PROBLEMAS DE FISICA. TEMA 1. VECTORES.

(1)

FÍSICA GENERAL.

“PROBLEMAS”

(ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS)

(2)

BLOQUE I:

“MECÁNICA CLÁSICA”

(VECTORES)

(PROBLEMAS DEL TEMA)

(3)

PROBLEMAS RESUELTOS DEL TEMA.

Problema

1.-Sean los vectores

Sean los vectores



r r

=



2,2,

−

22

 ,,

s s



=



1,1,33

 ,,



t t

=



2,2,55

 ,,



uu

=



−

2,2,11

 ,,



vv

=



−

1,1,66



yy

 

w

w==



−−6,6,−−66

 , se pide:

, se pide:

a) Representar gráficamente los vectores anteriormente dados.

b)

b) Un

Una

a ve

vez

z re

repr

pres

esen

enta

tado

dos

s gr

gráf

áfic

icam

amen

ente

te,

, re

real

aliz

izar

ar la

las

s si

sigu

guie

ient

ntes

es op

oper

erac

acio

ione

ness

gráficamente:

(i)



r r



 

ww

; (ii)

s s



−

uu

; (iii)



t t





vv

; (iv)



r r





s s





t t

; (v)



uu

−

vv

−

−

ww

..

c) Realiza las operaciones del apartado b) de forma analítica y comprueba los

resultados con los obtenidos con los del

resultados con los obtenidos con los del apartado b)

apartado b)

Solución.-a) y b)

a) y b)

Las representaciones gráficas pedidas en estos apartados se dan en la figura Las representaciones gráficas pedidas en estos apartados se dan en la figura P1.1P1.1 que se de en la

que se de en la siguiente página.siguiente página.

c)

Para hacer las sumas pedidas procedemos tal y como vimos en el apartado 1.5 de laPara hacer las sumas pedidas procedemos tal y como vimos en el apartado 1.5 de la teoría. Se obtienen así los

teoría. Se obtienen así los siguientes resultados:siguientes resultados: i. i.



r r



 

ww

=



22 ,,

−

22







−

66 ,,

−

66



=



22

−

66 ,,

−

22

−

66



=



−

44 ,,

−

88

 ..

ii. ii. s s−−uu==



11´ ,´ , 33







−−22 ,, 11



==



11−−−−22 ,, 33−−11



==



1122 ,, 22



==



33 ,, 22



..

iii. iii.



t t



vv

=



22 ,, 55







−

11 ,, 66



=



22

−

11



,, 55



66



=



22

−

11 ,, 1111



=



11 ,, 1111

 ..

iv iv.. r r  s st t ==



22 ,,−−22







11 ,, 33







22 ,, 55



==



221122 ,, −−223355



==



55 ,, 66

 ..

v v..



uu

−

vv

−

−

ww

=



−

22 ,, 11







−

11 ,, 66







−

66 ,,

−

66



=



−

22

−−

11

−−

66



,,

−

22

−

33

−−

66





=



55 ,, 11

 ..

Como podemos apreciar los resultados obtenidos analíticamente coinciden con los puntos Como podemos apreciar los resultados obtenidos analíticamente coinciden con los puntos de los extremos de los vectores

(4)

Figura P1.1 Figura P1.1 -8 --8 - 7 7 -6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 88 11 11 10 10 99 88 77 66 55 44 33 22 11 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -9 -9 -10 -10 -11 -11 -12 -12 -13 -13 (5,1) (5,1) (3,2) (3,2) (5,6) (5,6) (1,11) (1,11) (-4,-8) (-4,-8)

(5)

Problema

2.-Representa los siguientes vectores en el espacio:

Representa los siguientes vectores en el espacio:

a)



uu

=



1, 2, 51, 2, 5

 ; b)

; b)



vv

=



88 ,, 44 ,, 33

 ; c)

; c)

ww



=



66 ,, 66 ,,

−

33

 ; d)

; d)



r r

=



−

55 ,, 55 ,, 33

 ;;

e)

s s==



33 ,,−−44 ,, 33

 ; f)

; f)

t t ==



−−1010 ,,−−55 ,, 22

 ..

Solución.-Los vectores dados en el apartado quedan representados según se indica en la siguiente Los vectores dados en el apartado quedan representados según se indica en la siguiente figura P2.1.

figura P2.1.

Problema

3.-a)

a) Un vec

Un vector situa

tor situado en el plan

do en el plano XY tien

o XY tiene una magn

e una magnitud de 20 un

itud de 20 unidade

idades y forma

s y forma

un ángulo de 30º con la

un ángulo de 30º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares

abscisa. Determine sus componentes rectangulares..

b)

b) Un vec

Un vector situa

tor situado en el plan

do en el plano XY tien

o XY tiene una magn

e una magnitud de 15 un

itud de 15 unidade

idades y forma

s y forma

un ángulo de 133º con la

un ángulo de 133º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares.

abscisa. Determine sus componentes rectangulares.

Solución.-a) En la figura P3.1 aparece el vector

a) En la figura P3.1 aparece el vector



uu representado en color azul, así como susrepresentado en color azul, así como sus componentes. Fijémonos en que el vector tiene sus dos componentes positivas, tanto componentes. Fijémonos en que el vector tiene sus dos componentes positivas, tanto para la dirección “X” como para la dirección “Y”. Este vector determina un ángulo α = 30º para la dirección “X” como para la dirección “Y”. Este vector determina un ángulo α = 30º con la dirección “X”. Por tanto si observamos el triángulo OAB en el que la hipotenusa se con la dirección “X”. Por tanto si observamos el triángulo OAB en el que la hipotenusa se corresponde con el módulo del vector, es decir

corresponde con el módulo del vector, es decir

∥∥



uu

∥∥

=

2020 , y planteamos las razones, y planteamos las razones trigonométricas de

trigonométricas de α = 30º refiriéndonos a este triángulo OABα = 30º refiriéndonos a este triángulo OAB, podemos obtener los lados, podemos obtener los lados

Figura P2.1 Figura P2.1 X X Y Y Z Z

(6)

del triángulo que faltan por conocer, es decir el lado

del triángulo que faltan por conocer, es decir el lado AB AB y el ladoy el lado OAOA . Además. Además queda claro que el lado

queda claro que el lado OAOA se corresponde con la componente en la dirección “x” delse corresponde con la componente en la dirección “x” del vector

vector uu , esto es,, esto es, OAOA

=

uu_x_x . De manera parecida, el lado. De manera parecida, el lado AB AB se corresponde con lase corresponde con la componente en la dirección “Y” del

componente en la dirección “Y” del vector vector



uu , o sea,, o sea, AB AB==uu_y_y _{. Por tanto}_{. Por tanto tendremos:}_tendremos:

•• coscos==cos30cos30==OAOA

∥

uu

∥

==cos30cos30== OA OA 20 20 ⇒⇒OAOA==2020··cos30cos30==2020··



33 2 2 == 20 20··



33 2 2 ==1010



33 unidades.unidades.

•• sinsin==sisinn 3030==

_∥

AB AB__

u

∥

==sisinn 3030== AB AB

20

20 ⇒⇒ AB AB==2020··sin30sin30==2020·· 1 1 2 2== 20 20 2 2 ==1010 unidades.unidades.

Por tanto, el vector

Por tanto, el vector uu tiene de coordenadastiene de coordenadas



uu

=



1010



33 ,, 1010



..

b)

Procedemos aquí de manera parecida al apartado anterior a). Fijándonos en la figuraProcedemos aquí de manera parecida al apartado anterior a). Fijándonos en la figura P3.1 y refiriéndonos al tri

P3.1 y refiriéndonos al triángulo rectángulo OCD, tenemos que:ángulo rectángulo OCD, tenemos que: •• cocoss 4747==OC OC

∥

vv

∥

==cocoss 4747== OC OC

15

15 ⇒⇒OC OC ==1515··cocoss 4747≈≈10,23010,230 unidades.unidades.

•• sisinn 4747==CDCD

∥

vv

∥

==sisinn 4747== CD CD 15

15 ⇒⇒CDCD==1515··sisinn 4747≈≈10,97010,970 unidades.unidades.

Como podemos observar en la figura P3.1 la componente “x” del vector

Como podemos observar en la figura P3.1 la componente “x” del vector vv cae en elcae en el lado negativo del eje “X”, por tanto, el vector buscado es:

lado negativo del eje “X”, por tanto, el vector buscado es:



vv

=



−

1515··cocoss 4747 ,, 1515··sisinn 4747



≈



−

10,23010,230 ,, 10,97010,970



..

Problema

4.-La componente en el eje “X” de un vector

La componente en el eje “X” de un vector

uu

que está sito en el plano XY es de 14

unidades, y la componente en el eje “Y” es de 18 unidades. ¿Cuál es la magnitud y

dirección del vector



uu

?

Solución.-El enunciado nos pide obtener el módulo del vector y su dirección, esto es, el ángulo que El enunciado nos pide obtener el módulo del vector y su dirección, esto es, el ángulo que forma con la dirección positiva del eje “X”.

forma con la dirección positiva del eje “X”.

Para obtener el módulo, o megnitud, del vector nos fijamos en la figuara P4.1 en donde Para obtener el módulo, o megnitud, del vector nos fijamos en la figuara P4.1 en donde

Figura P3.1 Figura P3.1 30º 30º 133º 133º 47º 47º u u_x_x u u_y_y vv_x_x vv_y_y O O _A_A B B C C D D X X Y Y

(7)

aparece el vector pedido y el triángulo OAB. Por

aparece el vector pedido y el triángulo OAB. Por inspección de la figura apreciamos que elinspección de la figura apreciamos que el módulo del vector se corresponde con el valor

módulo del vector se corresponde con el valor del segmentodel segmento OAOA ..

Podemos aplicar el Teorema De Pitagoras, de manera que, el módulo de



uu será:será:

OA OA==

 

uu x x 2 2  uu y y 2 2 ⇒∥ ⇒∥uu∥∥==



141422181822==

_

520520 .. Para obtener el ángulo

Para obtener el ángulo  queque uu determina con el eje “X” podemos recurrir adetermina con el eje “X” podemos recurrir a tantan ,, de manera que obtenemos:

de manera que obtenemos:

tan tan==1818 14 14== 9 9 7 7⇒⇒==arctanarctan 9 9 7 7≈≈51,12551,125º º ..

Problema

5.-Un vector

Un vector

uu

tiene una magnitu

tiene una magnitud

d de 16

de 16 [cm] y

[cm] y está dirigi

está dirigido hacia el

do hacia el lado positiv

lado positivo

o

del eje “X”. Otro vector

vv

tiene una magnitud de 10 [cm] y forma un

tiene una magnitud de 10 [cm] y forma un ángulo de 60º

ángulo de 60º

respecto al lado positivo del eje “X”. El vector

ww

tiene una magnitud de 20 [cm] y

forma un ángulo de 75º con el lado positivo del eje “X”. Determine el vector

resultante de la suma de

resultante de la suma de los tres vectores.

los tres vectores.

Solución.-El presente problema puede realizarse gráficamente o

El presente problema puede realizarse gráficamente o analíticamente. Lo haremos por losanalíticamente. Lo haremos por los dos métodos a fin de practicar

dos métodos a fin de practicar lo máximo posible.lo máximo posible. En la siguiente figura P5.1 se dan los

En la siguiente figura P5.1 se dan los vectores y el vector resultantevectores y el vector resultante R R



=

=

uu





vv





ww con uncon un factor de escala

factor de escala ee

=

0,5380,538−−11 , por lo tanto si medimos con una regla el vector resultante, por lo tanto si medimos con una regla el vector resultante llegamos a que su módulo es de 19,089

llegamos a que su módulo es de 19,089 cm.cm.

Figura P4.1 Figura P4.1 O O A A B B Y Y X X



u u_xx = 14= 14 uu yy == 11 88

(8)

Analíticamente debemos de comenzar a calcular cada uno de los vectores



uu ,, vv yy



w

w de igual modo que lo de igual modo que lo hacíamos en el problema 3. Entonces:hacíamos en el problema 3. Entonces:

•• ComoComo uu está sobre el eje “X” su componente vertical es nula y por tanto soloestá sobre el eje “X” su componente vertical es nula y por tanto solo tiene componente horizontal, luego

tiene componente horizontal, luego



uu

=



1616 ,, 00



..

•• cos60 cos60== vv x x

∥

vv

∥

⇒⇒vv x x==

∥

vv

∥

··cos60cos60==1010·· 1 1 2 2==55 cmcm si

sinn 6060== vv y y

∥

vv

∥

⇒⇒vv y y==

∥

vv

∥

··sin60sin60==1010··



33 2 2 ==55



33 cmcm ⇒ ⇒ vv==



55 ,, 55



33



.. •• cos75 cos75== ww x x

∥

ww

∥

⇒⇒ww x x==

∥

ww

∥

··cos75cos75≈≈2020··0,2590,259==5,1765,176 cmcm si

sinn 7575== ww y y

∥

ww

∥

⇒⇒ww y y==

∥

ww

∥

··sin75sin75≈≈2020··0,9660,966==19,31919,319 cmcm ⇒

⇒ ww==



5,1765,176 ,, 19,31919,319



..

Finalmente el vector resultante será: Finalmente el vector resultante será:

  R R==



1616 ,, 00







55 ,, 55



33







5,1765,176 ,, 19,31919,319



..

Problema

6.-De

Dete

term

rmin

ina

a el

el va

valo

lor

r de

del

l pa

pará

ráme

metr

tro

o “k

“k”

” pa

para

ra qu

que

e lo

los

s si

sigu

guie

ient

ntes

es ve

vect

ctor

ores

es se

sean

an

Figura P5.1 Figura P5.1





60º 60º 75º75º FACTOR DE ESCALA: e = 0,538 FACTOR DE ESCALA: e = 0,538-1-1 X X Y Y

(9)

unitarios:



aa

=



11 , , k k ,, 11

 ,,

_b_b₌₌



₀₀ _,, 11 3 3 , , k k



yy

cc==



1 1 2 2 , , k k ,, 1 1 3 3



..

Solución.-Un vector se dice que es unitario si su módulo es igual a la unidad, de manera que, el Un vector se dice que es unitario si su módulo es igual a la unidad, de manera que, el vector

vector aa==



11 , k , k ,, 11



_{será unitario si, y solo si,}_{será unitario si, y solo si,}

∥

aa

∥

==



1122k k 221122==11⇔⇔1122k k 221122==1122⇒⇒k k 22=−=−11 ..

Como no existe ningún número tal que elevado al cuadrado de un número negativo, Como no existe ningún número tal que elevado al cuadrado de un número negativo, entonces no existe ningún valor de “k” para el cual el vector

entonces no existe ningún valor de “k” para el cual el vector



aa

=



11 , , k k ,, 11



_{sea unitario.}_{sea unitario.}

Por otro lado el vector

Por otro lado el vector _b_b₌₌



₀₀ _,, 11

3

3 , k , k



será unitario si, y solo si,será unitario si, y solo si,

∥∥



_b_b

_∥∥

₌

 

₀₀22





11 3 3



2 2



k k 22

=

11

⇔



11 3 3



2 2



k k 22

=

1122

⇒

k k 22

=

11

−

11 9 9

⇒

k k 2 2

=

99

−

11 9 9

⇒

k k

=

 

8 8 9 9

⇒

k k 2 2 22 3 3 ..

De modo análogo, el vector

De modo análogo, el vector cc==



11

2

2 , , k k ,, 1 1 3

3



será unitario si, y solo si,será unitario si, y solo si,

∥

cc

∥

==

 



11 2 2



2 2  k k 22



11 3 3



2 2 = =11⇔⇔



11 2 2



2 2  k k 22



11 3 3



2 2 = =1122⇒⇒k k 22==11−−1313 36 36⇒⇒k k 2 2 = =3636−−1313 36 36 ⇒⇒k k 23 23 6 6 ..

Problema

7.-Sean los vectores

Sean los vectores



aa

=



11 ,, 22 ,, 11

 ,,



_b_b

₌



₋

11 ,, 33 ,,

−

33

 yy

cc==



11

2 2 ,,−−11 ,, 1 1 3 3



. Se pide

determinar tres vectores unitarios en las mismas direcciones y sentidos que los

vectores dados.

Solución.-Tal y como hemos visto todo vector puede ser expresado como producto de su módulo Tal y como hemos visto todo vector puede ser expresado como producto de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido, esto es:

por un vector unitario en su dirección y sentido, esto es:



u

=

∥

u



u

∥

··



nn__u_u ,, por tanto, si l

por tanto, si los módulos de los vectores dados en el os módulos de los vectores dados en el enunciado son:enunciado son: ••

∥

aa

∥

==



112222221122==



114411==



66 ,, ••

∥∥

bb

∥∥

==



−−11223322−−3322==



119999==



1919 , y, y ••

∥

cc

∥

==

 

11 2 2 2 2 − −112211 3 3 2 2 = =

 

11 4 411 1 1 9 9==

 

9 9363644 36 36 ==

 

49 49 36 36== 7 7 6 6 ,,

entonces los vectores unitarios

entonces los vectores unitarios buscados serán:buscados serán:

•• == aa

∥

aa

∥

==



11 ,, 22 ,, 11





66 ==



1 1



66 , , 2 2



66 , , 1 1



66



==





66 6 6 , , 2 2··



66 6 6 , ,



66 6 6



== 6 6 6 6 , , 6 6 3 3 , , 6 6 6 6 .. n n_a_a

(10)

•• bb ==



−−11 ,, 33 ,,−−33





1919 ==



− −11



1919 , , 3 3



1919 , ,−− 3 3



1919



== 19 19 19 19 , , 3 3·· 1919 19 19 , , ·· 1919 19 19 .. •• == cc

∥

cc

∥

==



11 2 2 ,,−−11 ,, 1 1 3 3



7 7 6 6 = =



1 1 2 2 7 7 6 6 , , 11 7 7 6 6 , , 1 1 3 3 7 7 6 6



= = 33 7 7 , , 6 6 7 7 , , 2 2 7 7 ..

Problema

8.-Dados los vectores:

Dados los vectores:



aa

=



1010 ,, 55 ,, 33

 ,,



bb

=



33 ,,

−

44 ,, 22

 yy



cc

=



22 ,, 66 ,,

−

44

 encontrar:

encontrar:

a)

aabb

..

b)



aa

−

cc

..

c)

22aa−−33bbcc 2 2

..

d)

d) Án

Ángu

gulo

lo en

entr

tree



aa

yy

bb

..

e)

e) Án

Ángu

gulo

lo en

entr

tree

_b_b

_yy

___a_a_−_−_cc

_..

Solución.-a)

a)

=



1010 ,, 55 ,, 33







33 ,,

−

44 ,, 22



=



1010



33 ,, 55

−

44 ,, 33



22



=

1313 ,, 11 ,, 55

..

b)

==



1010 ,, 55 ,, 33



−−



22 ,, 66 ,,−−44



==



1010−−22 ,, 55−−66 ,, 33−−−−44



== 88 ,, 11 ,, 77

..

c)

d)

Para encontrar el ángulo entre dos vectores primero tenemos que realizar su productoPara encontrar el ángulo entre dos vectores primero tenemos que realizar su producto escalar, de manera que:

escalar, de manera que:



a

a ··



bb

=



1010 ,, 55 ,, 33



··



33 ,,

−

44 ,, 22



=

1010··33



55··

−

44



33··22

=

3030

−

2020



66

=

1616 .. A continuació

A continuación calculamos los módulos de n calculamos los módulos de ambos vectores:ambos vectores: •• aa==



1010 ,, 55 ,, 33



⇒⇒

∥

aa

∥

==



10102255223322==



100100252599==



134134 .. •• bb==



33 ,,−−44 ,, 22



⇒⇒

∥∥

bb

∥∥

==



3322−−44222222==



99161644==



2929 .. Ahora bien como se cumple que

Ahora bien como se cumple que aa ··bb==

∥

aa

∥

··

∥∥

bb

∥∥

··coscos , siendo θ el ángulo entre, siendo θ el ángulo entre aa

yy

 

b

b , entonces tendremos que:, entonces tendremos que:

cos cos== aa ··bb

∥

aa

∥

··

∥∥

bb

∥∥

== 16 16



134134··



2929== 16 16



38863886== 8 8



38863886 1943 1943 .. Finalmente e

Finalmente el ángulo l ángulo θ buscado θ buscado está dado está dado por:por:

=

arcarccoscos88



38863886 1943

1943

≈

75,12875,128 º º ..

e)

Procedemos aquí igual que el el Procedemos aquí igual que el el apartado anteriorapartado anterior, por tanto:, por tanto:

2 2 33 2 2==22



1010 ,, 55 ,, 33



−−33



33 ,, −−44 ,, 22



 1 1 2 2



22 ,, 66 ,,−−44



== = =



2020 ,, 1010 ,, 66



−−



99 ,,−−1212 ,, 66







22 2 2 ,, 6 6 2 2 ,,−− 4 4 2 2



==



2020 ,, 1010 ,, 66



−−



99 ,,−−1212 ,, 66







11 ,, 33 ,,−−22



== = =



2020−−9911 ,, 1010−−−−121233 ,, 66−−66−−22



== 1212 ,, 2525 ,, 22 .. n n_b_b==

∥∥

_b_b

_∥∥

3 3 n n_c_c a a bb a a−−cc a a bb cc

(11)

••

∥∥

bb

∥∥

==



2929 ..

••

∥

aa−−cc

∥

==



8822−−11227722==



114114 ..

Por otra parte, el producto escalar de los vectores

Por otra parte, el producto escalar de los vectores bb yy



aa

−

cc será:será:



b

b ··



aa

−

cc



=



33 ,,

−

44 ,, 22



··



88 ,,

−

11 ,, 77



=

33··88

−

44



··

−

11



22··77

=

2424



44



1414

=

4242 .. Como por definición

Como por definición b ··b



aa−−cc



==

∥∥

bb

∥∥

··

∥

aa−−cc

∥

··coscos , siendo, siendo



el ángulo formado por losel ángulo formado por los vectores

vectores



bb yy aa−−cc entonces:entonces:

arc

arccoscos 4242



2929··



114114≈≈43,07543,075º º ,,

que es el valor

que es el valor aproximado del ángulo buscado.aproximado del ángulo buscado.

Problema

9.-Determinar el valor del parámetro “m” para que los vectores

Determinar el valor del parámetro “m” para que los vectores



uu

=



11 , , m m ,,

−

22



yy



vv==



11 ,, 11 ,,−−11

 determinen entre sí un ángulo de 60º.

determinen entre sí un ángulo de 60º.

Solución.-Si

Si lolos s vevectctororeses



uu

=



11 , , m m ,,

−

22



yy



vv

=



11 ,, 11 ,,

−

11



dedetetermrmininan an un un ánángugulo lo de de 6060ºº entonces se ha de cumplir que

entonces se ha de cumplir que uu ·· vv==

∥

uu

∥

··

∥

vv

∥

··cos60cos60 en donde tenemos que:en donde tenemos que: •• uu ··vv==



11 , , m m ,,−−22



··



11 ,, 11 ,,−−11



==11··11mm ··11−−22··−−11==11mm22==mm33 _.. ••

∥



uu

∥

=



1122



mm22

−

22



22

=



11



mm22



44

=



mm22



55 .. ••

∥

vv

∥

==



11221122−−1122==



111111==



33 .. •• cos60cos60==11 2 2 ..

De esta forma al sustituir en

De esta forma al sustituir en uu ·· vv==

∥

uu

∥

··

∥

vv

∥

··cos60cos60 se obtiene que:se obtiene que:

m m33==



mm2255··



33··11 2 2⇒⇒22mm66==



33mm 2 2  1515⇒⇒



22mm66



22==33mm221515⇒⇒44mm222424mm3636==33mm221515 ⇒ ⇒44mm22−−33mm222424mm3636−−1515==00⇒⇒mm222424mm−−2121==00 ⇒ ⇒mm==−−2424±±



2424 2 2 − −44··11··−−2121 2 2··11 == 660 660 2 2 ..

Problema

10.-Determinar el valor de “k” para que los vectores

Determinar el valor de “k” para que los vectores



uu

=



11 , , m m ,,

−

22

 yy



vv

=



11 ,, 11 ,,

−

11



sean perpendiculares entres sí.

Solución.-Si dos vectores son perpendiculares el ángulo entre

Si dos vectores son perpendiculares el ángulo entre ellos es deellos es de ==90º90º luegoluego 



u

u ··vv==

∥

uu

∥

··

∥

vv

∥

··cos90cos90

pero

pero cos90cos90

=

00 de manera quede manera que



uu ··



vv

=

∥



uu

∥

··

∥



vv

∥

··cos90cos90

=

∥



uu

∥

··

∥



vv

∥

··00

=

00 .. =

=

24 24

(12)

Por otra parte el producto

Por otra parte el producto uu ··vv está dado por:está dado por:



u u ··



vv

=



11 , , m m ,,

−

22



··



11 ,, 11 ,,

−

11



=

11··11



mm ··11

−

22



··

−

11

=

11



mm



22

=

mm



33 de donde: de donde:   u u ··vv==00⇔⇔mm33==00⇒⇒mm ..

Problema

11.-Dados los vectores

Dados los vectores



uu

=



11 ,,

−

22 ,, 33

 ,,

vv==



22 ,, 33 ,, −−11

2



yy

ww



=



22 ,,

−

22 ,, 11

 determinar

determinar

las siguientes

las siguientes operaciones:

operaciones:

a)

uu ·· vv

; b)

vv ··ww

; c)

uu×× ww

; d)

uu××vv

; e)

vv××uu

; f)

vv×× ww

..

Solución.-a)

a)

·· ==



11 ,,−−22 ,, 33



··



22 ,, 33 ,,−−11 2 2



==11··22−−22··3333··



− −11 2 2



=−=−44−− 3 3 2 2== 2 2··−−44−−33 2 2 == 11 11 2 2

..

b)

·· ,, 33 ,,−−11 2 2



··



22 ,,−−22 ,, 11



==22··2233··−−22



− −11 2 2



··11=−=−22−− 1 1 2 2== 2 2··−−22−−11 2 2 == 5 5 2 2

..

c)

Para calcular el producto vectorial primero expresamos los vectores correspondientesPara calcular el producto vectorial primero expresamos los vectores correspondientes en forma de combinación lineal de la

en forma de combinación lineal de la base canónicabase canónica

{{

i i ,,



j j ,,



k k

}}

. T. Tenemos enemos así:así: •• uu==



11 ,, −−22 ,, 33



==11··ii−−22·· j j33··k k ==ii−−22 j j33k k ..

•• ww==



22 ,,−−22 ,, 11



==22··ii−−22·· j j11··k k ==22ii−−22 j jk k .. Por tanto el producto

Por tanto el producto uu××ww será:será:

1 1 ,,−−22 ,, 33



××



22 ,,−−22 ,, 11



==

∣∣

 _ii _j_j _k_k 1 1 −−2 2 33 2 2 −−2 2 11

∣∣

= =i ·i ·

∣∣

−−2 2 33 − −2 2 11

∣∣

−− j j ··

∣∣

1 1 33 2 2 11

∣∣

k ·k ·

∣∣

1 1 −−22 2 2 −−22

∣∣

== = =



11··−−22−−33··−−22



··ii−−



11··11−−22··33



·· j j



−−22··11−−22··−−22



··k k == = =



−−2266



··ii−−



11−−66



·· j j



−−2244



··k k ==44··ii−−−−55·· j j22··k k == = =44 55 22

d)

= =



11 ,,−−22 ,, 33



××



22 ,, 33 ,,−−11 2 2



==

∣∣

 _ii _j_j _k_k 1 1 −−2 2 33 2 2 33 −−11 2 2

∣∣

= =i ·i ·

∣∣

− −2 2 33 3 3 −−11 2 2

∣∣

− − j j ··

∣∣

1 1 33 2 2 −−11 2 2

∣∣

 k ·k ·

∣∣

11 −−22 2 2 33

∣∣

== = =



−−11 2 2 ··−−22−−33··33



··ii−−



− −11 2 2 ··11−−22··33



·· j j



33··11−−22··−−22



··k k == = =



11−−99



··ii−−



−−11 2 2 −−66



·· j j



3344



··k k =−=−88··ii−−



− −1313 2 2



·· j j77··k k == = = 1313 2 2 77 =− =−33 u u vv vv w w ==



22 u u w w ==



i i j j k k .. u u××vv 8 8 i i j j k k ..

(13)

e)

f)

Problema

12.-Demostrar que los vectores

Demostrar que los vectores



aa

=



11 ,,

−

33 ,, 22

 yy

bb



=



−

44 ,, 1212 ,,

−

88

 son paralelos.

son paralelos.

Solución.-Recordemos que el producto vectorial de dos vectores

Recordemos que el producto vectorial de dos vectores uu por por vv , se obtenía otro, se obtenía otro vector cuyo módulo es

vector cuyo módulo es

∥



uu

∧

vv

∥

=

∥



uu

∥

··

∥



vv

∥

··sinsin



, en donde, en donde  es el ángulo que entre loses el ángulo que entre los vectores. Por tanto si

vectores. Por tanto si



uu por por vv son paralelos tendremos queson paralelos tendremos que

=

00

⇒

sin0sin0

=

00 , lo que, lo que implica que el producto vectorial de

implica que el producto vectorial de



uu por por vv será el vector nulo.será el vector nulo. Por tanto, si

Por tanto, si realizamos realizamos el producto vel producto vectorial deectorial de aa por por bb se obtiene:se obtiene:

= =



11 ,,−−33 ,, 22



××



−−44 ,, 1212 ,,−−88



==

∣∣

 _ii _j_j _k_k 1 1 −−3 3 22 − −4 4 1212 −−88

∣∣

= = 00 ,, 00 ,, 00 ,,

ya que, por las propiedades de los determinantes al ser la fila 3ª igual a la opuesta de 4 ya que, por las propiedades de los determinantes al ser la fila 3ª igual a la opuesta de 4 veces la fila 2ª, entonces el

veces la fila 2ª, entonces el determinante es nulo, y por tanto el determinante es nulo, y por tanto el producto vectorial es nulo.producto vectorial es nulo. Como consecuencia los vectores

Como consecuencia los vectores aa==



11 ,,−−33 ,, 22



yy bb==



−−44 ,, 1212 ,,−−88



son paralelos, talson paralelos, tal y como queríamos demostrar.

y como queríamos demostrar. = =



22 ,, 33 ,,−−11 2 2



××



11 ,,−−22 ,, 33



==

∣∣

 _ii _j_j _k_k 2 2 33 −−11 2 2 1 1 −−2 2 33

∣∣

= =i ·i ·

∣∣

33 − −11 2 2 − −2 2 33

∣∣

− − j j ··

∣∣

22 − −11 2 2 1 1 33

∣∣

 k ·k ·

∣∣

2 2 33 1 1 −−22

∣∣

== = =



33··33−−



−−11 2 2



··−−22



··ii−−



33··22−−11·· 1 1 2 2



·· j j



−−22··22−−11··33



··  _k_k₌₌ = =



99−−11



··ii−−



66−−11 2 2



·· j j



−−44−−33



··k k ==88··ii−− 13 13 2 2 ·· j j−−77··k k == = =88 1313 2 2 ,, 33 ,,−−11 2 2



××



22 ,,−−22 ,, 11



==

∣∣

 _ii _j_j _k_k 2 2 33 −−11 2 2 2 2 −−2 2 11

∣∣

= =i ·i ·

∣∣

33 − −11 2 2 − −2 2 11

∣∣

− − j j ··

∣∣

22 − −11 2 2 2 2 11

∣∣

 k ·k ·

∣∣

2 2 33 2 2 −−22

∣∣

== = =



11··33−−



−−11 2 2



··−−22



··ii−−



11··22−−22··



− −11 2 2



·· j j



−−22··22−−22··33



··k k == = =



33−−11



··ii−−



2211



·· j j



−−44−−66



··k k ==22··ii−−33·· j j−−1010··k k == = =22 33 a a bb vv××uu i i j j 77k k .. vv w w ==



22 i i j j 1010k k ..

(14)

NOTA.-El presente texto es propiedad intelectual del autor en su completa totalidad, y quedan prohibidas

El presente texto es propiedad intelectual del autor en su completa totalidad, y quedan prohibidas

todas aquellas copias que no fueran autorizadas por él mismo. Para cualquier sugerencia o