1.2 Propiedades de los números reales

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

1.2 Propiedades de los números reales

Teoría

Propiedades de la suma

Cerradura : La suma de dos números reales siempre da como resultado otro número real.

a + b ∈ R (∈ significa “pertenece a”)

Conmutatividad: La expresión usual de esta propiedad es: “el orden de los sumandos no altera la suma”. Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a + b = b + a

Asociatividad: Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que:

a + (b + c) = (a + b) + c

Elemento neutro: El número real 0 sumado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces:

a + 0 = a

Elemento inverso: Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0: si a es un número real, entonces:

a + (–a) = 0

Propiedades de la multiplicación

Cerradura : el producto de dos números reales siempre da como resultado otro número real.

(2)

Conmutatividad: La expresión usual de esta propiedad es: “el orden de los factores no altera el producto”. Si a y b son dos números reales, la conmutatividad se puede expresar así:

a x b = b x a

Asociatividad: Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales, la asociatividad dice que:

a x (b x c) = (a x b) x c

Elemento neutro: El número real 1 multiplicado a cualquier número lo deja sin cambiar: si a es un número real, entonces:

a x 1 = a

Elemento inverso: Todo número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, lo que quiere decir que si se multiplican el número y su inverso, el resultado es 1: si a es un número real distinto de cero, entonces:

a x 1/a = 1 Distributiva : a x(b + c) = (a x b) + (a x c) Ejemplos Suma Cerradura : a + b ∈ R -8 + .45 = -7.55 (-7.55 ∈ R) Conmutatividad: a + b = b + a 7 + 3.5 = 3.5 + 7 10.5 = 10.5 Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c -.5 + (4 + 6) = (-.5 + 4) + 6 -.5 + 10 = 3.5 + 6 9.5 = 9.5 Elemento neutro: a + 0 = a 7/8 + 0 = 7/8 7/8 = 7/8

(3)

Elemento inverso: a + (–a) = 0 10 + (-10) = 0 10 – 10 = 0 0 = 0 Multiplicación Cerradura : a x b ∈R -3 x 2/7 = -6/7 (-6/7 ∈ R) Conmutatividad: a x b = b x a .001 x 45 = 45 x .001 .045 = .045 Asociatividad: a x (b x c) = (a x b) x c -.3 x (1/5 x 20) = (-.3 x 1/5) x 20 -.3 x 4 = -3/50 x 20 -1.2 = -60/50 -1.2 = -1.2 Elemento neutro: a x 1 = a 123456789.987654321 x 1 = 123456789.98765432 123456789.987654321 = 123456789.987654321

Elemento inverso: a x 1/a = 1 -π x 1/-π = 1 -π/-π = 1 1 = 1 Distributiva : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 2/3 x (-5 + 13) = (2/3 x -5) + (2/3 x 13) 2/3 x 8 = -10/3 + 26/3 16/3 = 16/3 Ejercicios

Indica que propiedad se aplica en cada caso. 1) 5/3 x (-8 + 1) = (5/3 x -8) + (5/3 x 1) 2) 17 + (-17) = 0

3) -5 x .7 = -3.5 (-3.5 ∈ R) 4) 9/5 x 1 = 9/5

(4)

6) -.8 + 3/5 = -1/5 (-1/5 ∈ R) 7) 1.2 + 9.8 = 9.8 + 1.2 8) π x -7 = -7 x π 9) 3 x (.5 x 1/2) = (3 x .5) x 1/2 10) -5 + (4.9 + 6/7) = (-5 + 4.9) + 6/7 11) -314 x 1/-314 = 1

1.2.1 Tricotomía

Teoría

Todo número real es positivo, cero ó negativo. Para números reales a y b arbitrarios, solo una de las siguientes relaciones es verdadera : a > b, a = b ó a < b.

Ejemplos

Veamos las relaciones que pueden ser verdaderas de acuerdo al orden en que se presentan los siguientes valores.

1) 78 y 49 : 78 es mayor que 49 2) -1 y .5 : -1 es menor que .5 3) 4/2 y 2 : 4/2 es igual que 2 4) -9 y -5 : -9 es menor que -5 5) .4 y 2/5 : .4 es igual que 2/5 6) 4.5 y -1.3 : 4.5 es mayor que -1.3

Ubiquen cada par de valores en una recta numérica y quedará más claro que no es posible asignar más de una relación entre dos valores.

(5)

Ejercicios

Determina la relación entre los siguientes números. ¿Puedes utilizar más de una para cada caso?

-7 _______ -17 .48 _______ 48/100 168 _______ 1.68 -3 _______ -15/5 0.999 _______ 0.99

1.2.2 Transitividad

Teoría

Cuando un elemento a se relaciona con un elemento b, y el elemento b se relaciona con el elemento c, entonces a se relaciona con c.

Si a = b y b = c, entoces a = c.

Si a < b y b < c, entoces a < c.

Si a > b y b > c, entoces a > c.

Ejemplos

El concepto de transitividad quedará aún más claro con algunos ejemplos.

Si 1/2 = 0.5 y 0.5 = 8/16, entoces 1/2 = 8/16.

Si 0.9 < 0.99 y 0.99 < 0.999, entoces 0.9 < 0.999.

Si 1 > -072 y -0.72 > -753, entoces 1 > -753.

Ejercicios

¿Cuál es la consecuencia de cada una de las siguientes relaciones? Si 89 > 56 y 56 > 12, entonces _______

(6)

Si -4.5 < -1.05 y -1.05 < -0.001, entonces _______ Si 1/9 < 1/5 y 1/5 < 3/7, entonces _______ Si -2/8 = -1/4 y -1/4 = -0.25, entonces _______ Si -3/7 > -0.25 y -0.25 > -19/70, entonces _______

1.2.3 Densidad

Teoría

Entre dos números reales, a y b siempre será posible encontrar un tercer número real c.

Esto no sucede con el subconjunto de los números enteros. Veamos algunos ejemplos para clarificar este concepto. Ejemplos

Tomemos dos números y veamos si podemos encontrar a otro número que se encuentre entre ellos.

Utilizaremos la recta númerica para ubicar al 1 y el 9.

Podemos ver que hay varios números entre el 1 y el 9, son 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Ahora tomemos a dos de estos números que sean consecutivos, el 3 y el 4.

No hay otro entero entre ellos, es por eso que el conjunto de los enteros Z no es denso.

En esta ocasión nos ocupa el conjunto de los números reales R, por lo que podemos buscar algún número racional que se encuentre entre el 3 y el 4.

En este caso escogimos dividir el entero en 6 partes (sextos), pero las opciones son ilimitadas, pudimos haber dividido en dos partes o en un millón.

Ahora tomemos dos de esos sextos, 19/6 y 20/6, ¿hay algún número real entre ellos?.

(7)

Una manera de encontrar un número que esté entre otros dos es con el promedio de estos.

19/6 = 38/12 y 20/6 = 40/12.

El promedio de 38/12 y 40/12 es 39/12. 38/12 < 39/12 < 40/12

Con este método queda claro que podemos encontrar un número entre cualquier par de números, siempre y cuando estemos hablando del conjunto R

.

1.2.4 Axioma del supremo

Teoría

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente posee un supremo

A diferencia de los axiomas anteriores, para entender este axioma será necesario definir algunos conceptos.

Conjunto no vacío: este concepto no es tan complejo, se refiere a un conjunto que tiene por lo menos un elemento.

Cota superior: se refiere a un valor que es mayor o igual que cualquier otro valor contenido en el conjunto. Un conjunto puede tener una infinidad de cotas superiores.

Supremo: es la mínima cota superior de un conjunto. Solo puede existir un supremo en un conjunto.

Ejemplos

Tomemos el intervalo A = (3 , 48) y veamos si cumple con el Axioma.

Al contener elementos es no vacío.

Está acotado superiormente ya que existen valores que son superiores a cualquiera contenido en el intervalo. El 70, por ejemplo, es mayor que cualquier valor contenido en el intervalo, así como el 60, el 50 o cualquier otro valor igual o mayor que 48.

(8)

Entonces el intervalo A si tiene un supremo.

La menor cota superior es 48, esto la convierte en el supremo: supA = 48.

Ahora analicemos a el intervalo B = (-7 , ∞)

Al contener elementos es no vacío.

No está acotado superiormente ya que no hay ningún valor que sea mayor al infinito.

El intervalo B no tiene supremo.

Ejercicios

Determina si los siguientes intervalos tienen supremo y, si lo tienen, expresalo de la forma supA = s, donde s es el valor del supremo.

1) Intervalo A (-∞ , 0) 2) Intervalo B (-5.23 , 0.6] 3) Intervalo C [29 , ∞) 4) Intervalo D [-89 , -1/3] 5) Intervalo E (0.09 , 0.9) 6) Intervalo F (-∞ , ∞)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :