% B) 20% C) 10% D) 30% E) 25%
C
L
A
V
E
S
1. C 2. D 3. C 4. E 5. C 6. B 7. D 8. D 9. D 10. D 11. E 12. B 13. E 14. A 15. D 16. E 17. D 18. A 19. D 20. E1 TE MA 11 UOII2G11T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 11
UNI 2015-II1. Si AQ = 8; calcular el área de la región sombreada (T: punto de tan-gencia).
C Q T A O B A ) 16 B) 8 C) 4 D) 22 E) 24
2. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8; las circunferencias tienen igual radio, son tangentes y están en con-tacto con dos lados del cuadrado; cal-cular el área de la región sombreada.
B C r r A D A ) 18 B) 24 C) 32 D) 36 E) 48
3. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD y a dos regiones para-lelográmicas cuyas áreas son S1 y S2; si S1 = 12;
cal-cular S2.
A ) 24 B) 18 C) 20 D) 12 E) 10
4. En un triángulo equilátero ABC se ubican los puntos P, Q y R en AB, BC y AC respectivamente, tal que PRAC y PQ = QR; si AR = 2 y RC = 3; calcular el área de la región triangular PQR.
A ) 2 3 B) 3 3
C) 4 3 D) 6 E) 4
5. Según el gráfico, mBM
90 y PH = a. Calcule el área de la región som-breada.P M A H B 60° A ) a2 B) 3a2 C) 4a2 D) 2a2 E) 5a2
G E O ME T RÍ A
6. Si ABCDEF es un hexágono regular
DT6 2 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada. A ) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 18 C D A F B E T
7. Según el gráfico, ABCD es un para-lelogramo de alturas 8 y 6, además M; N y Q son puntos de tangencia. Cal-cule el área de la región sombreada.
B C A Q D N M O A ) 4 / 3 (4 – 3 3) B) 2 / 3 (2 – 3) C) – 3 D) 3 – 3 E) 4 – 3
8. Del gráfico, calcule S1/S2 (S1 y S2 son
las áreas de las regiones som-breadas).
A B S1 O C S2 O1 A ) 1 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/8 E) 1/2
9. De la figura, calcular el área de la re-gión sombreada, si el lado del cuadra-do ABCD mide 4. B A C D A ) ( 1) B) (2 – 1) C) ( 2) D) ( 2 – 1) E) (3 – 2) 10. Si AC = 4, CD = 12 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada. A B C D T A ) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 169/8
11. Se tiene un pentágono ABCDE inscri-to en una circunferencia, la recta tan-gente trazada por D corta a la prolon-gación de AE en P, si el área de la región limitada por el pentágono es 100 y ED = DC; calcular el área de la región cuadrangular PABC.
3
TE MA 11 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
A ) 100 B) 50 C) 80 D) 120 E) 140
12. Si O es el centro del arco AB, T; P y Q son puntos de tangencia y OB = 6, cal-cular el área de la región som-breada.
O P B A T Q A ) 12 B) 15 C) 8 3 D) 6 3 E) 18
13. Según el gráfico, mMN
60. Cal-cule el área de la región sombreada.N M R R A ) R (2 3) B) R( 3) C) R (22 3) D) R2(2 3) 4 E) R2(2 3) 2
14. En la figura mostrada ABCD es un cua-drado, m PCT 90. Calcule el área de la región cuadrangular PCTD (P y T son puntos de tangencia), si AB = 8 m. A ) 24 cm2 B) 36 cm2 C) 32 cm2 D) 40 cm2 E) 64 cm2 A D T B C P
15. Según la figura, ABCD es un para-lelogramo. Si AM = MB y AN = ND, calcule la razón de áreas de la región sombreada y ABCD. A N D C B M A ) 7/60 B) 4/15 C) 5/16 D) 2/20 E) 1/12
16. Según el gráfico, las circunferencias son ortogonales. Calcule EDAB.
A ) 2 2 B) 2 1 4 C) 2 2 D) 21 E) 1 4
G E O ME T RÍ A
17. En un pentágono regular ABCD, M es el punto medio AE . Si ADCM L , calcule AL LD. A ) 51 B) 521 C) 51 D) 102 5 E) 5 1 2 18. Según el gráfico, BM = a y MC = b. Calcule el área de la región som-breada (T es punto de tangencia). A C B T M A ) 2 (a b) a(b a) 2b B) 2 2 (a b ) ab 2a C) 2 (a b) a(a b) 2b D) 2 2 (a b ) a(a b) 2a E) ab ab ab
19. Dado un cuadrado ABCD, en BC y CD se ubican los puntos P y Q tal que
PQ es tangente a la circunferencia
inscrita en el cuadrado. Si AB = 2, calcule el área de la región APQ. A ) 2 B) 0,5
C) 1 D) 1,5 E) 1,25
20. Según el gráfico, BM / /DQ, MN = NQ, DP = 2(PQ) y ABCD es un parale-logramo. Calcule la razón de áreas de las regiones sombreadas.
A ) 1 B) 54 C) 34 D) 4 3 E) 6 5
C
L
A
V
E
S
1. A 2. D 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. E 9. C 10. E 11. A 12. C 13. D 14. C 15. A 16. D 17. E 18. C 19. C 20. A1 TE MA 12 UOII2G12T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 12
UNI 2015-II1. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Tres puntos, no alineados, deter-minan un plano.
II. Dos rectas cruzadas están conte-nidos en un plano.
III. La intersección de tres planos pue-de ser un punto.
A) FFV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFF
2. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas. II. Dos rectas perpendiculares al
mismo plano son paralelas. III. La intersección de tres planos es
un punto.
A ) VFF B) FFF C) VV V D) FVV E) FVF
3. Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas, entonces:
A ) Las tres rectas tienen que ser pa-ralelas.
B) Las tres rectas tienen que estar en un mismo plano que con-ten-ga a la perpendicular.
C) Por las tres rectas pueden pasar planos paralelos entre sí.
D) Por las tres rectas no pueden pa-sar planos paralelos entre sí. E) Las tres rectas son
perpendicula-res entre sí.
4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si una recta no es perpendicular a un plano, entonces no es perpen-dicular a ninguna recta contenida en el plano.
II. Una recta y un punto, siempre determinan un plano.
III. Tres puntos siempre determinan un plano.
A ) FVF B) FFV C) VFF D) FFF E) VVF
5. Se tiene los segmentos AB y CD cru-zados y perpendiculares, tal que: AB = 12 y CD = 16. Calcule la medida del segmento que une los puntos medios
AC y BD.
A ) 5 5 B) 12 C) 15 D) 10 E) 13
6. Se tiene el triángulo equilátero ABC de baricentro G y lado 3 3, por G se levanta la perpendicular GD al plano del triángulo de modo que AB = GD. Calcular AD.
G E O ME T RÍ A
A ) 1,5 B) 4 2
C) 6 D) 4,5 E) 6 3
7. Los catetos de un triángulo ABC, rec-to en B, miden AB = 3 cm, y BC = 4 cm respectivamente. Por el vértice B se traza BF perpendicular al plano del triángulo. Calcule el área del triángulo AFC (en cm2) si BF 5 cm
.
A ) 6,0 B) 8,2 C) 9,8 D) 11,3 E) 12,0
8. Por el vértice B de un triángulo rec-tángulo ABC, recta en B, se traza BP perpendicular al plano de dicho trián-gulo. Calcule la distancia de P al pun-to medio de AC, si PB = 8 y AC = 12. A ) 15 B) 14 C) 9
D) 10 E) 5 2
9. Indique las proposiciones verdaderas y falsas respectivamente.
I. Si una recta L y un plano P son per-pendiculares a un plano dado Q, entonces L es paralelo a P. II. Dos segmentos congruentes y
paralelos que intersecan a un pla-no forman con dicho plapla-no ángu-los congruentes.
III. Si dos rectas forman ángulos con-gruentes con un plano, entonces las rectas son paralelas.
A ) FVF B) FFF C) VFV D) VV V E) VFF
10. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Toda recta paralela a un plano es paralela a la intersección de otro plano que contiene a la recta y que es secante al plano dado. II. Toda recta paralela a un plano es
paralela a todas las rectas del pla-no dado.
III. Si una recta es paralela a dos rec-tas de un plano, dicha recta es paralelo al plano dado.
A ) VVF B) VFF C) FFF D) VFV E) FVF
11. Dos cuadrados congruentes ABCD y ABEF forman un diedro de 106°. Calcular la longitud de DE si los lados de los cuadrados miden 10 m. A ) 89 m B) 2 89 m C) 91 m D) 2 91 m E) 3 91 m
12. En la figura se tiene un cubo de arista igual a 2 cm, BM = MC. Calcule AH.
F A B M C A ) 5 cm B) 5 / 2 cm C) 3 5 / 5 cm D) 5 / 3 cm E) 2 5 / 3 cm
3
TE MA 12 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
13. Se tiene un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos mide 15 m y 20 m, por el vértice B, del ángulo recto, se le-vanta una perpendicular al plano que contiene el triángulo, y en ella se toma un punto E. Calcular la longitud de BE para que el diedro formado por los triángulo ABC y AEC mide 60°. A ) 12 3 m B) 12 m C) 12,5 m D) 12 2 m E) 12, 5 3 m
14. El cuadrado ABCD y un triángulo equilátero BFC están contenidos en planos perpendiculares. Si AB = a, halle la distancia del punto D al segmento que une los puntos me-dios de AB y FC. A ) 2a/3 B) a 2 / 2 C) a 3 / 2 D) a E) 4a/3
15. Sea: la medida del ángulo diedro (A – BC – D), entonces, cos es igual a:
D A B C A ) 1/3 B) 1/2 C) 1/5 D) 1/6 E) 1/4
16. Sea AOB un triángulo rectángulo isósceles tal que OA = OB = a, en O se eleva la perpendicular al plano OAB
sobre la cual se toma: OMa 2 / 2. Se une el punto M con los vértices A y B. Determine el valor del ángulo diedro de arista AB.
A ) 60° B) 45° C) 30° D) 37° E) 53°
17. Un triángulo equilátero ABC ésta en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE, siendo AB el lado común de ambos polígonos. El segmento de rec-ta que une el punto medio del lado AC del triángulo con el punto medio del lado BD del cuadrado mide 1 m. ¿Cuál es la longitud del lado del trián-gulo o del cuadrado?
A ) 1 m B) 1,5 m C) 2 m D) 2,5 m E) 0,5 m
18. Sea KLM un triángulo rectángulo isósceles, tal que: LK LM8 2. En L se traza una perpendicular al plano del triángulo y se construye LN = 6. Calcule el valor del diedro cuya arista es KM.
A ) 37° B) 75° C) 30° D) 45° E) 60°
19. En un triángulo isósceles
ABC (AB = BC = 17 m), AC = 16 m se traza la altura BE y se construye el cuadrado BEFG perpendicular al plano del triángulo. Calcular el área del triángulo CEG.
G E O ME T RÍ A A ) 30 m2 B) 60 m2 C) 30 2 m2 D) 60 2 m2 E) 45 2 m2
20. En el cubo mostrado de arista 4 cm, M y C son puntos medios de AC y EF, respectivamente calcule BM.
C
L
A
V
E
S
1. C 2. E 3. C 4. D 5. D 6. C 7. B 8. D 9. A 10. B 11. B 12. E 13. A 14. D 15. A 16. B 17. A 18. A 19. D 20. A F A B C E M A) 29 cm B) 31 cm C) 3 3 cm D) 35 cm E) 37 cm1 TE MA 13 UOII2G13T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 13
UNI 2015-II1. Dadas las rectas cruzadas L1 y L2, En
L1 se ubican los puntos M y P, en L2 los
puntos N y Q. Si:
m PMN m MNQ m PQN 90, MN = 3 u y MP = PQ = 5 u, entonces la medida del ángulo agudo entre L1 y L2 es:
A ) 30 B) 60 C) 53 D) 37 E) 45
2. En un triángulo isósceles O-ABC, por el vértices O se traza el rayo OF perpendicular a la cara AOB. Si
AOB BOC 45
y AOC60
entonces la medida del ángulo entre los rayos OF y OC es:
A ) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) tan ( 5)1
3. En un triedro O-ABC, el diedro OA
mide 90°, las caras b y c miden 45°. Determine la medida de la cara "a". A ) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°
4. Las proyecciones de un segmento sobre un plano y sobre una recta per-pendicular al plano miden 15 y 8 res-pectivamente. Calcule la me-dida de dicho segmento.
A ) 23 B) 17 C) 20 D) 15 E) 25
5. En un triángulo ABC en el espacio, la altura relativa a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C están en un plano horizontal P y el vértice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B' (B' es la proyección de B sobre P) mide 37°. Si AB'=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:
A ) 10 B) 10,6 C) 127 D) 5 6
E) 6 5
6. Se tiene el triedro P-ABC, las caras b y c miden 45 cada uno y la cara a mide 60. ¿Cuánto mide el diedro PA de dicho triedro?
A ) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90
7. Sea AOB un triángulo rectángulo isósceles, tal que OA = OB = a, por O se eleva la perpendicular al plano OAB sobre la cual se toma: OM a 2
2 . Se junta el punto M a los vértices A y B. Determine el valor del ángulo diedro de arista AB.
G E O ME T RÍ A
A ) 60° B) 45° C) 30° D) 37° E) 53°
8. En la figura, los planos P y Q son per-pendiculares; en P está contenida una semicircunferencia y en Q, un rectán-gulo, si AE = 8, EB = 6 y BC = 6 en-tonces la distancia de E a DC es:
A D Q C E B F A ) 1 41 5 B) 3 41 5 C) 5 41 3 D) 5 41 6 E) 6 41 5
9. En una circunferencia de centro O y radio 4 se tiene el arco AB cuya medi-da es 60, se traza OE perpendicular al plano de la circunferencia tal que OE = 4. Calcule la distancia entre AE y OB. A ) 4 21 7 B) 2 7 7 C) 3 21 7 D) 3 77 E) 7 10. En un triángulo ABC, la m B 90, AB = 6 u y BC = 8 u. Por su in-centro I se traza IH perpendicular al plano ABC. IH = 3. Calcular HC (en u).
A ) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12
11. En un ángulo triedro, los ángulos de dos de sus caras miden 130° y 78° respectivamente. Entre ¿qué límites varía el ángulo en la tercera cara? A ) Entre 52° y 188°
B) Entre 52° y 152° C) Entre 46° y 188° D) Entre 46° y 172° E) Entre 32° y 188°
12. En un triedro, dos de sus caras miden 120° y 140°, entonces, el mayor valor entero de la medida de la tercera cara es:
A ) 54° B) 60° C) 72° D) 90° E) 99°
13. Dado un ángulo poliedro O-ABCDE, la medida de cada una de las caras es 60. Halle la medida del diedro OA. A ) 45 B) 53 C) 60 D) Arc cos 5 3 E) Arc cos 6 3
3
TE MA 13 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
14. Las caras COA y BOC del triedro O-ABC miden 60° cada uno y la cara AOB mide 90°. Halle el coseno del diedro OC.
A ) 1/4 B) 1/5 C) –1/3 D) 2/3 E) 3/5
15. Dado un triángulo rectángulo isós-ce-les AOB, siendo AOOB 6, en el vértice O se eleva una perpendicular del plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular luego se une M con los vértices A y B. Calcule el va-lor de OM para que el diedro AB mida 60°.
A ) 2 B) 3 C) 2,5 D) 4 E) 1
16. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenido en un plano P y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular la medida del ángulo que forma la hipotenusa con el plano P.
A ) 45° B) 30° C) 60° D) arc sen1/5 E) arc cos 2/4
17. El plano de una semicircunferencia de diámetro AB, es perpendicular al pla-no del cu adr ado AB CD. En la semicircunferencia se ubica el punto F, de modo que la medida del arco FB es 60. Calcule la medida del ángulo
diedro formado por los planos AFC y ABCD. A ) arc tg 6 3 B) arc tg 6 C) arc tg 3 D) arc tg 2 3 E) arc tg 6 2
18. Se tiene un cuadrado ABCD, se ubica un punto exterior P al plano del cua-drado de manera que equi-diste de los vértices del cuadrado, si PA = AB. Cal-cular la medida del ángulo diedro PB. A ) arc cos
1 4 B) arc cos
1 4 C) arc cos16 D) arc cos 1 6 E) arc cos13 19. Dos cuadrados ABCD y ABC'D' están contenidos en dos planos que forman un diedro de 60°. Calcular la medida del menor ángulo determinado por los segmentos cruzados AC y BD '.
G E O ME T RÍ A A ) arc cos 1 3 B) arc cos 1 3 C) arc cos
1 4 D) arc cos
1 4 E) arc cos 3 3 C
L
A
V
E
S
1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. E 7. B 8. E 9. A 10. B 11. B 12. E 13. D 14. C 15. B 16. B 17. A 18. E 19. C 20. E20. Se tiene un plano P y un punto exterior S desde el cual se traza las oblicuas SA, SB y SC que forman con P ángulos que miden 30, 45 y 53 respectivamente. Si A, B y C se encuentran en el plano y SB = 8. Calcular SA + SC. A ) 8 2 B) 12 2 C) 11 2 D) 10 2 E) 13 2
1 TE MA 14 UOII2G13T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 14
UNI 2015-II1. Un poliedro está limitado por 8 regio-nes t rian gulares y 12 region es pentagonales. Calcule el número de vértices.
A ) 30 B) 14 C) 24 D) 18 E) 28
2. La longitud de la arista de un octaedro regular es el triple de la longitud de la arista de un tetraedro regular. Halle la relación entre las áreas de las superfi-cies de tales poliedros.
A ) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 21
3. Indique el valor de verdad de las pro-posiciones:
I. El tetraedro regular tiene centro de simetría
II. El tetraedro regular tiene 3 planos de simetría
III. El hexaedro regular tiene centro de simetría
A ) VV V B) FFV C) FVV D) FVF E) FVV
4. Halle el área de la sección determinada por un plano de simetría de un tetraedro regular de arista 2.
A ) 2 B) 4 C) 2
D) 3 E) 5
5. Un poliedro convexo está conforma-do por 8 caras que son regiones trian-gulares, 9 caras que son regiones cua-drangulares y 6 caras que son regio-nes pentagonales. Calcule el número de diagonales del poliedro.
A ) 150 B) 190 C) 183 D) 128 E) 160
6. Un poliedro convexo tiene 37 vérti-ces y está conformado por 6 caras triangulares, 8 caras cuadrangulares y m caras pentagonales. Halle m. A ) 19 B) 15 C) 12 D) 14 E) 16
7. Si se unen los centros de las caras de un hexaedro regular se forma un: A ) Tetraedro regular
B) Octaedro regular C) Cubo
D) Paralelepípedo cualquiera E) Prisma oblicuo
8. La proyección de un octaedro regular de arista 2 sobre un plano perpendi-cular a una de sus aristas tiene un área igual a:
A ) 2 B) 2 C) 2 2
G E O ME T RÍ A
9. En un tetraedro regular, calcule la medida del ángulo diedro que deter-minan dos caras cualesquiera. A ) Arc Cos
1 3 B) Arc Cos
1 – 3 C) Arc Cos
1 2 D) Arc Cos
1 – 2 E) Arc Cos
–1 510. Al unir los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular se obtiene un poliedro. ¿Cuántas diagonales tiene el poliedro formado?
A ) 28 B) 33 C) 39 D) 40 E) 30
11. En la figura se tiene un cubo de arista igual a 2 cm, BM = MC. Calcular AH.
F A B M C H A ) 5 cm B) 31 cm C) 3 3 cm D) 35 cm E) 37 cm
12. En el cubo mostrado de arista 4 cm, M y C son puntos medios de AC y EF
respectivamente, calcular BM. A M E C F B A ) 29 cm B) 31 cm C) 3 3 cm D) 35 cm E) 37 cm
13. Si se unen los centros de las caras de un octaedro regular se forma un: A ) tetraedro regular
B) octaedro regular C) cubo
D) paralelepípedo cualquiera E) prisma oblicuo
14. Determine el área de la proyección de un hexaédro regular de arista 2, so-bre un plano perpendicular a una de sus diagonales.
A ) 2 3 B) 3 3 C) 4 3
D) 6 3 E) 9 3
15. Calcule la longitud de la arista del poliedro conjugado a un cubo si la arista de este mide 2.
A ) 2 B) 2 C) 4 D) 1 E) 3
3
TE MA 14 UNI 2015-II
G E O ME T RÍ A
16. En un hexaedro regular ABCD – EFGH halle la medida del ángulo diedro que forman los planos EBC y EDG. A ) 45 B) 60 C) 53 D) 75 E) 90
17. Halle la suma de las medidas de los diedros determinados por dos caras contiguas de un tetraedro regular y de un octaedro regular.
A ) 90º B) 120º C) 135º D) 180º E) 270º
18. El volumen de un tetraedro regular es 16 vec es el volu men de un Octaedro regular. Calcular la relación entre las aristas del tetraedro y el octaedro.
A ) 3/1 B) 5/2 C) 4/1 D) 6/1 E) 8/1
19. Encontrar la longitud que debe tener la diagonal de un cubo para que su volumen sea 9 veces el de otro cubo cuya arista es 33 cm.
A ) 3 cm B) 3 cm C) 3 3 cm D) 9 3 cm E) 6 3 cm
20. Calcular la diagonal de un octaedro re-gular que es equivalente a un tetraedro regular de 2 cm de arista. A ) 25/8 B) 25/9 C) 25/3 D) 25/6 E) 25/7
C
L
A
V
E
S
1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. E 7. B 8. A 9. A 10. E 11. E 12. A 13. C 14. C 15. B 16. A 17. D 18. C 19. C 20. DUOII2G15T
EJERCICIOS PROPUESTOS
GEOMETRÍA
TEMA 15
1. Si un prisma tiene 3n aristas. Halle el número de caras.
A ) 3n –1 – 2 B) 3n + 5 C) 3n –1 + 2 D) 3n –2 + 2 E) 3n + 2
2. La suma de todos los ángulos die-dros de un prisma oblicuo es 2160°. Halle el número de caras del prisma.
A ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
3. Calcule el área lateral de un prisma obli-cuo (en cm2), cuya sección recta es un
hexágono regular de 12 3 cm de área.2 La altura del prisma mide 6 3 cm y ade-más se sabe que las aristas forman án-gulos de 60° con la base.
A ) 130 2 B) 136 2
C) 144 2 D) 145 2
E) 150 2
4. En un prisma triangular regular el vo-lumen es 36 m3. Calcule el área de la
sección paralela (en cm2) a una de las
caras laterales que distan 1 cm de la arista opuesta, si el lado de la base mide 4 cm.
A ) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. En un prisma triangular recto ABC-DEF se cumple AB = 4 cm, BE = 6 cm y DC = 10 cm, O es punto medio de BE y la longitud del segmento que une el punto O con el centro de la cara ACFD es 5 cm. Entonces el área de la re-gión triangular OFA (en cm2) es:
A ) 10 3 B) 11 3
C) 25 3
2 D) 14 3
E) 16 3
6. En un prisma triangular regular ABC-A'B'C' en el cual todas sus aristas son congruentes, se ubica D en la prolon-gación de AB de modo que AD 2
BD 1. Halle la medida del ángulo diedro de-terminado por la base ABC y el plano que pasa por D, B' y el punto medio de AC . A ) Arc tan 39 26 B) 30 C) Arc cos 3 55 D) Arc cos 2 41 E) Arc cos 7 19
