PENDIENTES DE 1º BACH MATEMÁTICAS I EJERCICIOS BLOQUE I

(1)

PENDIENTES DE 1º BACH

MATEMÁTICAS I

(2)

Tema 1. Los números reales

1.- Suma los siguientes radicales: 6 2 24 3 54 5 96 Solución

6 26

2.- Suma los siguientes radicales: 3 45 125 2 500 3 20 Solución

5 18

3.- Suma los siguientes radicales: 23 26b 3364b 5323b 3125b Solución 3 11 b 4.- Racionaliza:

5

Solución 5 5.- Racionaliza:

3

2

3

Solución 3 3 6 6.- Calcula el valor de x: a) log2 x = – 5 b) logx 243 = 5 Solución a) x = 1/32 b) x = 3 7.- Calcula el valor de x: a) log2 4x = 3 b) logx 32 =

2

5

Solución a) x = 2 b) x = 4

8.- El número de bacterias, N, que hay después de t horas de una infección viene dado por: N = 5t + 1

a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas?

b) ¿Cuántas horas deben transcurrir para que haya más de 5000 bacterias? Solución a) N(5) = 56 = 15625 bacterias. b) 5000 = 5t + 1 t =

5 log

5000

log

= 4,29 h

(3)

2. Álgebra

1.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x4 + 2x3 – x2 – 2x Solución

x(x – 1)(x + 1)(x + 2)

Raíces: x1 = 0; x2 = 1; x3 = – 1; x4 = – 2

2.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x2 + 2x Solución

x(x + 1)(x + 2)

Raíces: x1 = 0; x2 = – 1; x3 = – 2

3.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 3x2 + 3x – 1

Solución

(x – 1)3

Raíces: x1 = x2 = x3 = – 1

4.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 2x2 + x Solución

x(x – 1)2

Raíces: x1 = 0; x2 = x3 = 1

5.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x2 – 4x – 12

Solución (x – 2)(x + 2)(x + 3) Raíces: x1 = 2; x2 = – 2; x3 = – 3 6.- Resuelve:

6

5

3

1

3

2

x

Solución x = 2 7.- Resuelve:

4

2

1

4

2 2

x

Solución x = – 6 8.- Resuelve:

4

7

1

2

2 2

x

Solución x1 = 3, x2 = 1/3 9.- Resuelve:

4

0

2

6

2

1

3 x

x

Solución x1 = 1, x2 = –18 10.- Resuelve:

x

25 x

2

1

Solución x = 4 11.- Resuelve:

7 x

1 x

Solución

(4)

x = 10 12.- Resuelve:

2 x

13 x

5

Solución x = 9 13.- Resuelve: x4 + 2x2 – 3 = 0 Solución x1 = – 1; x2 = 1 14.- Resuelve: 2x4 – 3x2 – 20 = 0 Solución x1 = – 2; x2 = 2 15.- Resuelve: 4x + 1 + 2x + 3 = 320 Solución x = 3 16.- Resuelve: 2x– 20 · 2– x + 8 = 0 Solución x = 1

17.- Resuelve: log (x2 + 1) – log (x2 – 1) = log 13/12

Solución x1 = – 5, x2 = 5

18.- Resuelve: log x2 – log (x – 16) = 2

Solución x1 = 20, x2 = 80

19.- Resuelve: 3 log 2x – 2 log x = log (4x + 1)

Solución x = 1/4

20.- Resuelve: 2 log x + 4 log x = 6

Solución x = 10

21.- Una bacteria se reproduce por bipartición cada hora. Si inicialmente tenemos 200 bacterias, calcula cuánto tiempo tiene que pasar para tener 2 millones de bacterias.

Solución 200 · 2t = 2000000 t = 13,3 h 22.- Resuelve: x2 – 6x + 8 < 0 Solución (2, 4) 23.- Resuelve: x2 – 3x – 10 ≥ 0 Solución (– , – 2] [5, + ) 24.- Resuelve: x3 – 6x2 – x + 6 ≥ 0 Solución [– 1, 1] [6, + )

(5)

25.- Resuelve:

0

4

2 2

x

Solución (– 2, 2) 26.- Resuelve:

0

1

9

2

x

Solución (– , – 3] (– 1, 3] 27.- Resuelve:

0

4

2

x

Solución (– , – 4) [0, 2] 28.- Resuelve:

5

2

3

6

2 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Solución x = 2, y = – 1, z = 3 29.- Resuelve:

5

2

3

5

3

1 z

y

x

z

x

z

y

x

Solución x = 1, y = 0, z = – 2 30.- Resuelve:

1

4

2

3 z

y

x

z

y

x

z

y

x

Solución x = – 4, y = 2, z = 5

31.- Carmen tiene una colección de 30 películas entre musicales, comedias y aventuras. Se sabe que entre los musicales y las de comedia igualan al número de aventuras y que entre las

musicales y el doble de comedias exceden en 5 a las de aventuras. Calcula el número de películas de cada clase.

Solución N.º de musicales: x N.º de comedias: y N.º de aventuras: z

₂

₅

30 z

y

x

z

y

x

z

y

x

x = 10, y = 5, z = 15

32.- Tres amigos juegan juntos a la lotería y les toca un premio de 9000 €. El primero cobra el triple del segundo, y este el doble que el tercero. Calcula cuánto recibe cada uno.

(6)

Premio del 1.er: x Premio del 2.º: y Premio del 3. er: z

_y

_z

y

x

z

y

x

2

3 9000

x_{Premio del 1.º: 6000 €} = 6000, y = 2000, z = 1000 Premio del 2.º: 2000 € Premio del 3.º: 1000 €

33.- Halla tres números tales que la suma de los tres es 330. El primero excede en 20 unidades al segundo y el tercero es la media aritmética del primero y segundo.

Solución 1.er número: x 2.º número: y 3.er número: z

2

20

330 y

x

z

y

x

y

x

x = 120, y = 100, z = 110

(7)

3. Razones trigonométricas

1.- Halla el seno, el coseno y la tangente del ángulo agudo de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 10 cm, el cateto contiguo, 8 cm y el cateto opuesto, 6 cm

Solución 5 3 sen , 5 4 cos , 4 3 tg

2.- Calcula el seno, el coseno y la tangente de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que se forma al trazar la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles. El lado desigual mide 10 cm y la altura, 12 cm Solución 13 169 12 52 2 x cm 13 12 sen , 13 5 cos , 5 12 tg 13 5 sen , 13 12 cos , 12 5 tg

3.- Sabiendo que sen = 1/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula cos y tg Solución sen2 + cos2 = 1 1 cos 25 1 2 25 24 cos2 25 6 2 25 24 cos cos sen tg 12 6 5 6 2 : 5 1 tg

4.- Sabiendo que cos = 3/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y tg Solución sen2 + cos2 = 1 sen2 + 25 9 = 1 sen2 =

25

16

sen = 5 4 tg = cos sen tg = 3 4 5 3 : 5 4

5.- Sabiendo que tg = 3 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y cos Solución

tg2 + 1 = sec2

9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10 10 tg = cos sen sen = tg cos = 10 10 3

6.- Una escalera de 8 m de longitud se apoya sobre una pared y alcanza los 6 m. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

(8)

tg = 8 6

= 36° 52’12’’

7.- Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 80 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal.

Solución

tg 30° = 80

x

x = 80 tg 30° = 46,19 m

8.- Calcula el área de un decágono regular de 4 cm de lado. Solución 18 tg 2 a 6,16 cm A = 2 16 , 6 40 123,2 cm2

9.- Calcula la altura de una torre si al situarse a 25 m de su pie, se observa el punto más alto de la torre con un ángulo de 45°

Solución

x = 25 · tg 45° = 25 · 1 = 25 m

10.- Un ángulo está en el 2.º cuadrante y sen = 1/5. Calcula cos y tg Solución sen2 + cos2 = 1

25

1

+ cos2 = 1 cos2 = 25 24 cos = 5 6 2 5 24 tg = cos sen tg = 12 6 5 24 : 5 1

11.- Un ángulo está en el 4.º cuadrante y cos = 3/5. Calcula sen y tg Solución

sen2 + cos2 = 1 sen2 +

25

9

= 1 sen2 = 25 16 sen = 5 4

(9)

tg = cos sen tg = 3 4 5 3 : 5 4

12.- Un ángulo está en el 3.er cuadrante y tg = 3. Calcula sen y cos Solución

tg2 + 1 = sec2

9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10 10 tg = cos sen sen = tg cos = 10 10 2 10 10 3 13.- Resuelve: sen 2x = tg x Solución

2sen x cos2 x = sen x sen x (2 cos2 x – 1) = 0

2 2 cos 2 / 1 cos 0 sen 2 x x x Si sen x = 0 x1 = 0° + 360°k, k Z x2 = 180° + 360°k, k Z Si cos x = 2 2 x3 = 45° + 360°k, k Z x4 = 315° + 360°k, k Z Si cos x = – 2 2 x5 = 135° + 360°k, k Z x6 = 225° + 360°k, k Z

14.- Resuelve: 3sen x – 2cos2 x = 0 Solución 3sen x – 2(1 – sen2 x) = 0 3sen x – 2 + 2sen2 x = 0 2sen2 x + 3sen x – 2 = 0 2 1 sen 2 sen x x a) sen x = – 2

No es una solución válida.

b) Si sen x = 2 1

x1 = 30° + 360°k, k Z

(10)

4. Resolución de triángulos

1.- En un triángulo se conoce a = 8 m, A = 120° y B = 20°. Calcula el lado b, ¿cuántas soluciones tiene? Solución m 3,16 120 sen 20 sen 8 20 sen 120 sen 8 b b

Tiene una solución.

2.- En un triángulo se conoce c = 6 cm, A = 70° y B = 65°. Calcula el lado a, ¿cuántas soluciones tiene? Solución C = 45° 7,97cm 45 sen 70 sen 6 70 sen 45 sen 6 a a

Tiene una solución.

3.- En un triángulo se conoce b = 14 cm, c = 17 cm y B = 42°. Calcula el ángulo C, ¿cuántas soluciones tiene? Solución 0,8125 14 42 sen 17 = C sen sen 17 42 sen 14 C

C1 = 54° 20’ 33’’ B + C1 < 180°; C2 = 125° 39’ 27’’ B + C2 < 180°. Tiene dos soluciones. 4.- En un triángulo se conoce b = 8 m, c = 5 m y A = 25°. Calcula el lado a

Solución

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A} a2 = 82 + 52 – 2 · 8 · 5 · cos 25° a = 4,06 m

5.- En un triángulo se conocen los tres lados a = 2 m, b = 5 m y c = 4 m. Calcula el ángulo A Solución

'

54'

19'

22°

=

0,925

=

4

5

2

4

5 =

cos

2 2 2

A

6.- Desde la puerta de un almacén se ve una gasolinera, que está a 70 m, y un quiosco de prensa, que está a 50 m. El ángulo con el que se ve el segmento que une la gasolinera con el quiosco es de 40°. Calcula la distancia que hay entre el quiosco y la gasolinera.

Solución

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

a2 = 502 + 702 – 2 · 50 · 70 · cos 40° a = 45,14 m

7.- De una parcela triangular se conocen dos lados a = 90 m y b = 83 m y el ángulo comprendido entre ellos, C = 50°. Halla el área de la parcela.

(11)

m² 2861,18 = 50° sen · 83 · 90 · 2 1 = Área

(12)

5. Geometría analítica

1.- Calcula el módulo y el argumento del vector v (– 3, – 4) Solución

|v| = 5, = 233° 7’ 48”

2.- Dados los puntos A( – 5, 3) y B(2, 7), calcula las coordenadas del vector AB Solución

AB(7, 4)

3.- Dado el punto A(1, 3) calcula las coordenadas del punto B tal que AB(5, – 1) Solución

B(x, y) AB(x – 1, y – 3) = (5, – 1) x = 6, y = 2

4.- Dados los vectores u(– 2, 1) y v(– 5, 3) calcula 3u – 2v Solución

3u – 2v = (– 6 + 10, 3 – 6) = (4, – 3)

5.- Halla el producto escalar de los vectores: u(5, 2) y v(– 3, 4) Solución

u · v = – 15 + 8 = – 7

6.- Calcula el ángulo que forma los vectores: u(2, – 3) y v (– 5, – 4) Solución " 49 ' 1 85 16 25 9 4 ) 4 )( 3 ( ) 5 ( · 2 cos

7.- Halla el valor de x para que los vectores u(– 2, 4) y v(x, – 3) sean perpendiculares. Solución

u · v = 0 – 2x – 12 = 0 x = – 6

8.- Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A(2, 3) y B(4, 2). Calcula sus otros dos vértices.

Solución

Dado AB(2, – 1), hay dos vectores perpendiculares: AC AB es AC(1, 2)

AC’ AB es AC’(– 1, – 2)

OC = OA + AC OC = (2, 3) + (1, 2) = (3, 5)

OC’ = OA + AC’ OC’ = (2, 3) + (– 1, – 2) = (1, 1)

OD = OB + AC OD = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4)

OD’ = OB + AC’ OD’ = (4, 2) + (– 1, – 2) = (3, 0)

9.- Un cuadrado tiene por vértices opuestos los puntos A(4, 2) y C(6, 6). Calcula sus otros dos vértices.

(13)

AM = AC/2 = (2, 4)/2 = (1, 2) Hay dos vectores perpendiculares: MB AM es MB(2, – 1)

MD AM es MD(– 2, 1)

OM = OA + AM OM = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4) OB = OM + MB OB = (5, 4) + ( 2, – 1) = (7, 3) OD = OM + MD OD = (5, 4) + (– 2, 1) = (3, 5)

10.- Dibuja la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tienen como vector director v(–1, 2) y halla su pendiente.

Solución

m = – 2

11.- Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 3, 2) y B(3, – 1), calcula el vector director y la pendiente de la recta.

Solución

v = AB = (6, – 3) || (2, – 1) m = – 1/2

12.- Comprueba si los puntos A(– 3, 4), B(– 1, 3) y C(3, 1) están alineados. Solución

2

1

4

2 ,

2

1

2

1

BC AB

m

Están alineados.

13.- Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta determinada por el punto A(– 1, 5) y el vector director v(2, – 3)

Solución Ecuación vectorial: (x, y) = (– 1, 5) + t(2, – 3); t R Ecuaciones paramétricas:

R

t

y

t

x

3

5

2

1

Ecuación continua:

3

5

2

1 y

x

Ecuación general: 3x + 2y – 7 = 0

(14)

Ecuación explícita:

2

7

2

3 x

y

14.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

(x, y) = (– 3, 2) + t(5, – 1), t R Solución

Ecuación vectorial, A(– 3, 2); v(5, – 1), m = – 1/5

15.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente: t y t x 5 2 3 t R Solución

Ecuaciones paramétricas, A(3, 5); v(2, – 1), m = – 1/2

5

4

3 y

x

Solución

Ecuación continua, A(3, – 4); v(1, 5), m = 5

17.- Dadas la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:

4x – y + 1 = 0 Solución

Ecuación general, A(0, 1); v(1, 4), m = 4

y = – x + 3 Solución

Ecuación explícita, A(0, 3); v(1, – 1), m = – 1

19.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2

Solución

y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5

20.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2

Solución

y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5

Dada la recta r 3x + 4y – 1 = 0, halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, – 2) Solución mr =

4

3

ms =

4

3

y =

4

3

(x – 3) – 2 r 3x + 4y – 1 = 0

(15)

21.- Halla la ecuación de la recta s que pase por el punto A(3, 1) y es perpendicular a la recta r que pasa por los puntos B(1, 2) y C(2, – 1)

Solución

mr = – 3 ms = 1/3 y =

3

1

(x – 3) + 1 r x – 3y = 0 22.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas:

r (x, y) = (– 3, 3) + t(2, – 1), t R

2

5

1

3 y

x

s

Solución

2

1

2 )

2 ,

1 (

);

1 ,

2 (

_s r

v

Las rectas son secantes.

23.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas: R t t y t x r 4 10 1 s 2x + 5y – 10 = 0 Solución

2

4

5

10 )

2 ,

5 (

);

4 ,

10 (

_s r

v

Las rectas son paralelas.

24.- Halla la distancia que hay entre los puntos A(2, – 3) y B(5, 1) Solución

d(A, B) =

d

(

A

,

B

)

(

5

2 )

2

(

1

3 )

2

9

16

5

u

25.- Halla la distancia del punto A(2, – 3) a la recta

3

2

4

1 y

x

r

Solución

Ecuación general de la recta: r 3x – 4y + 11 = 0

5

29

4

3 |

11 )

3 (

·

4

2

·

3 |

)

,

(

2 2

r

A

d

= 5,8 u

26.- Halla la distancia del punto A(1, – 5) a la recta t R t y t x r 2 3 4 Solución

Ecuación general de la recta: r 2x – y – 11 = 0 5 5 4 5 4 ) 1 ( 2 | 11 5 1 · 2 | ) , ( 2 2 r A d u

27.- Halla el ángulo que forman las rectas R t t y t x r 4 2 s y = 3(x – 1) + 2 Solución