1. Dentro de 11 años la edad de Pedro será igual a la mitad del cuadrado de la edad que tenia hace 13 años. Calcula la edad actual de Pedro.
Dentro de 11 años: x+11
Edad hace 13 años: x-13, mitad del cuadrado: !!!"!
!
𝑥 + 11 = 𝑥 − 13 !
2
Hacemos el cuadrado: 𝑥 − 13 ! = 𝑥!− 26𝑥 + 169
𝑥 − 13 𝑥 − 13
−13𝑥 + 169 𝑥!− 13𝑥
𝑥!− 26𝑥 + 169
𝒙 + 𝟏𝟏 =𝒙𝟐− 𝟐𝟔 + 𝟏𝟔𝟗
𝟐
Para realizar esta ecuación como tiene dos fracciones, para solucionar la misma se multiplican en cruz las dos partes de la igualdad.
2 ∙ 𝑥 + 11 = 𝑥!− 26𝑥 + 169
2𝑥 + 22 = 𝑥!− 26𝑥 + 169
−𝑥! + 26𝑥 − 169 + 2𝑥 + 22 = 0
−𝑥!+ 28𝑥 − 147 = 0
Para quitar el signo menos el término en x al cuadrado multiplicamos toda la ecuación por (-1).
𝑥!− 28𝑥 + 147 = 0
Aplicamos la formula de la ecuación de segundo grado: 𝑥 =!!± !!!!!!!"
Siendo a=1, b=-28, c=147.
𝑥 =− −28 ± −28 !− 4 ∙ 1 ∙ 147
2 ∙ 1
𝑥 =28 ± 784 − 588
2 =28 ± 196
2 =
𝑥! = 21
𝑥 =
!"±!"!
=
𝑥! = 7
De las dos soluciones la única que verifica la ecuación es 21 años, veamos por que:
𝑥 + 11 = 𝑥 − 13 !
Arreglando la ecuación tenemos: 2
2 ∙ 𝑥 + 11 = 𝑥 − 13 !
Quitamos el cuadrado de la ecuación de segundo grado:
2 ∙ 𝑥 + 11 ! ! = 𝑥 − 13 !∙!!
2 ∙ 𝑥 + 11 = 𝑥 − 13
Comprobamos esta ecuación con las soluciones anteriores: x=21 años y x=7años.
2 ∙ 𝑥 + 11 = 𝑥 − 13 2 ∙ 𝑥 + 11 = 𝑥 − 13
2 ∙ 21 + 11 = 21 − 13 2 ∙ 7 + 11 = 7 − 13
2 ∙ 21 + 11 = 21 − 13 2 ∙ 7 + 11 = 7 − 13 8 = 8 6 ≠ −6
Por tanto la solución correcta es 21 años.
2. Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la finca.
Perímetro = 110 m
¿Dimensiones de la finca?.
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝑷 𝑨 = 𝒙 ∙ 𝒚
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟏𝟎 𝟕𝟓𝟎 = 𝒙 ∙ 𝒚
De la segunda ecuación despejo la “x” y la sustituimos en la primera.
𝑥 =750
𝑦
2 ∙750
𝑦 + 2𝑦 = 110
1500
𝑦 + 2𝑦 = 110
Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por “y” para quitar el denominador.
1500 + 2𝑦! = 110𝑦
2𝑦!− 110𝑦 + 1500 = 0
a=2; b=-110; c=1500
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏!− 4𝑎𝑐
2𝑎 =− −110 ± −110! − 4 ∙ 2 ∙ 1500
2 ∙ 2
𝑥 =110 ± 12100 − 12000
4 = 110 ± 100
4 =110 ± 10
4 A=750 m2
y
x
𝑥110 ± 10
4 =
𝑥! =110 + 10
4 =120
4 = 30
𝑥! = 110 − 10
4 =100
4 = 25
Largo = 30 m.
Ancho = 25 m.
3. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Hallar la anchura de dicho camino, si se sabe que su área es 540 m2.
Camino de arena uniforme.
Área del camino azul = 540 m2.
Tenemos que calcular el área del camino azul matemáticamente, que es el área que me dan como dato.
El área de un rectángulo es: 𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑎
𝟓𝟎 + 𝟐𝒙 ∙ 𝟑𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟓𝟎 ∙ 𝟑𝟒 = 𝟓𝟒𝟎
1700 + 168𝑥 + 4𝑥! − 1700 = 540
4𝑥!+ 168𝑥 − 540 = 0
Si dividimos todos los miembros de la ecuación de segundo grado por 4 obtenemos la ecuación mas simplificada.
𝑥!+ 42𝑥 − 135 = 0
𝑎 = 1; 𝑏 = 42; 𝑐 = −135
𝑥 = −𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐
2𝑎 =−42 ± 42! − 4 ∙ 1 ∙ −135
2 ∙ 1 = −42 ± 1764 + 540
2
𝑥 =−42 ± 2304
2 =−42 ± 48
2 =
𝑥! = −42 + 48
2 = 3 𝑥! =−42 − 48
2 = −45 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎.
El camino tiene un ancho de 3 m.
a = 34m
x x
L =50 m
4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3,4 y 5. Hallar la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m2.
A = 24 m2
𝑨 =
𝒃∙𝒂𝟐Esta es la fórmula del área de un triángulo.
𝟐𝟒 =𝟒𝒙 ∙ 𝟑𝒙
𝟐
Se pueden intercambiar los términos de la igualdad y la ecuación no varía.
12𝑥!
2 = 24
Como hay dos fracciones se multiplican en cruz para quitar denominadores.
12𝑥! = 48
Despejando la x2, tenemos: 𝑥! =!"!"= 4 𝑥! = 4 𝑥 = 4 = ±2
x = 2 m
El triángulo proporcional tiene las siguientes medidas.
𝑎= 3 ∙ 𝑥 = 3 ∙ 2 =6 𝑚
𝑏= 4 ∙ 𝑥 = 4 ∙ 2 =8 𝑚
𝑐 = 5 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 2 = 10 𝑚
h =5x b =4x a = 3x
5. Calcular las dimensiones de un rectángulo, cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 y 48 m respectivamente.
48x; 36x; por ser semejante al otro rectángulo.
Aplicando el teorema de Pitágoras: ℎ! = 𝑐!+ 𝑐!
𝟒𝟖 𝟐 = 𝟒𝟖𝒙 𝟐+ 𝟑𝟔𝒙 𝟐
5625 = 2304𝑥!+ 1296𝑥!
5625 = 3600𝑥!
𝑥! = 5625
3600= 1,5625
𝑥 = 1,5625 = 1,25
𝑎 = 36𝑥 = 36 ∙ 1,25 =45𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜.
𝑏= 48𝑥 = 48 ∙ 1,25 =60𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜.
a=36m L=48m
diagonal
a =36x b=48
x
D = 75 m
6. Hallar un número entero, sabiendo que la suma con su inverso es 26/5.
𝑥 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜.
1
𝑥 = 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜.
La suma de estos numero es la fracción que nos dice:
𝒙 +𝟏
𝒙 =𝟐𝟔
𝟓
Para quitar los denominadores de la ecuación, multiplicamos los dos miembros de la misma por “5x”.
5𝑥 ∙ 𝑥 +5𝑥
𝑥 = 26 ∙ 5𝑥
5
5𝑥!+ 5 = 26𝑥
5𝑥!− 26𝑥 + 5 = 0
𝑎 = 5; 𝑏 = −26; 𝑐 = 5
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏!− 4𝑎𝑐
2𝑎 = − −26 ± −26 !− 4 ∙ 5 ∙ 5
2 ∙ 5 = 26 ± 676 − 100
10
𝑥 =26 ± 576
10 = 26 ± 24
10
𝑥! =26 + 24
10 = 50
10= 5 𝑥! = 26 − 24
10 = 2
10= 1
5
El numero entero es 5
7. Dos números naturales, se difieren en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuál son esos números?.
Número natural = x
Número natural que difiere en dos unidades = x+2 La suma de sus cuadrados es 580
𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟐 𝟐= 𝟓𝟖𝟎
𝑥 + 2 𝑥 + 2 2𝑥 + 4 𝑥!+ 2𝑥 𝑥!+ 4𝑥 + 4 Por tanto la ecuación queda:
𝒙𝟐+ 𝒙𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟓𝟖𝟎
2𝑥! + 4𝑥 − 580 + 4 = 0
2𝑥!+ 4𝑥 − 576 = 0
Simplificamos la ecuación dividiendo por 2 todos sus miembros.
𝑥!+ 2𝑥 − 288 = 0
𝑎 = 1; 𝑏 = 2; 𝑐 = −288
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏!− 4𝑎𝑐
2𝑎 =−2 ± 2! − 4 ∙ 1 ∙ −288
2 ∙ 1 = −2 ± 4 + 1152
2
𝑥 =−2 ± 1156
2 = −2 ± 34
2
𝑥! =−2 + 34
2 = 16 𝑥! = −2 − 34
2 = −18
El número natural es el 16
8. Dos caños A y B, llenan juntos una piscina en dos horas, “A” lo hace por sí en tres horas menos que “B”. ¿Cuántas horas tardea cada uno por separado?.
Tiempo de A = x Tiempo de B = x+3
• Tiempo que tarda en llenar la piscina el caño A = !!
• Tiempo que tarda en llenar la piscina el caño B =
!
!!!
• Tiempo que tarda en llenar la piscina A y B !
!
𝟏
𝒙+ 𝟏
𝒙 + 𝟑= 𝟏
𝟐
m.c.m(x, x+3, 2) = 2
𝑚. 𝑐. 𝑚 𝑥, 𝑥 + 3, 2 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 3
2 ∙ 𝑥 ∙ (𝑥 + 3)
𝑥 +2 ∙ 𝑥 ∙ (𝑥 + 3)
𝑥 + 3 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 3
2 2 ∙ 𝑥 + 3 + 2𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 + 3
2𝑥 + 6 + 2𝑥 = 𝑥!+ 3𝑥
−𝑥!+ 2𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 + 6 = 0
−𝑥!+ 𝑥 + 6 = 0
Multiplicamos la ecuación por (-1)
𝑥!− 𝑥 − 6 = 0
𝑎 = 1; 𝑏 = −1; 𝑐 = −6
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐
2𝑎 =− −1 ± 1 − 4 ∙ 1 ∙ −6
2 ∙ 1 =1 ± 1 + 24
2 =1 ± 5
2
𝑥! =6
2= 3 𝑥! = 1 − 5
2 = −4
2 = −2 El (-2 ) no tiene sentido físico en este problema.
La solución es Grifo A =3 horas, Grifo B =x+3 = 6 horas.
