Curvatura. t Rdt = Rt s = Rt t = s R. y r (s) =

Curvatura

En una recta, el vector unitario tangente T no cambia su direcci´on y por tanto T0_{= 0. Si la curva no es}

una linea recta, la derivada T0 _{mide la tendencia de la tangente a cambiar su diracci´on. El coeficiente de}

variaci´on o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina vector curvatura de la curva. Se designa por dT /ds donde s representa la longitud de arco.

Definici´_{on 1. Sea f : I ⊂ R → R}n _{una camino dos veces diferenciable parametrizado por longitud de}

arco. Al n´umero κ = kf00(s)k se le llamacurvatura de f es s.

Ejemplo: Calcule la curvatura en todo punto de la recta r(t) = (x0, y0, z0) + t(u1, uu, u3) donde kuk = 1

tenemos:

r0(t) = (u1, u2, u3) y kr0(t)k = kuk = 1

Por lo tanto la curva esta parametrizada por longitud de arco Por lo tanto κ = kr00(t)k = 0, por lo tanto k = 0.

Ejemplo: Curvatura de una circunferencia. Para un c´ırculo de radio R dado por la ecuaci´on r(t) = (R cos t, R sen t) tenemos: La parametrizacion por longitud de arco es:

s = Z t 0 kf0(u)kdu = Z t 0 Rdt = Rt → s = Rt ⇒ t = s R de esta manera se tiene

r(t) = rs R  =R coss R  , R sens R  r0(s) =− sens R  , coss R  y r00(s) =  −1 Rcos s R  , −1 Rsen s R  Por lo tanto κ = kr00(s)k = 1 R.

Esto prueba que una circunferencia tiene curvatura constante y el reciproco de la curvatura es el radio de la circunferencia cuando k(t) 6= 0, su inverso se denomina radio de curvatura y se designa por ρ.

Ejemplo Sea f : [0, 3] → R dada por f (t) = (t, t2_{+ 1), en este caso vamos a reparametrizar por longitud} de arco s = ϕ(t) = Z t 0 kf0(u)kdu = Z t 0 k(1, 2u)k = Z t 0 p 1 + 4u2_du

vamos a intentar el cambio de variable 2u = sinh(x) donde u = sinh(x)

2 de manera que Z p 1 + 4u2_{du =} 1 2 Z q 1 + sinh2(x) cosh(x)dx = 1 2 Z cosh2(x) dx = 1 4 Z (1 + cosh(2x)) dx =1 4(x + sinh(2x)) = 1 4(x + cosh(x) sinh(x)) =1 4arcsenh(2u) + 1 4cosh(arcsenh(2u)) sinh(arcsenh(2u)) =1 4arcsenh(2u) + 1 4(2u + cosh(arcsenh(2u))) cosh(arcsenh(2u)) = q 1 + sinh2(arcsenh(2u)) =p1 + 4u2 Por lo que 1 4arcsenh(2u) + 1 4(2u + cosh(arcsenh(2u))) = 1 4arcsenh(2u) + 1 4  2up1 + 4u2 = 1 4arcsenh(2u) + 1 2  up1 + 4u2 y = arcsenh(2u) ⇒ sinh(y) = 2u ⇒ e y_{− e}−y 2 = 2u ⇒ e y_{− e}−y _{= 4u e2y − 4e}y_{u − 1 = 0} ⇒ ey= 4u ± √ 16u2_{+ 4} 2 ⇒ e y_{= 2u ±}p 4u2_{+ 1 ⇒ y = ln}_{2u ±}p_4u2_{+ 1} Por lo tanto 1 4arcsenh(2u) + 1 4  2up1 + 4u2₌ 1 4  ln2u ±p4u2_{+ 1}₊1 4  2up1 + 4u2

Regresando a nuestra integral por longitud de arco Z t 0 p 1 + 4u2_{du =} 1 4  ln2u ±p4u2_{+ 1}₊1 4  2up1 + 4u2   t 0 =1 4  ln2t ±p4t2_{+ 1}₊1 4  2tp1 + 4t2 en este caso s = ϕ(t) =1 4  ln2t ±p4t2_{+ 1}₊1 4  2tp1 + 4t2

se observa que no es posible hallar t = ϕ−1(s) de manera explicita.

Por lo que si se quisiera calcular la curvatura κ(s), deberemos recurrir a una expresi´on para la curvatura que dependa del par´ametro t.

Vector Tangente

Definici´on 2. Dada una curva f (t), el vector unitario tangente T es otra funci´on vectorial asociada a la curva, y est´a definida por:

T (t) = f 0_(t) kf0_(t)k siempre que kf 0_{(t)k 6= 0.} Observese que: kT (t)k = f0(t) kf0_(t)k = 1 kf0_(t)kkf 0_{(t)k = 1}

por lo tanto T es de magnitud constante, en cuyo caso se tiene T · T0= 0.

Vector Normal Principal

Definici´on 3. Si T06= 0 el vector unitario que tiene la misma direcci´on que T0 se llama Normal Principal a la curva y se designa por N (t). Asi pues N (t) es una nueva funci´on vectorial asociada a la curva y esta dada por la ecuaci´on:

N (t) = T

0_(t)

kT0_(t)k siempre que kT

0_{(t)k 6= 0}

La regla de la cadena y la f´ormula s0(t) = kf0(t)k permite relacionar el vector curvatura dT /ds con la derivada T0 respecto al tiempo mediante la ecuaci´on:

dT ds = dT dt dt ds= T 0 1 ds dt = T0 1 kf0_(t)k

y puesto que T0(t) = kT0(t)kN (t), obtenemos: dT

ds =

1 kf0_(t)kkT

que dice que el vector curvatura tiene la misma direcci´on que la normal principal N (t). El factor de escala que multiplica a N (t) es un n´umero no negativo llamado curvatura de la curva en t, y se designa por k(t).

Asi la curvatura de k(t) definida como la longitud del vector curvatura esta dado por la f´ormula siguiente: k(t) = dT ds = 1 kf0_(t)kkT 0_{(t)k kN (t)k =} kT0(t)k kf0_(t)k

Vamos ahora a desarrollar una f´ormula que nos permita calcular la curvatura. Si T = T 0_(t) kf0_(t)k ⇒ T kf 0_{(t)k = f}0_{(t) ⇒ T}ds dt = f 0_(t) Por lo tanto f00= Td 2_s dt2 + ds dtT 0

Haciendo el producto cruz f0× f00= Tds dt ×  Td 2_s dt2 + ds dtT 0  =   Tds dt × T d2_s dt2 + T ds dt × ds dtT 0 Por lo tanto kf0× f00k = kTds dt × ds dtT 0_{k =} ds dt  kT k ds dt  kT0k sen(T, T0) = ds dt 2 kT0k En cosecuencia kf0_{× f}00_k ds dt
2 = kT 0_{k ⇒ kT}0_{k =} kf0× f00k kf0_k2 sustituimos en k(t) = kT 0_(t)k kf0_(t)k ⇒ k(t) = kf0_×f00_k kf0_k2 kf0_(t)k ⇒ k(t) = kf0_{× f}00_k kf0_(t)k3 Vector Binormal

Un tercer vector definido mediante B = T xN recibe el nombre de Vector binormal. Notese que kB(s)k = kT (s) × N (s)k = kT (s)kkN (s)k sen(T, N ) = 1

Los tres vectores unitarios T, N y B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orienta-ci´on derecha llamado Triedo de Frenet . Para el caso especial de una curva plana con ecuaci´on y = f (x) podemos escoger x como el par´ametro y escribir r(x) = xˆi + f (x)ˆj entonces r0_{(x) = ˆi + f}0_{(x)ˆj y}

r00(x) = f00(x)ˆj y al efectuar: r0(x) x r00(x) =         ˆi ˆ_j ˆ_k 1 f0(x) 0 0 f00(x) 0         = f00(x)ˆk

Por lo tanto kr0(x) x r00(x)k = kf00(x)k.

Por otro lado kf0(x)k =p1 + [f0_(x)]2_{. Por lo tanto, para una curva plana}

k(x) = kf

00_(x)k



p1 + [f0_(x)]23/2

Ejemplo: Determine los vectores T y N , la curvatura k y el centro de la curvatura de la par´abola y = x2

en el punto (1, 1)

Soluci´on. Si la par´abola esta parametrizada por x = t y por y = t2_{, entonces su vector de posici´on}

es f (t) = (t, t2_{), por lo tanto f}0_{(t) = (1, 2t) ⇒ kf}0_{(t)k =} √_{1 + 4t}2_{, y f}00_{(t) = (0, 2), por lo}

tanto: T (t) =√(1, 2t) 1 + 4t2 T (1) =  1 √ 5, 2 √ 5  N (t) = −2√ 5, 1 √ 5  perpendicular a T , k = kf 00_(t)k  p1 + [f0_(t)]23 = _√ 2 1 + 4t2
3 k(1) = 2 5√5 ⇒ ρ = 5√5 2 Por lo tanto el centro de la curvatura es

c(t) = f (1, 1) + 1₂ 5√5  −2 √ 5, 1 √ 5  =  −4,7 2 

Y la ecuaci´on del c´ırculo osculador a la par´abola es, por tanto:

(x + 4)2+  y −7 2 2 = 5 √ 5 2 !2 = 125 4

Ejemplo: Calcule la curvatura k de la h´elice x(t) = a cos(wt), y(t = a sin(wt)), z(t) = bt

Soluci´on. Tenemos que:

f0(t) = (−wa sin(wt), aw cos(wt), b) ⇒ kf0(t)k =pa2_w2_{+ b}2

Por lo tanto

T = (−aw sin(wt), aw cos(wt), b)√ 1

a2_w2_{+ b}2

Por lo tanto

k = kT

0_k

kf0_k = k − aw

2_{cos(wt), −aw}2_{sin(wt), 0k√} 1

= q

(aw2₎2_(cos2_{(wt) + sin}2

(wt)) √ 1 a2_w2_{+ b}2 = aw2 √ a2_w2_{+ b}2 En resumen: ˆ B = ˆT x ˆN y por tanto − ˆB = ˆN x ˆT ˆ N = ˆB x ˆT − ˆN = ˆT x ˆB ˆ T = ˆN x ˆB − ˆT = ˆB x ˆN

Dado que B(s) = T (s) x N (s) se tiene que B0(s) = T0(s) x N (s)

| {z }

∗

+ T (s) x N0(s)

* Este sumando es igual a cero ya que T0(s) = f00(s) es un vector en la direcci´on de N (s) y por tanto son colineales por lo que su producto cruz es cero, por lo tanto B0(s) = T (s) x N0(s).

Ahora como B0(s) es un vector ortogonal a T (s) podemos concluir que B0(s) es un vector en el plano osculador.

Por lo que si B0(s) es un vector paralelo a N (s), entonces existe un escalar z(s) tal que B0(s) = z(s)N (s).

Por otro lado N0(s) es ortogonal a N (s). Por lo tanto se puede escribir como N0(s)µ(s)T (s) + z(s)B(s).