Capitulo 08 Intersección Recta Poliedro

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA

DESCRIPTIVA

DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

Víctor Vidal Barrena

Universidad Universidad Nacional de Ingeniería Nacional de Ingeniería CAPÍTULO CAPÍTULO

8

8

_{Intersección}

_{Intersección}

de Recta con

de Recta con

Poliedro y

Poliedro y

Superficie

Superficie

 a  a

INTERSECCION DE

INTERSECCION DE

RECTA CON

RECTA CON

POLIEDRO

POLIEDRO

INTERSECCIÓN DE RECTA CON

 a  a

INTERSECCION DE

INTERSECCION DE

RECTA CON

RECTA CON

POLIEDRO

POLIEDRO

INTERSECCIÓN DE RECTA CON

 a

 a

LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES INTERSECCIONES

INTERSECCIONES SON SON COMUNES COMUNES EN EN LASLAS CONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION

CONSTRUCCION DE DE MAQUINAS MAQUINAS Y Y EN EN CUALQUIERCUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA

LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA

INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOS INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LA DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONO RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONO IRREGULAR.

IRREGULAR.

8.1

INTRODUCCIÓN.- a

 a

SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE

SE LLAMA POLIEDRO, A LOS CUERPOS GEOMETRICOS CUYA PORCION DE

ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO

ESPACIO ES TOTALMENTE LIMITADA, POR POLIGONOS PLANOS NO

COPLANARES. COPLANARES. H H E E A A G G F F C C D D B B ARISTA ARISTA CARA CARA VERTICE VERTICE DIAGONAL DIAGONAL 8.2

 a

a).- LAS CARAS:  formadas por polígonos que limitan el poliedro. b).- LAS ARISTAS:  que son los lados del polígono. c).- LOS VÉRTICES:  que son los extremos de las aristas. d).- LAS DIAGONALES:  aristas que unen dos vértices opuestos. e).- LOS DIEDROS: formados por dos caras consecutivas. f).- ANGULOS POLIEDRICOS: formados por aristas que concurren en un vértice.

 a

1).- POLIEDROS REGULARES: Son los poliedros que tienen todas sus caras y ángulos iguales. Ejemplo:

8.4 CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS.

C TETRAEDRO A B D H E F HEXAEDRO A D B G C OCTAEDRO E A C F D B

 a

2) POLIEDROS IRREGULARES: Es aquel cuya cuyas caras es un polígono cualquiera y las demás caras son paralelogramos (prismas) o triángulos (pirámides) entre los principales tenemos los prismas y las pirámides. Ejemplo:

D F E L K J A C B I H I H K M E B F D C _A PRISMA TRIANGULAR TRUNCADO PRISMA HEXAGONAL OBLICUO A B C D E F H I J K L M PRISMA HEXAGONAL RECTO

 a

1) PRISMAS: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que se desliza paralela por una línea poligonal o directriz PRISMA HEXAGONAL D F E C A B F E K D A B C L G J H I H PRISMA CUADRADO E F G C A B D PRISMA TRIANGULAR

 a

2) PIRAMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz que esta unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz.

PIRAMIDE TRIANGULAR B C A V V PIRAMIDE DE BASE CUADRADA A D B C E PIRAMIDE HEXAGONAL B F A D _C V

 a INTERSECCI{ON DE RECTA CON POLIEDRO

PROBLEMAS

RESUELTOS

 a

Hallar la intersección de la recta

MN con el prisma ABCD-EFGH.

Mostrar la visibilidad de la

intersección.

 a SOLUCION 8.1: H G H H E F E H G F F F F M F H F D F  A M H H H D H N F C F N H B F  A H C H H B grafico de los puntos 3 2 4 5 6 9 10 12 13 14 3 4 1 13 12 5 7 11 9 8 15 19 17 20 16

 a SOLUCION 8.1. H  A F  A H B F B C_F H C D H D F H E E F F H F_F G H G F H H H H H M F M F N H N a b c d a b c d 1 2 1 2 solucion final 4 9 12 13 3 5 6 10 2 16 11 1 20 4 17 3 7 9 5 19 12 14 15 8 13 H  A F  A H B F B C_F H C D H D F H E E F F H F_F G H G F H H H H H M F M F N H N a b c d a b c d 1 2 1 2 solucion final 4 5 9 10 12 13 2 16 11 1 20 4 17 3 7 9 5 19 12 14 15 8 13

 a

Hallar la intersección de la recta MN con la pirámide V –  ABCD.

Mostrar la visibilidad de la intersección. PROBLEMA Nº 8.2: M(7.5, 9, 19), N(7.5, 2, 11) ,  A(6.5, 5, 18) , B(11, 3, 15), C(9.5, 7, 12), D(5, 9, 15); V(1, 4.5, 13)

 a PASO 1: GRAFICAR LAS COORDENADAS. V D V F H F B M F F N_H H C  A H D H H M H B GRAFICO DE LAS COORDENADAS F C N_F F  A 4.5 2 3 1 11 9 7 5 12 13 7.5 5 6.5 9.5 11 15 18 19

 a PROBLEMA Nº 2: SOLUCION. H V V F  A_H  A F B H B_F C_H C F D_H D F H H N F M N F 2 1 2 1 1 BVC MN + + - + - + + MN + ABCD + - ₂ + -F H

RECTA PLANO H F _INTH F

9.5 11 3 7 13 4.5 1 6.5 5 18 15 5 12 9 19 7.5 11 2      P     C    -     1

 a SOLUCION SOMBREADA: D D F H F  A B_F C C M F N_H F H H B H  A 2 1 2 1 SOLUCION SOMBREADA V F H V N_F H

 a

ABCD y EFGH, son las bases de un prisma de base cuadrada determinar la intersección y mostrar la visibilidad de la recta MN con el prisma dado Hallar la tabla de visibilidad.

PROBLEMA Nº 8.3: A(10, 9, 17), H(2, 3, 15) M(8, 9, 20) N(8, 1, 11). B 13, 7, 16), C 12, 5, 19), D , 7, 20); E(3, 5, 12), F(6, 3, 11), G(5, 1, 14),

 a PROBLEMA Nº 8.3: Solución F H G_F E F E H F C F F N_F F M F F D N F H H  A B F H H H G  A H M D_H H H B C H 14 1 3 2 3 5 9 7 5 11 12 8 6 9 10 13 16 15 17 19 20 GRAFICO DE LAS COORDENADAS 12

 a PROBLEMA Nº 8.3: SOLUCION: H  A F  A H B F B C_F H C D H D_F H E E F F H F_F G H G_F H H H F H M F M F N b H N 1 2 1 2 + + + + + -- + -+ - + 9 10 5 19 12 6 5 14 2 15 8 16 11 1 20 9 17 12 13 3 3 7

RECTA _{H F} PLANO _{H F} INT _{H F}

MN AEDH BFCG 1 2 MN TABLA DE VIS P     C     -  1     P     C     -  2    

 a PROBLEMA Nº 8.3: SOLUCION SOMBREADA H F H H C 1 G_F E F F_F N_F 2 M H E H F G H  A F D_F H N F 2 F B F C M D 1 H H H  A H B H SOLUCION SOMBREADA

 a PROBLEMA Nº 8.4 Si el poliedro tiene sección transversal convexa, la recta lo interseca en dos puntos; en cambio, si es cóncava, es posible que la recta interseque en más de dos puntos.

 a

Hallar la intersección de la recta

MN con el prisma ABCD-EFGH.

Mostrar la visibilidad de la

intersección.

 a

Hallar la intersección de la recta

MN

con la Pirámide V-ABCD.

Mostrar la visibilidad de la

intersección.

 a

INTERSECCION

DE RECTA CON

SUPERFICIE

 a 8.6 Superficies: Cono Cilindro.

CONO.-Es una superficie generada por una recta

llamada generatriz, que se desplaza apoyada sobre una curva(directriz) y pasando siempre por un punto (vértice).

CILINDRO.-Es una superficie generada por una

recta (generatriz) al desplazarse paralelamente a sí misma y apoyada sobre una curva(directriz).

 a 8.6 Superficies: Cono Cilindro.

 a 8.7 REGLAS DE VISIBILIDAD

1. Si son visibles dos generatrices que se interceptan, su punto de intersección es visible.

2. De dos generatrices que se interceptan, una o ambas están ocultas, el  punto de intersección es invisible.

3. Si dos círculos o sus porciones que se interceptan son visibles, el punto de intersección es visible.

4. De dos círculos o sus porciones que se interceptan, una o ambas están ocultas, el punto de intersección es invisible.

Antes de aplicar estas reglas de visibilidad, analizar la visibilidad de las generatrices, utilizando las reglas de visibilidad:

1. Considerar al signo (+) como visible y el signo (-) como invisible. 2. No se plica la regla de los signos.

 a 8.8 Representación de Superficies.

El cono está engendrado por el movimiento de una línea recta llamada generatriz, que se desplaza sobre una curva directriz y que  pasa siempre por un punto fijo llamado vértice; véase la figura 11.2.

8.8.1 REPRESENTACIÓN DE CONOS

 a 8.9 Representación de Superficies.

El cilindro es engendrado por el movimiento de una línea recta (generatriz) que se desplaza sobre una línea curva plana (directriz) permaneciendo siempre en todas sus posiciones paralela a su posición; véase la figura 11.3.

8.9.1 Representación de Cilindros.

 a INTERSECCI{ON DE RECTA CON SUPERFICIE

PROBLEMAS

RESUELTOS

 a

Hallar la intersección de la recta MN con un cono oblicuo de base horizontal de 6 cm de diámetro; siendo O el centro de su base y V el  vértice. Mostrar la visibilidad.

Problema 8.1:

M(5, 6, 16), N(13, 3, 12) , V(13.5, 7, 17) , O(8, 1.5, 13).

 a SOLUCION 1.5 3 6 7 12 13  13.5 V 5 M F 8 O_F  13 N_F H O H N F 16 17 H M H V grafico de los puntos

 a SOLUCION F N 1.5 5 13 O_F 8   13.5 13 3 6 7 M_F 12 17 16 H M NH V F O_H H V solucion final E H F_H  A H H B F B  A F EF FF 1 2 1 2 M' F M' H MN + + FV - + 2 - + GENER MN RECTA + + H F EV + H + + H F 1 INT + F

 a

 AB es el eje de un cilindro de bases horizontales de 5cm de diámetro. Determinar la intersección y mostrar la visibilidad de la recta MN con el cilindro dado. Cortar al cilindro por el extremo B.

PROBLEMA 8.2:

 A(7, 2.5, 15), B(12, 8.5, 19.5) , M(8.5, 1, 21) , N(8.5, 10, 12).

 a SOLUCION 2.5 1 10 8.5 12  A 4 7 8.5 F M F N N F H 21 19.5 15 H  A M H 12 F B BH GRAFICO DE LOS PUNTOS

 a SOLUCION 12 7 2.5 15 F  A  AH 19.5 8.5 B H F B 12 10 1 21 M F H M N H N F F X X H H M' F M' Y F H Y 1 2 Z S S Z 2 1 8.5 GENER H RECTA MN MN + + Z1 F + + S2 + -H F -+ INT 2 1 F H -+ -+ H H F F solucion final

 a Problema 11.3:PROBLEMA 8.3:

HALLAR LA INTERSECCION DE LA

RECTA AB CON EL CONO DE VERTICE

V. VISIBILIDAD.